\chapter{Diffraction et interférences}
\label{cha:diffr-et-interf}
\section{Introduction}
\begin{exointro}{Lycée Louis-Le-Grand, Paris}
  On sépare un faisceau monochromatique issu d'une source unique par
  deux trous T$_1$ et T$_2$, de diamètres petits devant la longueur
  d'onde et séparés par une
  distance~$a$.
\begin{center}
  \includegraphics{351_trousdyoung}  
\end{center}
On place un écran dans la zone d'interférence, à une distance~$D$ des trous. On 
cherche les caractéristiques de la figure d'interférence. 
\begin{center}
  \includegraphics{351_trousdyoung2}  
\end{center}
\begin{questions}
  \item Qu'advient-il des rayons lumineux qui traversent les trous ?
\Break 
\item Montrer que la différence de marche des
  faisceaux issus de T$_1$ et T$_2$ au point M est donnée par:
  \[\Delta =\frac{ay}{D},\]
  où $y$ est l'ordonnée du point M sur l'écran, comme indiqué dans la
  figure ci-dessus.
\item En déduire la valeur de l'\index{Interfrange}interfrange en fonction de $D$, 
  $\lambda$ et $a$, où $\lambda$ est la longueur d'onde du faisceau. 
\end{questions}
\textit{Indications:}\\
La distance $a$ séparant les trous est petite devant la distance $D$
entre les trous et l'écran.  De même, on se limite à l'étude des
interférences pour une ordonnée $y$ petite devant $D$.\\
Lorsque $\varepsilon$ est un nombre petit devant un, on a:
\[\sqrt{1+\varepsilon}\approx 1+\frac\varepsilon 2.\]
\end{exointro}


Cet exercice fait appel aux notions de \index{Diffraction}diffraction
et d'\index{Interference@Interférence}interférences des ondes. Nous
allons étudier ici ces deux phénomènes, qui s'appliquent à tous les
types d'onde, dont les \index{Onde}ondes \index{Onde lumineuse}lumineuses.

\section{Phénomène de diffraction}
\enlargethispage*{3em}
\subsection{Définition du phénomène}

Envisageons la situation représentée sur la figure ci-après. Une onde 
mécanique progressive (ici la houle), de \index{Longueur d'onde}longueur d'onde $\lambda$, 
atteint une ouverture plus petite que sa longueur d'onde. Il s'agit du
passage étroit entre les deux jetées du port.

\begin{center}
\includegraphics{342_necoursdiffhoule}
\end{center}

Après leur traversée de l'ouverture entre les jetées, l'onde ne se
propage plus en ligne droite mais se propage dans toutes les
directions qui lui sont offertes à l'intérieur du port.

C'est le
phénomène de \index{Diffraction}diffraction, qui est une propriété
générale des ondes (houles, ondes sonores, ondes lumineuses, etc.), et
qui est particulièrement apparent chaque fois que l'onde traverse une
ouverture plus petite que sa propre longueur d'onde.

Ainsi, dans le cas des ondes lumineuses, il est impossible d'isoler un
rayon lumineux très fin à l'aide d'un diaphragme. Lorsque le diamètre
du diaphragme est de l'ordre de la longueur d'onde, le faisceau
lumineux \og s'ouvre\fg{} à la traversée du diaphragme.

\begin{center}
\includegraphics[scale=1.1]{343_coursdiffraction}
\end{center}

\begin{aretenir}
  L'angle caractéristique d'un faisceau de longueur d'onde $\lambda$
  diffracté  par une ouverture de taille $a$ est donné par la
  relation:
\[  \alpha\approx\frac{\lambda}{a}.\]
  Dans cette relation $\alpha$ est exprimé en radian. 
\end{aretenir}

\begin{Remarque}
  le faisceau est diffracté quelle que soit la taille de
  l'ouverture. Toutefois, lorsque celle-ci est grande devant la
  longueur d'onde, l'angle d'ouverture est petit, et la diffraction
  est imperceptible, sauf si on se place suffisamment loin de
  l'ouverture pour la déceler. %Nous reverrons ceci à l'exercice   page~\pageref{diffoupas}.
\end{Remarque}

\subsection{Figure de diffraction de quelques ouvertures  particulières}

La relation vue ci-dessus ne spécifie pas la forme de l'ouverture, et
nous donne seulement un ordre de grandeur de l'angle caractéristique
du faisceau diffracté.

