\onglet
\begin{qcm}{Vérification des connaissances}{5}
%%%%
%%%%

\begin{questions}
\item Si, à \index{Temperature@Température}température constante, on
  augmente le \index{Volume}volume d'un gaz parfait, sa
  \index{Pression}pression : \resetchoix 
  
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix augmente & 		\choix  diminue
  \end{tabularx}

	\item  Dans le modèle des gaz parfaits, les particules sont supposées :
\resetchoix

		\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
		\choix  sphériques& 	
		\choix  ponctuelles
		\end{tabularx}

	\item  Si, à volume constant, on augmente la température d'un
	gaz parfait, la pression :
\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
		\choix  augmente &	
		\choix  diminue
		\end{tabularx}


	\item  Si on rajoute du gaz dans une enceinte de volume fixe et
	de température fixée, la pression du gaz :

\resetchoix		

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix  augmente & 	
		\choix  diminue
		\end{tabularx}

\end{questions}
\end{qcm}
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\begin{corrige}
\begin{questions}
	\item  Réponse \choix[b]. En effet $P=n{\cal R}T\frac 1V$, donc $P$ et $V$
	sont inversement proportionnels, toutes autres choses fixées. 

	\item  Réponse  \choix[b]. Voir le cours. 

	\item  Réponse  \choix[a]. En effet $P=(n{\cal R}/V)\times T$, donc toutes 
	autres choses fixées par ailleurs, la pression est proportionnelle 
	à la température. 

	\item  Réponse  \choix[a]. En effet $P=({\cal R}T/V)\times n$, donc toutes autres 
	choses fixées par ailleurs, la pression est proportionnelle à la 
	quantité de matière. 
\end{questions}
\end{corrige}
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\begin{exo}{Pression d'un gaz}{Lycée Louis de Broglie, Marly-le-Roi}{1}{5}
Un réservoir indilatable contient de l'argon à
$25\;^\circ$C et sous $4{,}0$~bars. Quelle devient la pression de
l'argon si on chauffe le réservoir à $283\;^\circ$C ?
\end{exo}
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\begin{corrige}
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%%%%
Appelons $n$ la quantité de matière 
d'argon présente dans l'enceinte, $P$ sa pression initiale, 
$T$ sa température absolue initiale, et $V$ le volume de l'enceinte.\\
Lorsque l'on chauffe l'enceinte, sa température devient $T'$, 
et la pression de l'argon devient $P'$. En revanche le 
volume reste égal à $V$ (l'enceinte est indilatable) et la quantité 
de matière en argon reste égale à $n$ (on n'a pas changé la quantité 
d'argon dans l'enceinte).\\
On peut donc écrire, en supposant que l'argon se comporte comme 
un gaz parfait, l'équation d'état des gaz parfaits avant et 
après chauffage de l'enceinte. Cela donne : 
\deuxegal{PV}{n{\cal R}T}{P'V}{n{\cal R}T'}
où ${\cal R}$ est la constante des gaz parfaits. En divisant 
membre à membre ces deux égalités, on obtient : 
\[\frac{P}{P'}=\frac {T}{T'}\mbox{~~~soit :~~~}P'=P\frac{T'}{T}.\]
Pour effectuer l'application numérique, on doit auparavant 
évaluer les températures absolues. Avant chauffage on a 
$\theta=25\;^\circ$C donc : 
\[T=25+273=298\mbox{~K}.\]
Après chauffage on a $\theta=283\;^\circ$C donc : 
\[T'=283+273=556\mbox{~K}.\]
On peut donc effectuer l'application numérique. Il est inutile de convertir 
$P$ en pascals, on peut la garder en bars, et on obtiendra 
le résultat directement en bars : 
\[P'=4{,}0\times\frac{556}{298}\simeq 7{,}5\mbox{~bar}.\]
Une précision
de deux chiffres significatifs est ici un maximum, compte-tenu de la
précision avec laquelle est donnée~$P$.  On garde toutefois trois
chiffres significatifs sur les températures pour effectuer le calcul
afin d'éviter l'accumulation d'erreurs d'arrondi.
\end{corrige}
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\begin{exo}{Bouteilles communiquantes}{Lycée Blaise Pascal, Clermont-Ferrand}{1}{10}
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%%%%
On considère un système formé de deux bouteilles~A et~B 
identiques indéformables reliées par un conduit,
sur lequel se trouve un robinet, comme indiqué sur la figure
ci-dessous.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{275_nebouteilles}
\end{center}
}

