\onglet
\begin{qcm}{Testez vos connaissances}{5}
%%%%
%%%%
\begin{questions}
 \item  Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
        \begin{questions}
        \item La force exercée par la Terre sur le Soleil est
          d'égale valeur à celle exercée par le Soleil sur la Terre.

          \item Quand la distance entre deux masses ponctuelles
          croît, la force de gravitation qu'elles exercent l'une sur
          l'autre croît également.  

          \item La force gravitationnelle peut être répulsive.
          
          \item Quand la Terre est plus proche du Soleil, sa vitesse
          orbitale est plus petite.
          \end{questions}


          %%% CI-DESSOUS: champ de pesanteur non uniforme pas au
          %%% nouveau programme
%        \item  Sur la figure ci-dessous, 
%$\vec{g}_{/B}$ représente le champ de
%pesanteur créé par la masse $m_B$ (au niveau du point~A), et 
%$\vec{g}_{/A}$ représente le champ de
%pesanteur créé par la masse $m_A$ (au niveau du point~B).
%
%\medskip
%
%%
%\begin{center}
%\includegraphics{155_08e_qcmgrav01}
%\end{center}
%
%Quel est le rapport des masses $m_A/m_B$ ?
%\resetchoix \choix{} $1$ \choix{} $\frac{2}{3}$ \choix{} $\frac{3}{2}$

\item Les planètes situées à l'intérieur de l'orbite de la Terre (Vénus et Mercure) ont des 
périodes de révolution\\
\resetchoix 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{} supérieures & \choix{} inférieures\end{tabularx}

à une année.

% PLUS AU PROGRAMME (POUR L'INSTANT...)
%        \item  On représente sur la figure ci-dessous le champ gravitationnel $\vec g$ 
%au point~M, situé au voisinage d'une planète sphérique de centre~C. 
%
%%
%\begin{center}
%\includegraphics{155_08e_qcmgrav02}
%\end{center}
%
%La répartition de masse à l'intérieur de cette planète est-elle à symétrie sphérique ?

\item On représente ci-dessous la force $\vec F$ exercée par une masse $M$ sur une masse~$m$,
située à distance $d$ de la première.
\begin{center} 
\includegraphics{235_qcm2009-chap11-1}
\end{center}  
Quelle est la somme des forces exercées sur la masse $m$ par une masse
$M$ à la distance $d$ et par une masse $4M$
à la distance $2d$, disposées comme indiqué ci-après~?\\
\resetchoix

\choix \quad\raisebox{-1.5cm}{\includegraphics{235_qcm2009-chap11-2}}


\choix \quad\raisebox{-1.5cm}{\includegraphics{235_qcm2009-chap11-3}}


\choix \quad\raisebox{-1.5cm}{\includegraphics{235_qcm2009-chap11-4}}




%\item Si l'on découvrait, dans notre système solaire, une planète orbitant à 64 unités astronomiques
%du Soleil, quelle serait sa période orbitale~?\\
%\resetchoix 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}\choix{} 64 ans &\choix{} 8 ans &\choix{} 512 ans\end{tabularx}

\newpage

\item  Les anneaux de Saturne peuvent être considérés comme un très grand ensemble de petites particules en
orbite circulaire autour de Saturne. La rotation des anneaux se fait:

\resetchoix
\choix{} en bloc (rotation solide)

\choix{} plus lentement à l'extérieur

\choix{} plus rapidement à l'extérieur

\item La force gravitationnelle exercée par la Terre sur une personne est le poids de cette personne.\\
\resetchoix 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}\choix{} Vrai & \choix{} Faux\end{tabularx}

\item  On considère la somme vectorielle des deux forces exercées par
  les deux masses $M$ sur la masse $m$. Quelle situation est impossible~?\\
\begin{center} 
\includegraphics{236_qcm2009-chap11-5}
\end{center} 
\begin{center} 
\includegraphics{236_qcm2009-chap11-6}
\end{center} 

%\item Plus le rayon de l'orbite d'une planète du Système Solaire est grand, plus
%sa période de révolution est grande.
%
%\resetchoix 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}\choix{} Vrai & \choix{} Faux\end{tabularx}


\item  Un satellite géostationnaire:

\resetchoix \choix{} est en orbite basse\hfill \choix{} a une période de révolution d'environ 24~h


\item La vitesse d'une planète dans son orbite autour du Soleil est une fonction

\resetchoix 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{} croissante &\choix{} décroissante
\end{tabularx}


du rayon de son orbite.

\item Plus un satellite artificiel de la Terre a une masse importante,
plus sa période est grande.

\resetchoix 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{} Vrai & \choix{} Faux
\end{tabularx}

\end{questions}
%
%
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
        \item  
        \begin{questions}
                \item \textit{Vrai}. C'est le principe de l'action et de la réaction.
                \item \textit{Faux}. La force gravitationnelle décroît comme le carré de la distance.
                \item \textit{Faux}. La force gravitationnelle est toujours attractive.
                \item \textit{Faux}. La loi des aires affirme précisément le contraire.
        \end{questions}

        \item Réponse \choix[b]: inférieures. La troisième loi de Képler nous dit que la période de ces planètes est plus courte
que celle de la Terre, puisque leur distance au Soleil est inférieure à celle de la Terre. Par conséquence, elles ont une
période orbitale inférieure à une année.

%        \item  \textit{Non}. Si la répartition de masse était à symétrie sphérique, alors on pourrait
%        considérer toute la masse de la planète rassemblée en~C, et le champ gravitationnel 
%        $\vec{g}$ en~$M$ serait porté par la droite $(CM)$.
%
        \item Réponse \choix[b]. La force exercée par la masse $4M$ vaut:\\
        $G\times 4M/(2d)^2=GM/d^2=F$. Chacune
          des deux masses $M$ exerce donc une force de valeur $F$. Ces deux forces sont colinéaires et de même
          sens, leur somme a donc pour valeur $2F$.

%          \item Réponse \choix[c]:  512 ans. Il suffit d'appliquer la troisième loi de Képler. 

          \item Réponse \choix[b]:  plus lentement. Les particules constituant l'anneau obéissent aux loi de Képler, et leur période
            orbitale croît avec le rayon de leur orbite, donc les anneaux tournent plus lentement sur leur bord
            externe. On dit qu'ils sont en rotation différentielle.
            