\subsubsection{Diffraction par une fente}

\enlargethispage*{5em}

\begin{minipage}{6cm}
\includegraphics[width=55mm]{343_diffnew1}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-6cm}
Dans le cas de la diffraction par une fente de largeur $a$, le
faisceau s'ouvre perpendiculairement à l'axe de la fente, et donne une
tache de diffraction qui a l'allure ci-contre.
\end{minipage}

\newpage

La figure de diffraction fait apparaître une tache centrale brillante,
puis à plus grande distance une alternance de franges sombres et
brillantes. L'angle entre l'axe de symétrie et la première frange
sombre vaut exactement:
\[\alpha=\frac{\lambda}{a}.\]

Attention, dans cette relation l'angle doit être exprimé en radian.
Si l'on s'intéresse à la partie centrale de la tache, et que l'on
cherche l'angle (par rapport à l'axe de symétrie) que fait la direction où
l'intensité lumineuse ne vaut que $50$~\% de la valeur qu'elle a sur
l'axe, on trouve un angle $\alpha'$ donné par:
\[\alpha'=0{,}44\frac{\lambda}{a}.\]

On voit que la valeur de l'angle d'ouverture ou angle caractéristique
dépend de la définition que l'on souhaite donner à cet angle. En tous
les cas son ordre de grandeur est $\lambda/a$. 


\subsubsection{Diffraction par une ouverture circulaire}
On a un résultat analogue dans le cas de la diffraction d'un faisceau par une ouverture 
circulaire de diamètre $D$. La figure ci-après donne l'allure de la
\index{Airy (tache d')}tache de
diffraction, appelée dans ce cas particulier \og tache d'Airy\fg.

\begin{center}
  \includegraphics{344_airy}
\end{center}

De manière similaire à ce qui a été vu pour la diffraction par une
fente, où l'on avait des franges brillantes et sombres alternées, on a
au-delà de la tache centrale une alternance d'anneaux sombres et
brillants.  L'angle d'ouverture correspondant au premier anneau sombre
est donné par la relation :
\begin{equation}
  \label{eq:airy}
\alpha\simeq\frac{1{,}22\lambda}{D}.
\end{equation}

Dans cette relation $\alpha$ est également exprimé en radian. 



%\subsection{Pouvoir de résolution des instruments d'optique}
%\enlargethispage*{\baselineskip}

%La diffraction limite la quantité de détails que l'on peut observer
%avec un instrument d'optique.  Dans le cas, par exemple, d'une lunette
%astronomique (qui sera étudiée au chapitre 20), l'entrée de la
%lunette (l'objectif) constitue une ouverture circulaire, qui diffracte
%les faisceaux de rayons incidents. 

%Cette diffraction remplace chaque
%point de l'image, chaque \og pixel\fg{} que l'on observerait si
%l'instrument était parfait, par une tache d'Airy. Toutes ces taches se
%superposent entre elles dans l'image, et contribuent à supprimer tous
%les détails fins de l'image  correspondant à des objets séparés par
%des angles plus petits que l'angle caractéristique de diffraction.

%En particulier, pour que l'on puisse observer deux étoiles
%angulairement très proches, il faut que la \index{Distance angulaire}distance angulaire entre
%ces deux étoiles soit supérieure à l'angle donné par
%l'équation~(\ref{eq:airy}). On appelle cette condition le \og critère
%de Rayleigh\fg.

%\begin{center}
%  \includegraphics{361_airydiscernable}\hspace*{2cm}
%  \includegraphics{361_airyindiscernable}
%\end{center}

%Ainsi, sur la figure ci-dessus, les deux sources de gauche sont séparées par une
%distance angulaire supérieure à celle donnée par le critère de
%Rayleigh et sont discernables, tandis que la distance angulaire entre
%celles de droite ne satisfait pas ce critère: elle sont indiscernables.


