\onglet
\begin{qcm}{Vérifiez vos connaissances}{30}
  \begin{questions}
  \item Plus la \index{Resistance@Résistance thermique}résistance
    thermique entre deux systèmes de températures différentes est
    élevée, plus le flux thermique entre les deux est:

      \resetchoix 
      \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
      \choix grand &\choix petit
      \end{tabularx}

      \item Des trois modes de transfert thermique, un seul peut
        s'effectuer à travers le vide.

        \resetchoix 
        \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
        \choix Vrai &\choix Faux
        \end{tabularx}

      \item Un système de température $T=310$~K est mis en contact
        avec un \index{Thermostat}thermostat de température $T_0=280$~K.  La capacité
        thermique du système est $C=120$~J.K$^{-1}$. Au bout de
        $5$~minutes, la température du système est de $291$~K. Sans
        effectuer ou poser de calculs, indiquer quelle est la seule
        valeur plausible de la résistance thermique entre le système
        et le thermostat:

        \resetchoix
        \choix $3{,}1\cdot 10^{-2}$~K.W$^{-1}$\\
        \choix $2{,}5$~K.W$^{-1}$\\
        \choix $290$~K.W$^{-1}$
      \item Si l'on abaisse la résistance thermique de la question
        précédente, l'équilibre thermique entre le système et le
        thermostat est atteint:

        \resetchoix\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
        \choix Plus lentement&
        \choix Plus rapidement
        \end{tabularx}

        \item Nous considérons un système au contact de deux
          thermostats. Le premier thermostat a une température $T_1=280$~K
          et le contact s'effectue au travers d'une résistance
          thermique $R$. Le deuxième thermostat a une température
          $T_2=360$~K, et le contact s'effectue au travers d'une
          résistance thermique $3R$. Quelle est la température du
          système à l'équilibre thermique ?

          \resetchoix

          \choix $320$~K\\
          \choix $300$~K\\
          \choix $340$~K\\
          \choix $280$~K\\
          \choix $360$~K.
  \end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
  \begin{questions}
    \item Réponse \choix[b]: petit. D'après la loi $\phi=\Delta
      T/R$, si $R$ augmente,\linebreak $\phi$ diminue.
    \item Réponse \choix[a]: vrai. Seul le transfert thermique par
      rayonnement peut s'effectuer à travers le vide. Le conduction
      thermique et la convection ne peuvent s'effectuer qu'à travers
      un milieu (fluide pour la convection).
    \item Réponse \choix[b]. La température au bout de $5$ minutes la
      température a baissé d'une fraction significative de la
      différence de température entre le système et le
      thermostat. L'ordre de grandeur du temps de mise en équilibre
      thermique du système, $RC$, doit être de $5$ minutes ou encore
      $300$ secondes. La résistance thermique du système doit être de
      l'ordre de quelques unités ($300/120$). Seul le choix \textit{b}
      satisfait cette condition.
    \item Réponse \choix[b]. La constante de temps du système ($RC$)
      devient plus petite.
    \item Réponse \choix[b]. Soit $\phi_1$ le flux thermique avec le
      premier thermostat, et $\phi_2$ le flux thermique avec le
      deuxième thermostat. Nous avons:
      \[\phi_1=\frac{T-T_1}{R}\]
      et
      \[\phi_2=\frac{T-T_2}{3R}.\]
      À l'équilibre thermique la somme de ces flux thermiques
      s'annule. Nous avons donc:
      \[\frac{T-T_1}{R}+\frac{T-T_2}{3R}=0\]
      ou encore:
      \[3(T-T_1)+T-T_2=0 \iff 4T=3T_1+T_2\]
      donc:
      \[T=\frac{3T_1+T_2}{4}.\]
      La température d'équilibre est une moyenne pondérée des
      températures des thermostats. L'application numérique donne $300$~K.
  \end{questions}
\end{corrige}
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\begin{exo}{Mur isolé}{Lycée D'Arsonval, Brive}{1}{10}
  On considère un mur composé de parpaing sur sa face extérieure, et
  d'un revêtement isolant sur sa face intérieure. La résistance
  thermique du mur de parpaing est $R_1=5{,}3\cdot
  10^{-3}$~K.W$^{-1}$, tandis que celle de la partie isolante est\linebreak
  $R_2=4{,}3\cdot 10^{-2}$~K.W$^{-1}$. On suppose que la température
  extérieure est\linebreak $\theta_1=-5\;^\circ$C, et que la température
  intérieure est $\theta_2=19\;^\circ$C.

  Quelle est la température à l'interface entre le mur de parpaing et
  l'isolant ?
\end{exo}
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\begin{corrige}
  On appelle $\phi$ le flux thermique entre l'intérieur et
  l'extérieur. Ce flux est le même au travers du mur de parpaing et au
  travers de la partie isolante. Si l'on note $\theta_i$ la
  température de l'interface, nous avons d'une part:
  \[\phi = \frac{\theta_2-\theta_i}{R_2}\]
  et d'autre part:
  \[\phi = \frac{\theta_i-\theta_1}{R_1}.\]
  Par conséquent, nous pouvons écrire:
  \[\frac{\theta_2-\theta_i}{R_2}=\frac{\theta_i-\theta_1}{R_1},\]
  d'où nous pouvons extraire l'expression de $\theta_i$:
  \[\theta_i\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)=\frac{\theta_1}{R_1}+\frac{\theta_2}{R_2},\]
  donc:
  \[\theta_i=\frac{\theta_1R_2+\theta_2R_1}{R_1+R_2}.\]
  L'application numérique donne:
  \[\theta_i=\frac{-5\times 4{,}3\cdot 10^{-2}+19\times 5{,}3\cdot
      10^{-3}}{ 4{,}3\cdot 10^{-2}+ 5{,}3\cdot
      10^{-3}}=-2{,}4\;^\circ\mathrm{C}.\]
  Il est intéressant de considérer les cas limites: si $R_2$ est
  beaucoup plus grande que $R_1$, l'expression de $\theta_i$ ci-dessus
  donne:
  \[\theta_i\simeq \frac{\theta_1R_2}{R_2}\simeq  \theta_1.\]
  La température à l'interface est alors pratiquement égale à la
  température extérieure. En revanche, en l'absence d'isolant (ou si
  la couche intérieure n'isole pratiquement pas), $R_2$ est nulle ou
  beaucoup plus petite que $R_1$, et l'on a:
  \[\theta_i\simeq \frac{\theta_2R_1}{R_1}\simeq  \theta_2.\]
  Dans ce dernier cas, la température sur la face intérieure du mur de
  parpaing est pratiquement égale à la température intérieure.
\end{corrige}
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\begin{exo}{Bilan thermique de la Terre}{Lycée Blaise Pascal, Saint-Dizier}{2}{25}
  \index{Bilan thermique de la Terre}Dans cet exercice, nous nous
  intéressons à la température effective moyenne de la surface
  terrestre, sans considérer ses variations spatiales (de l'équateur
  aux pôles) ou temporelles (journalière et saisonnières). Nous faisons
  l'hypothèse simplificatrice que la seule source de chaleur de la
  Terre est la rayonnement solaire. Étant donné que nous nous
  intéressons à la température effective de la Terre, nous supposons
  que sa surface a une émissivité égale à l'unité.