            \item Réponse \choix[a]: vrai.

            \item La situation (b) est impossible. La masse $m$ est située plus près de la masse
             de gauche, qui exerce donc en norme une force plus grande que la masse de droite. La somme
              vectorielle des forces doit donc être dirigée vers la gauche.

%            \item Réponse \choix[a]: vrai. Si $T^2$ croît, alors $R^3$ et donc $R$ aussi.
              
            \item Réponse \choix[b]. Un satellite géostationnaire a une période de révolution d'environ~24~h, et n'est
              pas en orbite basse.
              
            \item Réponse \choix[b]: décroissante, puisque $v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$.
              
            \item Réponse \choix[b]: faux. La période de révolution d'un satellite ne
              dépend pas de sa masse, mais seulement de celle du corps
              central (ici la Terre), et de son altitude.
            \end{questions}

\end{corrige}
%%%
%%%
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\begin{exo}{Système solaire}{Lycée Blaise Pascal, Saint-Dizier}{2}{15}
%%%%
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{système solaire}{https://media.prepamath.fr/ILTPCch12exo02}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.4){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTPCch12exo02}}}
\vspace*{-20pt}
  
  \Par
    Les planètes du système solaire, que l'on considère comme ponctuelles,
    décrivent autour du Soleil des orbites que l'on assimilera à des cercles, de
    rayon $r$, centrées sur le Soleil. La période de révolution~$T$ d'une planète
    est le temps que met cette planète pour effectuer un tour
    autour du Soleil.
    \begin{questions}
  \item Énoncer la troisième loi de Képler et écrire la relation qui lie $T$ et $r$.
    
  \item On appelle unité astronomique, et on note U.A., la distance Terre-Soleil.
    Compléter le tableau page suivante.
    
\hspace*{-2em}
      \begin{tabular}{|m{1.7cm}|m{1.1cm}|m{0.9cm}|m{0.9cm}|m{0.9cm}|m{1.0cm}|m{1.1cm}|}
        \hline
        \tabulartitle planète & Mercure  & Vénus& Terre & Mars & Jupiter &Saturne\\ \hline
        $r$ (U.A.) & $0{,}39$ &   & $1$ & $1{,}52$ & $5{,}2$  &   \\ \hline
        $T$ (années)&     & $0{,}62$ &     &     &     & $29{,}5$  \\ \hline
      \end{tabular}
    \Par
  \item On appelle \index{Periode@Période}période de révolution {\em synodique} le temps que met une
    planète entre deux alignements successifs avec la Terre, sur une même
    demi-droite issue du Soleil. Calculer, en jours, la période de révolution synodique
    de Vénus.
  \end{questions}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTPCch12exo02}}}
\vspace*{-10pt}
\begin{questions}
\item La troisième loi de Képler dit que : \og le cube des rayons
des orbites des planètes est proportionnel au carré de leurs périodes
de révolution\fg.

Ainsi, on peut écrire :
\[r^3=KT^2\]
où $K$ est la constante de proportionnalité, et dépend bien évidemment du système
d'unités utilisé.

\item Dans cette question, on utilise un système d'unités particulier. Dans ce système
d'unités, la période de révolution de la Terre vaut~$T=1$, puisque l'unité de durée
est l'année, et le rayon de l'orbite terrestre vaut $r=1$~U.A., comme indiqué dans le
tableau, par définition de l'unité astronomique. Ainsi, la constante $K$ de la question
précédente, dans ce système d'unités, vaut :
\[K=\frac{r^3}{T^2}=\frac{1^3}{1^2}=1.\]
L'expression de la \index{Loi de Képler (troisième)}troisième loi de
Képler prend donc une forme particulièrement simple :
\[r^3=T^2.\]
On utilise cette propriété pour remplir le tableau. Par exemple,
pour conna\^\i tre la durée de révolution de Mercure, on écrit :\\
$T=\sqrt{0{,}39^3}=0{,}24$~années. Réciproquement, pour conna\^\i tre le rayon de
l'orbite de Vénus, on écrit : 
\[ r=(0{,}62^2)^{1/3}=0{,}73\text{U.A.}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{|m{1.7cm}|m{1.0cm}|m{0.8cm}|m{0.8cm}|m{0.8cm}|m{0.9cm}|m{1.0cm}|}
\hline
\tabulartitle planète & Mercure  & Vénus& Terre & Mars & Jupiter &Saturne\\ \hline
$r$ (U.A.) & $0{,}39$ & $0{,}73$  & $1$ & $1{,}52$ & $5{,}2$  &  $9{,}55$ \\ \hline
$T$ (années)&$0{,}24$ & $0{,}62$ &  $1$   & $1{,}87$    & $11{,}9$    & $29{,}5$  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Pour répondre à cette question, on se place dans le référentiel centré sur le
Soleil et tournant avec la Terre. Dans ce référentiel, la vitesse angulaire de
Vénus est :
\[\omega_{V\acute{e}nus}=\frac{2\pi}{T_{V\acute{e}nus}}-\frac{2\pi}{T_{Terre}}=3{,}85\;
\rm{rad.an}^{-1}\]
et donc on déduit la période de Vénus dans ce référentiel, qui est :
\[T^{syn}_{V\acute{e}nus}=\frac{2\pi}{\omega_{V\acute{e}nus}}=1{,}63\mbox{~ans~}=596\mbox{~jours.}\]

