\chapter{Bilan d'énergie et transferts thermiques}
\section{Introduction}
\begin{exointro}{D'après lycée Antoine de Saint-Exupéry, La Rochelle}
  On considère une pièce dans un immeuble ancien, dont un seul mur donne sur l'extérieur. On suppose pour simplifier que toutes les pertes thermiques de la pièce se font par ce mur de dimension $H \times L$ et sa fenêtre de dimension $h \times l$. La \index{Resistance@Résistancethermique}résistance thermique du mur est $R_{mur}=9{,}1\cdot 10^{-3}$~K.W$^{-1}$ et celle de la fenêtre est
  $R_{fen\^ etre}=3{,}6\cdot 10^{-3}$~K.W$^{-1}$.
\begin{center}
  \includegraphics{283_isola01}
\end{center}

\Break

On souhaite améliorer l'isolation de cette pièce, et l'on se pose la question de savoir s'il vaut mieux remplacer la fenêtre par un double vitrage, ou doubler le mur par un revêtement de laine de roche.\Par

\begin{questions}
\item Calculer la résistance thermique totale de l'ensemble du mur et de la fenêtre.
\item On envisage de poser du double vitrage, ce qui multiplierait par $44$ la résistance thermique de la fenêtre, ou d'isoler le mur, ce qui multiplierait par $101$ sa résistance thermique. Trouver quelle serait la résistance thermique totale de l'ensemble du mur et de la fenêtre dans les deux cas de figure envisagés, et identifier la meilleur solution. Par combien divise-t-on la facture  énergétique du local dans le meilleur cas~?
\end{questions}
\end{exointro}
Dans ce chapitre nous introduisons le premier principe de la thermodynamique et présentons la notion de transfert thermique.


\section{Énergie interne}
\label{sec:energie-interne}

\index{Energie@\'Energie interne}Un système physique macroscopique, porté à une certaine \index{Temperature@Température}température, est constitué d'entités élémentaires (atomes ou molécules) qui, observées individuellement, ne sont pas au repos. Même si le corps est immobile dans le référentiel d'étude, chacune des entités qui le composent peut stocker de l'énergie. Cela peut ainsi être l'énergie cinétique des atomes ou molécules qui composent un fluide, l'énergie de vibration ou rotation des molécules d'un composé solide, liquide ou gazeux. Le système peut donc stocker une certaine quantité d'énergie, sans que celle-ci soit manifeste à l'échelle macroscopique, que l'on appelle son énergie interne.

Plus la température d'un corps augmente, plus son énergie interne augmente. 
\begin{defin}
  Pour un système incompressible tel un corps dans un état condensé (liquide, solide), nous pouvons définir une grandeur appelée capacité thermique, notée $C$, par la relation suivante:
\[C_T=\frac{\dd U}{\dd T},\] 
où $T$ est la température et $U$ l'énergie interne. 
\end{defin}

Ainsi, on voit que la \index{Capacite@Capacité thermique}capacité thermique d'un système représente l'accroissement de son énergie interne lorsque sa température augmente d'une unité.

\newpage

\begin{aretenir}
Si un système voit sa température passer de la valeur $T_1$ à la valeur $T_2$, son énergie interne
varie de la quantité:
\[\Delta U = C(T_2-T_1),\]  
où $C$ est la capacité thermique du système.
\end{aretenir}
Dans l'expression ci-dessus, la température peut être exprimées en degré Celsius, ou en kelvin. Naturellement les deux températures doivent être dans la même unité. Par convention, on désigne fréquemment les \index{Temperature@Température absolue}températures absolues (en kelvin dans les unités du Système International) par la lettre majuscule $T$, et les \index{Temperature@Température}températures en degré Celsius par la lettre grecque $\theta$.

