\chapter{Son et\\ effet Doppler}
\label{cha:son-et-effet-doppler}
\section{Intensité et niveau sonore}

\subsection{Introduction}
\begin{exointro}{Lycée International, Saint Germain en Laye}
    Le bruit émis par une mouche à~$10$~cm de l'oreille a un niveau 
  sonore de~$40$~dB. 

  Jusqu'à quelle distance peut-on entendre la mouche ? 

  \textit{Indication} : l'intensité sonore est inversement 
  proportionnelle au carré de la distance à la source. 
  \vspace*{-1.5em}
\end{exointro}

Cet exercice porte sur la notion
d'\index{Intensite@Intensité sonore}intensité sonore et de
\index{Niveau sonore}niveau sonore, ainsi que sur celle
d'\index{Attenuation@Atténuation}atténuation géométrique, qui fait que
l'on entend les sons \og moins fort\fg{} quand on s'éloigne de la
source. Nous allons étudier ces notions dans le présent chapitre, et
voir un autre type d'atténuation.


\subsection{Notion d'intensité sonore}
\enlargethispage*{4em}
On appelle \index{Puissance d'une onde sonore}puissance d'une
\index{Onde sonore}onde sonore l'énergie transportée par l'onde sonore
par unité de temps.  Dans les unités du Système International,
l'énergie s'exprime en {joule} (symbole~J) et la puissance en {watt}
(symbole~W).

\begin{defin}
On appelle %
{intensité} d'une onde sonore la puissance transportée 
par l'onde par unité de surface. 
Si on note $I$ l'intensité de l'onde, $P$ la puissance qu'elle transporte 
à travers une surface $S$, alors : $I=\dfrac{P}{S}.$
\end{defin}

{Unités :} dans le Système International, $P$ est en watt, $S$ en 
mètre~carré (m$^2$) et $I$ en watt~par~mètre~carré 
($\mbox{W.m}^{-2}$).

\subsection{Intensité sonore de référence}
La plus petite intensité sonore que peut capter l'oreille humaine est : 
\[I_0=10^{-12}\mbox{ W.m}^{-2}.\]

Cette intensité est d'un picowatt par mètre carré. On rappelle que le
préfixe \og pico\fg{} correspond à $10^{-12}$.

Cette intensité sera adoptée comme intensité de référence pour
l'échelle logarithmique que l'on présente plus loin dans ce chapitre:
elle correspond au \og point zéro\fg{} de cette échelle.

\begin{Remarque}
l'intensité sonore correspondant au seuil de la douleur est : 
\[I_{\scriptsize \rm max}=0{,}1\mbox{ W.m}^{-2}.\] On remarque la grande
sensibilité du tympan, ainsi que son extraordinaire dynamique (rapport
${I_{\scriptsize \rm max}\over I_0}$). Notons que le seuil de la
douleur dépend de la personne, de l'âge, etc. Il est parfois situé
placé à $1$~W.m$^{-2}$. C'est le cas dans l'un des exercices proposés
dans ce chapitre.
\end{Remarque}

\subsection{Besoin d'une échelle logarithmique}

Les énergies ou puissances mises en jeu lors de l'émission ou de la
réception d'ondes sonores usuelles peuvent varier considérablement.
Ainsi, entre l'intensité sonore d'une onde sonore à peine perceptible
et l'intensité d'une onde sonore au seuil de la douleur, il n'y a pas
moins de 11 ordres de grandeurs: $I_\mathrm{max}/I_0 = 10^{11}$~! Pour
s'accommoder de telles variations, il est commode d'adopter une
échelle logarithmique, comme c'est le cas lorsque qu'une quantité
physique peut varier de beaucoup d'ordres de grandeur de manière
usuelle (par exemple en chimie la notion de pH correspond à une
échelle logarithmique correspondant à la concentration en ions oxonium
$\mathrm{H_3O^+}$, qui peut varier de quatorze ordres de grandeur en
solution aqueuse).