  La \index{Puissance lumineuse}puissance lumineuse émise par le
  Soleil est $L=3{,}83\cdot 10^{26}$~W. La Terre est située à la
  distance $D=1{,}50\cdot 10^8$~km de celui-ci, et le rayon de
  celle-ci est $R=6{,}37\cdot 10^3$~km.

  \begin{questions}
  \item Quelle est la fraction du rayonnement solaire interceptée par
    la Terre~? En déduire la puissance du rayonnement solaire incident
    sur Terre, et donner sa valeur dans les unités du Système
    International. On supposera que le rayonnement solaire est
    intercepté par un disque ayant le rayon de la Terre, et on
    effectuera le quotient entre la surface de ce disque  et la
    surface de la sphère centrée sur le Soleil et ayant pour rayon la
    distance Terre-Soleil.
    \item On suppose que toute la puissance incidente évaluée à la
      question précédente est absorbée par la Terre, et contribue à la
      chauffer. Lorsque la Terre est, en moyenne, en équilibre
      thermique, elle rayonne vers l'espace autant d'énergie qu'elle
      en absorbe du Soleil. Donner l'expression de la puissance
      lumineuse rayonnée par la Terre, en fonction de son rayon, de la
      constante de Stefan $\sigma$ et de sa température superficielle
      $T_s$. On utilisera la loi de Stefan vue en cours.
    \item En utilisant la réponse aux deux questions précédentes,
      donner l'expression de la température superficielle de la Terre
      $T_s$ en fonction de la puissance lumineuse émise par le Soleil,
      de la distance à celui-ci et de la constante de
      Stefan. Effectuer l'application numérique, puis convertir le
      résultat en degré Celsius.
    \item En réalité, toute l'énergie lumineuse reçue du Soleil n'est
      pas absorbée par la Terre. Une fraction $A=0{,}31$ de l'énergie
      incidente est renvoyée vers l'espace ($A$ est appelé l'\index{Albedo@Albédo}albédo de
      la Terre).
      \begin{questions}
      \item En déduire une nouvelle expression de la température
        superficielle terrestre $T_s'$ en fonction de la température
        $T_s$ déterminée à la question précédente, et de l'albédo
        $A$. Effectuer l'application numérique, puis convertir le
        résultat en degré Celsius. Que pensez-vous de la valeur
        obtenue?
      \item Comment évolue la température effective moyenne $T_s'$
        quand l'albédo augmente ?
      \item Donner l'expression de la valeur moyenne $F_S$ du flux
        thermique provenant du Soleil absorbé par la Terre, et donner
        sa valeur en W.m$^{-2}$.
      \end{questions}
     
    \item Nous considérons à présent le rôle de l'atmosphère
      terrestre.
      \begin{questions}
      \item En utilisant la loi de Wien vue en classe de Première
        (rappelée ci-dessous), donner un ordre de grandeur de la
        longueur d'onde des radiations majoritairement émise par la
        Terre (on utilisera la température $T_s'$ obtenue
        précédemment). À quel domaine du spectre électromagnétique ces
        radiations appartiennent-elles ?
      \item Principalement à cause de son contenu en vapeur d'eau et
        en dioxyde de carbone, l'atmosphère terrestre absorbe une
        fraction\linebreak $f=0{,}80$ du rayonnement émis par la Terre aux
        longueurs d'onde du domaine identifié à la question
        précédente. Étant en équilibre thermique, l'atmosphère rayonne
        le flux thermique ainsi absorbé pour moitié vers le sol, et
        pour moitié vers l'espace. La figure ci-après résume les
        différents flux. On note $F_T$ le flux thermique moyen émis
        par la Terre.
\begin{center}
        \includegraphics{296_bilanradiatif1}
        \end{center}

        À l'équilibre thermique, la somme des flux incidents sur le
        sol est égal au flux moyen thermique émis par la Terre. En
        déduire la relation entre $F_S$, $F_T$ et $f$.
      \item En utilisant la loi de Stefan, donner l'expression de
        $F_T$ en fonction de la température $T_s''$ du sol. En déduire
        l'expression de celle-ci en fonction de $F_S$, $\sigma$ et
        $f$.
        Effectuer l'application numérique et convertir le résultat en
        degré Celsius.
      \item Nous supposons à présent que la fraction du rayonnement
        émis par le sol et absorbé par l'atmosphère est
        $f=0{,}82$. Calculer la nouvelle
        \index{Temperature@Température moy. de la surface
          terrestre}température moyenne du sol.
        
