\onglet
\begin{qcm}{Vérification des connaissances}{5}
%%%%
%%%%
\begin{questions}
\item Lorsque deux musiciens jouent à l'unisson d'un même 
instrument, le niveau sonore est:\\
\resetchoix 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix multiplié par deux & \choix identique\\
\multicolumn{2}{@{}l}{\choix augmenté de 3~dB}
\end{tabularx}

par rapport au cas où un seul musicien joue. 

\item Quelle est l'intensité sonore qui correspondrait à un son de niveau sonore de $400$~dB ?\\
  \resetchoix 
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
  \choix $I=10^4$~W.m$^{-2}$ &
  \choix $I=400$~W.m$ ^{-2}$ &
  \choix $I=10^{28}$~W.m$^{-2}$
  \end{tabularx}
  
Que penser de cette valeur~? 

\item À quel niveau sonore correspond le seuil de la douleur ?\\
\resetchoix 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix 1 dB &\choix 100 dB &\choix 110 dB &\choix 12 dB 
\end{tabularx}

\item Dans une cour de récréation, cent élèves sont en train de jouer. Le niveau sonore mesuré 
par un riverain est de 50~dB.  Quel niveau sonore s'attend-on à mesurer si mille élèves jouent 
dans la cour ?\\
\resetchoix 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix 100 dB &\choix 53 dB &\choix 60 dB &\choix 500 dB
\end{tabularx}

\item En s'appuyant sur le tableau d'atténuation par absorption
  donné dans le cours, on peut voir qu'en général les matériaux
  atténuent préférentiellement \\
  \resetchoix 
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix les sons graves &\choix les sons aigus
  \end{tabularx}
  
%\item Le niveau sonore au voisinage d'une fusée au décollage est de
%  $180$~dB. L'intensité sonore est donc:\\
%  \resetchoix \choix 70 fois plus grande qu'au seuil de la douleur\\
%  \choix dix millions de fois plus grande qu'au seuil de la douleur.\\
%  \choix $18/11$ fois plus grande qu'au seuil de la douleur
%  
%\item Le décalage Doppler d'une onde sonore dépend:
%
%  \resetchoix \choix de la distance à la source\\
%  \choix de la vitesse
%  de la source\\
%  \choix du niveau sonore \\
%  \choix de la vitesse du son
  
\item On observe que les raies d'absorption dans le spectre d'une
  étoile donnée ont une longueur d'onde légèrement plus petite que la
  longueur d'onde au repos des transitions auxquelles elles
  correspondent. On parle de \og décalage vers le bleu\fg. L'étoile:\\
  \resetchoix \choix est immobile par rapport à l'observateur\\
  \choix s'éloigne de l'observateur\\
  \choix s'approche de l'observateur.

\item Sans essayer de redémontrer la formule de la fréquence d'une
  onde sonore reçue d'un émetteur en mouvement (qui n'est pas à
  connaître par c\oe ur), identifier parmi celles qui sont proposées
  ci-dessous celle qui est correcte, sachant qu'il n'y en a qu'une (il
  faut donc procéder par élimination). Dans ces expressions $\nu_0$
  représente la fréquence de l'onde émise, $\nu$ la fréquence mesurée
  par l'observateur, $v$ la vitesse radiale de l'émetteur et $c_s$ la vitesse du son.
  
  \resetchoix
  \choix $\displaystyle \nu = \frac{\nu_0}{1-v/c_s^2}$\\
  \choix $\displaystyle \nu = \frac{\nu_0}{1+v/c_s}$\\
  \choix $\displaystyle \nu = \frac{\nu_0}{c_s-v}$\\
  \choix $\displaystyle \nu = \frac{c_s}{\nu_0-v}$\\
  \choix $\displaystyle \nu=\nu_0\frac{v}{c_s}$
\end{questions}
\end{qcm}
%%%
%%%
\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. L'intensité sonore est 
multipliée par deux, donc le niveau sonore augmente d'environ 3~dB. 

\item Réponse \choix[c]. Il suffit d'appliquer la formule du cours:
\[
\frac{L}{10}=\log\left(\frac{I}{I_0}\right).
\]
La fonction réciproque de $\log$ étant la fonction \og 10 puissance \fg, on a :
\[
10^{(L/10)} = \frac{I}{I_0} \text{ et donc } I = I_0 \times 10^{L/10}.
\]
\textit{Application numérique:}
\begin{align*}
I & = 10^{-12} \times 10^{40}\\
  & = 10^28\text{ W.m}^{-2}.
\end{align*}
 Cette valeur
est bien entendu aberrante: ce flux d'énergie est supérieur à celui
émis, sous forme lumineuse, par le Soleil ! Même les sons les plus
forts, au-delà du seuil de la douleur, ont des niveaux sonores bien
en-deçà de cette valeur.
\item Réponse \choix[c].

\item Réponse \choix[c]. L'intensité sonore doit être multipliée par dix, donc on ajoute dix 
  au niveau sonore.
  
\item Réponse \choix[b]. On voit que les coefficients d'absorption
  sont plus grands (en valeurs absolue) pour les fréquences les plus
  élevées, donc les sons aigus, ceci quel que soit le matériau.
  