\section{Interférences}

Sous certaines conditions, deux ondes se propageant au même endroit
peuvent donner lieu à ce que l'on appelle des interférences. Nous
allons voir quelles sont les conditions pour avoir des interférences,
et comment caractériser les propriétés de celles-ci.

\subsection{Principe de superposition des petites perturbations}
Toute onde est associée à des perturbations qui se propagent de proche
en proche. Ainsi, la houle évoquée plus haut correspond à des
perturbations de la hauteur de la surface de l'eau. Les ondes sonores
correspondent à des perturbations de pression. La nature des
perturbations associées aux ondes lumineuses et, plus généralement,
aux ondes électromagnétiques, n'est pas au programme. Il suffit
simplement de savoir qu'à ces ondes sont associées des perturbations
de certaines quantités physiques, qui peuvent être définies même dans
le vide (la lumière se propage dans le vide).


\begin{aretenir}
  \index{Principe de superposition}\textit{Principe de superposition:
  }Si en un point~M d'un milieu arrivent deux ondes de même nature,
  l'une induisant la perturbation $u_1$ et l'autre la perturbation
  $u_2$, alors la perturbation totale $u$ résulte est la somme des
  perturbations $u_1$ et $u_2$ :
\[u=u_1+u_2.\]
\end{aretenir}
Ce principe de superposition est à l'origine des phénomènes d'interférences en général,
et lumineuses en particulier.

\subsection{Superposition de deux signaux sinusoïdaux de même fréquence}

Nous considérons ici deux signaux de même fréquence $f$ en un point~M d'un
milieu. L'un est associé à une onde d'amplitude $U_1$, et s'écrit:
\[u_1(t)=U_1\sin(2\pi f t).\]
L'autre est associé à une autre onde d'amplitude $U_2$, et s'écrit:
\[u_2(t)=U_2\sin(2\pi f t+\varphi).\] Dans l'expression ci-dessus,
l'angle $\varphi$ est appelé la phase à l'origine du signal (c'est
l'argument de la fonction \og sinus\fg{} quand $t=0$). Si la phase à
l'origine est nulle, les deux signaux oscillent de concert: ils
passent par leur maximum simultanément, et par leur minimum
simultanément. Ici, nous nous intéressons au signal résultat de la
superposition de $u_1(t)$ et $u_2(t)$ pour différentes valeurs de la
phase à l'origine. Pour réaliser cette étude, nous allons utiliser le
langage Python.

Nous définissons la fonction Python \texttt{superposition()} telle que dans le programme page suivante. 

\Par
 
Cette fonction construit trois listes, \texttt{t}, \texttt{u1} et
\texttt{u2}. Le premier représente le temps et les deux autres
respectivement les signaux $u_1$ et $u_2$, puis affiche $u_1$ et $u_2$
en fonction de $t$, ainsi que leur somme. Par défaut la fréquence vaut
$f=1$, la longueur de l'intervalle temporel sur lequel sont affichés
les signaux vaut $4$, les deux amplitudes valent $1$ et la phase à
l'origine du signal numéro~2 vaut $0$. 

\newpage

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-1.5){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/ILTPC/interf1.py}}}
\vspace*{-10pt}

\begin{listing}{En Python}{interf1.py}\end{listing}
 
 

Nous allons nous intéresser ici au cas où les amplitudes des deux signaux sont égales. Ce cas se rencontre fréquemment dans les situations expérimentales, comme par
exemple dans l'expérience des trous d'Young. Commençons par examiner le cas par défaut.

\begin{listing}{}{interf2.py}\end{listing} 

\Par

Nous obtenons le graphique suivant:  
\begin{center}
  \includegraphics[scale=0.7]{346_interf2}
\end{center} 
Nous voyons que les deux signaux (représentés ici en pointillés) sont
confondus, et que leur somme est exactement égale au double de
chacun. L'amplitude du signal résultant est donc $2$. On parle dans ce cas
d'\emph{interférence constructive}: les deux signaux interfèrent pour
construire un signal d'amplitude double.