      \end{questions}
    \end{questions}
    \textit{Données:}\\
    La surface d'une sphère de rayon $R$ est $4\pi R^2$.\\
    La longueur d'onde $\lambda_\mathrm{m}$ principalement émise par
    un corps de température $T$ est donnée par:
    \[\lambda_\mathrm{m}T\simeq  3{,}0\cdot
      10^{-3}\mbox{m.K}^{-1}\mbox{~~~~(loi de Wien)}\]
    La constante de Stefan vaut: $\sigma=5{,}67\cdot 10^{-8}$~W.m$^{-2}$.K$^{-4}$.
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
  \begin{questions}
      \item Au niveau de l'orbite terrestre, la radiation solaire se
    répartit sur une sphère centrée sur le Soleil et de rayon
    $D$, donc sur une surface \linebreak$S=4\pi D^2$. La surface $s$ interceptée par
    la Terre est celle d'un disque de rayon $R$ et vaut donc $s=\pi
    R^2$. La fraction du rayonnement solaire interceptée par la Terre
    est donc:
    \[F=\frac sS=\frac 14\left(\frac RD\right)^2=\frac
      14\left(\frac{6{,}37\cdot 10^3}{1{,}50\cdot
          10^8}\right)^2=4{,}51\cdot 10^{-10}.\]
    La puissance du rayonnement solaire incident sur Terre est donc:
    \[P=L\times F=3{,}83\cdot 10^{26}\times 4{,}51\cdot
      10^{-10}=1{,}73\cdot 10^{17}\mbox{~W}.\]
    La puissance du rayonnement solaire incident sur Terre est de
    $173$~PW (P est le symbole de \textit{péta-}, et correspond à
    $10^{15}$).
  \item La puissance lumineuse rayonnée par la Terre, par unité de
    surface, est $\sigma T_s^4$ (d'après la loi de Stefan, vue en
    cours). La surface totale de la Terre étant $4\pi R^2$, la
    puissance totale rayonnée par la Terre est:
    \[P=4\pi R^2\sigma T_s^4.\]
  \item À l'équilibre thermique, la puissance lumineuse reçue du
    Soleil et celle émise par la Terre sont égales, donc:
    \[4\pi R^2\sigma T_s^4=L\frac 14\left(\frac{R}{D}\right)^2.\]
    On peut simplifier cette égalité par $R^2$, puis extraire $T_s^4$,
    ce qui donne:
    \[T_s^4=\frac{1}{16\pi}\frac{L}{\sigma D^2}\]
    ou encore:
    \[T_s=\frac{1}{2}\left(\frac{L}{\pi\sigma D^2}\right)^{1/4}.\]
    L'application numérique donne:
    \[T_s=\frac{1}{2}\left[\frac{3{,}83\cdot 10^{26}}{\pi\times
          5{,}67\cdot 10^{-8} \times(1{,}50\cdot 10^{11})
            ^2}\right]^{1/4}=278\text{ K}.\]
    Les lois reliant température et rayonnement (telles la loi de Wien
    ou la loi de Stefan que nous venons d'utiliser) requièrent l'usage
    des températures absolues, donc en kelvin dans les unités du
    Système International. Pour obtenir la température dans en degrés
    Celsius, il nous suffit de retrancher $273$~K à cette valeur:
    \[\theta_s=278-273=5\mbox{~}^\circ\text{C}.\]
  \item
    \begin{questions}
    \item Seule la fraction $(1-A)$ de la puissance lumineuse reçue du
      Soleil contribue à l'équilibre radiatif terrestre. Il nous faut
      donc remplacer $L$ par $(1-A)L$ dans l'expression donnant $T_s$:
      \begin{eqnarray*}
      T_s'&=&\frac{1}{2}\left[\frac{(1-A)L}{\pi\sigma
              D^2}\right]^{1/4}\\
        &=&(1-A)^{1/4}\times \frac{1}{2}\left(\frac{L}{\pi\sigma
            D^2}\right)^{1/4}\\
          &=&(1-A)^{1/4}T_s.
      \end{eqnarray*}
      L'application numérique donne:
      \[T_s'=(1-0{,}31)^{1/4}\times 278 = 253\mbox{~K}.\]
      Exprimée en degrés Celsius, cette température vaut:
      \[\theta_s'=253-273=-20\mbox{~}^\circ\text{C}.\]
      Cette température est particulièrement basse, et ne semble pas
      correspondre à la température moyenne réelle de la surface
      terrestre.
    \item Nous observons que $(1-A)^{1/4}$ est une fonction
      décroissante de $A$, qui vaut $1$ quand $A=0$ et $0$ quand
      $A=1$. Par conséquent la température effective moyenne décroît
      quand l'albédo augmente. Ceci est logique: plus l'albédo est
      grand, plus grande est la fraction du rayonnement solaire
      incident qui n'est pas absorbée par la surface terrestre et qui
      ne contribue donc pas à la réchauffer.
    \item La puissance du rayonnement solaire absorbée par la Terre
      est \linebreak$P\times (1-A)$. Pour obtenir le flux recherché, il suffit de
      diviser cette puissance par la surface de la Terre, soit $4\pi
      R^2$:
      \[F_S=\frac{P(1-A)}{4\pi R^2}=\frac{173\cdot 10^{15}\times
          (1-0{,}31)}{4\pi\times (6{,}37\cdot 10^6)^2}=234\mbox{~W.m}^{-2}.\]
    \end{questions}
  \item
    \begin{questions}
      \item La loi de Wien s'écrit ici:
      \[\lambda_\mathrm{m}\simeq \frac{3{,}0\cdot
          10^{-3}}{253}\simeq  1{,}2\cdot 10^{-5}=12\mbox{~\textmu
          m}.\]
      Les radiations ayant cette longueur d'onde
      appartiennent au domaine infrarouge.
    \item On lit sur la figure que les flux incidents sur la surface
      terrestre sont $F_S$ et $(f/2)T_T$ tandis que le flux émis par
      celle-ci est $F_T$. À l'équilibre thermique on a donc:
      \[F_S+\frac f2 F_T=F_T\]
      soit:
      \[\left(1-\frac f2\right)F_T=F_S.\]
      \begin{methode}
        On peut retrouver cette égalité d'une autre manière, en
        écrivant que le flux solaire absorbé par la Terre est égal à
        la somme de 
        celui émis par la Terre directement dans l'espace, à savoir
        $(1-f)F_T$, et de celui renvoyé dans l'espace par l'atmosphère, à
        savoir $(f/2)F_T$. On retrouve bien en définitive:
        \[F_S=(1-f+f/2)F_T=(1-f/2)F_T.\]
      \end{methode}
    \item D'après la loi de Stefan, le flux thermique émis par
      rayonnement par la surface terrestre est:
      \[F_T=\sigma T_s''^4.\]
      En substituant cette expression dans la relation obtenue à la
      question précédente, nous avons:
      \[\sigma T_s''^4=\frac{F_S}{1-\frac f2}\]
      soit encore:
      \[T_s''=\left[\frac{F_S}{\sigma(1-\frac f2)}\right]^{1/4}.\]
      L'application numérique donne:
      \[T_s''=\left[\frac{234}{5{,}67\cdot 10^{-8}\times
            (1-0{,}40)}\right]^{1/4}=288\text{~K}.\]
      En degrés Celsius, cette température vaut:
      \[\theta_s''=288-273=15\mbox{~}^\circ\text{C}.\]
    \item Nous effectuons l'application numérique de la question
      précédente, cette fois avec $f=0{,}82$. Nous obtenons à présent:
      \[T_s''=\left[\frac{234}{5{,}67\cdot 10^{-8}\times
            (1-0{,}41)}\right]^{1/4}=290\text{~K}\]
      soit encore:
      \[\theta_s''=290-273=17\mbox{~}^\circ\text{C}.\]
      \begin{methode}
        Nous avons donné les températures avec trois chiffres
        significatifs, puisque c'était la précision avec laquelle
        étaient donnés les valeurs de l'énoncé. Toutefois, la
        variation de température que nous venons de déterminer n'a
        qu'un chiffre significatif. 
      \end{methode}
      Le fait qu'une fraction $f$ du rayonnement émis par la surface
      terrestre soit absorbé par l'atmosphère s'appelle \og l'effet de
      serre\fg. Plus $f$ est grande, plus l'effet de serre est
      important. Nous voyons sur les résultats ci-dessus que plus
      l'effet de serre est important, plus la température effective
      moyenne de la surface terrestre est élevée. Ceci est dû au fait
      que la fonction:
      \[f(x)\mapsto \left[\frac{F_S}{\sigma(1-\frac f2)}\right]^{1/4}\]
      est une fonction croissante de $f$.
    \end{questions}
    \end{questions}
\end{corrige}
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\begin{exo}{Plaquettes de frein}{Lycée Champollion, Grenoble}{3}{15}
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{plaquettes de freins}{https://media.prepamath.fr/ILTPCch15exo04}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.4){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTPCch15exo04}}}
\vspace*{-20pt}
\Par
  On considère une voiture de masse totale $m=930$~kg, qui roule à la
  vitesse $v=78$~km.h$^{-1}$ sur une route plate. Un brusque coup de
  frein fait passer sa vitesse à une nouvelle valeur
  $v'=40$~km.h$^{-1}$. On considère que chacune de ses roues comporte
  le même mécanisme de freinage: un disque en acier de rayon $r=15$~cm
  et d'épaisseur $e=2{,}0$~cm, de capacité thermique massique
  $c_1=510$~J.kg$^{-1}$.K$^{-1}$ et de masse volumique
  $\rho_1=7{,}8$~g.cm$^{-3}$, enserré par deux plaquettes
  rectangulaires (une de chaque côté du disque), de longueur $L=5{,}0$~cm,
  de largeur $l=3{,}0$~cm et d'épaisseur $e'=1{,}5$~cm, faites d'un
  alliage de capacité thermique massique $c_2=1{,}2\cdot
  10^3$~J.kg$^{-1}$.K$^{-1}$ et de masse volumique
  $\rho_2=8{,}0$~g.cm$^{-3}$.