\subsection{Niveau d'intensité sonore et décibels}
\label{sec:niveau-sonore-et} 
Pour manipuler des nombres qui ne soient pas trop petits ou trop
grands, on introduit la notion de \index{Niveau sonore}niveau
d'intensité sonore, exprimé en \index{Decibel@Décibel}décibel, de
symbole~dB. C'est une échelle \index{Logarithme}logarithmique associée à la notion
d'intensité sonore.

\begin{defin}
  Le niveau d'intensité sonore $L$ associé à l'intensité sonore $I$
  est défini par la relation:
  \[L=10\times \log \left(\frac{I}{I_0}\right),\]
  où $I_0=10^{-12}\mbox{ W.m}^{-2}$
\end{defin}

Dans la pratique, pour être plus concis, on dira \og niveau
sonore\fg{} au lieu de \og niveau d'intensité sonore\fg.

Vérifions que l'intensité sonore de référence correspond à un niveau
sonore égal à zéro:
\[L_0 = 10\times \log \left(\frac{I_0}{I_0}\right)=10\times
  \log  (1)=0\text{ dB},\]
où nous avons utilisé l'égalité $\log (1)=0$.

Qu'advient-il au niveau sonore quand on multiplie l'intensité sonore
par $10$ ? Nous avons déjà répondu à cette question en classe de
Seconde, et savons que le niveau sonore augmente de
$10$~dB. Toutefois, la notion de niveau sonore n'avait pas été
introduite en utilisant la fonction \index{Logarithme}logarithme. Démontrons ici ce
résultat. Considérons une onde d'intensité sonore $I$ et de niveau
acoustique $L$, et calculons le niveau acoustique d'une onde
d'intensité sonore $I'=10\times I$:

\begin{eqnarray*}
L'&=&10\times\log \left(\frac{I'}{I_0}\right)=10\times\log \left(10\times\frac{I}{I_0}\right)\\
  &=&10\times\log (10)+10\times\log \left(\frac{I}{I_0}\right)\\
  &=&10\times 1+L=10+L.
\end{eqnarray*}

\begin{aretenir}
  Lorsque l'on multiplie l'intensité sonore par $10$, on ajoute $10$~dB au
  niveau sonore.
\end{aretenir}

On retrouve bien cette propriété générale des échelles logarithmiques
grâce auxquelles les multiplications sont \og converties\fg{} en additions.

\enlargethispage*{3em}
\textit{Exemples}
\begin{itemize}
\item
  Calculons le niveau sonore lié à une onde d'intensité sonore
  $10^{-8}$~W.m$^{-2}$.
  Nous avons:
  \[L=10\times
    \log \left(\frac{10^{-8}}{10^{-12}}\right)=10\times\log (10^4)=10\times
    4=40\text{ dB}.\]
  On pouvait aussi ne pas poser les calculs, et
  utiliser des méthodes similaires à celles utilisées en classe de
  Seconde, en remarquant qu'ici, simplement, l'intensité acoustique
  est $\nombre{10000}$ fois plus grande que celle de référence. Il
  faut donc multiplier l'intensité de référence quatre fois
  successivement par dix\linebreak ($I_0\times 10\times 10\times 10\times 10$),
  et donc ajouter successivement quatre fois $10$~dB au niveau sonore de
  référence.

\item  Calculons à présent le niveau sonore correspondant au seuil de la
  douleur. Il s'écrit:
  \[L=10\times
    \log \left(\frac{0{,}1}{10^{-12}}\right)=10\times\log (10^{11})=10\times
    11=110\text{ dB}.\]
  Le niveau sonore correspondant au seuil de la douleur est de
  110~dB. Comme on l'a mentionné plus haut, la définition du seuil de
  la douleur est parfois fixée à $1$~W.m$^{-2}$. On peut alors
  vérifier que ceci correspond à un niveau sonore  de $120$~dB.
  \end{itemize}


Qu'advient-il du niveau sonore quand on double l'intensité sonore ?
Effectuons le calcul. Considérons une onde d'intensité sonore $I$ et
de niveau acoustique $L$, et calculons le niveau acoustique d'une onde
d'intensité sonore $I'=2\times I$:
\begin{eqnarray*}
L'&=&10\times\log \left(\frac{I'}{I_0}\right)=10\times\log \left(2\times\frac{I}{I_0}\right)\\
  &=&10\times\log (2)+10\times\log \left(\frac{I}{I_0}\right)\\
  &\approx &3\times 1+L=3+L,
\end{eqnarray*}
où l'on a utilisé la calculatrice pour déterminer
$\log (2)\approx 0{,}301\ldots$\\  Ainsi, lorsqu'on double
l'intensité sonore, on ajoute $3$~dB au niveau sonore.