Nous modifions à
présent la phase à l'origine et prenons $\varphi=\pi/2$.

\begin{listing}{}{interf3.py}\end{listing} 
Nous obtenons alors le graphique suivant: 
\enlargethispage*{4em}
\begin{center}
  \includegraphics[scale=0.7]{347_interf3}
\end{center} 
Cette fois, les deux signaux sont décalés. On peut remarquer que
lorsque l'un des deux passe par un maximum ou un minimum, l'autre vaut
zéro.
L'amplitude du signal résultant est cette fois inférieure à deux. Il
est possible de démontrer qu'elle vaut $\sqrt 2\approx 1{,}41$, ce que
l'on vérifie approximativement sur le graphe. Lorsque la différence de
phase entre les deux signaux vaut $\pi/2$ (ou $-\pi/2$) on dit que les
signaux sont en quadrature. \\
Enfin, considérons le cas d'une différence de phase $\varphi=\pi$.

\begin{listing}{}{interf4.py}\end{listing}
Nous obtenons alors le graphique suivant: 

\begin{center}
  \includegraphics[scale=0.7]{347_interf4}
\end{center}
\newpage
Nous constatons que les signaux sont opposés: $u_1(t)=-u_2(t)$ pour
toute valeur de $t$. Leur somme est donc nulle: le graphe de $u_1+u_2$
est la droite verte horizontale d'ordonnée $0$.  On parle dans ce cas
d'\emph{interférence destructive}: les deux signaux, en interférant, donnent
un signal nul.

\subsection{Conditions pour avoir des interférences}

Pour donner lieu à des interférences, deux ondes doivent
avoir la même fréquence, on dit alors qu'elles sont \emph{synchrones}.  Deux ondes de fréquences différentes ne
peuvent donner lieu à des interférences.

Dans le cas particulier d'ondes lumineuses, deux faisceaux issus de
deux sources indépendantes ne peuvent donner lieu à des interférences.

\begin{aretenir}
  Pour pouvoir donner lieu à des interférences, deux faisceaux
  lumineux doivent être issus de la même source.
\end{aretenir}

On dit alors des ondes des deux faisceaux qu'elles sont cohérentes car elles sont synchrone et que leur différence de phase, ou déphasage, est constant dans le temps.

Dans le cas des ondes lumineuses, il faut donc trouver un moyen de
séparer en deux faisceaux distincts les ondes lumineuses émises par
une même source pour pouvoir les faire interférer. On trouvera à la
section~\ref{sec:savoir-traiter-le} comment les séparer à l'aide de
deux trous\index{Trous d'Young} (les \og~trous d'Young\fg), et l'un
des exercices proposés montre une autre façon de les séparer, à l'aide
des \index{Miroirs de Fresnel}miroirs de Fresnel.

\subsection{Différence de marche}

\enlargethispage*{3em}

On considère deux sources S$_1$ et S$_2$ cohérentes (de même fréquence et de déphasage constant). Ceci signifie que les signaux issus de ces sources passent
simultanément par un maximum ou un minimum lorsque le déphasage est nul.

\begin{aretenir}
  En tout point~M, on appelle \index{Difference@Différence de
    marche}différence de marche, et on note $\delta$, la différence
  des distances aux deux sources:
\[\delta = \mathrm{(S_2M)-(S_1M)}\]
où $\mathrm{(S_1M)}$ est la distance du point~M à la source S$_1$, et
$\mathrm{(S_2M)}$ la distance du point~M à la source S$_2$.
\end{aretenir}

Grâce à la différence de marche, on peut connaître l'état
de la superposition des signaux issus des deux sources. En
particulier, si la différence de marche est égale à un nombre entier
de fois la longueur d'onde, les perturbations arrivant au point~M
issues des deux faisceaux sont en phase, et interfèrent
\emph{constructivement}. Le signal résultant de la superposition des
deux signaux a alors une amplitude maximale.