\end{questions}
\end{corrige}
%%%  CHAMPS DE PESANTEURS PLUS AU PGM (POUR L'INSTANT).
%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%
%%%
%\begin{exo}{Champs de pesanteur}{Lycée Louis-Le-Grand, Paris}{1}{15}
%%%%%
%%%%%
%\begin{questions}
%        \item On suppose que la Terre est une sphère de
%        rayon~$R_T=6400$~km. Sa masse est $M_T=5{,}98\cdot 10^{24}$~kg.
%        \begin{questions}
%                \item Quelle est la masse volumique de la Terre ?
%                
%                \item Quelle est l'intensité du champ de pesanteur à sa surface ?
%        \end{questions}
%        
%        \item Les étoiles de forte masse, arrivées au terme de leur existence,
%        éjectent leurs couches externes lors d'un phénomène extrêmement
%        violent appelé supernova. Il reste au centre un résidu sphérique
%        ultradense, appelé {\it étoile à neutrons}. On considère une telle
%        étoile de rayon~3~km et de masse~$M=5{,}2\cdot 10^{30}$~kg.
%        \begin{questions}
%                \item Quelle est la masse volumique d'une telle étoile ? 
%                
%                \item Quelle est l'intensité du champ de pesanteur à sa surface ?
%        \end{questions}
%\end{questions}
%
%\textit{Donnée :}
%
%$G=6{,}67\cdot 10^{-11}$ unités~S.I.
%%
%%
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%        \item
%        \begin{questions}
%                \item La masse volumique de la Terre est
%                égale à sa masse divisée par son volume, soit :
%                \[\rho = \frac{M_T}{\frac{4}{3}\pi R_T^3}=\frac{5{,}98\cdot 10^{24}}{\frac{4}{3}
%                \pi (6400\cdot 10^3)^3}=5450\mbox{~kg.m}^{-3}\simeq 5{,}5\mbox{~g.cm}^{-3}\]
%                
%                \item L'intensité du champ de pesanteur à sa surface est donnée par :
%                \[g = \frac{GM_T}{R_T^2}=\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\times 5{,}98\cdot 10^{24}}
%                {(6400\cdot 10^3)^2}=9{,}74\;\rm{m.s}^{-2}\]
%        \end{questions}
%        
%        %\phantom{}
%        \item
%        \begin{questions}
%                \item On effectue un calcul analogue à celui de~1. :
%                \[\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{5{,}2\cdot 10^{30}}{\frac{4}{3}
%                \pi (3\cdot 10^3)^3}=4{,}60\cdot10^{19}\mbox{~kg.m}^{-3}\]
%                
%                \item De la même manière qu'au~1., on écrit :
%                \[g = \frac{GM}{R^2}=\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\times 5{,}2\cdot 10^{30}}
%                {(3\cdot 10^3)^2}=3{,}85\cdot 10^{13}\;\rm{m.s}^{-2}\]
%                En fait, les deux valeurs que nous venons d'obtenir pour la masse volumique et
%                l'intensité de la pesanteur sont tellement importantes que la loi de Newton
%                n'est plus exactement valable à la surface d'une étoile à neutrons, et pour faire
%                des calculs exacts, il faut utiliser la théorie de la Relativité Générale établie
%                par Einstein au début du XX$^{\grave{e}me}$ siècle, et qui sort totalement du cadre
%                du programme.
%        \end{questions}
%\end{questions}
%
%\end{corrige}
%%%
%%%
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%%%
%%%
\begin{exo}{Satellites géostationnaires}{Lycée du Parc, Lyon}{2}{15}
  On s'intéresse à l'altitude à laquelle doit orbiter un
  \index{Satellite géostationnaire}satellite géostationnaire.
\begin{questions}
\item Rappeler la définition d'un satellite géostationnaire
\item Écrire la seconde loi de Newton pour un corps en orbite circulaire
autour de la Terre, à une altitude $z$. On fera intervenir la constante
de la gravitation universelle $G$, la masse $M$ de la Terre, le rayon $R$
de la Terre, et la vitesse $v$ du corps.
\item Transformer cette équation en éliminant $G$ et $M$ et en faisant
apparaître l'intensité de la pesanteur $g$ à la surface terrestre. On fera
apparaître une relation entre $g$, $R$, $z$ et $v$.
\item En déduire l'altitude à laquelle doit orbiter un satellite géostationnaire.
\end{questions}

\textit{Données:}\\
$g=9{,}8$~m.s$^{-2}$ et $R=6378$~km.\\
%L'intensité
%de la pesanteur à la surface terrestre peut se calculer à partir du
%rayon et de la masse de la Terre, grâce à la relation:
%\[g=\frac{GM}{R^2}.\]
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
  \item Un satellite géostationnaire est un satellite qui effectue exactement
une orbite lorsque la Terre effectue un tour sur elle-même. Il se trouve donc
toujours à la verticale du même méridien.
\item On applique la deuxième loi de Newton au satellite, dans le référentiel
galiléen géocentrique. Son accélération, d'après les formules de Frénet,
 s'écrit :
\[\vec a=\frac{v^2}{R+z}\vec n\]
où $\vec n$ est le vecteur normal à son orbite et dirigé vers le centre
de la Terre.
La seule force à laquelle est soumise le satellite est la force d'attraction
gravitationnelle de la Terre, qui s'écrit :
\[\vec F=\frac{GMm}{(R+z)^2}\vec n\]
où $m$ est la masse du satellite. Puisque le référentiel géocentrique
est galiléen, on peut écrire, grâce à la deuxième loi de Newton :
\[\frac{GMm}{(R+z)^2}=m\frac{v^2}{R+z}.\]
On peut éliminer $m$, ce qui donne :
\[\frac{GM}{(R+z)^2}=\frac{v^2}{R+z}\]
soit encore :
\[\frac{GM}{R+z}=v^2.\]
\item L'intensité de la pesanteur à la surface terrestre s'obtient
en écrivant d'une part pour tout masse $m$ à la surface de la Terre :
\[P=mg\]
et d'autre part :
\[P=\frac{GMm}{R^2}\]
donc :
\[g=\frac{GM}{R^2}.\]
On en déduit la relation pour le satellite :
\[g\frac{R^2}{R+z}=v^2.\]
\item On exprime la période ~$T$ du satellite en fonction du rayon de son orbite
et de sa vitesse orbitale :
\[T=\frac{2\pi (R+z)}{v}\]
donc
\[g\frac{R^2}{R+z}=\frac{4\pi^2 (R+z)^2}{T^2}\]
ou encore :
\enlargethispage*{3em}
\[z=\sqrt[3]{\frac{gR^2T^2}{4\pi^2}}-R.\]
L'application numérique donne :
\[z=\sqrt[3]{\frac{9{,}8\times (6{,}378\cdot 10^6)^2\times 86400^2}{4\pi^2}}
-6{,}378\cdot 10^6\simeq 36\cdot 10^6\mbox{~m}.\]
L'altitude à laquelle doit orbiter un satellite géostationnaire est donc
de $36000$~km. Notons que la période adoptée ici pour la rotation de la Terre
est $T=86400$~s, soit exactement $24$~h. La période réelle de rotation
sidérale (par rapport aux étoiles, et non par rapport au Soleil), qui est
celle à considérer lorsqu'on se place dans le référentiel géocentrique,
est légèrement plus faible (d'environ $4$~minutes). Ce niveau de précision
est toutefois inutile, puisque $g$ n'est donnée qu'avec deux chiffres
significatifs.
  \end{questions}
\end{corrige}
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\begin{exo}{Lois de Képler}{Lycée Marcellin Berthelot, Toulouse}{2}{35}
%%%%
\enlargethispage*{\baselineskip}
On considère une planète~P en orbite circulaire autour du Soleil~S,
centré en~O, supposé fixe. On note $m_p$ la masse de la planète, $m_s$
la masse du Soleil, et $R$ le rayon de l'orbite.
\begin{questions}
        \item Donner l'expression de la vitesse $v$ de~P en fonction de $R$, $m_s$
        et de $G$, constante de la gravitation.
        