  \begin{questions}
  \item On suppose dans cette première partie que la voiture ne dérape
    pas durant le freinage: les forces de frottement entre les
    pneumatiques et la route ne travaillent pas.
    \begin{questions}
    \item Calculer la variation
      d'\index{Energie@\'Energie cinétique}énergie cinétique de la
      voiture.
    \item Calculer la \index{Capacite@Capacité thermique}capacité
      thermique d'un disque et d'une plaquette.
    \item En déduire l'élévation de température des disques d'une part, et
      des plaquettes d'autre part.
    \end{questions}
    On admettra que la variation d'énergie cinétique est dissipée en 
    chaleur dans les freins, et que la chaleur ainsi dissipée est 
    transmise pour moitié aux disques, et pour moitié aux plaquettes de 
    frein, et que les quatre freins se comportent de manière identique. On 
    admettra également que les pertes d'énergie interne par rayonnement,
    convection et conduction des plaquettes et des disques sont 
    négligeables sur la durée du freinage. 
  \item On suppose à présent que la voiture dérape, et qu'elle a mêmes
    vitesses initiale et finale. L'élévation de température des
    disques et des plaquettes est-elle inférieure ou supérieure aux
    valeurs obtenues précédemment~?
  \end{questions}

  \textit{Indication:} la capacité thermique massique $c$ est la
  capacité thermique par unité de masse. Ainsi, on obtient la capacité
  thermique $C$ d'un système de masse $m$ par l'égalité:
  \[C=m\times c.\]

\end{exo}
%%%%
%%%% 
\begin{corrige}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTPCch15exo04}}}
\vspace*{-20pt}
  \begin{questions}
  \item 
    \begin{questions}
    \item L'énergie cinétique de la voiture, avant freinage, est:
      \[E_c,1=\frac 12 mv^2=\frac 12\times 930\times
      \left(\frac{78}{3{,}6}\right)^2=2{,}2\cdot 10^5\mbox{~J}.\]
      Après freinage, l'application numérique donne:
      \[E_c,2=\frac 12\times 930\times
      \left(\frac{40}{3{,}6}\right)^2=5{,}7\cdot 10^4\mbox{~J}.\]
      La variation d'énergie cinétique de la voiture est donc:
      \[\Delta E = E_c,2-E_c,1=-1{,}6\cdot 10^5\mbox{~J}.\]
    \item Le volume $V_d$ d'un disque est celui d'un cylindre de rayon $r$ et de
      hauteur $e$, soit:
      \[V_d=\pi r^2e=\pi\times (0{,}15)^2\times 2\cdot 10^{-2}=1{,}4\cdot
      10^{-3}\mbox{~m}^3.\]
      La masse d'une disque est donc:
      \[m_d=V_d\rho_1\] et sa capacité thermique s'en déduit par:
      \[C_d = m_dc_1=V_d\rho_1c_1=1{,}4\cdot 10^{-3}\times 7{,}8\cdot
      10^3\times 510=5{,}6\cdot 10^3\mbox{~J.K}^{-1}.\]
      \begin{methode}
        On veille à convertir les masses volumiques dans les unités du
        Système International: $1$~g.cm$^{-3}=10^3$~kg.m$^{-3}$.
      \end{methode}
      
