\chapter{Équation d'état\\des gaz parfaits}
\label{cha:eqgp}

\section{Introduction}
\begin{exointro}{Lycée Picpus, Paris}
Une bouteille de dihydrogène de volume $V=100$~L contient à
$20\;^\circ$C de l'hydrogène comprimé à la pression $P=150$~atm.
\begin{questions}
	\item  Calculer la quantité de matière en dihydrogène contenue dans
	la bouteille.

	\item  Calculer la masse de dihydrogène contenue dans la bouteille.

	\item  Quelle est la pression du dihydrogène à la température
	$\theta=200\;^\circ$C ?
\end{questions}
{\em Données:}\

Masse molaire de l'hydrogène : $\rm M(H)=1{,}0$~g.mol$^{-1}$\\
Constante des \index{Gaz}gaz parfaits : ${\cal R}=8{,}31$~ J.K$^{-1}$.mol$^{-1}$\\
1 atm = \numprint{101325} Pa%
\vspace*{-1em}
\end{exointro}

Ce chapitre fait le lien entre l'agitation thermique d'un gaz, identifiée par
sa température, et les chocs sur les parois des particules qui le composent, liés à la pression. D'un point de vue
macroscopique, ce lien est établi par l'équation d'état. Nous allons étudier cette équation à l'aide d'un modèle simplifié
appelé modèle du \textit{gaz parfait}.

\section{Notion de gaz parfait}

L'hypothèse \og \index{Gaz parfait}gaz parfait \fg{} regroupe les conditions page suivante.

\begin{itemize}
\item Les particules constitutives du gaz (atomes ou molécules)
peuvent être assimilées à des masses ponctuelles.
\item Ces particules n'interagissent pas entre elles (ni par action
à distance, ni par chocs).
\item La pression du gaz est liée aux chocs sur les parois, et
chaque particule a une trajectoire rectiligne uniforme entre deux
chocs sur les parois.
\end{itemize}
La plupart des gaz, dans les conditions usuelles, se
comportent presque de manière \og idéale \fg, c'est-à-dire comme
des gaz parfaits. Toutefois, pour que les particules \og s'ignorent \fg{}
comme requis par la deuxième hypothèse, il faut que la distance
moyenne qui les sépare soit beaucoup plus grande que leur dimension,
donc il faut que le gaz soit suffisamment dilué.
\begin{aretenir}
Le modèle de gaz parfait n'est valable que pour les gaz
dilués et de faible \index{Pression}pression.
\end{aretenir}
L'air qui nous entoure peut être avec une très bonne approximation
considéré comme un gaz parfait.

\section{Équation d'état des gaz parfaits}

Entre la pression $P$, le volume $V$ et la \index{Temperature@Température absolue}température absolue $T$
d'une quantité de matière $n$ d'un gaz parfait, on a une relation appelée équation d'état des gaz parfaits.
\begin{aretenir}
L'équation d'état des gaz parfaits est :
\[PV=n{\cal R}T\;,\]
\end{aretenir}
où ${\cal R}$ est appelée la \index{Constante des gaz parfaits}constante des gaz parfaits, et
vaut, dans les unités du Système International :
\[{\cal R}=8{,}31\mbox{~J.K}^{-1}\mbox{.mol}^{-1}.\]
Il faut bien faire attention au fait que la température
est ici la température absolue (échelle kelvin). 
Tous les termes de cette
équation sont positifs. Si la température est donnée dans
une autre échelle, il faudra auparavant la convertir en kelvin.\\
On notera que cette relation est indépendante de la nature
(composition chimique) du gaz considéré. On pouvait s'y attendre
dans la mesure où la première hypothèse des gaz parfaits suppose
que les particules du gaz parfait sont des masses ponctuelles, 
et donc ne considère absolument pas la structure atomique ou
moléculaire (c'est-à-dire l'identité chimique) des particules
du gaz.