      \item En déduire la période de révolution de la planète autour
        du Soleil.
        
        \item La loi de Képler affirme que $\frac{R^3}{T^2}=\rm{constante}$. Donner l'expression
        de cette constante en fonction de $G$ et $m_s$.
        
        \item La planète naine Pluton, découverte en 1910, se trouve à une distance de 40~U.A.
        du Soleil (où U.A., unité astronomique, est la distance Terre-Soleil). 
        \begin{questions}
                \item Réécrire la loi de Képler de la question précédente dans le système d'unités
                \{années terrestres~;~unités astronomiques\}. Montrer qu'elle prend alors une
                forme particulièrement simple.
                
                \item La planète naine Pluton a-t-elle décrit entièrement son orbite depuis sa découverte ?
                Sinon, quelle fraction, exprimée en pourcentage, avait-elle parcouru en 2024 depuis sa découverte ?
        \end{questions}
        
        \item L'un des principaux satellites de Jupiter, Callisto, la quatrième des \og lunes\fg
        joviennes découvertes en~1610 par Galilée, décrit autour de Jupiter une orbite
        circulaire en~$16{,}89$~jours, à une distance de $1{,}883\cdot 10^6$~km du centre
        de la planète. Quelle est la masse de Jupiter ?
\end{questions}
\textit{Donnée :}~~~~$G=6{,}67\cdot 10^{-11}$~unités S.I.\\
%
%
\end{exo}
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%%%
\begin{corrige}
\begin{questions}
        \item La deuxième loi de Newton dans le référentiel
        héliocentrique s'écrit, pour la planète :
        \[\vec{F}=m_p\vec{a}\]
        où~$\vec{F}$ est la force gravitationnelle exercée par le
        Soleil sur la planète et où $\vec{a}$ est l'accélération de la
        planète. Cette planète étant en orbite circulaire (donc
        uniforme, puisque la force gravitationnelle ne travaille pas),
        l'accélération peut s'écrire :
        \[\vec{a}=\frac{v^2}{R}\vec{N}\]
        où $\vec{N}$ est le vecteur unitaire normal à la trajectoire
        de la planète, et dirigé vers le
        Soleil. Or~$\vec{F}=\frac{Gm_sm_p}{R^2}\vec{N}$, donc :
        \[\frac{Gm_pm_s}{R^2}=m_p\frac{v^2}{R}\mbox{~~~~~soit :~~~~~}v=\sqrt{\frac{Gm_s}{R}}.\]
        
        \item La période vaut $T=\frac{2\pi R}{v}$, donc :
        \[T=2\pi\sqrt{\frac{R^3}{Gm_s}}.\]
        
        \item De cette relation, on déduit que la constante de la troisième loi de Képler est:
        \[\frac{R^3}{T^2}=\frac{Gm_s}{4\pi^2}.\]
        Le membre de droite ne dépend pas des paramètres de la planète, et est
        donc une constante pour toutes les planètes du système solaire.
        
        \item
        \begin{questions}
                \item  La loi de Képler vue à la question précédente peut s'exprimer
                en disant : \og les cubes des rayons des orbites
                des planètes sont proportionnels aux carrés de leurs
                périodes\fg. Cherchons la valeur de la constante de proportionnalité dans le cas
                où les distances sont données en unités astronomiques (U.A., qui est égale à la
                distance Soleil-Terre), et où les périodes sont données en années. Dans le cas de
                la Terre, avec ces unités et par définition, $R=1$ et $T=1$, donc $\frac{R^3}{T^2}=1$.
                La constante de proportionnalité vaut~1 dans ce système d'unité, et alors la loi de
                Képler peut s'écrire : $R^3=T^2$.
                
                \item Ainsi, on peut déduire que la période de la planète naine Pluton est :
                \[T=\sqrt{40^3}\simeq 250\mbox{~ans}.\]
                Il s'est écoulé seulement 114 ans depuis sa découverte, donc Pluton a depuis lors
                décrit environ $\frac{114}{250}=45$~\%
                de son orbite.
        \end{questions}
        