%\item Réponse \choix[b]. Si on appelle $L'=180$~dB le niveau sonore
%  au voisinage de la fusée, et $L=110$~dB le niveau sonore
%  correspondant au seuil de la douleur, et si on note respectivement
%  $I'$ et $I$ les intensités correspondantes, on a:
%  \[L'=10\log \left(\frac{I'}{I_0}\right)\quad\text{et}\quad L=10\log \left(\frac{I}{I_0}\right).\]
%  En soustrayant membre à membre ces deux égalités, on obtient:
%  \begin{eqnarray*}
%    L'-L&=&10\log \left(\frac{I'}{I_0}\right)-10\log \left(\frac{I}{I_0}\right)\\
%        &=&10\log \left(\frac{I'}{I_0}\right)+10\log \left(\frac{I_0}{I}\right)\\
%        &=&10\log \left[\left(\frac{I'}{I_0}\right)\times\left(\frac{I_0}{I}\right)\right]\\
%        &=&10\log \left(\frac{I'}{I}\right).
%  \end{eqnarray*}
%  On a donc:
%  \[\left(\frac{I'}{I}\right)=10^{\frac{L'-L}{10}}=10^{\frac{180-110}{10}}
%    =10^7.\]
%    
%\item Réponses \choix[b] et \choix[d]: il ne dépend que de la vitesse de la source et
%  de la vitesse du son.
  
\item Réponse \choix[c]: l'étoile s'approche de l'observateur car la longueur d'onde diminue, elle tend vers les basses valeurs du visibles associées au \og bleu \fg.

\item Réponse \choix[b]. On commence par éliminer les expressions qui ne sont pas
  dimensionnellement homogènes (c'est-à-dire où l'on ajoute ou soustrait des
  quantités ayant des unités différentes, ce qui est interdit en
  physique). C'est le cas de l'expression \emph{a} ($1$ au dénominateur n'a
  pas d'unité et ne dépend donc pas du système d'unités utilisé,
  tandis que $v/c_s^2$ est l'inverse d'une vitesse et dépend donc du
  système d'unités utilisé.  Le cas \emph{d} est également à éliminer: on ne peut pas
  soustraire une vitesse à une fréquence ! On peut également éliminer le cas \emph{c}: au
  numérateur on a une fréquence, tandis qu'au dénominateur on a une
  fréquence. Le résultat ne peut donc pas être une fréquence (on
  laisse au lecteur le soin de vérifier que le résultat a la dimension
  d'une longueur). Les deux résultats dimensionnellement homogènes
  sont donc le \emph{b} et le \emph{e}. Le \emph{e}, toutefois, est invalide: il donne une
  fréquence observée nulle si l'émetteur est immobile (alors qu'elle
  devrait être simplement $\nu_0$ dans ce cas). 
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}
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\begin{exo}{Niveau sonore}{Lycée Henri IV, Paris}{1}{5}
  Un piano produit un son d'intensité sonore à dix mètres de distance\linebreak
  $I=3{,}4.10^{-4}\;\;\mbox{W.m}^{-2}$.
    \begin{questions}
    \item Quel est le niveau sonore correspondant ?
    \item Quel est le niveau sonore correspondant à quatre
      pianos jouant ce même son simultanément ?
    \end{questions}
  \end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item On écrit la relation: 
    \[L= 10\times \log \left(\frac{I}{I_0}\right) =10\times  
      \log  (3{,}4\cdot 10^8) =10\times 8{,}53=85\mbox{~dB}.\] 
On garde deux chiffres significatifs puisque c'est la précision avec
laquelle est donnée l'intensité sonore dans l'énoncé.
  \item Il suffit cette fois d'appliquer la formule précédente avec
    l'intensité
    \linebreak
    $I' = 4I = 1{,}4\cdot 10^{-3}\,\mbox{W.m}^{-2}$. Cela donne : 
    \[L = 10\times \log \left(\frac{I'}{I_0}\right) =10\times 
      \log  (1{,}4\cdot 10^9) =10\times 9{,}13=91\mbox{~dB}.\]
    \begin{methode}
On pouvait également répondre à cette questions en effectuant moins de
calculs. L'intensité sonore est multiplié par $2\times 2$. À chaque
multiplication par deux, on ajoute $3$~dB au niveau sonore, donc on
doit ajouter $6$~dB au total. Nous avons $85+6=91$~dB.
    \end{methode}
  \end{questions}
\end{corrige}
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\begin{exo}{Décroissance de l'écho}{D'après Lycée La Xavière, Lyon}{2}{5}
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%
    \begin{center}
      \includegraphics{324_necanyon2}
    \end{center}

    Un chercheur d'or est au fond d'un canyon, à mi-chemin entre les
    parois.  Après avoir découvert une pépite énorme, il pousse un cri
    de niveau sonore~95~dB. Après chaque réflexion sur les parois,
    l'intensité du son reçu par le chercheur d'or est divisée par~20.
    
    Combien d'échos entend-il ?
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
  Commençons par évaluer de combien baisse le niveau sonore lorsque
  l'intensité sonore est divisée par $20$. Nous pouvons évaluer cette
  baisse de deux manières différentes, exposées ci-dessous.
  \enlargethispage*{2em}
  \begin{itemize}
  \item \textit{Première méthode: calcul direct.} On considère un son
    d'intensité sonore $I$ et de niveau sonore $L$, ainsi qu'un son
    d'intensité sonore $I'=I/20$ et de niveau sonore $L'$.
    