La relation entre la température $\theta$ en degré Celsius et la
température absolue $T$ en kelvin est:
\[T=\theta+273{,}15\;,\]
ou bien:
\[\theta=T-273{,}15.\]

\section{Grandeurs utiles : définitions et rappels}

\subsection{Pression}
\begin{defin}
  La pression est une force exercée par unité de surface.
\end{defin}

Si on note $P$ la pression, elle est donc donnée par :
\[P=\frac FS\;,\] où~$F$ est la \index{Force pressante}force pressante
exercée par le fluide sur une surface plane d'aire~$S$.


Dans les unités du Système International, elle se mesure donc en
N.m$^{-2}$, encore appelé \index{Pascal}pascal, de symbole~Pa.  On
utilise souvent l'hecto-pascal, de symbole~hPa. On a :
${1\text{ hPa} =100\text{ Pa}}$.\\
{La pression standard est $P_0=101\,325$~Pa~$=1\,013{,}25$~hPa.}

\Par

D'autres unités fréquemment utilisées sont :
  \begin{itemize}
  \item Le bar\index{Bar}, de symbole bar. Il est défini par 1 bar = 10$^5$ Pa. Souvent, on fait l'approximation : $P_0 \approx 1,0$ bar, valable jusqu'au deuxième chiffre significatif.

  
  \item L'\index{Atmosphere@Atmosphère}atmosphère, de symbole~atm. On a
    : $1$~atm~$=P_0=101\,325$~Pa.
    

  \item Le millimètre de mercure, de symbole mmHg. La pression
    standard $P_0$ vaut $760$~mmHg.
  \end{itemize}


Une pression se mesure à l'aide d'un
\index{Manometre@Manomètre}manomètre.

\subsection{Masse molaire}

Cette quantité, étudiée au cours du programme de Chimie, est
fréquemment utilisée dans les exercices sur les gaz parfaits.

On
rappelle qu'une mole est la quantité de matière contenant ${\cal N}_A\approx 6\cdot 10^{23}$~mol$^{-1}$ entités, où ${\cal N}_A$ est le
\index{Nombre d'Avogadro}nombre d'Avogadro. La masse molaire d'une
espèce est la masse d'une mole des représentants de cette espèce.\\
Entre la \index{Masse molaire}masse molaire~$M$, la quantité de
matière $n$ et la masse~$m$ d'un système, on a :
\[m=M\times n.\]

\subsection{Masse volumique}

La \index{Masse volumique}masse volumique d'un système est la masse que contient une
unité de volume de ce système. Pour un système homogène de 
volume~$V$ et de masse~$m$, la masse volumique $\rho$ est donnée
par :
\[\rho=\frac mV.\]


\begin{solintro}

\begin{questions}
	\item  Utilisons l'équation d'état $PV=n{\cal R}T$ pour exprimer~$n$ :
\[n=\frac{PV}{{\cal R}T}=\frac{150\times 101\,325\times
	0{,}1}{8{,}31\times(20+273{,}15)}=624\mbox{~mol}.\]
	Il faut faire attention à exprimer les grandeurs
	$P$, $V$ dans les unités du Système International, et
	veiller à exprimer $T$ en Kelvins.

	\item  La masse molaire moléculaire du dihydrogène est :
\[\rm M(H_2)=2M(H)=2{,}0\mbox{~g.mol}^{-1}\]
	On en déduit la masse~$m$ du gaz contenu dans la bouteille :
\[m=n\times {\rm M(H_2)}=624 \times 2{,}0=
	1{,}2\cdot 10^{3}\mbox{~g}=1{,}2\mbox{~kg}.\]

	\item  On utilise à nouveau l'équation d'état des gaz parfaits :
\[P=\frac{n{\cal R}T}{V}.\]
	L'application numérique donne :
\[P=\frac{624\times 8{,}31\times (200+273{,}15)}{0{,}100}
	\approx 24{,}5\cdot 10^6\mbox{~Pa}=245\mbox{~atm}.\]
\end{questions}
\end{solintro}
