\chapter{Dynamique des fluides incompressibles}
\section{Introduction}
\begin{exointro}{Lycée Blaise Pascal, Saint-Dizier}
  Nous considérons le dispositif représenté sur la figure ci-dessous,
  appelé tube de Pitot. L'axe du corps principal du tube, de rayon
  $r$, est horizontal. Le tube a deux ouvertures. L'une, située en A,
  se trouve face à l'écoulement d'un fluide de masse volumique $\rho$
  et de vitesse $v$, considéré incompressible. L'autre, située en B,
  se trouve sur le côté du corps principal du tube de Pitot. Entre ces
  deux ouvertures se trouve un manomètre en forme de U, à l'intérieur duquel se
  trouve un liquide de masse volumique $\rho'$.  Lorsque l'écoulement
  autour du tube est en régime permanent, les surfaces du liquide du
  manomètre ont une hauteur constante.

  \begin{center}
    \includegraphics{249_tubepitot01}    
  \end{center}

  Nous faisons l'hypothèse que la \index{Masse volumique}masse
  volumique $\rho$ du fluide en mouvement est très inférieure à celle
  du manomètre, et que la \index{Pression}pression en amont du tube
  (c'est-à-dire à gauche sur la figure ci-dessus) est uniforme et de
  valeur $P_0$.
  \begin{questions}
  \item En utilisant la conservation du
    \index{Debit@Débit volumique}débit volumique, démontrer que la
    vitesse du fluide en A est nulle.
    \vspace*{-1.5em}
      \Break
    \item En écrivant la relation de \index{Relation de Bernoulli}Bernoulli sur la ligne de
      courant aboutissant en A, donner
      l'expression de la pression $P_\mathrm{A}$ au point~A en fonction de
      $P_0$, $\rho$ et $v$.
      
    \item En écrivant la relation de Bernoulli sur la ligne de courant
      aboutissant en B, indiquer la valeur de la pression $P_\mathrm{B}$ au
      point~B.
    \item Exprimer le dénivelé de pression $h$ du manomètre en
      fonction de \linebreak$P_\mathrm{A}-P_\mathrm{B}$, de l'intensité de la
      pesanteur $g$ et $\rho'$. On utilisera l'hypothèse que la masse
      volumique $\rho$ du fluide en mouvement est négligeable devant $\rho'$.
    \item Exprimer la vitesse $v$ du fluide en fonction de $h$,
      $\rho'$ et $g$.
  \end{questions}
\end{exointro}

Dans ce chapitre nous introduisons une nouvelle notion relative aux
fluides au repos, la poussée d'Archimède, puis nous passons à des
notions relatives aux fluides en mouvement. L'une d'elle, la relation
de Bernoulli, généralise la relation fondamentale de l'hydrostatique
vue en classe de Première.

\section{La poussée d'Archimède}
Ainsi que nous l'avons vu dans les classes antérieures, à l'intérieur
de tout liquide au repos dans un champ de pesanteur, il existe une
grandeur appelée pression, qui correspond à la norme de la force
pressante par unité de surface que le fluide exerce sur tout système
immergé. Ici, nous désirons évaluer la résultante des forces
pressantes sur un système immergé. Considérons la figure suivante:
\Par
\begin{center}
  \includegraphics{250_archimede01}
\end{center}
\Par

Nous avons un système $S$ \textit{quelconque} immergé sur la figure de
gauche, dont le bord correspond à la frontière ${\cal F}$ représentée
en pointillés. Le fluide situé à l'extérieur de cette frontière exerce
des forces pressantes sur le système. Quelle est la somme vectorielle
(ou résultante) de ces forces pressantes ? Nous notons désormais
$\vec A$ cette somme vectorielle.
\enlargethispage*{\baselineskip}

Pour la déterminer, considérons la figure de droite, où le système
n'est pas immergé dans le fluide, et où on sépare arbitrairement le
fluide en deux systèmes: le système $I$ (comme intérieur), qui se
trouve à l'intérieur de la frontière ${\cal F}$ \textit{ayant
  exactement la forme} du système $S$ précédemment immergé, et le
système $E$ (comme extérieur), qui correspond au reste du fluide.

Par la suite nous appellerons parfois le système $I$ \og le fluide déplacé
\fg. Il s'agit en effet du fluide qui est remplacé par le système $S$
lorsque l'on immerge ce dernier.

Le système $E$ est indiscernable du liquide de la figure de gauche: en
tout point du fluide extérieur il règne donc la même pression dans le
cas de gauche et dans le cas de droite. Par conséquent la
  force exercée par le système $E$ sur le système $I$ est aussi la
  résultante $\vec A$ des forces de pression recherchée.