      Le volume $V_p$ d'une plaquette est celui d'un parallélépipède
      rectangle et vaut:
      \[V_p=L\times l\times e=0{,}05\times 0{,}03 \times 0{,}015=2{,}2\cdot
      10^{-5}\mbox{~m}^3.\]
      Sa capacité thermique vaut donc:
      \[C_p=V_p\rho_2c_2=2{,}2\cdot 10^{-5}\times 8\cdot 10^3\times
      1{,}2\cdot 10^3=2,1.10^2\mbox{~J.K}^{-1}.\]
    \item Puisque chacun des quatre freins se comporte de manière
      identique, chacun d'eux reçoit une quantité de chaleur:
      \[Q = \frac{|\Delta E|}{4}.\]%=4{,}0\cdot 10^4\mbox{~J}\]
      Cette quantité de chaleur se répartit en deux fractions
      égales: $Q/2$, qui contribue à augmenter l'énergie interne du disque,
      et $Q/2$, qui contribue à augmenter l'énergie interne des deux
      plaquettes. Chaque plaquette reçoit donc une quantité de chaleur
      $Q/4$.
      
      En appelant $U_d$ l'énergie interne d'un disque, nous avons:
      \[\Delta U_d = \frac Q2=C_d \Delta T_d,\] 
      où $\Delta T_d$ est l'élévation de température des disques. Nous avons
      donc:
      \[\Delta T_d=\frac{Q}{2C_d}=\frac{|E|}{8C_d}=\frac{1{,}6\cdot
        10^5}{8\times 5{,}6\cdot
        10^3}
      %CI-DESSOUS: ERREUR VOLONTAIRE (détéctée)
      %=7{,}4\mbox{~K}=7{,}4\mbox{~$^\circ$C}.\]
    %CI-DESSOUS: RESULTAT CORRECT
     =3{,}6\mbox{~K}=3{,}6\mbox{~$^\circ$C}.\]
      
      \begin{methode}
        Il est indifférent d'exprimer le résultat en kelvin ou en degré
        Celsius, puisque l'on parle d'une \textit{différence} de température.
      \end{methode}
      
      En appelant $U_p$ l'énergie interne d'une plaquette, nous avons:
      \[\Delta U_p=\frac Q4 = C_p\Delta T_p,\]
      où $\Delta T_p$ est l'élévation de température des plaquettes. Nous avons
      donc:
      \[\Delta T_dp=\frac{Q}{4C_p}=\frac{|E|}{16C_p}=\frac{1{,}6\cdot
        10^5}{16\times 210}=48\mbox{~K}=48\mbox{~$^\circ$C}.\]
      
      Notons qu'il s'agit ici de résultats très approchés, puisque l'on
      néglige les pertes de chaleur des freins, ainsi que les transferts
      thermiques entre plaquettes et disques (par conduction) lorsqu'ils sont en contact. Ces
      résultats ont toutefois le mérite de donner un ordre de grandeur des
      différentes élévations de température.
    \end{questions}
  \item Une partie de la différence d'énergie cinétique de la voiture
    est dissipée en chaleur par le frottement entre les roues et le
    sol, la partie restante étant dissipée en chaleur dans les
    freins. L'élévation de température des disques et plaquettes est
    donc inférieure aux valeurs obtenues précédemment. 
    \begin{Remarque}
      dans le cas où les roues dérapent, il est fréquent qu'elles
      soient \og bloquées \fg{} par les freins (elles sont fixes dans
      le référentiel de la voiture). L'énergie cinétique est alors
      dissipée en chaleur exclusivement par le frottement des roues
      sur le sol, et l'élévation de température des composants des
      freins est négligeable. 
    \end{Remarque}
  \end{questions}
  