Initialement, la bouteille~A contient un gaz à la pression $P_A=1,5$~bar, et la
bouteille~B est vide.

\begin{questions}
\item On ouvre le robinet. Que se passe-t-il ? Quelle est la pression
  du gaz dans les deux bouteilles ?
\item On referme alors le robinet, on fait le vide dans la bouteille~A, puis on rouvre le robinet.
Quelle est la nouvelle pression du gaz ?
\end{questions}
\textit{Indications:}

On admet que le gaz contenu dans les bouteilles se comporte comme un gaz parfait.
La température de ce gaz est fixée tout au long de l'expérience.
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
%%%%
%%%%
\begin{questions}
\item Lorsque l'on ouvre le robinet, le gaz se répartit entre les deux bouteilles. 

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{279_nebouteillesol}
%\figcaption{Une partie de l'air passe dans la bouteille~B à l'ouverture du robinet.}
\end{center}
}

On écrit l'équation d'état des gaz parfaits pour le gaz contenu dans les bouteilles, 
avant (indice $i$) et après (indice $f$) l'ouverture du robinet : 
\deuxegal{P_iV_i}{n{\cal R}T_i}{P_fV_f}{n{\cal R}T_f}
où $n$ est la quantité de matière du gaz, $T$ sa température absolue, $V$
le volume qu'il occupe, et $P$ sa pression. 
Nous utilisons le fait que la température est constante tout au long de l'expérience 
donc $T_f=T_i$, et le fait que les bouteilles sont identiques donc $V_f=2V_i$. On 
divise entre elles les égalités ci-dessus et on obtient : 
\[\frac{P_iV_i}{P_f\times 2V_i}=\frac{n{\cal R}T_i}{n{\cal R}T_i}=1\]
donc : 
\[P_f=\frac 12P_i.\]
\textit{Application numérique:}
\[P_f=7,5\cdot 10^4\text{ Pa}.\]
\item On se retrouve avec une situation similaire à celle du début, à ceci 
près que la bouteille pleine est maintenant la bouteille~B, et que la pression 
initiale est différente et vaut $7{,}5\cdot 10^4$~bar. 
\enlargethispage*{4em}
\begin{center}
\includegraphics{279_nebouteilledeux}
%\figcaption{L'air résiduel se répartit entre les deux bouteilles lorsqu'on ouvre le robinet.}
\end{center}

L'air résiduel se répartit entre les deux bouteilles lorsqu'on ouvre le robinet.
On applique un raisonnement identique à celui de la question précédente et on obtient : 
\[P_f=\frac{7{,}5\cdot 10^{-4}}2\simeq 3{,}8\cdot 10^4\text{ Pa}.\]
\end{questions}
\end{corrige}

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\begin{exo}{Air dans un dirigeable}{Lycée Victor Schoelcher, Fort-de-France}{1}{10}
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%%%%
Quelle masse d'air contient un ballon dirigeable,
considéré comme sphérique et de rayon $R=15$~m ?

{\em Données:}\

L'air dans le dirigeable est chauffé à $100\;^\circ$C, et sa pression
est de un bar.\\
Le volume d'une sphère de rayon $R$ est $\frac{4}{3}\pi R^3$.\\
La masse molaire moléculaire moyenne de l'air est $M=29$~g.mol$^{-1}$\\
La constante des gaz parfaits vaut : ${\cal R}=8{,}31$
J.K$^{-1}$.mol$^{-1}$\\
$1$~bar$=10^5$~Pa.
\end{exo}
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%%%%
\begin{corrige}
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%%%%
Commençons par évaluer la 
quantité de matière contenue dans le ballon. On peut écrire : 
\deuxegal{PV}{n{\cal R}T}{V}{\frac43\pi R^3}
donc on a : 
\[n=\frac{4\pi R^3 P}{3{\cal R}T}.\]
Il faut convertir la pression en pascal et la température en kelvin
avant d'effectuer l'application numérique. On a : 
\deuxegal{P}{1\mbox{~bar~}=10^5\mbox{~Pa}}{T}{100+273=373\mbox{~K}}
On en déduit : 
\[n=\frac{4\pi \times 15^3\times 101\,325}{3\times 8{,}31\times 373}
=4{,}6\cdot 10^5\mbox{~mol}.\]
On en déduit la masse d'air correspondante connaissant la masse 
molaire moléculaire moyenne de l'air : 
\[m=n\times M=4{,}6\cdot 10^5\times 29\simeq 1{,}3 \cdot 
  10^7\mbox{~g}=13\mbox{~tonnes}.\]
Nous gardons deux chiffres significatifs dans le résultat final
puisque c'est la précision avec laquelle est donné le rayon dans l'énoncé.
\end{corrige}
%%%%
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\begin{exo}{Masse volumique de l'hélium}{Lycée Jeanne d'Arc, Mazamet}{1}{10}
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%%%%
Calculer la \index{Masse volumique}masse volumique $\rho$ de l'hélium dans les
conditions normales de température et de pression.