\begin{defin}
  La capacité thermique massique $c$ d'un système de masse $m$ et de capacité thermique $C$ est donnée par:
  \[c=\frac Cm.\]
\end{defin}

\begin{Remarque}
 dans les unités du Système International, $C$ s'exprime indistinctement en joules par kelvin (J.K$^{-1}$) ou en joules par degré Celsius (J.$^\circ$C$^{-1}$) et $c$ s'exprime indistinctement en joules par kilogramme et par kelvin (J.kg$^{-1}$.K$^{-1}$) ou en joules par kilogramme et par degré Celsius (J.kg$^{-1}$. $^\circ$C$^{-1}$).
\end{Remarque}

\section{Transfert thermique et travail}

Nous avons vu au cours des chapitres précédents qu'exercer un travail sur un système faisait varier son énergie cinétique.  En l'absence de frottements, c'est l'énergie cinétique macroscopique du système, celle qui résulte de son mouvement, qui est affectée. Toutefois, les forces de frottement peuvent aussi affecter l'énergie cinétique microscopique du système, qui résulte de l'agitation des molécules ou atomes qui le composent. Dans ce cas, le travail exercé sur le système élève son énergie interne. On dit que le travail est \og dissipé en chaleur \fg. Naturellement, on peut avoir tous les cas intermédiaires. Ainsi, un enfant qui glisse sur un toboggan voit le travail de son poids transformé en énergie cinétique. Toutefois son énergie cinétique finale n'est pas exactement celle qu'il aurait si toute son énergie potentielle de pesanteur était convertie en énergie cinétique. Les forces de frottements entre la surface du toboggan et les vêtements de l'enfant conduisent à un (léger) échauffement de ceux-ci: une partie (et une partie seulement) du travail de poids est dissipée en chaleur.

\begin{Remarque}
  il existe une différence fondamentale entre la variation d'énergie cinétique d'un système par le travail des forces extérieures (effet macroscopique), et la dissipation du travail en chaleur (effet microscopique).  Dans le premier cas, un système peut aussi bien augmenter son énergie cinétique, s'il reçoit du travail de l'extérieur, qu'abaisser son énergie cinétique, en cédant du travail à l'extérieur. En revanche, la dissipation du travail en chaleur ne peut se faire que dans un seul sens: elle est \textit{irréversible}. Il est impossible qu'un système, en abaissant spontanément sa température, cède du travail à l'extérieur.
\end{Remarque}


\section{Premier principe de la thermodynamique}

\index{Thermodynamique (1\ier principe)}Considérons un système qui reçoit, entre un état initial noté $(i)$ et un état final noté $(f)$, une quantité d'énergie $Q$ sous forme de chaleur et un travail $W$ effectué par des forces extérieures. Nous pouvons alors écrire:
\[E_c^{(f)}-E_c^{(i)}+U^{(f)}-U^{(i)}=W+Q,\] 
où $E_c$ est l'énergie cinétique (macroscopique) du système et $U$ son énergie interne. Considérons quelques cas limites de cette égalité:
\begin{itemize}
\item Dans le cas où la variation d'énergie interne du système est nulle, et où il n'échange pas de chaleur avec l'extérieur, on a $Q=0$ et $U^{(f)}-U^{(i)}=0$. L'égalité ci-dessus se réduit alors à:
  \[E_c^{(f)}-E_c^{(i)}=W,\]
  qui est le théorème de l'énergie cinétique.
\item Dans le cas où le système est reste immobile, la variation d'énergie cinétique est nulle et l'égalité ci-dessus devient simplement:
  \[U^{(f)}-U^{(i)}=W+Q,\] 
C'est souvent sous cette forme que l'on écrit le premier principe de la thermodynamique.
\end{itemize}

\begin{aretenir}
  La variation d'énergie interne d'un système \emph{restant au repos} est égale à la somme de la quantité d'énergie $Q$ reçue sous forme de chaleur et de la quantité d'énergie $W$ reçue sous forme de travail des forces extérieures s'exerçant sur le système:
  \[\Delta U = W+Q.\]
\end{aretenir}