L'échelle suivante montre les niveaux sonores caractéristiques de
bruits de la vie quotidienne.

\begin{center}
  \includegraphics{316_dbscale}
\end{center}

\subsection{Influence de la distance}
\enlargethispage*{2em}
Si une source sonore considérée comme ponctuelle émet une onde sonore 
de puissance $P$ avec la même intensité dans toutes les directions, et 
que cette onde n'est ni diffractée, ni réfléchie, l'intensité sonore 
$I$ perçue à la distance $R$ de la source est donnée par:
\begin{equation}
  \label{eq:infdist}
  I=\frac{P}{S}=\frac{P}{4\pi R^2},
\end{equation}
où $S=4\pi R^2$ est la surface de 
la sphère centrée sur la source et de rayon $R$. 

\begin{aretenir}
  L'intensité sonore est inversement proportionnelle au carré de la 
  distance à la source, quand l'onde sonore n'est ni diffractée ni 
  réfléchie, et se propage librement. 
\end{aretenir}

Comment se traduit cette relation pour les niveaux sonores ?
D'après la propriété précédente, quand on multiplie par deux la
distance à la source, l'intensité sonore est divisée par $4(=2^2)$. D'après la section précédente, quand on divise
l'intensité sonore par $2$, on abaisse le niveau sonore de
$3$~dB. Ici, l'intensité sonore est divisée successivement deux fois
par deux, donc on retranche deux fois $3$~dB, soit $6$~dB.

\begin{aretenir}
  Quand on multiplie par deux la distance à la source, le niveau
  sonore est abaissé de $6$~dB (si l'onde sonore se propage librement,
  sans être diffractée ou réfléchie).
\end{aretenir}

Au fur et à mesure que l'on s'éloigne de la source, le niveau sonore
baisse: on dit que le son est atténué. On parle ici
d'\index{Attenuation@Atténuation géométrique}atténuation géométrique,
car la seule raison de la baisse de l'intensité ou du niveau sonore
est la \og dilution\fg{} sur une sphère de plus en plus grande de la
puissance sonore émise par la source, ainsi qu'on le voit à
l'équation~(\ref{eq:infdist}).

\subsection{Atténuation par absorption}
Une autre manière d'atténuer une onde sonore consiste à la faire se
propager dans un milieu où elle est amortie, et auquel elle cède une
partie de l'énergie qu'elle transporte. L'énergie de l'onde est alors
dégradée en chaleur.

L'atténuation\index{Attenuation@Atténuation par absorption} des sons
par absorption entre deux pièces séparées par un mur est une
expérience de la vie courante. L'atténuation dépend de plusieurs
facteurs:
\begin{itemize}
\item l'épaisseur du mur;
\item le matériau dont il est constitué;
\item la fréquence du son.
\end{itemize}

Nous listons ci-dessous quelques matériaux utilisés dans la
construction et l'atténuation qu'ils procurent.

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\tabulartitle  Matériau & $125$~Hz & $500$~Hz & $4$~kHz\\ \hline
Béton (20 cm) & $-39$~dB & $-51$~dB & $-60$~dB \\ \hline  
Brique (10 cm)  & $-30$~dB & $-40$~dB & $-60$~dB \\ \hline
Bois massif (5 cm) & $-22$~dB & $-26$~dB & $-35$~dB \\ \hline 
Verre (6 mm) & $-23$~dB & $-28$~dB & $-36$~dB \\ \hline 
\end{tabular}
\end{center}

\newpage

\begin{solintro}
  On peut entendre la mouche jusqu'à une distance qui confère au son 
  reçu par l'oreille un niveau sonore de~0~dB, soit 40~dB 
  au-dessous de son niveau sonore à 10~cm. 