Au contraire, si la différence de marche est égale à un nombre impair
de fois la moitié de la longueur d'onde (dit d'une autre manière, si
la différence de marche est égale à un multiple de la longueur d'onde,
plus une demie longueur d'onde), les perturbations arrivant au point~M
issues des deux sources sont en opposition de phase, et interfèrent
\emph{destructivement}. La superposition des signaux a alors une
amplitude nulle.

\begin{aretenir}
  Condition pour une \index{Interference@Interférence destructive}interférence destructive: 
\[\delta = (2k+1)\frac{\lambda}{2}=\left(k+\frac 12\right)\lambda\mbox{~~~~~où $k$ est un entier 
    relatif}\]
Condition pour une
\index{Interference@Interférence constructive}interférence
constructive:
\[\delta = k\lambda\mbox{~~~~~où $k$ est un entier relatif},\]
$\delta$ étant la différence de marche et $\lambda$ la longueur d'onde. 
\end{aretenir}

\begin{Exemple}
  sur les figures suivantes, nous voyons, à gauche, le cas d'un
  point~M donnant une différence de marche qui est un multiple de la
  longueur d'onde (l'amplitude du signal résultant y est alors
  maximale) tandis qu'à droite, le point~M$'$ donne une différence de
  marche qui est un multiple de la longueur d'onde plus une demie
  longueur d'onde. Le signal résultant y est alors nul.

\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez en vidéo cette figure.]{différence de marches}{https://media.prepamath.fr/ILTPCch17crs}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.2){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTPCch17crs}}}
\vspace*{-10pt}

  
  \includegraphics[width=5.2cm]{349_intconst}
  \hfill
  \includegraphics[width=5.2cm]{349_intdest}
\end{Exemple}

Les notions de marche et de différence de marche vues ci-dessus
s'appliquent quand le milieu dans lequel se propagent les ondes est
homogène. Dans le cas des ondes lumineuses, on peut bien entendu
l'appliquer. Toutefois, dans certaines situations, un rayon lumineux
peut traverser différents milieux avant d'interférer. C'est par
exemple le cas si on met une lame de verre en sortie de l'un des trous
d'Young, comme nous le reverrons en exercice. Dans un tel cas, il est
pratique d'introduire d'autres notions pour caractériser les interférences.

\newpage

\begin{aretenir}
  On appelle \emph{\index{Chemin optique}chemin optique} la distance parcourue par un rayon
  lumineux, multipliée par l'indice de réfraction du milieu. Ainsi, le
  chemin optique entre une source~S et un point~M pour un rayon
  lumineux rectiligne dans un milieu d'indice de réfraction $n$ est
  donné par :
\[(SM)=n\times d(S,M).\]
\end{aretenir}

Avec cette définition, les conditions d'interférences d'ondes
lumineuses s'énoncent de manière très similaire à celles vues
précédemment, à condition de changer différence de marche en
différence de chemin optique. Par ailleurs, lorsque deux ondes
lumineuses interfèrent destructivement, on a (si on les observe sur un
écran) une zone sombre, tandis que l'on a une zone claire si elles
interfèrent constructivement. 

\begin{aretenir}
  Pour des ondes lumineuses, on évalue la différence des chemins
  optiques en un point~M:
  \[\delta=n\times (\mathrm{(S_2M)-(S_1M)}).\]
On a une zone sombre, correspondant à une interférence destructive, si:
\[\delta = n(2k+1)\frac{\lambda}{2}=n\left(k+\frac 12\right)\lambda\mbox{~~~~~où $k$ est un entier 
    relatif}.\]
On a une zone d'éclairement maximal, correspondant à une interférence
constructive, si
\[\delta = n k\lambda\mbox{~~~~~où $k$ est un entier relatif},\]
$\lambda$ étant la longueur d'onde, et $n$ l'indice optique du milieu. 
\end{aretenir}


\begin{Remarque}
  dans le cas où on réalise une expérience dans l'air, il est légitime
  d'adopter $n=1$ (l'indice de l'air est très voisin de l'unité) et de
  confondre chemin optique et distance parcourue. Il y a toutefois une
  exception: si l'un des chemins optique passe par du vide, il faut
  différencier l'indice de l'air (et prendre sa valeur exacte, qui
  sera donnée) de l'indice du vide (qui est exactement $1$, par
  définition).
\end{Remarque}

