\chapter{Mouvement dans un champ de gravitation}

\vspace*{-1em}
\section{Introduction}
\begin{exointro}{Lycée Condorcet, Paris}
La planète Saturne possède de nombreux satellites naturels. Certains, très
petits, ont été découverts récemment par les missions spatiales, et des observations
au sol permettent encore d'en découvrir de nouveaux. Le satellite appelé Encelade
se trouve sur une orbite circulaire à $\nombre{238020}$~km du centre de la planète, et
le satellite Dioné décrit également une orbite circulaire à $\nombre{377400}$~km du centre de 
Saturne.

Montrer que ces satellites sont en résonance 2$:$1, c'est-à-dire que lorsque l'un
d'eux effectue un tour complet de Saturne, l'autre effectue deux tours.
%
\end{exointro}

Dans ce chapitre, nous étudions le mouvement de systèmes dans le champ
de gravitation d'astres comme le Soleil ou des planètes. 

\enlargethispage*{5em}

\section{Référentiels utilisés}

On étudie le mouvement d'un corps de petite masse autour d'une masse centrale
dominante. Le \index{Referentiel@Référentiel}référentiel utilisé est centré sur cette masse, et ses axes pointent vers des étoiles à une distance très lointaine par rapport aux distances prises en compte dan 	s l'étude. Ainsi, on
utilise :
\begin{questions}
\item le référentiel centré sur le soleil
  (\index{Referentiel@Référentiel héliocentrique}référentiel
  héliocentrique) lorsqu'on étudie le mouvement des planètes du
  système solaire~;

\item le référentiel centré sur le centre de la Terre
  (\index{Referentiel@Référentiel géocentrique}référentiel
  géocentrique) lorsqu'on étudie le mouvement d'un satellite
  artificiel de la Terre~;

        \item et de manière générale le référentiel planétocentrique (centré sur une
        planète) lorsqu'on étudie des satellites de cette planète.
\end{questions}

\newpage

\section{Lois de Képler}

Johannes Képler (1571-1630) a trouvé trois lois, établies à partir des
observations réalisés par l'astronome Tycho Brahé. Ces trois lois
portent son nom, et sont d'une importance capitale en
astronomie. Képler a trouvé ses lois en étudiant le mouvement des
planètes du Système Solaire (notamment le mouvement de Mars) mais
elles s'appliquent à toute masse en orbite autour d'un masse centrale
dominante: satellites naturels (\og lunes\fg) d'une planète,
satellites artificiels de la Terre, orbites de planètes extra-solaires
autour d'une étoile autre que le Soleil, etc.

\subsection{Première loi de Képler}

\begin{aretenir}
La \index{Loi de Képler (première)}première loi de Képler, la \og loi des orbites\fg, 
énonce que les orbites (trajectoires) des planètes autour du
Soleil sont des ellipses, dont le Soleil occupe un foyer.
\end{aretenir}

Une \index{Ellipse}ellipse est une figure géométrique fermée, qui généralise
la notion de cercle. Elle possède (voir la figure ci-après) deux
foyers~F et~F$'$. Une ellipse est définie comme
l'ensemble des points~M tels que :
\[{\rm FM+F'M=2}a,\]
où $a$ est appelé demi grand-axe.
%
\begin{center}
\includegraphics[width=50mm]{230_ellipse08}\qquad
\includegraphics[width=50mm]{230_ellipse02}
\end{center}

La figure de gauche montre une ellipse où les foyers sont très séparés
(on dit qu'elle est très excentrique: les foyers sont loin du
\textit{centre}). Elle a alors une forme ovale très aplatie. En
revanche, la figure de droite montre une ellipse où les foyers sont
peu disjoints: elle est alors quasi-circulaire. Dans le cas où les
foyers sont confondus ($\mathrm{F}=\mathrm{F}'$), nous avons:
\[\mathrm{FM+F'M=FM+FM=}2\mathrm{FM}=2a\mbox{~~~~soit~~~~}\mathrm{FM}=a.\]
L'ellipse est alors un cercle de rayon $a$ et de centre F (ou F$'$,
puisque c'est le même point).

La plupart des planètes du système solaire ont une orbite peu
excentrique (quasi-circulaire). En revanche, certains petits corps du
système solaire, comme les comètes, ont des excentricités très
importantes et par conséquent des orbites très allongées. Elles
peuvent passer plus près du Soleil que la Terre à certaines époques,
et à d'autres se retrouver plus de 100 fois plus loin du Soleil que la
Terre.


\subsection{Deuxième loi de Képler}

\begin{aretenir}
  La \index{Loi de Képler (deuxième)}deuxième loi de Képler, la \og
  \index{Loi des aires}loi des aires\fg, indique que les aires balayées par un \og
  rayon-vecteur\fg (segment joignant le Soleil à une planète) en des
  temps égaux sont égales.
\end{aretenir}
\begin{Exemple}
Le point~A' de la
figure ci-après représente la position de la planète un mois 
après son passage en~A. De même le point~B' représente la
position de la planète un mois après son passage en~B.
\vspace*{5mm}
%
\begin{center}
\includegraphics{231_kepler2}
\end{center}

\vspace*{5mm}

Les aires $S_1$ et $S_2$ sont égales.