  Puisque le niveau sonore peut {\em baisser} de 
  $40=10+10+10+10$~dB, l'intensité sonore peut être {\em divisée 
    par} $10\times 10 \times 10\times 10 = 10^4$. 

  La distance à la mouche peut donc être multipliée par 
  $\sqrt{10^4}=100$, donc la distance jusqu'à laquelle on peut 
  entendre la mouche est :
  \[D = 0{,}1\times 100 = 10\text{~m}\]. 
  \vspace*{-2em}
\end{solintro}

\section{Effet Doppler}

\subsection{Introduction}
\begin{exointro}{Lycée Victor Duruy, Paris}
Deux observateurs sont situés de part et d'autre d'un véhicule en
mouvement qui possède une sirène émettant un son de fréquence au repos
$f_0$.
L'observateur de gauche perçoit un son de fréquence $f_1=7{,}0\cdot 10^2$~Hz, et
l'observateur de droite un son de fréquence $f_2=6{,}0\cdot 10^2$~Hz.
\Par
\begin{center}
\includegraphics{318_exotypedoppler}
\end{center}

\begin{questions}
  \item Le véhicule se déplace-t-il vers la gauche ou la droite?
  \item Quelle est la vitesse $v$ du véhicule?
  \item Quelle est la fréquence au repos $f_0$ de la sirène?
\end{questions}
  \textit{Indications:}\\
  La vitesse du son est $c_s=340$~m.s$^{-1}$.\\
  La fréquence perçue $f$ est donnée par:
  \[f=\frac{f_0}{1+v/c_s},\]
  où $v$ est positive si le véhicule s'éloigne, et négative s'il se rapproche.
\end{exointro}

\newpage

Ce chapitre présente un effet physique d'importance considérable,
ayant de nombreuses applications, de la médecine à l'astrophysique:
l'\index{Effet Doppler}effet Doppler (du nom du physicien autrichien
Christian Doppler, 1803-1853), parfois également appelé effet
Doppler-Fizeau (du nom du physicien français Hippolyte Fizeau,
1819-1896).


\subsection{Représentation schématique dans le cas des ondes sonores}

% vidéo manquante
%\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez une animation sur l'effet Doppler en vidéo.]{effet Doppler}{https://media.prepamath.fr/ILTPCch06crs}
%
%\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.2){
%\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTPCch16crs}}}
%\vspace*{-14pt}
 
 \enlargethispage*{2em}
Supposons qu'un objet en mouvement par rapport à un observateur émette
une onde sonore de fréquence $f_{\' emise}$. L'observateur recevant cette onde
mesure une fréquence $f_{re\c cue}$ différente de la fréquence émise. La
différence entre la fréquence $f_{re\c cue}$ et la fréquence $f_{\' emise}$, que l'on
appelle le décalage Doppler, dépend de la vitesse de l'objet. De
manière similaire, la longueur d'onde observée est également
différente de la longueur d'onde que l'on obtiendrait si l'objet était
au repos. La figure suivante illustre cette situation. Sur cette
figure, les cercles représentent des \og fronts d'onde\fg. Pour fixer
les idées nous pouvons imaginer que ces fronts d'onde correspondent
aux maxima du signal associé à l'onde (maximum de la pression
acoustique).

\begin{center}
  \includegraphics{319_doppler1}
\end{center}
\Par

On voit sur la figure que lorsque la source s'éloigne (cas de
l'observateur~1), les ondes émises par la source ont une longueur
d'onde apparente $\lambda$ plus grande que leur longueur d'onde au repos
$\lambda_0$. Réciproquement, si la source se rapproche (cas de
l'observateur~2), les ondes émises par la source ont une longueur
d'onde apparente $\lambda$ inférieure à leur longueur d'onde au repos
$\lambda_0$. Enfin, lorsque la source reste sensiblement à distance constante (cas
de l'observateur~3), on voit que la longueur d'onde des ondes émises
par la source est sensiblement égale à la longueur d'onde au repos.
De manière plus générale, le décalage Doppler des ondes émises par la
source dépend de la vitesse à laquelle la source s'approche ou
s'éloigne de l'observateur, que l'on appelle la vitesse radiale de la
source. Son expression est:
\[v_r = \frac{\vec{v}.\gvec{OS}}{OS},\]
où $O$ est l'observateur et $S$ la source, qui se déplace à la
vitesse~$\vec v$ par rapport à~$O$. On voit ainsi que la
vitesse radiale est positive  si la source s'éloigne ($\vec{v}$ et
$\gvec{OS}$ ont même sens) et négative dans le cas contraire. 