     Déterminons
    $L'-L$:
    \begin{eqnarray*}
      L'-L&=&10\log \left(\frac{I/20}{I_0}\right)-10\log \left(\frac{I}{I_0}\right)\\[4mm]
          &=&10\log \left(\frac{I}{I_0}\right)+10\log \left(\frac{1}{20}\right)-10\log \left(\frac{I}{I_0}\right)\\[4mm]
      &=&-10\log (20)\\[4mm]
      &=&-13\mbox{~dB}.
    \end{eqnarray*}
    Le niveau sonore baisse de $13$~dB entre deux échos successifs.
  \item \textit{Deuxième méthode: utilisations de résultats particuliers.}
  
    Nous avons $20=10\times 2$. Nous savons que le niveau sonore
    augmente de $10$~dB lorsqu'on multiplie par dix l'intensité
    sonore, et augmente de $3$~dB lorsqu'on la multiplie par deux. Au
    total, lorsqu'on la multiplie par vingt, il augmente donc de
    $10+3=13$~dB. Par conséquent, lorsqu'on la divise par $20$, il
    baisse de $13$~dB.
  \end{itemize}

  Outre le cri initial de niveau sonore $95$~dB, le chercheur d'or va
  donc entendre des échos de niveaux sonores successifs:
  \begin{eqnarray*}
    L_1&=&95-13=82\mbox{~dB}\\
    L_2&=&82-13=69\mbox{~dB}\\
    L_3&=&69-13=56\mbox{~dB}\\
    L_4&=&56-13=43\mbox{~dB}\\
    L_5&=&43-13=30\mbox{~dB}\\
    L_6&=&30-13=17\mbox{~dB}\\
    L_7&=&17-13=4\mbox{~dB}
  \end{eqnarray*}
  Au-delà, on voit que le niveau sonore serait négatif: cela
  correspond à des intensités sonores en deçà du seuil d'audibilité,
  et le chercheur d'or ne les entend plus. Il entend donc $7$ échos.
  \begin{Remarque}
    les niveaux sonores $L_1$ à $L_7$ constituent les premiers termes
    d'une suite arithmétique décroissante.
  \end{Remarque}
  \begin{methode}
    On peut également répondre à cette question en effectuant la
    division euclidienne de $95$ par $13$, qui donne:
    \[95=7 \times 13 + 4,\]
    où $7$ est le quotient et $4$ le reste. On lit directement sur ce
    résultat que l'on entend $7$ échos et que le dernier a un niveau
    sonore de $4$~dB.
  \end{methode}
\end{corrige}
%%%
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\begin{exo}{Niveau sonore}{D'après Lycée Saint Paul, Lens}{2}{5}
    \begin{center}
      \includegraphics{324_nepiano}
    \end{center}
    L'intensité sonore émise par une corde de piano est
    proportionnelle au carré de l'amplitude de la vibration de cette
    corde.  Un pianiste frappe une première fois la touche La$_3$ et
    donne à la corde une amplitude de $0{,}32$~mm.  Il la frappe une
    seconde fois, avec une amplitude de~$1{,}5$~mm.  Quelle est, en
    décibels, la différence de niveau sonore entre les deux sons émis?
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
  Entre les deux frappes de la touche, l'amplitude de la corde est 
  multipliée par $k = \frac{1{,}5}{0{,}32} \simeq 4{,}7$. 
  
  L'intensité sonore est donc multipliée par
%  $k^2=4{,}7$. %<=== ERREUR VOLONTAIRE (non détectée)
  $k^2=22$. % <==== REPONSE CORRECTE

  Soit $L$ le niveau sonore du son initial et $L'$ le niveau sonore du
  second son. On note respectivement $I$ et $I'$ les intensités
  sonores correspondantes. Nous avons:
  \begin{eqnarray*}
    L'-L&=&10\log \left(\frac{k^2I}{I_0}\right)-10\log \left(\frac{I}{I_0}\right)\\
    &=&10\log (k^2)=10\log (22)=13\mbox{~dB}.
  \end{eqnarray*}
  Le niveau sonore augmente donc de $13$~dB.
\end{corrige}
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%%% 
\newpage
\begin{exo}{Concert en plein air}{Bac 2013, Amérique du Sud}{2}{60}
  \textit{Cet exercice porte sur les \index{Risques auditifs}risques auditifs liés à l'écoute
    prolongée de musique. Vous devez lire attentivement
    l'ensemble des documents proposés, répondre à la fin de l'exercice
    à des questions à choix multiples puis résoudre le problème posé à
    l'aide d'une rédaction d'au minimum 20 lignes.}
  
  \og Depuis les années~70, l'écoute de la musique à un niveau sonore
  élevé est devenue un véritable phénomène de mode et le risque de
  perte d'acuité auditive est aujourd'hui un véritable problème de
  santé publique.

  En général les personnes atteintes se plaignent de sifflements dans
  l'oreille (d'acouphènes) ou de troubles de l'audition qui
  disparaissent le plus souvent après quelques jours de repos
  auditif. À long terme ces effets peuvent devenir permanents et
  l'audition dégradée de manière irréversible.

  C'est pour cela que le niveau sonore pour les établissements
  diffusant de la musique est réglementé à $105$~dB (décret 98-1143
  dit \og lieux musicaux \fg) (ce niveau sonore maximum a été revu à la  baisse et vaut $102$~dB depuis 2017). Le niveau des baladeurs est limité à
  $100$~dB mais ce niveau peut être facilement amplifié par les
  écouteurs.