        \item On utilise la relation vue précédemment :
        \[\frac{R^3}{T^2}=\frac{GM}{4\pi^2}\]
        où $M$ était la masse du corps central, qui valait $m_s$ dans le cas particulier où
        celui-ci était le Soleil, et qui est maintenant, dans le cadre de l'étude d'un
        satellite jovien, la masse de Jupiter. On peut écrire :
        \begin{align*}
          M & =\frac{4\pi^2R^3}{GT^2}\\
          & =\frac{4\pi^2\times (1{,}883\cdot
            10^9)^3}{6{,}67\cdot 10^{-11} \times (16{,}89\times
            24\times 60\times 60)^2}\\
          & =1{,}86\cdot 10^{27}\;\rm{kg}.
        \end{align*}
        Cette masse représente environ un millième de la masse du
        Soleil, ou trois cent fois la masse de la Terre.
\end{questions}
\end{corrige}
%%%
%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%
%%%
%\begin{exo}{Masse de la Terre}{Lycée Thiers, Marseille}{3}{25}
%On utilise dans cet exercice les caractéristiques orbitales de
%quelques satellites artificiels de la Terre afin de donner une
%estimation de la masse de celle-ci. On admettra que les satellites
%étudiés sont en orbite circulaire, et qu'ils sont exclusivement
%soumis à la force gravitationnelle exercée par la Terre.
%\begin{questions}
%        \item Montrer que le mouvement d'un satellite en orbite circulaire
%        est uniforme.
%        
%        \item On appelle~$H$ l'altitude du satellite, $R$ la valeur du
%        rayon terrestre, $G$ la constante de la gravitation, $T$ la
%        période du satellite  et $M$ la
%        masse de la Terre. Montrer que $(R+H)^3$ est proportionnelle à
%        $T^2$, et écrire la valeur de la constante de proportionnalité
%        en fonction de $M$ et~$G$.
%        \enlargethispage*{4em}
%        \item Le tableau ci-après donne les altitudes et périodes de
%        quelques satellites artificiels de la~Terre.
%
%        \begin{center}
%        \begin{tabular}{|m{2.0cm}|m{2.0cm}|m{2.0cm}|m{2.0cm}|}
%        \hline
%\tabulartitle        Satellite & Météosat     & Station Mir & Cosmos-1970\\ \hline
%         $T$      & 23 h 56 min  & 1 h 35 min  & 11 h 14 min\\ \hline
%         $H$      & 35800 km     & 500 km      & 19100 km   \\ \hline
%        \end{tabular}
%        \end{center}
%        
%        Le premier satellite a des caractéristiques bien particulières.
%        \begin{questions}
%                \item Quelles sont elles ? 
%                
%                \item Comment appelle-t-on ce genre de satellite ?
%                
%                \item À quoi correspond la période de 23 h 56 min ?
%                
%                \item Pourquoi cette période n'est-elle pas égale à 24~h ?
%        \end{questions}
%        
%        \item Vérifier à partir du tableau que le rapport $\frac{(R+H)^3}{T^2}$
%        est constant.
%        
%        \item En déduire une valeur de la masse de la Terre.
%\end{questions}
%\textit{Données :}
%
%Constante de la gravitation~$G=6{,}67\cdot 10^{-11}$~S.I.\\
%Rayon de la~Terre~$R_T=6400$~km.
%%
%%
%\end{exo}
%%%%
%%%%
%%%%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%        \item On considère un satellite en orbite circulaire autour de
%        la Terre. 
%        \begin{center}
%\includegraphics{269_orbcirc01}
%\end{center}
%On voit que la force d'attraction gravitationnelle $\vec{F}$
%        est en tous points de la trajectoire orthogonale au vecteur
%        vitesse $\vec{V}$ du satellite.
%        
%        \Par
%        
%         L'unique force extérieure exercée sur le satellite est la
%        force gravitationnelle $\vec{F}$, qui ne travaille pas puisque
%        $\vec{F}.\vec{V}=0$, donc l'énergie cinétique du satellite
%        reste constante, en vertu du théorème de l'énergie cinétique.
%        Cela signifie que la norme du vecteur vitesse du satellite
%        reste constante au cours du mouvement, et donc que ce
%        mouvement est uniforme.
%        
%
%
%
%       
%        
%        \item On adopte les notations de la figure ci-dessous.
%        %
%
%\begin{center}
%\includegraphics{270_orbcirc02}
%\end{center}
%
%        Le repère de Frénet du satellite est $(\vec{T},\vec{N})$.  On
%        écrit la deuxième loi de Newton pour le satellite dans le
%        référentiel géocentrique~:
%        $\vec{F}=m\vec{a}$,
%\par
%        où $m$ est la masse du satellite, et $\vec{a}$ son
%        accélération. Or la Terre ayant une distribution de masse à
%        symétrie sphérique, on peut raisonner comme si toute sa masse
%        était concentrée en son centre, et écrire :
%        \[\vec{F}=\frac{GMm}{(R+H)^2}\vec{N}.
%        \]
%         En outre, puisque le
%        mouvement orbital est circulaire uniforme, on peut écrire :
%        \[\vec{a}=\frac{V^2}{R+H}\vec{N}.\]
%         On en déduit l'égalité
%        suivante :
%        \[\frac{GMm}{(R+H)^2}=m\frac{V^2}{R+H}\mbox{~~~~~soit
%        :~~~~~}\frac{GM}{R+H}=V^2.\]
%        Or la période $T$ du satellite est
%        égale au temps qu'il met à décrire le périmètre $2\pi(R+H)$ de
%        son orbite à la vitesse $V$, donc : \[T=\frac{2\pi(R+H)}{V}\]
%        donc, d'après la relation précédente :
%        \[\frac{GM}{R+H}=\frac{4\pi^2(R+H)^2}{T^2}\mbox{~~~~~soit
%        :~~~~~}(R+H)^3=\frac{GM}{4\pi^2}T^2\] donc la constante de
%        proportionnalité recherchée est $\frac{GM}{4\pi^2}$.
%        
%        \item
%        \begin{questions}
%                \item Le premier satellite a une période de révolution égale à la période
%                de rotation de la Terre. Il reste donc en permanence à la verticale du même méridien
%                terrestre. 
%                
%                \item Il est appelé pour cette raison satellite {\em géostationnaire}.
%                
%                \item La période de 23~h~56~min est la durée de rotation de la Terre, par rapport aux
%                étoiles, autrement dit dans le référentiel géocentrique, galiléen.
%                
%                \item Cette période n'est pas rigoureusement égale à 24~h car la durée de 24~h est le
%                temps que met la Terre pour faire un tour sur elle-même {\em par rapport au Soleil},
%                et non par rapport aux étoiles. Or pendant qu'elle décrit un tour sur elle-même, la
%                Terre parcourt une petite fraction ($\frac{1}{365}^e$) de son orbite autour du Soleil,
%                qui se traduit par un déplacement apparent du Soleil par rapport aux étoiles. Pour
%                rattraper cette angle supplémentaire, la Terre doit tourner pendant environ quatre
%                minutes supplémentaires pour se \og recaler\fg sur le Soleil.
%        \end{questions}
%                
%                \item On reproduit le tableau de l'énoncé en rajoutant une ligne pour $\frac{(R+H)^3}{T^2}$,
%                calculé après conversion des variables dans les unités du Système International.
%
%                \begin{center}
%                \begin{tabular}{|m{2.0cm}|m{2.0cm}|m{2.0cm}|m{2.0cm}|}
%                \hline
%\tabulartitle                Satellite & Météosat     & Station Mir & Cosmos-1970\\ \hline
%                 $T$      & 23 h 56 min  & 1 h 35 min  & 11 h 14 min\\ \hline
%                 $H$      & 35800 km     & 500 km      & 19100 km   \\ \hline
%                $K=\frac{(R+H)^3}{T^2}$ & $1{,}012\cdot 10^{13}$& $1{,}011\cdot 10^{13}$& $1{,}014\cdot 10^{13}$\\ 
%                \hline
%                \end{tabular}
%                \end{center}
%
%                On remarque que ce rapport est constant avec une très bonne approximation (jusqu'au troisième
%                chiffre significatif), donc on vérifie sur ces valeurs la troisième loi de Képler.
%        
%        \item  En transformant l'égalité établie au début de cet exercice, on obtient :
%        \[K=\frac{(R+H)^3}{T^2}=\frac{GM}{4\pi^2}\mbox{~~~~~donc :~~~~~}M=\frac{4\pi^2K}{G}.\]
%        On prend pour $K$ la valeur moyenne des trois valeurs obtenues ci-dessus, soit : 
%        $K=1{,}0125\cdot 10^{13}$. On en déduit pour valeur de la masse de la Terre :
%\[M=
%        \frac{4\pi^2\times 1{,}0125\cdot 10^{13}}{6{,}67\cdot 10^{-11}}=5{,}99\cdot 10^{24}
%        \;\rm{kg}.\]
%\end{questions}
%\end{corrige}
%%%
%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%
\begin{exo}{Vitesse de libération}{Lycée René Cassin, Arpajon}{3}{15}
  %%%% 
  %%%%
Dans le film \og  Deep Impact \fg , on voit des astronautes
se déplacer à la surface d'un noyau de comète. On supposera pour
simplifier que ce noyau est sphérique et homogène, 
de diamètre~10~km,
et de masse volumique~$\rho=3$~g.cm$^{-3}$. 
Si les bottes des astronautes ne sont pas munies de dispositifs
permettant d'agripper le sol, jusqu'à quelle vitesse peuvent-ils
se déplacer à la surface sans décoller ?