\subsection{Décalage Doppler}

Nous allons établir l'expression du décalage Doppler pour un
observateur fixe et une source en mouvement, dans le cas où
l'observateur se situe sur l'axe de déplacement de la source
(c'est-à-dire pour les observateurs~1 et~2 de la figure précédente).
Pour fixer les idées, nous supposons comme au paragraphe précédent que
l'onde est une onde sonore de vitesse $c_s$ et que sa fréquence
d'émission est $f_{\' emise}$.  Par conséquent, si la source était au repos, la
longueur d'onde des ondes qu'elle émettrait serait:
\[\lambda_0=\frac{c_s}{f_{\' emise}}.\]
Nous notons $T_0=1/f_{\' emise}$ la période de l'onde. C'est la durée séparant
l'émission de deux maxima consécutifs de l'onde. Lorsque la source
émet un front d'onde (maximum de pression) à un temps $t$, celui-ci se
propage à la vitesse $c_s$, et, après une période de l'onde, se
retrouve à la distance $c_sT_0=c_s/f_{\' emise}=\lambda_0$ de la position de la
source au temps $t$. Toutefois, au temps $t+T_0$, la source a bougé
d'une quantité $vT_0$: la longueur d'onde vue par l'observateur~1
est donc rallongée de cette quantité:
\begin{eqnarray*}
  \lambda &=& \lambda_0+vT_0\\
          &=&\lambda_0+\frac{v}{f_{\' emise}}\\
          &=&\lambda_0+\frac{v}{c_s}\frac{c_s}{f_{\' emise}}\\
          &=&\lambda_0+\frac{v}{c_s}\lambda_0\\
          &=&\lambda_0\left(1+\frac{v}{c_s}\right).
\end{eqnarray*}
La fréquence perçue s'en déduit par:
\[f=\frac{c_s}{\lambda}=\frac{f_{\' emise}}{1+v/c_s}.\] 
De manière similaire, la longueur d'onde vue par l'observateur~2 est
raccourcie de $vT_0$. Pour cet observateur, on a donc:
\[\lambda=\lambda_0-vT_0=\lambda_0\left(1-\frac{v}{c_s}\right).\]
La fréquence perçue par cet observateur vaut, quant à elle:
\[f=\frac{c_s}{\lambda}=\frac{f_{\' emise}}{1-v/c_s}.\]

Nous pouvons généraliser ces deux expressions en faisant appel à la
vitesse radiale $v_r$ de la source, c'est-à-dire la vitesse à laquelle la
source s'éloigne de l'observateur. 

Pour l'observateur~1, par exemple,
elle vaut $v$, tandis qu'elle vaut $-v$ pour l'observateur~2.


Entre la \index{Frequence@Fréquence d'émission}fréquence d'émission
$f_{\' emise}$ et la \index{Frequence@Fréquence de réception}fréquence de
réception $f_{re\c cue}$ par l'observateur, on a la relation
suivante:
\begin{aretenir}
\label{sec:effet-doppler}
\[f_{re\c cue}=f_{\' emise}\frac{1}{1+v_r/c},\]
où $c$ est la vitesse de l'onde, et $v_r>0$ lorsque la source et l'observateur se rapproche, ou $v_r<0$ lorsqu'ils s'éloignent.
\end{aretenir}
De la même manière, entre la longueur d'onde au repos $\lambda_0$ et
celle $\lambda$ mesurée par l'observateur, on a la relation:
\[\lambda=\lambda_0\left(1+\frac{v_r}{c_s}\right).\]

On note $\Delta f$ le décalage Doppler sur la fréquence qui est la différence entre la fréquence perçue par l'observateur et la fréquence qu'il percevrait si la source était immobile.