\section{L'expérience des trous d'Young}
\label{sec:savoir-traiter-le}
\enlargethispage*{\baselineskip}
On sépare un faisceau monochromatique issu d'une source unique par
deux trous T$_1$ et T$_2$, de diamètres suffisamment petits pour diffracter les faisceaux, séparés par une distance $a$).
%
\begin{center}
\includegraphics{351_trousdyoung}
\end{center}
%
On calcule la différence de chemin optique entre les deux faisceaux en un point~M situé à une
distance $y$ du plan médiateur des deux trous. La source  est supposée se trouver
sur ce plan médiateur.

\begin{center}
  \includegraphics{351_trousdyoung2}  
\end{center}

On a :
\[\delta = \mathrm{(SM)_2-(SM)_1=(ST_2)+(T_2M)-(ST_1)-(T_1M)=(T_2M)-(T_1M)}.\]
On utilisant le théorème de Pythagore, on peut écrire que :
\begin{center}
$\mathrm{(T_1M)}=\sqrt{D^2+(y-\frac{a}{2})^2}$ et
$\mathrm{(T_2M)}=\sqrt{D^2+(y+\frac{a}{2})^2}$.
\end{center}

À ce stade, il existe plusieurs méthodes pour donner une approximation
de la différence de chemin optique. Il se peut qu'elle soit
directement donnée dans l'énoncé. Il se peut également que l'énoncé
mentionne l'égalité approchée suivante, vraie pour de petits nombres $\varepsilon$:
\[\sqrt{1+\varepsilon}\simeq 1+\frac{\varepsilon}{2}.\]

Nous verrons comment utiliser cette propriété dans la solution de
l'exercice-type.  Une troisième voie consiste utiliser la
transformation détaillée ci-après. En notant, pour simplifier:
$\mathrm{(T_1M)}=\sqrt A$ et $\mathrm{(T_2M)}=\sqrt B$ (avec $A=D^2+(y-a/2)^2$ et
$B=D^2+(y+a/2)^2$), nous pouvons écrire:
\[\mathrm{(T_2M-T_1M)}=\sqrt B-\sqrt A=(\sqrt B-\sqrt A)\times
  \frac{\sqrt B+\sqrt A}{\sqrt B+\sqrt A}=\frac{B-A}{\sqrt B+\sqrt
    A}.\]

\begin{methode}
  L'astuce consiste ici à multiplier et diviser par le même nombre de
  façon à ne pas changer le résultat, puis regrouper le numérateur
  ainsi écrit avec l'expression initiale, de manière à utiliser une
  identité remarquable.
\end{methode}


Nous pouvons à présent substituer $A$ et $B$ par leurs
valeurs. Auparavant, notons que $A\approx D^2$ et $B\approx D^2$. Il
n'est pas légitime d'utiliser cette approximation lorsque l'on
soustrait $A$ et $B$ ou $\sqrt A$ et $\sqrt B$ (sans quoi on trouve
zéro !), mais elle est légitime lorsque l'on fait la somme, comme cela
est le cas au dénominateur. Nous obtenons:
\[\mathrm{(T_2M-T_1M)}\approx\frac{D^2+(y+a/2)^2-D^2-(y-a/2)^2}{\sqrt{D^2}+\sqrt{D^2}}\]
soit encore, en développant le numérateur et en simplifiant les termes
qui s'annulent deux à deux:
\[\mathrm{(T_2M-T_1M)}\approx\frac{ay-(-ay)}{D+D}=\frac{2ay}{2D}=\frac{ay}{D}.\]
%\[\delta\simeq D\left[1+\frac{1}{2D^2}\left(y+\frac{a}{2}\right)^2\right]
%-D\left[1+\frac{1}{2D^2}\left(y-\frac{a}{2}\right)^2\right]=\frac{ay}{D}.\]
D'après le cours, on observe une zone claire si $\delta = k\lambda$,
c'est-à-dire si
\[\frac{ay}{D}=k\lambda\mbox{~~~~soit~~~~}y=k\frac{D\lambda}{a}.\]
En revanche on observe une zone sombre si $\delta = (k+1/2)\lambda$,
c'est-à-dire si
\[\frac{ay}{D}=\left(k+\frac
    12\right)\lambda\mbox{~~~~soit~~~~}y=\left(k+\frac
    12\right)\frac{D\lambda}{a}.\]