\textit{Données :}

Constante de la gravitation~$G=6{,}67\cdot 10^{-11}$~S.I.\\
Le volume d'un sphère de rayon~$R$ est : $V=\frac{4}{3}\pi R^3$.
On admettra que la vitesse limite demandée est celle d'un
hypothétique \og satellite\fg{} en orbite rasante à la surface de
l'astéroïde.
%
%
\end{exo}

\begin{corrige}

Si un astronaute se déplace plus vite que le satellite hypothétique
mentionné dans l'énoncé, alors il tend à s'éloigner de la surface de
l'astéroïde: la 
force gravitationnelle qu'il subit n'est plus suffisante pour le
retenir. 

Vice-versa, s'il est plus lent, il tend à se rapprocher du
centre de l'astéroïde donc maintient le contact avec sa
surface. Enfin, s'il a exactement la vitesse du satellite
hypothétique, il \og flotte\fg au-dessus de la surface sans s'en
approcher ou s'en éloigner.

Déterminons donc la vitesse $v$ d'un satellite en orbite basse autour
d'une sphère homogène de rayon $R$ et de masse volumique $\rho$. On
raisonne comme dans les exercices précédents : on écrit la deuxième
loi de Newton pour le satellite dans le repère \og sphérocentrique\fg,
considéré comme galiléen~:
\[\vec{F}=m\vec{a}\]
où $\vec{F}$ est la force gravitationnelle que
subit le satellite, $\vec{a}$ est son accélération, et $m$ sa masse.
En désignant par $\vec{N}$ le vecteur unitaire dirigé vers le centre
de l'astéroïde, on peut écrire :
\[F\vec{N}=m\frac{v^2}{R}\vec{N}\]
ou encore :
\[F=m\frac{v^2}{R}\mbox{~~~~soit encore :~~~~}\frac{GMm}{R^2}=m\frac{v^2}{R},\]
où $M=\frac{4}{3}\pi R^3\rho$ est la masse de l'astéroïde, et où on
raisonne comme si elle était concentrée en son centre, puisque la
répartition de masse est à symétrie sphérique. Cette dernière égalité
devient donc :
\[v^2=\frac{4}{3}\pi GR^2\rho\] 
soit :
\[v=\sqrt{\frac{4}{3}\pi GR^2\rho}.\]
L'application numérique avec $\rho=3\cdot 10^3$~kg.m$^{-3}$~et $R=5\cdot 10^3$~m donne :
$v=4{,}5$~m.s$^{-1}$~$=2.10^1$~km.h$^{-1}$. Tant que les astronautes ne courent pas plus
vite que cette vitesse limite, ils restent à la surface de l'astéroïde.
%%%%
%%%%
\end{corrige}
%%
%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%
%%
\begin{exo}{Planète extra-solaire}{Lycée Sainte-Geneviève, Versailles}{3}{70}
On considère une planète extra-solaire (ou exoplanète) de masse $m$ en orbite
circulaire uniforme autour d'une étoile de masse $M$. L'observateur se
trouve dans le plan de l'orbite. On appelle $P$ le centre de masse de la
planète, $E$ celui  de l'étoile, $G$ leur centre de gravité commun,
défini par:
\begin{equation}
  \label{eq:centremasse}
  M\gvec{GE}+m\gvec{GP}=\vec{0}\tag{1}
\end{equation}
On
appelle $a$ la distance $EP$. On suppose l'observateur immobile dans
le référentiel galiléen lié à $G$.