{\em Données:}\

Masse molaire atomique de l'hélium : $\rm M(He)=4{,}0$~g.mol$^{-1}$\\
La constante des gaz parfaits vaut : ${\cal R}=8{,}31$
J.K$^{-1}$.mol$^{-1}$\\
Les conditions normales de température et de pression correspondent à
une température de $20$~$^\circ$C et une pression de $\nombre{101325}$~Pa.
\end{exo}
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%%%%
\begin{corrige}
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%%%%
Calculer la masse volumique de 
l'hélium revient à chercher la masse d'une unité de volume 
(soit en S.I. un mètre cube) d'hélium. On commence pour ce faire 
par évaluer la quantité de matière $n$ contenue dans $V=1{,}0$~m$^3$, 
dans les conditions normales de température ($T=293$~K) et 
de pression ($P=101\,325$~Pa) : 
\[PV=n{\cal R}T\mbox{~~~soit :~~~}n=\frac{PV}{{\cal R}T}.\]
L'application numérique donne : 
\[n=\frac{101\,325\times 1{,}0}{8{,}31\times 293}=42\mbox{~mol}.\]
La masse correspondante s'obtient en multipliant cette quantité 
de matière par la masse molaire de l'hélium : 
\[\rho=4{,}0\times 42= 168\mbox{ g.m}^{-3}\simeq 0{,}17 
\mbox{~kg.m}^{-3}.\]
\end{corrige}
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\begin{exo}{Température de la stratosphère}{Lycée Saint-Louis-de-Gonzague, Perpignan}{2}{10}
%%%%
%%%%
L'air de la base de la stratosphère, où évoluent les
avions de ligne, a une pression dix fois plus petite qu'au niveau
de la mer, et une masse volumique $7{,}4$ fois plus petite. Quelle
est sa température, en degré Celsius ?
\enlargethispage*{4em}

{\em Données:}\\
Température de l'air au niveau de la mer : $\theta=20\;^\circ$C.\\
L'air au niveau de la mer et à la base de la stratosphère a la
même composition chimique.
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
%%%%
%%%%
La difficulté de cet exercice consiste 
à transcrire l'information sur les masses volumiques en une 
relation utilisable dans l'équation d'état des gaz parfaits.\\
L'air au niveau de la mer et à la base de la stratosphère ont 
même composition, donc ont la même masse molaire moléculaire 
moyenne. Donc si un volume donné d'air est $7{,}4$ fois moins 
massif à la base de la stratosphère qu'au niveau de la mer, 
cela veut dire aussi que ce volume contient une quantité 
de matière $7{,}4$ fois plus petite. Soit $V$ un tel volume 
d'air. Au niveau de la mer il contient une quantité de matière 
$n$ en air, et à la base de la stratosphère une quantité de matière : 
\[n'=\frac{n}{7{,}4}.\]
Si on appelle $P$ et $T$ la pression et la température absolue au niveau 
de la mer, et $P'$ et $T'$ la pression et la température absolue à la 
base de la stratosphère, alors on peut écrire : 
\deuxegal{PV}{n{\cal R}T}{P'V}{n'{\cal R}T'}
En divisant la seconde égalité par la première, on obtient : 
\[\frac{T'n'}{Tn}=\frac{P'}{P}\]
d'où l'on déduit : 
\[T'=T\times\frac{n}{n'}\times\frac{P'}{P}=T\times{7{,}4}\times\frac{1}{10}=0{,}74\times T.\]
On a d'autre part : $T=20+273{,}15\simeq 293$~K, donc on a : 
\[T'=0{,}74\times 293\simeq 217\mbox{~K}\mbox{~~~d'où
    :~~~}\theta'=T'-273{,}15\simeq -56\;^\circ\rm C.\]
\end{corrige}
%%%%
%%%%%%%%%%%
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\newpage
\begin{exo}{Pression de vapeur d'eau}{Lycée Gustave Eiffel, Bordeaux}{2}{15}
%%%%
%%%%
Une enceinte indéformable d'un volume $1{,}0$~m$^3$ contient
de la vapeur d'eau à la température $\theta=200\;^\circ$C. On
refroidit l'enceinte de manière à condenser cette vapeur d'eau et on recueille au total un volume 
$v=1{,}5$~L d'eau liquide.\\
Quelle était initialement la pression de la vapeur d'eau ?