\newpage

\section{Transferts thermiques par conduction}
\index{Conduction}
Si la température n'est pas uniforme à l'intérieur d'un système, on assiste à un transfert d'énergie des parties chaudes vers les parties froides. Les parties chaudes perdent donc de l'énergie interne et voient leur température baisser, tandis que les parties froides gagnent de l'énergie interne et voient leur température augmenter. Les transferts de chaleur cessent lorsque toutes
les parties du système ont la même température: on dit que le système a atteint l'\index{Equilibre@\'Equilibre thermique}équilibre thermique. L'évolution vers l'équilibre thermique est irréversible: l'énergie ne peut aller spontanément des parties froides vers les parties chaudes.

\begin{aretenir}
  Les transferts thermiques se font toujours des parties chaudes vers les parties froides d'un système. Si toutes les parties sont à la même température, il n'y a pas de transfert thermique. On dit que le système est à l'équilibre thermique.
\end{aretenir}

D'un point de vue microscopique, les entités qui se trouvent dans les parties les plus chaudes ont une énergie cinétique (de translation, vibration ou rotation) supérieure à celle des parties froides, et la communiquent de proche en proche aux entités des parties les plus froides. La plus ou moins grande facilité avec laquelle les entités transfèrent cette énergie des parties chaudes aux parties froides va déterminer les propriétés de bon ou mauvais conducteur thermique du système. 

On considère un corps homogène parallélépipédique, représentant une paroi. L'une de ses faces est maintenue à la température $T_0$ et l'autre à la température $T_1>T_0$.
Il existe un \index{Flux thermique}flux d'énergie au travers du parallélépipède, de la face chaude ($T_1$) vers la face froide ($T_0$),et qui a pour valeur:
\[\phi = \frac{T_1-T_0}{R},\]
où $R$ est une constante appelée la \index{Resistance@Résistance}résistance thermique du corps. Elle dépend de sa géométrie (surface, épaisseur) et du matériau dont il est constitué.
\begin{Remarque} 
Le flux est proportionnel à la différence de température; il s'annule donc à l'équilibre thermique.

  Notons que l'on peut réécrire la relation ci-dessus de la manière suivante:
  \[T_1-T_0=R\phi.\]
  Cette écriture nous rappelle la loi d'Ohm \og $U=RI$\fg, à ceci près que la tension (différence de potentiel) est remplacée par une différence de température, la résistance électrique est remplacée par une résistance thermique, et l'intensité du courant (qui correspond à un \og flux\fg{} de porteurs de charges) est remplacée par un flux thermique.
\end{Remarque}

\enlargethispage*{5em}


La résistance thermique s'exprime en kelvin par watt ($\textup{K}\cdot\textup{W}^{-1}$) dans les unités du Système International.
Plus la résistance thermique est grande, plus le flux thermique est petit (d'où le nom de \og résistance\fg: elle s'oppose au transfert thermique).

\newpage

À l'instar de ce que l'on peut faire pour évaluer la résistance électrique équivalente à des conducteurs ohmiques disposés en dérivation et en série, on peut écrire des lois de composition des résistances thermiques pour des parois placés l'une contre l'autre (en \og série\fg) ou juxtaposées (en \og parallèle\fg).

\subsection{Cas de parois placées l'une contre l'autre}
On considère deux parois placées l'une contre l'autre, de résistances thermiques respectives $R_1$ et $R_2$. La température à leur interface (entre les deux) est $T_i$. Le flux thermique qui traverse les deux parois est le même. 
\begin{center}
  \includegraphics{288_composR1}
\end{center} 
On peut donc écrire:
\begin{eqnarray*}
  \phi&=&\frac{T_1-T_i}{R_2}\\
  &=&\frac{T_i-T_0}{R_1}.
\end{eqnarray*}
De ces deux égalités on peut déduire:
\[T_i=\frac{T_0R_2+T_1R_1}{R_2+R_1}.\]
En remplaçant cette expression dans l'expression de $\phi$, on obtient, après simplification, la relation:
\[\phi=\frac{T_1-T_0}{R_1+R_2},\]
ce qui montre que le système des deux parois accolées a une résistance thermique égale à $R_1+R_2$. On peut retenir qu'elles sont \og en série\fg, donc que la résistance totale des parois n'est que la somme des résistances de chacune des parois. 