\subsubsectionnn{Première partie}
\begin{questions}
\item Dériver l'équation~(\ref{eq:centremasse}) par rapport au temps,
  et en déduire la relation qui existe entre $m$, $M$, $v_E$ (norme de
  la vitesse de l'étoile dans le référentiel lié à $G$) et $v_P$
  (norme de la vitesse de la planète dans ce même référentiel).
\item On note $r$ la distance $GP$. Exprimer $r$ en fonction de $a$,
  $M$ et $m$.
\item Exprimer l'accélération de la planète en fonction de $v_P$ et $r$.
\item Donner l'expression de la force gravitationnelle s'exerçant
  entre la planète et l'étoile, en fonction de $m$, $M$, $a$ et $G$,
  constante de la gravitation.
\item Exprimer la période orbitale de la planète en fonction de $v_p$
  et $r$.
\item Déduire des questions précédentes la relation:
\[T^2=\frac{4\pi^2a^3}{G(M+m)}.\]
\end{questions}

\subsubsectionnn{Seconde partie}

\textit{(les notions abordées ici sont développées au chap. 16)}

\Par

La planète est elle-même indétectable. L'observateur n'a accès qu'au
spectre de l'étoile. Celle-ci se déplaçant par rapport à lui, il
observe un décalage des raies de son spectre, qui varie en fonction du
temps.
\begin{questions}
\item Quel est le nom de l'effet physique responsable de cette
  variation du spectre~?
\item On observe le spectre de l'étoile en quatre instants $t_1$ à $t_4$ différents,
  qui correspondent chacun à l'une des positions de la planète A, B, C
  ou~D. Identifier la position correcte de la planète pour chacun des
  spectres, sachant que les dates $t_1$ à $t_4$ sont croissantes, et
  couvrent une fraction de période de la planète.
  \begin{center}
    \includegraphics{239_extrasol1}
  \end{center}
\item Quelle est la relation entre $v_E$, $c$, $\lambda_0$ et
  $\Delta\lambda$~?
\item Exprimer $v_E$ en fonction de $G$, $m$, $M$ et $a$.
\item Des quantités suivantes, indiquer lesquelles sont des
  observables (quantités que l'on peut déduire de l'observation) et
  lesquelles sont des inconnues: $M$, $T$, $m$, $a$, $v_E$. Combien
  a-t-on d'observables~? Combien a-t-on d'inconnues~? Peut-on
  déterminer les inconnues de manière unique à partir des observables~?
\item On détermine par une méthode indépendante la masse $M$ de
  l'étoile. En faisant l'hypothèse que la masse de la planète est
  négligeable devant celle de l'étoile ($m \ll M$), démontrer les
  relations suivantes:
  \begin{center}
$m=M^{2/3}\left(\frac{T}{2\pi G}\right)^{1/3}v_E~~~~~~$et$~~~~~~a=\left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}$.
\end{center}

%\item \begin{plusloin}
%On observe le décalage spectral
%  au cours du temps d'une raie du spectre d'une étoile de masse égale
%  à celle du Soleil. En moyenne, la longueur d'onde de la raie est
%  $\lambda_0=5890$~\AA. On obtient la courbe suivante:
%  \Par
%  \begin{center}
%    \includegraphics{264_extrasol2}
%  \end{center}
%  \Par
%Justifier l'allure de la courbe, déterminer la masse de la
%planète, que l'on exprimera en masses de Jupiter, et la distance de
%l'étoile à la planète, que l'on exprimera en unités astronomiques (il
%s'agit de la distance Terre-Soleil, de symbole UA).
%\end{plusloin}
\end{questions}
{\em Données:}\\
Masse du Soleil: $M_\odot=1{,}9891\cdot 10^{30}$~kg\\
Masse de Jupiter: $M_J=1{,}8986\cdot 10^{27}$~kg\\
Célérité de la lumière: $c=299\, 792\,458\mbox{~m.s}^{-1}$\\
Constante de la gravitation: $G=6{,}67\cdot 10^{-11}$~S.I.\\
Distance Terre-Soleil: $1\mbox{~UA} = 1{,}4959787\cdot 10^{11}$~m.
\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{corrige}
  \subsectionnn{Première partie}
  \begin{questions}
%  \item $G$ étant le centre de gravité de $E$ et $P$ (donc le
%    barycentre de ces points pondérés par la masse du corps auquel ils
%    correspondent), nous avons:
%\[m\gvec{GP}+M\gvec{GE}=\vec 0.\]
\item En dérivant par rapport au temps cette relation, on obtient:
\[m\frac{\dd\gvec{GP}}{\dd t}+M\frac{\dd\gvec{GE}}{\dd t}=\vec 0\]
Or:
\[\frac{\dd\gvec{GP}}{\dd t}=\gvec{v_P}\mbox{~~~~~et~~~~~}\frac{\dd\gvec{GE}}{\dd t}=\gvec{v_E},\]
donc en définitive on obtient:
\[m\gvec{v_P}=-M\gvec{v_E},\]
soit, en prenant la norme de chacun des membres de cette égalité:
\[mv_P=Mv_E.\]

\item 
On ajoute $M\gvec{PG}$ à chaque membre de l'équation~(\ref{eq:centremasse}), de manière à faire apparaître le vecteur
$\gvec{PE}$:
\[M\gvec{GE}+M\gvec{PG}+m\gvec{GP}=M\gvec{PG},\]
soit
\[M\gvec{PE}=(M+m)\gvec{PG}.\]
En prenant la norme de chaque membre de l'égalité, on obtient
finalement:
\[r = \frac{M}{M+m}a.\]
\item Le mouvement de la planète étant circulaire et uniforme autour
  de $G$,
  l'accélération de celle-ci est exclusivement normale à l'orbite et
  dirigée vers le centre. Sa norme vaut:
\[a_P=\frac{v_P^2}{r}.\]
\item La force gravitationnelle s'exerçant entre la planète et
  l'étoile a pour norme:
\[F=\frac{GMm}{a^2},\]
puisque la planète et l'étoile sont séparées par la distance $a$.
\item La période orbitale de la planète est le temps qu'il lui faut
  pour parcourir le périmètre de son orbite, de longueur $2\pi r$, à
  la vitesse $v_p$:
\[T = \frac{2\pi r}{v_P}.\]
\item La deuxième loi de Newton, écrite ici en norme, nous donne:
\[F=ma_P,\]
donc:
\[\frac{GMm}{a^2}=m \frac{v_P^2}{r}=m\frac{4\pi^2r}{T^2}.\]
En substituant $r$ par son expression en fonction de $a$, $M$ et $m$,
et en simplifiant par $m$,
on obtient:
\[\frac{GM}{a^2}=\frac{4\pi^2aM}{(M+m)T^2},\]
qui peut encore s'écrire:
\[T^2=\frac{4\pi^2a^3}{G(M+m)}.\]
Il s'agit de la troisième loi de Képler.
\end{questions}

\begin{Remarque}
  la particularité de cet exercice est de ne pas supposer en première
  instance, comme on le fait généralement, que la masse de la planète
  est négligeable par rapport à celle de l'étoile centrale. La
  troisième loi de Képler obtenue est donc légèrement différente: au
  dénominateur on a la somme des masses des deux corps, au lieu
  d'avoir la masse de l'étoile seule.
\end{Remarque}