{\em Données:}\

Masse molaire atomique de l'oxygène : $\rm M(O)=16$~g.mol$^{-1}$\\
Masse molaire atomique de l'hydrogène : $\rm M(H)=1{,}0$~g.mol$^{-1}$\\
Masse volumique de l'eau liquide : $\rho = 1{,}00\cdot 10^3$~kg.m$^{-3}$\\
La constante des gaz parfaits vaut : ${\cal R}=8{,}31$~ J.K$^{-1}$.mol$^{-1}$\\
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
%%%%
%%%%
  Commençons par évaluer la quantité de matière recueillie en eau. La
  masse d'eau recueillie est :
\[m=v\rho=1{,}5\cdot 10^{-3}\times 1{,}00\cdot 10^3=1{,}5\mbox{~kg}=1{,}5\cdot 10^3\mbox{~g}.\]
On notera que $1\;\rm L=10^{-3}\;m^3$.\\
La masse molaire moléculaire de l'eau est : 
\[ \rm M=M(O)+2M(H)=16{,}0+2{,}0=18{,}0\mbox{~g.mol}^{-1}.\]
La quantité de matière en eau est donc :
%%%% CI-DESSOUS: ERREUR VOLONTAIRE (non détectée)
%\[n=\frac mM=\frac{1\,500}{18{,}0}=8{,}33\mbox{~mol}.\]
%%% CI-DESSOUS: RESULTAT CORRECT
\[n=\frac mM=\frac{1\,500}{18{,}0}=83{,}3\mbox{~mol}.\]
On notera qu'il faut bien faire attention à diviser des {\em 
grammes} par des {\em grammes par mole} sous peine d'obtenir 
un résultat faux.\\
Avant condensation, cette eau était sous forme de vapeur, que 
l'on va assimiler à un gaz parfait. On peut donc écrire : 
\[PV=n{\cal R}T\]
où $V=1$~m$^3$ est le volume de l'enceinte, $T=\theta+273{,}15 
\simeq 473$~K est la température absolue de la vapeur d'eau, et 
$P$ est la pression recherchée. On a donc : 
\[P=\frac{n{\cal R}T}{V}.\]
L'application numérique donne : 
\[P=\frac{83{,}3\times 8{,}31\times 473}{1{,}0}\simeq 3{,}3\cdot 
  10^5\mbox{~Pa}\simeq 3{,}3\mbox{~bar}.\]
L'eau dans l'enceinte avait initialement une pression de $3{,}3$~bars.
\end{corrige}
%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%
\begin{exo}{Enceintes communiquantes}{Lycée de la Providence, La Rochelle}{2}{15}
%%%%
%%%%
Deux enceintes indéformables (1) et (2) sont maintenues
à la température $\theta=100\;^\circ$C en permanence. À
l'instant initial, l'enceinte~(1) contient un  gaz sous une
pression $p_1=3{,}0$~bar ; le volume de cette enceinte est:\\
$v_1=1{,}0$~m$^3$.
L'enceinte~(2) contient quant à elle le même gaz sous une pression
$p_2=2{,}0$~bar, et son volume est $v_2=2{,}0$~m$^3$.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{277_enceintes01}
%\figcaption{Représentation schématiques des enceintes (1) et (2).}
\end{center}
}

On ouvre le robinet~R et les molécules du gaz peuvent librement
circuler entre les enceintes (1) et (2) : la pression est alors la
même dans les deux enceintes. Que vaut cette pression ?
\end{exo}
%%%
%%%
\begin{corrige}
%%%%
%%%%
Appelons $n_1$ la quantité de matière 
en gaz contenue initialement dans l'enceinte~1, et $n_2$ la 
quantité de matière en gaz contenue initialement dans l'enceinte~2.\\
On peut écrire, en supposant que ce gaz se comporte comme un gaz 
parfait : 
\deuxegal{p_1v_1}{n_1{\cal R}T}{p_2v_2}{n_2{\cal R}T}
où $T$ est la température absolue, constante, de chaque enceinte.\\
Une fois que le robinet est ouvert, la pression vaut $p$ dans les 
deux enceintes. Le volume commun accessible au gaz devient $v_1+v_2$, 
et la quantité de matière totale en gaz est $n_1+n_2$. 
L'équation d'état des gaz parfaits s'écrit alors : 
\[p(v_1+v_2)=(n_1+n_2){\cal R}T\]
\[\phantom{p(v_1+v_2)}=n_1{\cal R}T+n_2{\cal R}T\]
\[\phantom{p(v_1+v_2)}=p_1v_1+p_2v_2\]
On en déduit : 
\[p=\frac{p_1v_1+p_2v_2}{v_1+v_2}.\]
L'application numérique donne : 
\[p=\frac{3{,}0\times 1{,}0+2{,}0\times 2{,}0}{1{,}0+2{,}0}=2{,}3\mbox{~bar}.\]
\end{corrige}