\end{corrige}
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%\begin{exo}{Sensation de froid}{Nouveau Programme}{3}{25}
%  On considère la main d'une personne immobile, non protégée par un 
%  gant, soumise à un vent ayant une vitesse $v$, l'air étant à la 
%  température $T_0=5\Utemp$.  On se pose la question de savoir quelle 
%  est la température $T_s$ à la surface de la peau.  La main est 
%  entourée d'une couche d'air ayant une vitesse beaucoup plus faible 
%  que celle du vent, appelée couche limite. Nous effectuons 
%  l'hypothèse simplificatrice que l'air est immobile dans la couche 
%  limite, dont l'épaisseur $\delta$ dépend de la vitesse $v$ du vent et 
%  est donnée par la relation approximative: 
%$\delta = {10^{-3}}/{v}$, 
%où les grandeurs sont exprimées dans les unités du système international. On suppose en outre que la température à la base du derme est égale à la température corporelle $T_c=37\Utemp$, et que le derme a une épaisseur $e=1$~mm.\Par 
%\begin{center}
%  \includegraphics[scale=.8]{sfroid}
%\end{center}
%\begin{questions}
%\enlargethispage{\baselineskip}
%\item Calculer la température $T_s$ dans le cas où la vitesse du vent est\linebreak $v_0=10$~km.h$^{-1}$ puis dans le cas où elle vaut $v_0'=40$~km.h$^{-1}$. On supposera que l'air est sec. 
%\item Répéter les calculs précédents dans le cas où l'air a un degré d'humidité tel que 
%sa conductivité thermique est $8$~fois supérieure à celle de l'air sec. 
%\end{questions}
%{\em Conductivités thermiques:}\\
%air sec: $K_a=0{,}026$~W.m$^{-1}$.K$^{-1}$; derme: $K_d=0{,}5$~W.m$^{-1}$.K$^{-1}$. 
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%  \begin{questions}
%  \item On commence par évaluer l'épaisseur de la couche limite dans les deux cas. Dans le premier cas, nous avons: 
%\[\delta=\frac{10^{-3}}{10/3{,}6}=3{,}6\cdot 10^{-4}\mbox{~m}\simeq  0{,}36\mbox{~mm}\]  
%Dans le second nous avons: 
%\[\delta'=\frac{10^{-3}}{40/3{,}6}=9\cdot 10^{-5}\mbox{~m}\simeq  0{,}09\mbox{~mm}\] 
%Nous écrivons que le flux thermique à travers la couche limite est égal au flux thermique à travers le derme.\Par 
%\begin{center}
%  \includegraphics{sfroid1}
%\end{center}
%\[\phi=K_a\frac{T_s-T_0}{\delta}=K_d\frac{T_i-T_s}{e},\]
%d'où l'on déduit finalement: 
%\begin{equation}
%  \label{eq16:1}
%  Ts\left(\frac{K_a}{\delta}+\frac{K_d}{e}\right)=\frac{K_d}{e}T_i+\frac{K_a}{\delta}T_0\Rightarrow 
%  T_s=\frac{\frac{K_d}{e}T_i+\frac{K_a}{\delta}T_0}{\frac{K_a}{\delta}+\frac{K_d}{e}}
%\end{equation}
%Nous évaluons respectivement: 
%\[\frac{K_d}{e}=500\mbox{~J}.\text{m}^{-2}.\text{K}^{-1}\] 
%et 
%\[\frac{K_a}{\delta}\simeq  72\mbox{~J}.\text{m}^{-2}.\text{K}^{-1}\]   
%L'application numérique donne: 
%\[T_s=\frac{500\times 37+72\times 
%  5}{500+72}\simeq  33\Utemp\]  
%Pour le second cas, nous évaluons tout d'abord: 
%\[\frac{K_a}{\delta'}\simeq  290\mbox{~J}.\text{m}^{-2}.\text{K}^{-1}\] 
%dont nous déduisons: 
%\[T_s'=\frac{500\times 37+290\times 5}{500+290}\simeq  25\Utemp\]
%\item On répète les calculs en utilisant cette fois la valeur\linebreak 
%  $K'_a=8\times 0{,}026=0{,}21$~W.m$^{-1}$.K$^{-1}$ pour la 
%  conductivité de l'air. Nous avons: 
%\[\frac{K_a'}{\delta}\simeq  
%580\mbox{~J}.\text{m}^{-2}.\text{K}^{-1}\]   
%dont on déduit: 
%\[T_s=\frac{500\times 37+580\times 5}{500+580}\simeq  20\Utemp\]  
%et dans le second cas: 
%\[\frac{K_a'}{\delta'}\simeq  
%2300\mbox{~J}.\text{m}^{-2}.\text{K}^{-1}\]  
%ce qui donne: 
%\[T_s'=\frac{500\times 37+2300\times 5}{500+2300}\simeq  11\Utemp\] 
%\begin{Remarques}
%On constate qu'un froid humide conduit à une température superficielle 
%de l'épiderme beaucoup plus basse qu'un froid sec de même température, 
%et donc à une sensation de froid beaucoup plus intense. On note que 
%l'équation~(\ref{eq16:1}) fait apparaître la température superficielle 
%de l'épiderme comme la moyenne pondérée de la température corporelle 
%et de la température extérieure, les coefficients de pondération étant 
%respectivement $K_d/e$ et $K_a/\delta$. Pour diminuer la sensation de 
%froid, $K_d/e$ étant fixé, il convient de diminuer le coefficient 
%$K_a/\delta$, ce qui peut se faire en augmentant $\delta$ (raison pour 
%laquelle un vent fort donne une plus grande sensation de froid puisque 
%la couche limite est alors plus fine).  On notera ainsi que le 
%mécanisme que l'on connaît sous le nom de \og chair de poule\fg 
%hérisse les poils et permet d'immobiliser une épaisseur d'air plus 
%importante que celle des couches limites considérées dans cette 
%exercice, ce qui permet d'abaisser le flux thermique et d'augmenter la 
%température superficielle de l'épiderme. 
%
%Notons enfin que le modèle pour la couche limite est un modèle 
%phénoménologique très simplifié. La couche limite dépend en 
%particulier fortement de la forme de l'objet. 
%\end{Remarques}
%
%  \end{questions}
%\end{corrige}
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\begin{exo}{Chauffage d'un studio}{Lycée Louis-Le-Grand, Paris}{3}{100}
  \textit{Les questions 1 à 5 peuvent être résolues en un temps
    imparti de 45 minutes. Pour aller plus loin, on pourra s'exercer
    sur les questions 6 à 8. Elles peuvent être résolues avec les
    notions vues en classe de Terminale, mais elles sont beaucoup plus
    difficiles.}

  On considère un studio que l'on modélise par un
  parallélépipède. On suppose qu'il donne sur l'extérieur par un seul
  de ses murs, de \index{Resistance@Résistance thermique}résistance
  thermique $R$. On néglige les échanges thermiques de l'appartement
  par ses autres faces.
  \Par
\begin{center}
  \includegraphics{298_isol2}
\end{center}
On note $T(t)$ la température à l'intérieur du studio, que l'on
suppose uniforme à tout instant. On note $T_0$ la température
extérieure, supposée constante. La capacité thermique totale du studio
est $C$. Ce studio est en outre pourvu d'un
\index{Radiateur}radiateur électrique, de puissance $P$.
\begin{questions}
\item Exprimer le flux thermique $\phi$ à travers le mur extérieur du studio en fonction de $R$, $T$ et $T_0$. 
\item Exprimer $\dfrac{\dd T}{\dd t}$ lorsque le radiateur est éteint en fonction de $\phi$ et $C$. 
\item Exprimer $\dfrac{\dd T}{\dd t}$ lorsque le radiateur est allumé en fonction de $\phi$, $P$ et $C$. 
\item En déduire l'équation différentielle à laquelle obéit la température intérieure lorsque le radiateur électrique est éteint, et lorsqu'il est allumé. 
\item On suppose que le radiateur chauffe  de manière 
  ininterrompue. Quelle est la température limite $T_m$ atteinte dans 
  l'appartement~? On supposera dorénavant que la température de 
  l'appartement est telle que \linebreak $T_0<T(t)<T_m$.
  \begin{plusloin}
    On pourra essayer de résoudre les questions suivantes, toutes
    accessibles avec les notions du cours de Terminale. Il pourra être
    utile de revoir au préalable les résultats concernant la
    résolution des équations différentielles du premier ordre à
    coefficients constants, page~\pageref{sec:savoir-resoudre-une}.
  \end{plusloin}
  
\item Le radiateur est en fait pourvu d'un thermostat, qui déclenche 
  l'allumage du radiateur lorsque la température devient inférieure à 
  $T_1$ et son extinction quand elle redevient supérieure 
  $T_2>T_1$. Donner l'allure de la courbe de température en fonction 
  du temps. On supposera que la température initiale du studio est 
  $T_0$ (il n'a pas été chauffé depuis longtemps), et on supposera 
  $T_0<T_1<T_2<T_m$. 