\subsection{Cas de parois juxtaposées} 

On considère deux \index{Paroi}parois juxtaposées, de résistances thermiques respectives $R_1$ et $R_2$. On appelle $\phi_1$ le flux thermique qui traverse la première paroi, et $\phi_2$ le flux thermique qui traverse la seconde paroi. 

La face droite des parois est portée à la température $T_1$ et la face gauche est portée à la température $T_0$.  On peut écrire: \begin{eqnarray*}
  \phi_1&=&\frac{T_1-T_0}{R_1}\\
  \phi_2&=&\frac{T_1-T_0}{R_2}
\end{eqnarray*}
\begin{center}
  \includegraphics{289_composR2}
\end{center}
Le \index{Flux thermique}flux thermique total traversant le système des deux parois est $\phi=\phi_1+\phi_2$. Nous pouvons donc écrire:
\[ \phi=\frac{T_1-T_0}{R_1}+\frac{T_1-T_0}{R_2}=(T_1-T_0)\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)\]
ce qui montre que le système des deux parois a une résistance thermique $R$ donnée par:
\[\frac 1R = \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}.\]

On retrouve, cette fois, la résistance globale assimilée à des résistance \og en parallèle \fg. 
On voit ainsi qu'à condition d'assimiler le cas des parois placées côte à côte au cas de dipôles en série, et celui de parois juxtaposées au cas de dipôles en dérivation, les résistances thermiques obéissent aux mêmes lois de composition que les résistances électriques.

\subsection{Cas d'un corps en contact avec un thermostat}
\begin{defin}
  On appelle \index{Thermostat}thermostat un système dont la \index{Temperature@Température}température est constante.
\end{defin}


Cela peut être un système dont la température est régulée, ou simplement un système d'une grande capacité thermique sur lequel les échanges thermiques n'ont pratiquement pas d'impact (par exemple une grande masse d'eau).

Nous considérons un système de température $T$ pouvant échanger de la chaleur avec un thermostat de température $T_0$ au travers d'une résistance thermique $R$. 

Le flux thermique du thermostat vers le système s'écrit donc:
\[\phi = \frac{T_0-T}{R}.\]
Le flux thermique est proportionnel à la différence de température entre le système et le thermostat. Ceci constitue la loi phénoménologique de Newton
relative à l'évolution thermique d'un système.

\begin{Remarque}
  on vérifie bien que le flux thermique vers le système est positif si le thermostat a une température plus élevée, et négatif dans le cas contraire.
\end{Remarque}

Ce flux thermique induit, en vertu du premier principe de la thermodynamique, une variation de l'énergie interne du système:
\[\frac{\dd U}{\dd t}=\phi.\]

En vertu de ce que l'on a vu à la section~\ref{sec:energie-interne}, on a également:
\[\frac{\dd U}{\dd t}=C\frac{\dd T}{\dd t}\]
donc en définitive nous avons:
\[C\frac{\dd T}{\dd t}=\frac{T_0-T}{R}.\]
Nous voyons que la température du système obéit à une équation différentielle du premier ordre. Celle-ci peut être écrite sous la forme:
\[RC\frac{\dd T}{\dd t}+T=T_0.\]
On voit ainsi que la constante de temps $\tau$ du système, qui représente le temps caractéristique pour que sa température tende vers celle du thermostat, est \linebreak
$\tau = RC$.

\section{Autres types de transferts thermiques}
Le transfert thermique par conduction que nous avons vu au paragraphe précédent se fait par transmission de proche en proche de l'énergie interne, sans déplacement de matière. Il ne peut se faire dans le vide: bien que la matière ne se déplace pas, elle est le support de la transmission thermique. Nous considérons ici deux autres types de transferts d'énergie macroscopique: la convection et le rayonnement.