  Il est donc important d'éduquer, d'informer et d'amener la
  population à réfléchir sur le handicap que peut engendrer
  l'exposition prolongée à des niveaux sonores trop élevés.\fg

  \textit{D'après le pharmacien et l'oreille: conseil à l'officine,
    thèse soutenue par Adeline Zannoni.}

  
  %%% DEBUT DOCUMENT 1
  \textbf{Document~1:}
  \Par
  \fbox{\begin{minipage}[center]{1.0\linewidth}
      \og Comment varie le niveau sonore en fonction de la distance~? Si le son 
      n'est pas réfléchi ou diffracté, le niveau sonore perd $6$~dB à chaque 
      fois que l'on double la distance. Si le niveau sonore est de 90~dB à 
      3~mètres de l'instrument, il sera de 84~dB à six mètres.\fg 
      
      Niveau sonore de divers instruments à trois mètres, en plein air: 
      
      \begin{center}
        \begin{tabular}[center]{|c|c|c|c|c|}
          \hline\tabulartitle 
          Clarinette & Contrebasse & Piano & Trombone & Grosse caisse \\
          \hline 
          $86$~dB & $92$~dB & $94$~dB & $107$~dB & $113$~dB\\ \hline 
        \end{tabular}
      \end{center}
      
      \begin{flushright}
        D'après \textit{Le son musical} de John Pierce 
      \end{flushright}
    \end{minipage}}
%  \centerline{Document~1}
  %%% FIN DOCUMENT 1 
  

  \textbf{Document~2:}

  %%% DEBUT DOCUMENT 2 
  Même si nous ne sommes pas tous égaux face au son, voici la dose 
  moyenne de son tolérable par semaine. Au-delà de cette dose, vous 
  risquez de léser progressivement et définitivement votre audition. 
  \enlargethispage*{4em}
  
  \begin{center}
    \includegraphics{326_2014_bacexo4_doc2a}
  \end{center}
  
  Les oreilles dans la moyenne peuvent tolérer l'écoute d'un baladeur au 
  niveau maximum (100~dB) pendant deux heures par semaine. Elle peuvent 
  tolérer l'écoute d'un concert à 105~dB pendant 45~min. 
  
  \textbf{Les doses de son s'additionnent. Il ne faut pas dépasser une 
    dose de son par semaine.} Deux heures de baladeur au niveau maximum 
  plus un concert à 105~dB c'est trois fois la dose de son tolérée par 
  semaine... Il y a \textbf{DANGER}~! 
  
\begin{center}
  \includegraphics{326_2014_bacexo4_doc2b}
\end{center}

On estime que le risque existe à partir d'un niveau sonore de\textbf{
  90~dB}. Cependant, la douleur n'apparaît qu'à partir de 
\textbf{120~dB}, soit à une intensité sonore $1000$~fois plus élevée 
que le seuil de risque. Les lésions peuvent survenir sans que l'on 
s'en aperçoive sur le moment. Mais le véritable danger n'est pas 
uniquement dans le niveau sonore: il se situe aussi dans la 
\textbf{dose de son}, c'est-à-dire dans le temps d'exposition à un 
niveau sonore donné. 

\begin{flushright}
  \textit{D'après http://www.agi-son.org}
\end{flushright}
%%%% FIN DOCUMENT 2 

De plus en plus, à l'entrée des festivals de musique, des 
discothèques..., on voit des distributions gratuites de bouchons 
d'oreille en mousse. 


\textbf{Document~3:}
%%% DEBUT DOCUMENT 3 
Les courbes ci-dessous présentent l'enregistrement au laboratoire du 
son émis par une flûte et des enregistrements du son restitué par un 
bouchon d'oreille en mousse et un bouchon d'oreille moulé en silicone 
(très utilisé par les musiciens, mais de prix assez élevé) lorsque la 
note jouée est un La$_4$. 

\enlargethispage*{5em}
\begin{center}
\includegraphics{327_2014_bacexo4_doc3a}
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics{327_2014_bacexo4_doc3b}
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics{327_2014_bacexo4_doc3c}
\end{center}

\begin{flushright}
  \textit{D'après Bac métropole 09/2009}
\end{flushright}
%%%% FIN DOCUMENT 3 

\newpage
%%%% DEBUT DOCUMENT 4 
\textbf{Document~4:}
\begin{center}
  \includegraphics{328_2014_bacexo4_doc4}
%  \figcaption{Document~4}
\end{center}
%%%% END DOCUMENT 4 

\begin{questions}
\item \textbf{QCM: cocher les bonnes réponses}
  
Cocher les bonnes réponses en précisant à chaque fois le numéro du 
document utilisé pour répondre à la question. Chaque bonne réponse 
amène des points. Une mauvaise réponse ne conduit pas à un retrait de 
points. 
\begin{questions}
\item L'analyse spectrale du son émis par la flûte, dans le 
  document~3, montre que c'est un son pur. 
  
  \resetchoix 
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix Oui & \choix Non
  \end{tabularx}
  
   (pour cette question il n'est pas 
  demandé le numéro du document). 
  
\item La hauteur du son est modifiée par le bouchon en mousse 
  
  \resetchoix 
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix Oui & \choix Non 
  \end{tabularx}
  
\item Un lycéen se rend à un concert sans protection auditive. Il a 
  déjà écouté son baladeur à 100~dB pendant une heure dans la 
  semaine. Il peut rester une heure à ce concert de niveau sonore 
  105~dB sans prendre de risques pour son audition. 

\resetchoix 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix Oui & \choix Non 
 \end{tabularx}

\item Les bouchons en silicone sont utilisés par les musiciens car 
  ils conservent la hauteur et le timbre du son. 