Utilisons à présent le fait que le fluide, dans la figure de droite,
est au repos. Le système $I$ est donc à
l'\index{Equilibre@\'Equilibre}équilibre, et par conséquent soumis à des
forces extérieures de somme vectorielle nulle. Les deux forces
extérieures auxquelles ce système est soumis sont:
\begin{itemize}
\item son poids $\vec P$, dirigé vers le bas
\item et la résultante $\vec A$ des forces de pression exercée par $E$.
\end{itemize}
Nous avons en définitive:
\[\vec P + \vec A=\vec 0\mbox{~~~~~soit~~~~}\vec A = -\vec P.\]
Nous lisons directement dans la relation qui précède que la force exercée par
le fluide sur le système immergé $S$ est égale à l'opposé du poids du
fluide déplacé. Cette force est appelée la poussée d'Archimède.
\begin{Remarque}
  notons que, si nous avons du passer par la force résultante sur des
  éléments du fluide dans notre étape intermédiaire (celle de la
  figure de droite ci-dessus), la norme, sens et direction de la
  poussée d'Archimède est complètement générale puisque le fluide
  extérieur à la frontière ${\cal F}$, responsable des forces
  pressantes qui donnent lieu à cette poussée, est le même dans la
  figure de gauche et celle de droite.
\end{Remarque}

\begin{aretenir}
  Tout système immergé dans un fluide au repos reçoit de la part de ce
  fluide une force, appelée poussée d'Archimède, égale à l'opposé du
  poids du fluide déplacé.
\end{aretenir}

Par conséquent, la \index{Poussée d'Archimède}poussée d'Archimède est
toujours dirigée vers le haut.



\section{Notions d'hydrodynamique}
\enlargethispage*{2em}

\vspace*{-0.7em}
\subsection{Définitions}
\vspace*{-0.7em}
\begin{defin}
  On dit d'un fluide qu'il est \index{Fluide incompressible}incompressible lorsque sa masse 
  volumique ne dépend pas de la pression à laquelle il est soumis. 
\end{defin}

Les liquides sont en très bonne approximation des fluides 
incompressibles. En revanche, une masse donnée de gaz a un volume  qui 
dépend de sa pression, en vertu de l'équation des gaz parfaits étudiée 
au chapitre~\ref{cha:eqgp}. Les gaz ne sont donc pas des fluides 
incompressibles. 

\begin{defin}
  On appelle élément de \index{Fluide (parcelle de)}fluide ou
  parcelle de fluide une région du fluide, suffisamment grande pour
  contenir un très grand nombre d'atomes ou de molécules du fluide,
  mais suffisamment petite pour que l'on puisse y considérer comme
  uniformes les différentes grandeurs du fluide (pression, vitesse,
  masse volumique, etc.).
\end{defin}
Il est donc légitime de parler de \og la vitesse\fg{} ou de \og la
pression\fg{} d'une parcelle de fluide. En général, au cours de son
évolution, la parcelle de fluide se déforme.

\begin{defin}
  On dit que l'écoulement d'un fluide est en régime permanent lorsque
  la vitesse en un point donné ne varie pas au cours du temps.
\end{defin}

\begin{defin}
  On appelle \index{debit@débit volumique}débit volumique d'un fluide
  au travers d'une surface le volume de fluide
  traversant cette surface par unité de temps.
\end{defin}
Dans les unités du Système International, le débit volumique s'exprime
donc en mètre cube par seconde (m$^3$.s$^{-1}$).

Dans le cas particulier où la vitesse est perpendiculaire à la
surface, et où elle est uniforme sur celle-ci, le débit volumique,
noté $Q$, a pour expression:

\[Q = S\times v,\]

où $S$ est la surface et $v$ la norme de la vitesse.