\subsection{Convection}

La \index{Convection}convection est un phénomène qui a son origine dans la variation de volume massique d'un fluide avec la température. Considérons un fluide initialement à l'équilibre dans un champ de gravité, et isolons par la pensée une petite région de ce fluide (une parcelle). 

Le fluide est en équilibre, donc la somme vectorielle des forces s'exerçant sur la parcelle est nul: le poids et la force d'Archimède se compensent exactement. Si l'on introduit une source de chauffage à proximité de cette parcelle, elle voit sa température et son volume massique augmenter, donc la force d'Archimède s'exerçant sur elle augmente, son poids restant bien entendu constant. La somme vectorielle des forces s'exerçant sur la parcelle est donc dirigée vers le \og haut\fg (dans le sens opposé du champ de gravité), et la parcelle de fluide commence à monter, emportant avec elle l'excès d'énergie interne qu'elle doit à son chauffage. Cela correspond en particulier à l'observation courante qui dit que \og l'air chaud monte\fg. La parcelle ne va pas monter indéfiniment: elle va se mélanger aux parcelles environnantes, ou leur céder son excès d'énergie interne par conduction. Le bilan net est qu'il y a eu un transport vertical de matière accompagné d'un transfert d'énergie. Il n'existe pas de loi rigoureuse permettant d'écrire le flux thermique convectif dans toutes les situations, comme c'est le cas avec la conduction thermique, mais on peut décrire dans de nombreux cas le transport convectif à l'aide de relations empiriques ou phénoménologiques. Ceci est lié à l'extrême complexité du flux qui s'établit dans le régime convectif.

Le transfert thermique par convection a lieu dans de  nombreux cas, à de nombreuses échelles. Il peut exister aussi bien dans les gaz que dans les liquides:
\begin{itemize}
\item Les convecteurs électriques sont essentiellement des résistances chauffantes qui génèrent au bas d'une pièce un mouvement convectif (comme leur nom l'indique) qui assure le chauffage de l'air de la pièce.
\item Il existe des sources volcaniques sous-marines qui engendrent une convection de l'eau de mer à leur proximité.
\item Le chauffage de l'air au niveau du sol pendant la journée engendre des mouvements convectifs à grande échelle dans l'atmosphère. Ceux-ci peuvent notamment influencer la forme et la quantité des nuages. Les amateurs de deltaplane et de vol à voile (planeur) sont familiers de ces effets.
%\item Le transfert thermique d'énergie dans les étoiles est fréquemment assuré par la convection. Dans le Soleil, par exemple, les transferts thermiques se font par convection entre la surface et jusqu'à une profondeur représentant environ $30$~\% du rayon du Soleil. On voit les effets de cette convection dans la photosphère solaire (surface visible), où elle se manifeste sous la forme de granulation, qui correspond à des cellules convectives de quelques centaines à un millier de kilomètres d'extension.
\end{itemize}

\subsection{Rayonnement}
\begin{aretenir}
  \index{Loi de Stefan-Boltzmann}
Loi de Stefan-Boltzmann: tout corps émet un \index{Rayonnement}rayonnement, dont la puissance par unité de surface est donnée par:
\[{\cal P}=\epsilon \sigma T^4,\]
où $T$ est la température absolue du corps (mesurée en kelvin dans les unités du Système International), $\sigma$ est une constante de la physique appelée constante de Stefan-Boltzmann, et $\epsilon$ est un nombre sans dimension compris entre $0$ et $1$, appelé l'émissivité du corps.  
\end{aretenir}
Dans les unités du Système International, nous avons:
\[\sigma = 5{,}67\cdot 10^{-8}\mbox{~W}.\text{m}^{-2}.\text{K}^{-4}.\]
Les pertes par rayonnement induisent une baisse de l'énergie interne du corps émetteur. Ce type de transfert énergétique se fait sans transport de matière, et peut se faire au travers du vide.