\resetchoix 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix Oui &\choix Non 
\end{tabularx}

\item Si le niveau sonore est de 90~dB à trois mètres de l'instrument, 
  il sera de 84~dB à six mètres et de 78~dB à neuf mètres. 

\resetchoix 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix Oui &\choix Non
\end{tabularx} 

\end{questions}

\item \textbf{Question de synthèse}
  
  À partir des documents proposés et de vos connaissances personnelles, 
  indiquez, en le justifiant, vos recommandations pour profiter d'un 
  concert en plein air sans risques auditifs et tout en gardant intacte 
  la qualité du son. 
  
  Vous prendrez soin, pour cela, d'utiliser la totalité des documents 
  proposés, d'utiliser au moins une application numérique pertinente, 
  d'apporter une solution au problème posé en veillant à structurer les 
  informations recueillies, d'adopter un jugement critique argumenté et 
  de rédiger un document d'au minimum 20~lignes dans un français correct. 
\end{questions}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item
    \begin{questions}
    \item Réponse \choix[b]. Ce n'est pas un son pur puisque l'on voit des harmoniques.
    \item Réponse  \choix[b]. Le premier pic, dont la fréquence donne la
      hauteur du son, est à la même fréquence sur le graphe \og son
      émis par la flûte\fg{} et sur le graphe \og son restitué après
      le passage par un bouchon en mousse \fg (document~3).
    \item Réponse  \choix[b]. Un heure de concert de niveau sonore $105$~dB
      correspond à plus d'une dose de son, et il ne faut pas dépasser
      plus d'une dose de son par semaine (document~2).
    \item Réponse  \choix[a]. Le bouchon conserve la hauteur (à l'instar du
      bouchon en mousse, comme on l'a vu ci-dessus) et altère très peu
      le timbre du son, car l'amplitude relative des harmoniques avec
      bouchon en silicone est
      très similaire à celle du son émis par la flûte (document~3), ce
      qui normal puisque l'atténuation (en dB) d'un bouchon de
      musicien dépend peu de la fréquence du son (document~4).
    \item Réponse  \choix[b]. Non: il serait de 78~dB (en plein air et sans
      obstacle) à $12$~mètres.
    \end{questions}
  \item D'après l'introduction, le niveau sonore d'un concert de plein
    air est limité à $105$~dB. D'après le document~2, cette valeur se
    trouve en zone de risque (au-dessus de $90$~dB). Pour profiter
    pleinement du concert, sans risque auditif et sans perte de
    qualité sonore, il faut ramener ce niveau sonore à $90$~dB. Le
    document~1 suggère qu'en s'éloignant des sources sonores (les
    enceintes) on peut faire baisser le niveau sonore. Il faut qu'il
    baisse au minimum de $105-90=15$~dB. Si on double notre distance
    aux enceintes, on abaisse le niveau sonore de $6$~dB. 
    
    Si on la
    quadruple, il est abaissé de $12$~dB, ce qui n'est toujours pas
    suffisant. Si en revanche on la multiplie par $2^3=8$, le niveau
    sonore est abaissé de $6\times 3=18$~dB, ce qui est suffisant. Si
    le niveau sonore de $105$~dB n'est atteint que pour la partie du
    public qui se trouve proche des enceintes, et que la partie la
    plus éloignée se trouve pratiquement $8$~fois plus loin des
    enceintes, le niveau sonore peut sortir de la zone de risque dans
    le partie du public la plus éloignée des enceintes. Si ce n'est
    pas le cas, soit parce que la configuration des lieux ne permet
    pas de s'éloigner autant des enceintes, soit parce qu'il y a des
    enceintes réparties à divers endroits pour assurer un niveau
    sonore à peu près uniforme, il faut recourir à une autre méthode,
    et il est alors nécessaire d'utiliser des bouchons d'oreille. Pour
    ne pas dégrader la qualité du son, on évite d'utiliser des
    bouchons en mousse (document~3) qui coupent les son aigus et
    vont donc produire un son \og étouffé\fg{}. On préfère un bouchon
    de musicien, qui conserve l'amplitude relative des harmoniques
    (document~3), puisque l'atténuation qu'il procure dépend peu de la
    fréquence (document~4). En outre, on voit que l'atténuation
    fournie par le bouchon de musicien est d'environ $13$ à $25$~dB
    selon la fréquence considérée (document~4). Puisque le niveau
    sonore est, d'après la loi, plafonné à $105$~dB, le niveau sonore
    durant l'utilisation des bouchons de musicien ne va pas dépasser
    $105-13=92$~dB (pour les sons de basse fréquence) et sera
    au-dessous de $90$~dB pour les fréquences au-dessus d'environ
    $300$~Hz (puisqu'on lit sur le document~4) que l'atténuation est
    alors supérieure à $15$~dB. On est en droit de se poser la
    question de vouloir augmenter la sécurité auditive en étant
    au-dessous de $90$~dB (et non $92$~dB) pour toutes les
    fréquences. Pour ce faire, il suffit de ne pas être dans la partie
    du public où le niveau sonore est maximal. Un éloignement
    raisonnable des enceintes suffira à abaisser le niveau sonore des
    $2$~dB requis.
  \end{questions}
\end{corrige}

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\begin{exo}{Sirène et effet Doppler}{Lycée Hoche, Versailles}{2}{20}
Dans cet exercice nous étudions quelques propriétés des ondes sonores 
émises par la sirène d'un véhicule. 