Ces zones alternativement claires et sombres sont appelés des
franges.

\begin{aretenir}
  On appelle \index{Interfrange}interfrange, et on note $i$, la
  distance séparant deux franges claires consécutives.
  \[
  i=\dfrac{D\lambda}{a}.
  \]
\end{aretenir}

En effet, entre la frange $k$ et la frange $k+1$, nous avons la distance:
\[i=(k+1)\frac{D\lambda}{a}-k\frac{D\lambda}{a}=\frac{D\lambda}{a}.\]

\begin{solintro}
  \begin{questions}
    \item Les rayons lumineux qui traversent les trous sont diffractés
      par ceux-ci, puisque leur taille est plus petite que la longueur d'onde.
  \item 
On calcule la différence de marche entre les deux faisceaux en un point~M situé à une 
distance $y$ du plan médiateur des deux trous. La source~S est supposée se trouver 
sur ce plan médiateur. 

On a~:
\begin{eqnarray*}
\delta &=&
           \mathrm{(SM)_2-(SM)_1=(ST_2)+(T_2M)-(ST_1)-(T_1M)}\\
  &=&\mathrm{(T_2M)-(T_1M)}.
\end{eqnarray*}
\BreakWithoutItem
Les termes $\mathrm{(ST_1)}$ et $\mathrm{(ST_2)}$
sont égaux. La source se trouvant sur le plan médiateur des
trous,  ils s'annulent entre eux.


On utilisant le théorème de Pythagore, on peut écrire que~:
\[
\mathrm{(T_1M)}=\sqrt{D^2+(y-\frac{a}{2})^2}\text{~~ et ~~}\mathrm{(T_2M)}=\sqrt{D^2+(y+\frac{a}{2})^2}.\]
Pour utiliser l'indication de l'énoncé, on cherche à exprimer
ces distances en faisant intervenir un facteur de la forme
$\sqrt{1+\varepsilon}$. Pour ce faire on factorise par $D^2$ dans les
expressions ci-dessus, de manière à faire apparaître un \og un\fg:
\begin{eqnarray*}
\mathrm{(T_1M)}&=&D\sqrt{1+\frac{1}{D^2}\left(y-\frac{a}{2}\right)^2}\\
\mathrm{(T_2M)}&=&D\sqrt{1+\frac{1}{D^2}\left(y+\frac{a}{2}\right)^2}
\end{eqnarray*} 

Le terme de droite dans les racines carrées est petit, puisque la
distance $a$ séparant les fentes et l'ordonnée $y$ sont petites devant
la distance $D$, donc nous pouvons utiliser l'approximation
donnée dans l'énoncé.

 Nous avons ainsi:
\begin{eqnarray*}
\mathrm{(T_1M)}&\approx&D\left[1+\frac{1}{2D^2}\left(y-\frac{a}{2}\right)^2\right]\\
\mathrm{(T_2M)}&\approx&D\left[1+\frac{1}{2D^2}\left(y+\frac{a}{2}\right)^2\right]
\end{eqnarray*}
d'où nous déduisons $\delta$:
\[\delta = \mathrm{(T_2M)-(T_1M)}=\frac{1}{2D}\left[\left(y+\frac{a}{2}\right)^2-\left(y-\frac{a}{2}\right)^2\right]=\frac{ay}{D}.\]

\item 
D'après le cours, on observe une frange claire si $\delta = k\lambda$, c'est-à-dire 
si $y=k\frac{D\lambda}{a}$. L'interfrange $i$, qui est la distance séparant deux franges 
claires, est donnée par: 
\begin{equation*}
i=\frac{D\lambda}{a}.
\end{equation*}
On observe des franges claires et sombres alternées, séparées par l'interfrange~$i$. 
  \end{questions}
\vspace*{-1.5em}
\end{solintro}