  On rappelle que l'équation différentielle 
\[\frac{\dd T}{\dd t}+aT=b,\] où $a$ et $b$ sont des constantes, a pour 
solution $T=Ke^{-at}+b/a$, dans laquelle la constante $K$ est ajustée 
à une valeur particulière de $T$. 
\item Quelle fraction du temps le radiateur est-il allumé~? On l'exprimera en fonction de $T_0$, $T_1$, $T_2$, $P$ et $R$. 
\item Simplifier l'expression obtenue à la question précédente en
  faisant l'hypothèse que $T_2-T_1 \ll T_1-T_0$ et
  $T_2-T_1 \ll T_m-T_2$ (le symbole $\ll$ signifie \og beaucoup plus
  petit que\fg). On utilisera l'approximation $\ln(1+x) \simeq  x$
  valable quand $|x| \ll 1$. La température maintenue dans le studio
  est alors quasi constante puisque les températures $T_1$ et $T_2$
  sont presque égales. Quel est le flux thermique à travers le mur
  extérieur en fonction de $T_1$, $T_0$ et $R$~? Vérifier que ce flux
  correspond à la puissance du radiateur, multipliée par la fraction
  du temps sur lequel il est allumé.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item Le flux thermique à travers le mur extérieur du studio est donné: 
    \[\phi = \frac{T-T_0}{R}.\]
  \item La variation d'énergie interne du studio sur un petit 
    intervalle de temps $\delta t$ est  donnée par $C\delta T$, où 
    $\delta T$ est sa variation de température. Par ailleurs elle 
    vaut aussi $-\phi\delta t$
    ($\phi$ étant la puissance perdue par transfert thermique). Nous avons donc l'égalité: 
    \[C\delta T = \phi\delta t\mbox{~~~soit~~~~}\frac{\delta T}{\delta t}=-\frac\phi C.\]
En faisant tendre $\delta t$ vers zéro, nous obtenons l'égalité: 
\[\frac{\dd T}{\dd t}=-\frac\phi C.\]
\item Dans le cas où le radiateur est allumé, il y a une source d'énergie interne supplémentaire, qui vient s'opposer aux pertes thermiques à travers le mur extérieur. 
Sur un intervalle de temps $\delta t$, la variation d'énergie interne de l'appartement est donc $-\phi\delta t+P\delta t$. On obtient donc, par passage à la limite comme précédemment, la relation: 
\[\frac{\dd T}{\dd t}=-\frac\phi C+\frac PC.\]
\item En substituant le flux thermique par l'expression trouvée à la première question, on obtient, lorsque le radiateur est éteint: 
\[\frac{\dd T}{\dd t}=-\frac{T-T_0}{RC},\] 
et lorsqu'il est allumé: 
\[\frac{\dd T}{\dd t}=-\frac{T-T_0}{RC}+\frac PC.\]
\item La température atteinte dans l'appartement s'obtient en annulant la dérivée dans l'équation différentielle précédente (en effet, quand $t$ tend vers l'infini, la température tend vers une constante). On obtient alors: 
\[-\frac{T_m-T_0}{RC}+\frac PC=0\]
qui donne tous calculs faits: 
\[T_m=T_0+PR.\]
On constate, comme on pouvait s'y attendre, que cette température limite augmente avec la puissance du radiateur, et avec la résistance thermique des murs (mieux ils sont isolés, plus la température atteinte est grande). 
\item On donne tout d'abord l'allure générale de la courbe de température correspondant au cas où le radiateur est éteint. L'équation différentielle qui régit son évolution peut être réécrite sous la forme: 
\[\frac{\dd T}{\dd t}+\frac{T}{RC}=\frac{T_0}{RC}.\] 
Il s'agit d'une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants, dont la solution générale est la somme des solutions générales de l'équation homogène (sans second membre) associée, et d'une solution particulière. Il est facile de vérifier qu'une solution particulière triviale est $T=T_0$, et donc la solution générale est donnée par: 
\[T(t)=Ke^{-\frac{t}{RC}}+T_0,\]
où $K$ est une constante d'intégration, qui peut être obtenue connaissant $T(0)$, la température initiale à l'intérieur de l'appartement:\linebreak 
$K=T(0)-T_0$. Puisque $T(t)>T_0$, nous avons $K>0$ et 
l'allure générale de la courbe est  celle suivante.
\begin{center}
  \includegraphics{308_courbetemp1}
\end{center}
On donne à présent l'allure de la courbe correspondant au cas où le radiateur est tout le temps allumé. L'équation différentielle qui régit alors l'évolution temporelle de la température est donnée par: 
\[\frac{\dd T}{\dd t}+\frac{T}{RC}=\frac{T_0}{RC}+\frac{P}{C}.\]
La solution particulière est, ainsi que nous l'avons vu ci-dessus, 
\linebreak $T=T_0+PR$. La solution générale est donc donnée par: 
\[T(t)=Ke^{-\frac{t}{RC}}+T_0+PR,\]
où $K$ est donnée par les conditions initiales et vaut\linebreak $K=T(0)-T_0-PR=T(0)-T_m$. Puisque $T(t) < T_m$, $K<0$ et la courbe a l'allure suivante:\Par 
\begin{center}
  \includegraphics{308_courbetemp2}
\end{center} 
Nous sommes à présent en mesure de donner l'allure de la température intérieure du studio en fonction du temps dans le cas général où le thermostat s'ouvre et se ferme alternativement. Initialement, le thermostat est donc fermé et le radiateur chauffe: on a alors la solution avec radiateur allumé, jusqu'à ce que $T=T_2$ (branche~1). Le thermostat s'ouvre alors et on retrouve la solution avec radiateur éteint (branche~2), jusqu'à ce que $T=T_1$. À ce moment-là, le thermostat se ferme et le radiateur se remet en marche: on a à nouveau la solution 
avec radiateur allumé (branche~3). On voit donc au final que, passé le comportement transitoire initial, la température dans la pièce est une fonction périodique du temps, comprise entre les valeurs $T_1$ et $T_2$. 