\subsubsectionnn{Partie A. Véhicule immobile.}
 
La sirène du véhicule retentit et émet un son de fréquence
$f=680$~Hz. Le son émis à la date $t=0$ se propage dans l'air à la
célérité $c_s=340$~m.s$^{-1}$ à partir de la source~S. On note $\lambda$
la longueur d'onde correspondante. Nous convenons d'appeler \og front
d'onde\fg{} une partie distinctive des ondes émises, par exemple
l'ensemble des maxima de pression. La distance séparant deux fronts
d'onde consécutifs est donc la longueur d'onde. 

La figure ci-après
représente le front d'onde à la date $t=4T$ ($T$ étant la période
temporelle de l'onde sonore).
\begin{center}
\includegraphics{329_2014_sirene1}
\end{center}
Répondre par \textit{vrai} ou \textit{faux} aux affirmations suivantes 
en justifiant la réponse. 

\enlargethispage*{2em}
\begin{questions}
\item Une onde mécanique se propage dans un milieu matériel avec 
  transport de matière. 
\item Le front d'onde a parcouru une distance $d=40{,}0$~m à la date $t=3T$. 
\item Deux points situés à la distance $d'=55{,}0$~m l'un de l'autre 
  dans la même direction de propagation vibrent en phase. 
\item L'onde se réfléchit sur un obstacle situé à la distance 
  $d''=680$~m de la source. L'écho de l'onde revient à la source 
  $2{,}00$~s après l'émission du signal. 
\end{questions}

\subsubsectionnn{\boldmath Partie B. Véhicule se déplaçant vers la droite à une vitesse 
  $v$ inférieure à $c_s$}

La figure ci-après représente le front de l'onde sonore à la date 
$t=4T$. 
\begin{center}
\includegraphics{330_2014_sirene2}
\end{center}
\begin{questions}
\item Le véhicule se rapproche d'un observateur immobile. Pendant 
  l'intervalle de temps $T$, le son parcourt la distance 
  $\lambda$. 
  
  Pendant ce temps, le véhicule parcourt la distance 
  $d=vT$. La longueur d'onde $\lambda'$ perçue par l'observateur à 
  droite de la source~S a donc l'expression suivante:
  $\lambda'=\lambda-vT$. 
  \begin{questions}
  \item Rappeler la relation générale liant la célérité de l'onde, la 
    longueur d'onde et la fréquence. 
  \item En déduire que la relation ci-dessus permet d'écrire:
\[f'=f\frac{c_s}{c_s-v},\]
où $f'$ est la fréquence sonore perçue par l'observateur. 
\item Le son perçu est-il plus grave ou plus aigu que le son 
  d'origine~? Justifier. 
  \end{questions}
\item Dans un deuxième temps, le véhicule s'éloigne de l'observateur à 
  la même vitesse $v$. 
  \begin{questions}
  \item Donner, sans démonstration, l'expression de la nouvelle 
    longueur d'onde $\lambda''$ et en déduire celle de la nouvelle fréquence $f''$
    perçue par l'observateur, en fonction de $f$, $v$ et $c_s$. 
\item Le son perçu est-il plus grave ou plus aigu que le son 
  d'origine~? Justifier. 
\end{questions}
\item L'observateur perçoit un son de fréquence $716$~Hz. Le véhicule 
  se rapproche-t-il ou s'éloigne-t-il~? Calculer, en km.h$^{-1}$, la 
  vitesse du véhicule. 
\end{questions}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}

\subsubsectionnn{Partie A. Véhicule immobile.}

\begin{questions}
\item \textit{Faux}. L'onde mécanique se propage dans un milieu matériel,
  certes, mais sans transport de matière. 
\item \textit{Faux}. À la date $t=3T$ le front d'onde a parcouru:
\[d_3=3T\times c_s=3\frac{c_s}{f}=3\times\frac{340}{680}=1{,}5~\mbox{m}.\]
\item \textit{Vrai}. La longueur d'onde de l'onde sonore émise est:
\[\lambda=c_sT=\frac{c_s}{f}=\frac{340}{680}=0{,}5\mbox{~m}.\]
La distance $d'$ représente donc un nombre entier de fois ($110$) la 
longueur d'onde, aussi puisque les points sont dans la même direction 
de propagation ils sont dans le même état vibratoire et vibrent en phase. 
\item \textit{Faux}. Le temps indiqué est le temps d'aller ($d''/c_s$) et non 
  le temps d'aller et retour ($2d''/c_s$) du signal sonore. 
\end{questions}

\subsubsectionnn{\boldmath Partie B. Véhicule se déplaçant vers la droite à une vitesse $v$ inférieure à $c_s$}

\begin{questions}
\item 
  \begin{questions}
  \item La relation liant célérité, longueur d'onde et fréquence a 
    déjà été donnée aux réponses précédentes. En utilisant les 
    nouvelles notations, relatives au son perçu, elle s'écrit:
\[\lambda'=\frac{c_s}{f'}.\]
\item Nous en déduisons:
\[f'=\frac{c_s}{\lambda'}=\frac{c_s}{\lambda-vT}=\frac{c_s}{c_sT-vT}=\frac 1T\frac{c_s}{c_s-v}=f\frac{c_s}{c_s-v}.\]
  