\end{Exemple}

L'aire balayée par un rayon-vecteur par unité de temps est aussi
appelée la \og constante des aires\fg de l'orbite. Elle est égale à la
surface de l'orbite divisée par la période orbitale.

%Le \textit{périastre} d'une orbite est la distance la plus courte entre le corps central et l'objet en orbite.  Lorsque le corps central est le  Soleil on parle de périhélie, et lorsque le corps central est la Terre on parle de périgée.

%L'\textit{apoastre} d'une orbite est la distance la plus grande entre le corps central et l'objet en orbite.  Lorsque le corps central est le Soleil on parle d'aphélie, et lorsque le corps central est la Terre  on parle d'apogée.

Une conséquence immédiate de la deuxième loi de Képler est que les planètes ont une vitesse orbitale supérieure lorsqu'elles passent plus près du Soleil (lorsqu'elles sont à leur périhélie), que lorsqu'elles sont plus loin du Soleil (vers leur aphélie). Cette différence est assez petite pour les planètes qui ont, comme on l'a vu, des orbites quasi-circulaires. En revanche, elle peut être considérable pour les comètes et autres petits corps de grande excentricité.

\subsection{Troisième loi de Képler}

La \index{Loi de Képler (troisième)}troisième loi de Képler relie la période de révolution $T$ d'une planète à son rayon orbital $R$. On se limitera ici au cas d'une orbite circulaire.

\begin{center}
\includegraphics{232_kepler3}
\end{center}

\begin{aretenir}
Troisième loi de Képler: le carré de la période de révolution $T$ d'un corps en orbite circulaire est proportionnel au cube de son rayon $R$. 
\[ \frac{T^2}{R^3} = \text{constante}. \]
\end{aretenir}


Nous allons démontrer cette loi au paragraphe \ref{demKepler3}.

\subsubsection{Expression de l'accélération}
Nous avons vu que l'accélération dans le cas d'un mouvement circulaire du point M s'écrit:
\[\vec{a}=\frac{\dd v}{\dd t}\vec{T}+\frac{v^2}{R}\vec{N}\]
où on note $\vec{T}$ le vecteur unitaire tangent en~M à la trajectoire
et dirigé dans le sens du mouvement, $\vec{N}$ le vecteur normal en~M
à la trajectoire et dirigé vers le centre du cercle et $v$ la norme du
vecteur vitesse de~M.

L'unique force à laquelle est soumis le système est la force de
pesanteur :\linebreak $\vec{F}=G\frac{m_A m_B}{d_{A - B}^2}\vec{N}$, qui est en tout point orthogonale au
vecteur vitesse~$\vec{v}$ du système, donc sa puissance instantanée
$\vec{F}.\vec{v}$ est nulle.

Par application du théorème de l'énergie cinétique, on en déduit donc
que l'énergie cinétique, et donc la vitesse du système, est constante
au cours du temps.

\begin{aretenir}
  Une orbite circulaire autour d'un corps central à symétrie sphérique
  est décrite à vitesse constante. Il s'agit d'un mouvement circulaire
  uniforme.
\end{aretenir}


Dans ce cas particulier où le mouvement est uniforme, le vecteur
accélération est colinéaire au vecteur~$\vec{N}$, puisque
$\dfrac{\dd v}{\dd t}=0$, et sa norme, qui est constante, vaut
$\dfrac{v^2}{R}$.

\subsubsection{Démonstration de la troisième loi de Képler}
\label{demKepler3}
Nous étudions le mouvement dans le référentiel sans rotation lié au
corps central, supposé galiléen.
On vient de voir que l'accélération de la masse en orbite s'écrit:
\[\vec{a}=\frac{v^2}{R}\vec{N}.\]

Par ailleurs la force gravitationnelle exercée par le corps central, de
masse $M$ sur
la masse $m$ en orbite s'écrit:
\[\vec F=G\frac{Mm}{R^2}\vec{N}.\]
On écrit la deuxième loi de Newton pour ce système dans le référentiel supposé galiléen centré sur le corps central:
\[m\vec{a}=\vec F\]
soit
\[m\frac{v^2}{R}\vec{N}=\frac{GMm}{R^2}\vec{N}\] 
ou encore:
\[\frac{v^2}{R}=\frac{GM}{R^2}\] 
donc :
\[v=\sqrt{\frac{GM}{R}}.\]

On en déduit la période de l'orbite du corps étudié, qui est le temps
qu'il met à parcourir le périmètre $2\pi R$ de son orbite à la
vitesse~$v$ :
\[T=\frac{2\pi R}{v}=2\pi \sqrt{\frac{ R^3}{GM}}.\]

On peut écrire encore cette relation en élevant les deux membres de
l'égalité ci-dessus au carré :
\[T^2=\frac{4\pi^2}{GM} R^3.\]
Il faut savoir retrouver rapidement cette relation.