\subsection{Conservation du débit volumique}
Nous admettrons sans démonstration le résultat suivant.

\begin{aretenir}
  Lorsque l'écoulement d'un fluide incompressible est en régime
  permanent, son débit volumique est le même à travers toute surface
  traversant intégralement le fluide.
\end{aretenir}


\begin{Exemples}
  \begin{itemize}
  \item   On considère l'écoulement d'un fleuve dans son lit, représenté sur 
    la figure ci-après.


    \begin{center}
      \includegraphics{253_lifleuve02}      
    \end{center}

    On suppose que l'on est en régime permanent. Le débit du fleuve,
    mesuré au travers de la surface $S_1$, où le fluide a la vitesse
    $v_1$, est:
  \[Q_1 = S_1\times v_1.\]
  De manière similaire, au travers de la surface $S_2$, où le fluide a 
  la vitesse $v_2$, le débit vaut: 
  \[Q_2 = S_2\times v_2.\]
  En régime permanent, nous avons $Q_1=Q_2$. 
  Notons que cette égalité n'est pas nécessairement vraie si le régime 
  n'est pas permanent: s'il y a une brusque montée des eaux en amont 
  due à un orage, par exemple, le niveau de l'eau peut monter à la 
  surface $S_1$ et l'on peut temporairement avoir $Q_1 > Q_2$. 
\item On considère un liquide circulant dans un tuyau de section
  variable, comme représenté ci-dessous.
\Par  
  \begin{center}
  \includegraphics{253_debitcours01}
  \end{center}
\Par
  Ici encore, nous avons:
  \[Q_1=S_1\times v_1\mbox{~~~~~et~~~~~}Q_2=S_2\times v_2\]
  et la conservation du débit volumique implique:
  \[Q_1=Q_2.\] Notons qu'au contraire de l'exemple précédent, le
  liquide passant à travers les surfaces $S_1$ et $S_2$ traverse toute
  la surface disponible. Il n'est pas possible que l'on ait, même
  temporairement, $Q_1\ne Q_2$. Ici, la conservation du débit
  volumique a donc lieu même si le régime n'est pas permanent, à
  partir du moment où le fluide est incompressible.

  Notons sur cet exemple que, puisque $S_2<S_1$, nous avons
  $v_2>v_1$. C'est l'une des propriétés de l'effet Venturi, qui sera
  vu en exercice (page~\pageref{exoventuri}).
\end{itemize}
\end{Exemples}

\subsection{Relation de Bernoulli}
Dans les classes antérieures, nous avons vu la relation suivante,
appelée \index{Relation fond. de l'hydrostatique}relation
fondamentale de l'hydrostatique, valable dans un liquide au repos
entre deux points quelconques $A$ et $B$:
\[P_A-P_B=\rho g(z_B-z_A),\] où $P_A$ (resp. $P_B$) est la pression au
point $A$, d'altitude $z_A$ (resp. au point $B$, d'altitude $z_B$), et
où $\rho$ et $g$ sont respectivement la masse volumique du fluide et
$g$ l'intensité de la pesanteur. Notons pour commencer que la relation
ci-dessus peut encore s'écrire:
\[P_A+\rho g z_A = P_B+\rho g z_B.\]
Autrement dit, la quantité
$P+\rho g z$ est partout la même à l'intérieur d'un liquide au
repos. Nous allons voir ici une généralisation de cette affirmation au
cas d'un fluide en mouvement.
\subsubsection{Notion de fluide parfait}
Un \index{Fluide parfait}fluide est dit parfait lorsque les deux
conditions suivantes sont satisfaites:
\begin{itemize}
\item les seules forces exercées sur une parcelle de fluide par le
  fluide environnant sont les \index{Force pressante}forces pressantes;
\item deux parcelles de fluide voisines n'échangent pas de chaleur
  entre elles: le \index{Flux thermique}flux thermique est nul.
\end{itemize}
La relation que nous allons énoncer ci-après n'est
valable que pour les fluides parfaits.
\subsubsection{Notion de ligne de courant}
On appelle \index{Ligne de courant}ligne de courant dans un fluide une
courbe partout tangente au vecteur vitesse du fluide. Ainsi, sur la
figure ci-dessous, montrant la vitesse dans un liquide en train de
s'écouler d'une cuve, nous avons représenté quelques lignes de
courant.

\begin{center}
  \includegraphics{254_lignescourant}
\end{center}

\subsubsection{Énoncé de la relation de Bernoulli}
Nous admettrons sans démonstration le résultat suivant:
\begin{aretenir}
  Dans un fluide parfait incompressible en régime permanent, la
  quantité:
  \[\frac 12\rho v^2+P+\rho gz\]
  est constante le long d'une ligne de courant. Dans cette
  expression, $v$ est la vitesse du fluide, $\rho$ sa masse volumique,
  $P$ la pression, $g$ l'intensité de la pesanteur et $z$ l'altitude.
\end{aretenir}
Cette loi de conservation a été établie par le mathématicien,
physicien et médecin suisse Daniel Bernoulli en 1738.