\item Puisque $v>0$, le dénominateur dans l'expression ci-dessus est 
  plus petit que le numérateur, et par conséquent $f'>f$: le son 
  perçu est plus aigu que le son d'origine. 
\end{questions}
\item
\begin{questions}
  \item Cette fois, la longueur d'onde observée est supérieure à la 
    longueur d'onde au repos:
\[\lambda''=\lambda+vT.\]
Par conséquent nous avons:
\[f''=\frac{c_s}{\lambda''}=\frac{c_s}{\lambda+vt}=\frac{c_s}{c_sT+vT}=\frac 1T\frac{c_s}{c_s+v}=f\frac{c_s}{c_s+v}.\]

\item Cette fois, le dénominateur de l'expression finale ci-dessus est 
  plus grand que le numérateur. Par conséquent $f''<f$: le son perçu 
  est plus grave que le son d'origine. 
\end{questions}
\item La fréquence perçue est supérieure à la fréquence d'origine,
  donc le véhicule se rapproche. Nous utilisons donc la formule vue 
  ci-dessus:
\[f'=f\frac{c_s}{c_s-v}\]
que l'on transforme de manière à obtenir $v$:
\[c_s-v=\frac{f}{f'}c_s\mbox{~~~~soit~:~~~~}v=c_s\left(1-\frac{f}{f'}\right).\]
\textit{Application numérique:}
\[v=340\times\left(1-\frac{680}{716}\right)=17,1\mbox{~m.s}^{-1}.\]
On garde trois chiffres significatifs dans ce résultat car c'est la 
précision avec laquelle est donnée la vitesse du son. Nous 
convertissons ce résultat en kilomètres par heure:
\[v=17,1\times 3{,}6=61,6\mbox{~km.h}^{-1}.\]
\end{questions}
\end{corrige}
%
%
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%
\begin{exo}{Klaxon du TGV}{Lycée Stanislas, Paris}{3}{10} 
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{klaxon du TGV}{https://media.prepamath.fr/ILTPCch16exo07}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.2){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTPCch16exo07}}}
\vspace*{-20pt}


\enlargethispage*{4em}
Lors d'essais de vitesse du TGV, ce dernier émet un coup de klaxon
prolongé. Un technicien, à proximité des voies, entend le coup de
klaxon, initialement plus aigu que le son perçu au repos, lorsque le
TGV s'approche, puis plus grave que le son perçu au repos, lorsque le
TGV s'éloigne. Le son perçu lors de la phase d'éloignement est
exactement une octave plus bas que le son perçu lors de la phase
d'approche.

Quelle est la vitesse $v_0$ du TGV ?

\textit{Indications:}
\begin{itemize}
\item La vitesse du son dans l'air est $c_s=340$~m.s$^{-1}$.\\
\item On admettra que la fréquence $f'$ du son perçu est donnée par:
  \[f'=f\frac{1}{1+v/c_s},\]
  où la vitesse $v$ est positive si l'émetteur s'éloigne, et négative
  s'il s'approche.
\item Lorsqu'un son monte d'une octave, sa fréquence est doublée.
\end{itemize}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTPCch16exo07}}}
\vspace*{-16pt}
\enlargethispage*{3em}

Appelons $f$ la fréquence du klaxon au repos.
Lorsque le TGV approche, la fréquence du son perçu est:
\[f'_1=\frac{f}{1-v_0/c_s}.\]
Lorsque le TGV s'éloigne, la fréquence du son perçu est en revanche:
\[f'_2=\frac{f}{1+v_0/c_s}.\]
D'après l'énoncé, nous avons:
\[\frac{f'_1}{f'_2}=2\]
(et non le contraire, puisque c'est le son initial qui est le plus
aigu).


Nous en déduisons:
\[\frac{\frac{f}{1-v_0/c_s}}{\frac{f}{1+v_0/c_s}}=2\]
soit:
\[\frac{1+v_0/c_s}{1-v_0/c_s}=2\]
donc:
\[1+v_0/c_s=2-2v_0/c_s\mbox{~~~~~soit~:~~~~~}3v_0=c_s.\]
Nous avons donc:
\[v_0=\frac{c_s}{3}=113\mbox{~m.s}^{-1}\simeq 410\mbox{~km.h}^{-1}.\] 
Nous gardons trois chiffres significatifs dans le résultat final
puisque c'est la précision avec laquelle est donnée la vitesse du son.
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{exo}{Étoile double spectroscopique}{Lycée Louis-le-Grand, Paris}{3}{20}
\label{exobinaireeclipses}
On étudie une étoile double dite \og spectroscopique\fg. Il s'agit
d'une étoile double (ou binaire) très serrée (même dans les télescopes
les plus puissants on n'arrive pas à résoudre les deux
composantes). Toutefois, les spectres d'un tel objet montrent des
raies d'absorption issus de deux étoiles distinctes. On considérera
pour simplifier que l'étoile étudiée comporte une étoile principale de
masse largement supérieure à celle de l'autre étoile. On peut donc
faire l'hypothèse que l'étoile compagnon décrit une orbite autour de
l'étoile principale, considérée fixe. Par ailleurs, on fera
l'hypothèse que cette orbite est circulaire.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{331_nebinaire} \\
\textit{Représentation d'une étoile binaire.}
\end{center}
}

On appelle $T$ la période de révolution de cette étoile binaire.

On observe le spectre de cette binaire, à différente dates : $t=0$
(pendant une éclipse), $t=T/4$, $t=T/2$ et $t=3T/4$. 