Ceci démontre la troisième loi de Képler dans le cas particulier d'un
mouvement circulaire.


La constante de proportionnalité $\frac{4\pi ^2}{GM}$ ne dépend que du
corps central. Elle est donc la même pour toutes les planètes du
Système Solaire.

La troisième loi de Képler permet :

\begin{itemize}
\item de calculer la masse du corps central connaissant le rayon  de l'orbite 
et la période d'un
de ses satellites. C'est ainsi que l'on a pu par exemple estimer la masse de Jupiter
à partir du mouvement de ses satellites principaux;

\item de prédire la période (resp. le rayon de l'orbite) d'un satellite ou d'une
planète quand on connaît le rayon de son orbite (resp. sa période) et la masse
du corps central.
\end{itemize}

La troisième loi de Képler peut se généraliser au cas des orbites non
circulaires. Elles sont alors elliptiques, et l'on doit remplacer,
dans l'expression de la loi de Képler, le rayon de l'orbite $R$ par le
demi grand-axe $a$ de l'ellipse. La démonstration de cette généralisation
est toutefois hors-programme.


%\subsubsection{Expression simple de la troisième loi de Képler}
%Dans le cas particulier des planètes du Système Solaire, la troisième
%loi de Képler s'énonce de manière particulièrement simple dans le cas
%où les durées s'expriment en années et les rayons en {\em unités
%astronomiques}.  La troisième loi de Képler peut s'écrire :
%\[T^2=KR^3,\]
%où $K$ est une constante de proportionnalité qui dépend du corps
%central et du système d'unités utilisé.

%On introduit l'unité astronomique (de symbole U.A.), qui est une unité
%de distance, et qui est égale à la distance Soleil-Terre (sa valeur
%précise a été fixée par l'Union Astronomique Internationale à :
%$1\mbox{~U.A.}=\nombre{149597870}$~km).

%Si on exprime les durées en années, alors, pour la Terre, on a :
%\[T=1\mbox{~année~~~~~et~~~~~}R=1\mbox{~U.A.}\]
%et donc la constante de la loi de Képler vaut :
%\[K=\frac{1}{1}=1\;{\mbox{année}^2}.{\mbox{U.A.}^{-3}}.\]

%Cette constante s'applique à tous les corps en orbite autour du
%soleil, c'est-à-dire à toutes les planètes du Système Solaire.

%\textit{Astuce:} il peut être utile de se souvenir que le carré de la
%période de révolution d'une planète du Système Solaire, exprimé en
%années, est égal au cube du demi grand-axe de son orbite, exprimé en
%unités astronomiques.


\section{Satellites artificiels de la Terre}

On appelle \index{Satellite géostationnaire}satellite géostationnaire
un satellite qui décrit son orbite en 23~h 56~min. Ainsi, il reste
toujours dans le plan d'un même méridien terrestre, puisque la durée
de rotation de la Terre sur elle-même, par rapport aux étoiles fixes
et non par rapport au Soleil est de~23~h~56~min.

L'altitude d'un satellite géostationnaire est d'environ~\numprint{36000}~km.

On appelle \index{Satellite}satellite en orbite basse un satellite
ayant une orbite circulaire à basse altitude (quelques centaines de
kilomètres tout de même pour éviter les forces de frottement de
l'atmosphère qui feraient tomber le satellite à la surface
terrestre). La période d'un satellite en orbite basse est de l'ordre
1~h~30~min.


\begin{solintro}
Encelade et Dioné sont en orbite autour du même corps central (Saturne), donc on
peut écrire : 
$$\begin{cases}
T_\textrm{Dioné}^2 = KR_\textrm{Dioné}^3\\
T_{\text{Encelade}}^2 = KR_{\text{Encelade}}^3
\end{cases}$$
où la constante~$K$ est la même constante pour Dioné et Encelade.

En divisant entre elles ces égalités, on a :
\[\left(\frac{T_\textrm{Dioné}}{T_{\text{Encelade}}}\right)^2=\left(
\frac{R_\textrm{Dioné}}{R_{\text{Encelade}}}\right)^3\]
ce qui s'écrit encore :
\[\frac{T_\textrm{Dioné}}{T_{\text{Encelade}}}=\sqrt{\left(
\frac{R_\textrm{Dioné}}{R_{\text{Encelade}}}\right)^3}.\]
L'application numérique donne :
\[\frac{T_\textrm{Dioné}}{T_{\text{Encelade}}}=\sqrt{\left(\frac{377400}{238020}\right)^3}
=1{,}997\simeq 2{,}00.\] 

\Par

Ainsi, quand Dioné décrit une orbite entière, Encelade en décrit deux.
Ce type de coïncidence, appelée résonance de moyen mouvement, n'est
pas fortuit et est courant dans les systèmes de satellites des
planètes géantes (Jupiter et Saturne essentiellement), ainsi que dans
certains systèmes de planètes extra-solaires.
 \end{solintro}