%\subsection{Émissivité des corps}
L'\index{Emissivite@\'Emissivité}émissivité dépend du type de surface du corps. Les corps qui sont de bons absorbeurs de rayonnement (corps rugueux, de couleur sombre) ont une émissivité élevée. À l'inverse, un corps qui réfléchit le rayonnement (tel un corps métallique poli) a une émissivité basse. Le tableau suivant donne l'émissivité de quelques corps.\Par

\label{tab:emissivite}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\tabulartitle Matériau & émissivité & Matériau & émissivité  \\ \hline  
Aluminium poli & $0{,}04$ & Brique & $0{,}75$ \\ \hline   
Asphalte & $0{,}93$ & Béton & $0{,}85$ \\ \hline  
Basalte & $0{,}72$ & Or poli & $0{,}025$ \\ \hline   
Bois & $0{,}8-0{,}95$ & Papier & $0{,}92$ \\ \hline   
Ciment & $0{,}54$ & Verre & $0{,}92$ \\ \hline   
Plastique noir & $0{,}95$ & Plastique blanc & $0{,}84$ \\ \hline  
\end{tabular}
\end{center} 
\Par
 
On voit que si l'on veut minimiser les pertes thermiques par rayonnement d'un système, on a intérêt à le recouvrir d'une couche de métal poli. On comprend ainsi pourquoi les couvertures de survie, utilisées pour lutter contre les pertes thermiques du patient dans les environnements froids, 
ont leurs faces lisses et métallisées.

%\subsection{Concept de température effective}
%On appelle \index{Temperature@Température effective}température effective d'un corps la température $T_\mathrm{eff}$
%définie par:
%\[T_\mathrm{eff}=\left(\frac{{\cal P}}{\sigma}\right)^{1/4},\] où $P$ est la \index{Puissance lumineuse}puissance lumineuse rayonnée par le corps par unité de surface. Cette température coïncide avec celle du corps seulement dans le cas où son émissivité est égale à l'unité.

\begin{solintro}
  \begin{questions}
  \item On utilise la composition des résistances thermiques de parois juxtaposées:
    \[\frac{1}{R_{totale}}=\frac{1}{R_{mur}}+\frac{1}{R_{fen\^ etre}}\mbox{~~~soit~~~}R_{totale}=\frac{R_{mur}R_{fen\^ etre}}{R_{mur}+R_{fen\^ etre}}\]
    L'application numérique donne:
    \[R_{totale}= 2{,}6\cdot 10^{-3}\mbox{ K}\cdot\mbox{W}^{-1}\]   

\item Dans le premier cas (celui où on isole la fenêtre), la résistance  thermique totale de l'ensemble mur et fenêtre est donnée par:
\[R_1=\frac{44R_{mur}R_{fen\^ etre}}{R_{mur}+44R_{fen\^ etre}}=8{,}6\cdot 10^{-3} \mbox{ K}\cdot\mbox{W}^{-1} \]
Dans le second cas (celui où on isole le mur), elle vaut par contre:
\[R_2=\frac{101R_{mur}R_{fen\^ etre}}{101R_{mur}+R_{fen\^ etre}}=3{,}6\cdot 10^{-3} \mbox{ K}\cdot\mbox{W}^{-1} \]
\BreakWithoutItem 
Il nous faut bien sûr adopter la solution qui conduit à la plus grande résistance thermique, donc il faut en priorité faire poser un double vitrage. % Bien entendu, cette conclusion dépend, comme on le voit, de la surface du mur, de sa nature, et de la surface de la ou des fenêtres.
On voit que, dans le meilleur cas (celui de la pose de double vitrage), la résistance thermique
totale de l'ensemble \{mur+fenêtre\} passe de $R_{totale}=2{,}6\cdot 10^{-3}\mbox{~K}\cdot\mbox{W}^{-1}$ à $R_1=8{,}6\cdot 10^{-3}\mbox{~K}\cdot\mbox{W}^{-1}$. 
On divise donc le coût de la facture d'énergie (à température intérieure donnée) par $8{,}6/2{,}6=3{,}3$.
  \end{questions}
\end{solintro}