Ils ont l'aspect
représenté ci-après :

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{332_nespecbinaire} \\
\textit{Spectre d'une binaire spectroscopique à différents instants.}
\end{center}
}

\begin{questions}
\item Comment appelle-t-on les lignes présentes sur ces spectres ?
Quelles informations fournissent-elles ?
\item Que serait le spectre de la binaire à la date $t=T$ ?
\item Rappeler ce qu'est l'effet Doppler. Comment interpréter les
spectres aux dates  $t=T/4$ et $t=3T/4$ ?
\item Exprimer la vitesse linéaire $v$ de l'étoile compagnon, dans son
orbite autour de l'étoile principale, en fonction de $\Delta\lambda$, $\textup{c}$
et $\lambda_0$. Faire l'application numérique.
\item En déduire le rayon orbital~$R$ de l'étoile compagnon. On l'exprimera
en fonction de $v$ et $T$, puis on effectuera l'application numérique.
Que vaut ce rayon orbital en unités astronomiques ?
\end{questions}

{\em Indication :}
\par
Le décalage, vers le rouge ou le bleu, d'une radiation dont la longueur
d'onde lorsque la source est au repos vaut $\lambda_0$ est donné par :
\[\Delta\lambda=\frac{v}{\textup{c}}\lambda_0\]
où $v$ est la vitesse de la source, et $\textup{c}$ la vitesse de la lumière.
On admettra que l'observateur se trouve dans le plan de l'orbite de la
binaire.

{\em Données :}
\par
$T=3{,}87$~jours
\par
$\lambda_0=486$~nm
\par
$\Delta\lambda = 0{,}22$~nm
\par
$\textup{c}=3{,}0\cdot 10^8$~m.s$^{-1}$
\par
Distance Terre-Soleil : $D=1{,}50\cdot 10^{11}$~m.
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
Sur  les spectres on voit des  raies d'émission, qui fournissent des
informations,  entre  autres,  sur   la   composition chimique   et la
température des étoiles.
\item
Puisque  la période de  l'étoile binaire est  $T$, à  la date $t=T$ sa
configuration  est la même qu'à la  date $t=0$, donc on observerait le
même spectre qu'à $t=0$.
\item
L'effet Doppler correspond  au  changement de la longueur   d'onde des
radiations d'une  source en mouvement. Si  la source se rapproche, les
radiations sont décalées  vers le bleu  (leur longueur d'onde est plus
courte), et si elle s'éloigne, elles sont décalées vers le rouge (leur
longueur d'onde est plus grande). Les deux étoiles émettent les mêmes raies, donc elles ont la même composition chimique. On peut donc  interpréter le spectre  de l'étoile binaire aux instants
$t=\frac T4$ et $t=\frac{3T}4$ de la  manière suivante : les raies aux
longueurs d'onde $\lambda_0$   $\lambda_1$ et $\lambda_2$ sont dues  à
l'étoile principale, et  les raies  décalées  à l'étoile  compagnon en
orbite autour de celle-ci.

\enlargethispage*{5em}

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{339_nebinsol} \\
\textit{Configurations de la binaire donnant lieu à un spectre décalé.}
\end{center}
}

\newpage


On voit   qu'à  la  date  $t=T/4$,  l'étoile compagnon   s'éloigne  de
l'observateur   et  donc son  spectre est  décalé  vers   le rouge. En
revanche à la date $t=3T/4$, elle se rapproche de l'observateur et son
spectre est décalé vers le bleu.

Aux  dates $t=0$  et   $t=T/2$, par contre, l'étoile  compagnon  passe
devant (éclipse) ou derrière l'étoile  principale, et ne s'approche ni
ne s'éloigne  de l'observateur. Son spectre  n'est pas décalé de celui
de la principale.

\item 
La  vitesse  d'approche  ou de fuite   de   l'observateur est maximale
respectivement aux dates $t=3T/4$ et $t=T/4$, et  est alors égale à la
vitesse orbitale du compagnon, puisque l'observateur se trouve dans le
plan de son orbite. On a alors simplement :
\[\Delta\lambda = \frac v{\rm c}\lambda_0\]
donc :
\[v={\rm c}\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}.\]
{\em Application numérique :}
\par
\[v=3\cdot 10^8\times\frac{0{,}22}{486}\simeq 1{,}36\cdot 
10^5\mbox{~m.s}^{-1}=136\mbox{~km.s}^{-1}.\]

\item La période qui sépare deux éclipses est  le temps que met le compagnon
pour faire un tour complet de l'étoile principale.  Il est donc égal à
la  circonférence  de l'orbite  de l'étoile compagnon,  divisée par la
vitesse orbitale du compagnon :
\[T=\frac{2\pi R}{v}\]
donc :
\[R=\frac{vT}{2\pi}.\]
{\em Application numérique :}
\par
\[R=\frac{136\times 
3{,}87\times 86\,400}{2\pi}\simeq7{,}2\cdot 10^6\mbox{~km}.\]
Exprimée en unités astronomiques, cette distance vaut :
\[R=\frac{7{,}2\cdot 10^6\cdot 10^3}{1{,}5\cdot 10^{11}}
\simeq 0{,}048\mbox{~U.A.}\]
\begin{methode}
On a  utilisé dans  cette  application numérique  le   fait qu'il y  a\linebreak $24\times  60\times 60$ soit $86\,400$~secondes  dans une  journée.  Puisque la vitesse  était exprimée  en   kilomètres par seconde  et  le  temps en\linebreak seconde, nous obtenons le rayon orbital en kilomètres.
\end{methode}
\end{questions}
\end{corrige}

\thumb\AfficheCorrige