%%
%%
%\begin{exo}{Forces pressantes sur un bocal}{Lycée Valbonne, Sophia-Antipolis}{1}{10}
%%%%%
%%%%%
%On ferme un bocal de rayon $r=5{,}0$~cm hermétiquement au niveau de la mer.
%Ce bocal est ensuite amené dans un site d'altitude, où la température est la même que
%lors de la fermeture du bocal. 
%Le bilan des forces pressantes sur le couvercle du bocal est de 70~$N$. 
%
%\begin{questions}
%\item Quelle est
%l'altitude du site ?
%\item Les forces pressantes tendent-elles à ouvrir ou fermer le bocal ?
%\item On ouvre le bocal, puis on le referme hermétiquement, et on redescend au niveau de la mer.
%Quelle est l'intensité de la somme des forces pressantes sur le couvercle ?
%\item Cette fois, les forces pressantes tendent-elles à ouvrir ou à s'opposer à l'ouverture du bocal ?
%\end{questions}
%\textit{Indication:}
%On admettra que la pression diminue de $100$ hecto-pascals lorsque l'on s'élève d'un kilomètre.
%\end{exo}
%%%%%
%%%%%
%\begin{corrige}
%%%%%
%%%%%
%\begin{questions}
%\item Pour connaître l'altitude du site, il faut connaître la différence de pression 
%entre  l'air  ambiant et l'air du  niveau  de la  mer.   On connaît la 
%pression de l'air dans le bocal : c'est celle de l'air au niveau de la 
%mer. Notons $p_0$ cette pression, et $p_1$ la pression ambiante. 
%
%Effectuons le bilan des forces pressantes sur le couvercle du bocal. 
%
%\parbox{\linewidth}{%
%\begin{center}
%\includegraphics{Figures/nebocale}
%\figcaption{Bilan des forces pressantes sur le couvercle du bocal.}
%\end{center}
%}
%
%La force exercée par l'air contenu dans le bocal est égale au produit de 
%la pression interne $p_0$ par la surface du couvercle $\pi r^2$. Cette force 
%est dirigée vers le haut. 
%
%De la même manière, la force exercée par l'air ambiant est $p_1\times \pi r^2$. 
%Cette force est dirigée vers le bas. 
%La résultante de ces deux forces pressante a donc pour intensité : $\pi r^2(p_0-p_1)$. 
%
%Nous avons : 
%\[\pi r^2(p_0-p_1)=70\]
%soit : 
%\[p_0-p_1=\frac{70}{\pi\times (5{,}0\cdot 10^{-2})^2}=8{,}9\cdot 10^3\mbox{~Pa}=89\mbox{~hPa}\]
%Notons qu'il faut exprimer toutes les variables en unités du Système International 
%pour obtenir la pression en pascals. 
%
%Une règle de trois permet de calculer l'altitude~$h$ du site : 
%
%\[h = \frac{89}{100}\times 1= 0{,}89\mbox{~km}=890\mbox{~m}\]
%\item Les forces pressantes dans ce cas ont tendance à ouvrir le couvercle, 
%puisqu'elles sont plus importantes sur sa face intérieur (comme indiqué sur la 
%figure ci-dessus). 
%\item Cette fois, la pression de l'air emprisonné dans le bocal est $p_1$, et 
%lorsqu'on arrive au niveau de la mer la pression de l'air ambiant est $p_0$. 
%On se retrouve dans la situation inverse de la situation précédente. La résultante 
%des forces de pression sur le couvercle est toujours $\pi r^2(p_0-p_1)$ et vaut 
%donc $70$~N. 
%\item En revanche, cette fois les forces de pression tendent à fermer le couvercle 
%puisque les forces pressantes les plus fortes sont dues à l'air ambiant. 
%\end{questions}
%\end{corrige}

\thumb\AfficheCorrige 