\begin{Remarques}
  \begin{itemize}
  \item On peut observer que dans le cas où la pression est négligeable, la 
    relation de Bernoulli se réduit à: 
    \[\frac 12v^2+gz=\mbox{constante.}\]
    Il s'agit ici de la conservation de l'énergie mécanique d'une masse 
    unité du fluide. Rappelons que la conservation de l'énergie
    mécanique d'un système de masse $m$, vitesse $v$ et altitude $z$ s'écrit:
    \[\frac 12mv^2+mgz=E_m\mbox{~constante},\]
    où $E_m$ est l'énergie mécanique de cet élément de fluide. 
  \item Dans le cas où le fluide est au repos, on retrouve la relation 
    fondamentale de l'hydrostatique, sous la forme mentionnée ci-dessus: 
    \[P+\rho g z=\mbox{constante}.\]
    Notons que dans ce cas particulier, la notion de ligne de courant
    perd son sens. Toutefois, il est possible de démontrer que la
    quantité ci-dessus est alors uniforme sur l'ensemble du fluide.
  \end{itemize}
\end{Remarques}
La relation de Bernoulli apparaît ainsi comme la généralisation de
deux relations importantes de la physique, qui proviennent de deux
domaines en apparence non connectés: la relation fondamentale de
l'hydrostatique et la conservation de l'énergie mécanique.
\enlargethispage*{4em}
\begin{solintro}
  \begin{questions}
    \item En régime permanent, le débit volumique est constant le long
      du tube ayant le point A à son extrémité. La surface du fluide
      du manomètre étant fixe en régime permanent, on sait qu'à cet
      endroit le débit volumique est nul. Par conséquent, il est
      également nul au niveau du point A, ce qui implique que la
      vitesse du fluide y est nulle.
      \vspace*{-1.5em}
      \Break
    \item Le long de la ligne de courant aboutissant en A
       on peut donc écrire la relation de Bernoulli:
      \[\frac 12\rho V^2+P_0+\rho g z_A = 0+P_\mathrm{A}+\rho gz_A\]
      soit:
      \[P_A = P_0+\frac 12\rho V^2.\]
    \item Le long de la ligne de courant aboutissant en B, nous
      pouvons écrire la relation de Bernoulli:
      \[\frac 12\rho V^2+P_0=\frac 12\rho V^2+P_\mathrm{B}\]
      donc
      \[P_\mathrm{B} = P_0.\]
    \item Nous pouvons utiliser la relation fondamentale de
      l'hydrostatique dans le tube, puisque les fluides y sont au
      repos. Nous exprimons la pression au point C, représenté sur la
      figure suivante, de deux manières
      différentes.

      \begin{center}
        \includegraphics{256_tubepitot02}
      \end{center}
      
      Cette pression est égale à celle qui règne à la surface du
      liquide manométrique dans la branche de droite, puisqu'elle se
      trouve à la même altitude. Nous avons donc:
      \[P_\mathrm{C} = P_\mathrm{A}+\rho g (r+D+h),\]
      car $r+D+h$ est la différence d'altitude entre le point A et le
      point C. Par ailleurs, nous pouvons écrire la relation
      fondamentale de l'hydrostatique dans la branche de gauche. La
      pression augmente de $\rho g D$ entre le point B et la surface
      du liquide manométrique dans cette branche, puis de $\rho' g h$
      entre la surface et le point C. Nous avons donc:
      \[P_\mathrm{C} = P_\mathrm{B}+\rho g D+\rho'g h.\]
      \BreakWithoutItem
      En utilisant ces deux expressions de la pression au point~C,
      nous pouvons écrire:
      \[P_\mathrm{A}+\rho g (r+D+h)=P_\mathrm{B}+\rho g D+\rho'g h,\]
      soit:
      \[P_\mathrm{A}-P_\mathrm{B}=\rho' gh-\rho g r-\rho g h\approx
        \rho' gh,\]
      car $\rho$ est petite devant $\rho'$.
  
    \item Des questions antérieures nous pouvons déduire:
      \[P_\mathrm{A}-P_\mathrm{B} = \frac 12\rho V^2\]
      donc:
      \[\frac 12\rho V^2=\rho'g h\]
      soit
      \[V=\sqrt{\frac{2\rho'gh}{\rho}}.\]
      \begin{Remarque}
        on voit que l'on peut ainsi déterminer la vitesse relative
        entre le fluide et le tube de Pitot en mesurant la différence
        de pression entre A et B. Ce genre de dispositif est d'un
        usage répandu en aéronautique pour déterminer la vitesse d'un
        avion par rapport à l'air environnant.
      \end{Remarque}
  \end{questions}
\end{solintro}