\begin{aretenir}
  $\Delta f = f_{re\c cue}-f_{\' emise}>0$ Hz si la source se rapproche de l'observateur.
  $\Delta f = f_{re\c cue}-f_{\' emise}<0$ Hz si la source s'éloigne.
\end{aretenir}

On peut également utiliser le décalage Doppler $\Delta \lambda$ sur la
\index{Longueur d'onde}longueur
d'onde. En vertu de l'expression donnée précédemment pour la longueur
d'onde, nous avons simplement:
\[\Delta\lambda=\lambda-\lambda_0=\lambda_0\frac{v_r}{c_s}\]

\begin{Exemple}
  on retrouve ici une expérience que l'on fait couramment avec les
  ondes sonores: la sirène d'un véhicule qui s'éloigne paraît plus
  grave ($f_{re\c cue}<f_{\' emise}$ quand $v_r>0$) que la fréquence au repos et celle
  d'un véhicule qui s'approche plus aiguë ($f_{re\c cue}>f_{\' emise}$ quand $v_r<0$).
\end{Exemple}

 \subsection{Effet Doppler pour les ondes électromagnétiques}


L'effet Doppler est un effet qui a lieu quel que soit le type d'onde 
considéré, qu'il s'agisse d'\index{Onde sonore}ondes sonores, d'ondes lumineuses,
etc. Ci-dessus nous considérions des ondes sonores, et les formules
donnant la longueur d'onde ou la fréquence perçues faisaient
intervenir la vitesse du son.

L'effet Doppler sur les ondes électromagnétiques est de nature
tout-à-fait similaire. La seule différence avec les formules données
précédemment réside dans le fait que l'on doit remplacer la vitesse du
son par la vitesse de la lumière.

L'effet Doppler sur les ondes électromagnétiques est très utilisé en
astrophysique, car il permet de déterminer la vitesse radiale des
sources. Il est également utilisé par les \og radars\fg{} pour mesurer
la vitesse des véhicules sur les routes, en utilisant le léger
décalage des ondes électromagnétiques renvoyées par la carrosserie.

\enlargethispage*{3em}
\begin{solintro}
\begin{questions}
\item L'observateur qui perçoit le son le plus aigu est l'observateur
  de gauche, donc le véhicule se déplace vers la gauche.
\item On peut donc écrire:
  \[f_1=\frac{f_0}{1-v/c_s}\qquad\text{et}\qquad f_2=\frac{f_0}{1+v/cs}.\]
  En divisant membre à membre ces deux égalités, on obtient:
  \[\frac{f_1}{f_2}=\frac{1+v/c_s}{1-v/c_s}\quad\text{soit}\quad f_1\left(1-\frac{v}{c_s}\right)=f_2\left(1+\frac{v}{c_s}\right)\]
  donc
  \[f_1-f_2=(f_1+f_2)\frac{v}{c_s};\]
  par conséquent:
  \[v=c_s\frac{f_1-f_2}{f_1+f_2}.\]
  L'application numérique donne:
  \[v=340\times\frac{700-600}{700+600}=26\mbox{~m.s}^{-1}.\]
  Nous convertissons cette valeur en kilomètre par heure:
  \[v=26\times 3{,}6=94\mbox{~km.h}^{-1}.\]
  Nous gardons deux chiffres significatifs puisque c'est la précision
  avec laquelle les fréquences sont données dans l'énoncé.
\item Nous utilisons indifféremment la relation donnant $f_1$ ou
  $f_2$. Ici nous considérons le premier cas. De l'égalité
  \[f_1=\frac{f_0}{1-v/c_s}\]
  nous déduisons:
  \[f_0=f_1\left(1-\frac{v}{c_s}\right).\]
  L'application numérique donne:
  \[f_0=700\times \left(1-\frac{26}{340}\right)=646\approx
    650\mbox{~Hz}.\]
  Là encore, nous gardons deux chiffres significatifs. Nous constatons
  que la fréquence au repos est pratiquement égale à la moyenne des
  deux fréquences perçues.
\end{questions}
\vspace*{-1em}
 \end{solintro}