\subsectionnn{Seconde partie}

\begin{questions}
\item C'est l'effet Doppler qui est responsable du décalage des raies
  du spectre.
\item À l'instant $t_2$, les raies sont décalés vers les courtes
  longueurs d'onde (le \og bleu\fg). Cela signifie que l'étoile
  s'approche de l'observateur, et donc, par symétrie, que la planète
s'éloigne. L'instant $t_2$ correspond donc au passage de la planète
par le point~$C$. Réciproquement, l'instant $t_4$ correspond au passage
de la planète par le point~$A$. Par continuité, on en déduit donc que
l'instant $t_3$ correspond au passage au point~$D$ et l'instant $t_1$ le
passage au point~$B$. On voit qu'en définitive la longueur d'onde des
raies oscille de part et d'autre de leur longueur d'onde au repos,
avec une période égale à celle de la planète.
\item On utilise la relation vue en cours, qui nous donne:
\[\lambda=\lambda_0\left(1\pm\frac{v_E}{c}\right),\]
qui donne:
\[\Delta\lambda = \pm\lambda_0\frac{v_E}{c}.\]
Dans cette égalité, le signe $+$ se réfère au cas où l'étoile
s'éloigne de l'observateur (lorsque la planète passe en A). Le
décalage de longueur d'onde est alors positif. Vice-versa, le signe
$-$ se réfère au cas où l'étoile s'approche de l'observateur.
\item On procède ici comme dans la première partie, en écrivant la
  deuxième loi de Newton, cette fois pour l'étoile et non la
  planète. Si on appelle $R$ la distance $GE$, on montre alors de
  manière similaire à ce qui a été fait pour la planète que l'on a:
\[R = a\frac{m}{M+m}\]
et l'accélération de l'étoile vaut donc:
\[a_E=\frac{v_E^2}{R}.\]
La deuxième loi de Newton relative à l'étoile, qui s'écrit:
\[M\frac{v_E^2}{R}=\frac{GMm}{a^2}\]
conduit en définitive à:
\[v_E^2=\frac{Gm^2}{(M+m)a}.\]
\item La quantités $M$, $m$ et $a$ sont {\em a priori} inconnues. En
  revanche, $T$ et $v_E$ sont des observables: l'effet Doppler permet
  de déterminer $v_E$, et un suivi observationnel du système sur un
  intervalle de temps suffisamment long permet de déterminer la
  période d'oscillation des raies, qui est aussi $T$. On a un nombre
  d'inconnues supérieur au nombre d'observables. Il n'est pas possible
  de déterminer les inconnues de manière univoque.
\item Si l'on fait l'hypothèse $m\ll M$, on peut remplacer $M+m$ par
  $M$ dans l'expression de $T^2$ et $v_E^2$, ce qui donne
  respectivement:
\[T^2=\frac{4\pi^2a^3}{GM}\]
et
\[v_E^2=\frac{Gm^2}{aM}.\]
De la première égalité on déduit directement:
\[a^3=\frac{GMT^2}{4\pi^2}\mbox{~~~~soit:~~~~}a=\left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}.\]
En substituant cette expression de $a$ dans l'expression de $v_E^2$,
on obtient:
\[v_E^2=G^{2/3}M^{-4/3}(4\pi^2)^{1/3}T^{-2/3}m^2\]
qui conduit finalement à:
\[m=M^{2/3}\left(\frac{T}{2\pi G}\right)^{1/3}v_E.\]

%\item Le décalage Doppler, à un instant donné, dépend de la vitesse
%  radiale de l'étoile, qui est la projection de $\gvec{v_E}$ sur la
%  ligne de visée $(Gx)$, comme représenté sur la figure suivante:
%  \Par
%  \begin{center}
%    \includegraphics{275_exosol3}
%  \end{center}
%  
%  On voit donc que $v_r=-v_E\sin\varphi$. Puisque l'orbite est circulaire
%  et uniforme, $\varphi$ croît linéairement au cours du temps: $v_r$, et
%  par conséquent le décalage Doppler des raies, est une fonction
%  sinusoïdale du temps. Pour déterminer la masse de la planète, on
%  détermine tout d'abord la vitesse de l'étoile. On mesure une
%  amplitude des variations de longueur d'onde
%  $\Delta\lambda\simeq 0{,}8$~m\AA,
%et une période des variations de 95~jours, soit, dans les unités du
%Système International:
%\[T=95\times 24\times 60\times 60=8{,}2\cdot 10^6\mbox{~s}.\]
%On en déduit la vitesse de l'étoile par:
%\[v_E=c\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}=299\,792\,458\times\frac{8\cdot
%  10^{-4}}{5980}=40\mbox{~m.s}^{-1}.\]
%\begin{methode}
%  Compte-tenu de la précision de lecture du graphe, on garde au
%  maximum deux chiffres significatifs dans les résultats.
%\end{methode}
%Ceci nous donne finalement:
%\[m=(2{,}0\cdot 10^{30})^{2/3}\left(\frac{8{,2}\cdot
%    10^6}{6{,}28\times 6{,}67\cdot 10^{-11}}\right)^{1/3}\times
%40\simeq 1{,}7\cdot 10^{27}\mbox{~kg}\]
%soit 
%\[m = \frac{1{,}7\cdot 10^{27}}{1{,}9\cdot 10^{27}}=0{,}9\;M_J\]
%et
%\begin{eqnarray*}
%  a&=&\left(\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\times 2{,}00\cdot 10^{30}\times
%      (8{,}2\cdot 10^6)^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}\\
%  &=&6{,}1\cdot 10^{10}\mbox{~m}=0{,}41\mbox{~UA}.
%  \end{eqnarray*}
%
%%Les caractéristiques orbitales de cette planète sont proches de celles
%%de la planète CoRoT-9b (laquelle n'a toutefois pas une orbite
%%circulaire). 
%Il s'agit donc d'une planète de masse légèrement
%inférieure à celle de Jupiter, qui a un rayon orbital proche de celui
%de Mercure, la planète la plus proche du Soleil dans notre système solaire.
\end{questions}
\end{corrige}
 
\thumb\AfficheCorrige