Les branches de solutions représentées en bleu correspondent au radiateur allumé, et celles représentées en noir au radiateur éteint.\Par 
\begin{center}
  \includegraphics{309_courbetemp3}
\end{center}
\item On cherche quelle est la durée $t_{\rm OFF}$ d'une branche descendante de la courbe précédente (branche~2, par exemple). Pour une écriture plus légère, on choisit l'origine des dates 
au moment où le thermostat s'ouvre. La solution est donnée par: 
\[T(t)=Ke^{-\frac{t}{RC}}+T_0,\]
et $K$ est donnée par $T(0)=T_2=K+T_0$, donc nous avons: 
\[T(t)=(T_2-T_0)e^{-\frac{t}{RC}}+T_0.\]
Cette solution est valable jusqu'à ce que $T=T_1$. On écrit donc: 
\[T(t_{\rm OFF})=T_1\mbox{~~~soit~~~}T_1=(T_2-T_0)e^{-\frac{t_{\rm OFF}}{RC}}+T_0,\]
d'où l'on extrait: 
\[t_{\rm OFF}=RC\ln\left(\frac{T_2-T_0}{T_1-T_0}\right)\]
De la même manière on cherche la durée $t_{\rm ON}$ d'une branche ascendante de la courbe précédente (branche~3, par exemple). On choisit là encore l'origine des dates au moment où le thermostat se ferme. La solution est donnée par: 
\[T(t)=Ke^{-\frac{t}{RC}}+T_0+PR,\]
et la constante d'intégration $K$ est donnée par: $T_1=K+T_0+PR$, soit $K=T_1-T_0-PR$. L'expression de $T(t)$ sur la branche ascendante est donc au final: 
\[T(t)=(T_1-PR-T_0)e^{-\frac{t}{RC}}+T_0+PR.\]
La durée d'allumage du radiateur est obtenue en écrivant $T(t_{\rm ON})=T_2$, ce qui conduit, après simplifications, à: 
\[t_{\rm ON}=RC\ln\left(\frac{T_0+PR-T_1}{T_0+PR-T_2}\right).\]
La fraction $f$ du temps sur lequel le radiateur est allumé est donc:
\[f=\frac{t_{\rm ON}}{t_{\rm ON}+t_{\rm OFF}}, \]
ce qui donne en définitive: 
\[f=\frac{\ln\left(\frac{T_0+PR-T_1}{T_0+PR-T_2}\right)}{\ln\left(\frac{T_2-T_0}{T_1-T_0}\right)+\ln\left(\frac{T_0+PR-T_1}{T_0+PR-T_2}\right)}\]

\item On peut considérablement simplifier l'expression précédente si l'on fait l'hypothèse indiquée dans l'énoncé. Prenons l'exemple du numérateur de l'expression obtenue précédemment: 

  \begin{eqnarray*}
\ln\left(\frac{T_0+PR-T_1}{T_0+PR-T_2}\right)&=&\ln\left(\frac{T_0+PR-T_2+T_2-T_1}{T_0+PR-T_2}\right)\\[8pt]
&=&\ln\left(1+\frac{T_2-T_1}{T_0+PR-T_2}\right)\\[8pt]
&\simeq & \frac{T_2-T_1}{T_0+PR-T_2}.
      \end{eqnarray*}
      
      \Par
      
En effectuant des simplifications similaires sur les termes du dénominateur, nous écrivons finalement: 
\begin{align*}
f & =\dfrac{\dfrac{T_2-T_1}{T_0+PR-T_2}}{\dfrac{T_2-T_1}{T_1-T_0}+\dfrac{T_2-T_1}{T_0+PR-T_2}}\\
  & =\dfrac{T_1-T_0}{PR-T_2+T_1}.
  \end{align*}
  
Puisque $T_2-T_1$ est une quantité petite devant $T_m-T_2$ et $T_1-T_0$, donc {\em a fortiori} devant $T_m-T_0=PR$, nous pouvons omettre cette quantité du dénominateur du résultat précédent, qui s'écrit alors: 
\[f\simeq \frac{T_1-T_0}{PR}.\]
Le flux thermique à travers le mur extérieur, si l'on considère la température intérieure constante et égale à $T_1$, est simplement $\phi=(T_1-T_0)/R$. Par ailleurs, la puissance moyenne $P_m$ du radiateur, qui est égale à sa puissance réelle multipliée par la fraction du temps sur laquelle il fonctionne, est donnée par: 
\[
P_m=Pf=\dfrac{T_1-T_0}{R}.
\]

Cette puissance moyenne coïncide bien entendu avec le flux thermique. 

\newpage

% Supprimée pour cause de mise en page
\begin{Remarque}
nous constatons que plus la température à l'intérieur est grande, plus la fraction du temps où le radiateur est allumé est grande. Lorsque la température souhaitée $T_1$ s'approche 
de $T_m=T_0+PR$, cette fraction du temps tend vers $1$: le radiateur est alors presque toujours allumé. 
Dans le cas, non considéré dans cet exercice, où la température souhaitée $T_1$ est supérieure à $T_m$,
%(ce qui peut arriver si $PR$ est trop petit, c'est-à-dire si le radiateur est sous-dimensionné pour l'appartement et/ou celui-ci est mal isolé car la résistance thermique est trop petite)
on a les désagréments majeurs suivants: 
\begin{itemize}
\item le radiateur ne s'arrête jamais, et la consommation électrique est donc maximale; 
\item la température souhaitée n'est jamais atteinte, et la température du local est donc $T_0+PR$. On voit que cette température dépend directement de la température extérieure $T_0$, donc toute baisse de celle-ci se répercute directement à l'intérieur. 
\end{itemize}
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{corrige}
 
\thumb\AfficheCorrige 
