\onglet
\begin{qcm}{Vérification des connaissances}{5}
%%%%
%%%%
\begin{questions}

\item Dans l'expérience des trous d'Young, l'interfrange:

\resetchoix 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{} augmente &\choix{} diminue
\end{tabularx}


quand la longueur d'onde augmente.

%\item Si on rapproche les trous d'Young, les franges:
%
%\resetchoix 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
%\choix{} s'écartent &\choix{} se rapprochent
%\end{tabularx}
%

\item Sur le plan médiateur des trous d'Young, on observe une frange:

\resetchoix 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{} claire &\choix{} sombre
\end{tabularx}

\item Pour diffracter une onde, il faut la faire passer par une ouverture 
plus:

\resetchoix 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{} petite &\choix{} grande 
\end{tabularx}

que sa longueur d'onde. 

\item Une ouverture de taille donnée diffracte préférentiellement: 

\resetchoix 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{} les sons les plus aigus &\choix{} les sons les
plus graves
\end{tabularx}

\item On considère une ouverture circulaire dans un mur, de diamètre $34$~cm. À partir 
de quelle longueur d'onde typique les sons sont-ils diffractés ? À quelle fréquence 
cela correspond-il ?

\resetchoix 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix{} $f=100$~Hz &\choix{} $f=1000$~Hz &\choix{} $f=10$~kHz 
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[a]. L'interfrange augmente avec la longueur d'onde puisque $i=\frac{D\lambda}{a}$. 
%\item Réponse \choix[a]. Les franges s'éloignent, puisque $i$ est inversement proportionnel à $a$. 
\item Réponse \choix[a]. On observe une frange claire puisque la différence de marche est nulle, pour 
  des raisons de symétrie.
\item Réponse \choix[a]. Si l'ouverture est plus grande que la longueur d'onde, 
  l'onde n'est pas diffractée. 
\item Réponse \choix[b]. L'ouverture diffracte préférentiellement les grandes 
  longueurs d'onde (supérieures à sa taille), donc les sons suffisamment graves. 
\item Réponse \choix[b]. Les sons vont être diffractés typiquement lorsque leur longueur d'onde 
  sera plus grande que le diamètre de l'ouverture, soit $34$~cm. Puisqu'en 
une seconde, les ondes sonores parcourent $1000$ fois cette distance (soit 
$340$~m), cela correspond à une fréquence de $1000$~Hz. 
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%% LE QCM SUIVANT PEUT ETRE SUPPRIME SI ON MANQUE DE PLACE
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{qcm}{Propriétés des ondes}{2}{30}
%  \textbf{Partie I -} Deux sources $S_1$ et $S_2$, images d'une même source $S_0$ et distantes de ${a=2\text{ mm}}$, produisent un système
%  d'interférences lumineuses sur un écran placé à la distance ${D=2\text{ m}}$. La source $S_0$ contient deux radiations de longueurs d'onde
%  {$0{,}60$~\textmu m} (jaune) et {$0{,}48$ \textmu m} (bleu).
%  \begin{questions}
%\item Depuis le centre de la figure d'interférence, les franges brillantes des deux radiations coïncident une première fois après :\par
%  \resetchoix
%  \choix 4 franges jaunes et 5 franges bleues ;\par
%  \choix 2 franges jaunes et 3 franges bleues ;\par
%  \choix 3 franges bleues et 2 franges jaunes ;\par
%  \choix 5 franges jaunes et 4 franges bleues.
%\item Sur le plan d'observation, cette première coïncidence s'observe à une distance du centre de la figure :\par
%  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
%    \resetchoix
%    \choix $x=3{,}0\text{ cm}$ & \choix $x=2{,}4\text{ cm}$\\
%    \choix $x=2{,}4\text{ mm}$ & \choix $x=3{,}0\text{ mm}$
%  \end{tabularx}
%\item L'observation de cette figure d'interférence montre que :\par
%  \resetchoix
%  \choix les radiations jaune et bleue sont cohérentes ;\\
%  \choix les sources $S_1$ et $S_2$ sont cohérentes ;\\
%  \choix la source $S_0$ est monochromatique.
%  \end{questions}
%  \textbf{Partie II -} Une source $S$ ponctuelle et monochromatique, de longueur d'onde ${\lambda =650\text{ nm}}$, éclaire un carton opaque percé d'un
%  trou carré de côté ${a=0{,}1\text{ mm}}$ et de centre $H$.\par
%  À une distance $\ell =20\text{ cm}$ du carton et parallèlement à celui-ci est placé un écran d'observation perpendiculaire à l'axe $SH$,
%  sur lequel est observée une figure de diffraction.
%  \begin{questions}
%\item La tache centrale de cette figure de diffraction est :\par
%  \resetchoix
%  \choix un cercle de rayon $r=1{,}6\text{ mm}$ ;\\
%  \choix un carré de côté $b=1{,}6\text{ mm}$ ;\\
%  \choix un cercle de rayon $r=2{,}6\text{ mm}$ ;\\
%  \choix un carré de côté $b=2{,}6\text{ mm}$.
%\item Si on divise $a$ par 5, la grandeur caractéristique de la figure de diffraction ($b$ ou $r$) :\par
%  \resetchoix
%  \choix est divisée par 5 ;\\
%  \choix est multipliée par 5 ;\par
%  \choix n'est pas modifiée.
%  \end{questions}
%  \Par
%  \textbf{Partie III -} Une voiture éclaire un observateur dont la pupille de l'{\oe}il a un diamètre de $6\text{ mm}$. Les phares sont équipés de
%  lampes supposées monochromatiques et ponctuelles, de longueur d'onde ${\lambda =600\text{ nm}}$ et espacées de ${150\text{ cm}}$.\par
%  L'{\oe}il peut distinguer ces lampes jusqu'à une distance de :\par
%  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
%    \resetchoix
%    \choix $\nombre{12}\text{ km}$ & \choix $\nombre{6}\text{ km}$\\
%    \choix $\nombre{26}\text{ km}$ & \choix $\nombre{250}\text{ m}$
%  \end{tabularx}
%  \Par
%  \textbf{Partie IV - } Deux étoiles $E_1$ et $E_2$ présentent un écart angulaire $\alpha$ de $0{,}15$ seconde d'arc pour un observateur terrestre :
%  \Form{372_003_003ondes001}
%  Ces étoiles sont observées à travers un télescope muni d'un filtre optique de longueur d'onde ${\lambda =600\text{ nm}}$.\par
%  Pour séparer ces deux étoiles, le télescope doit posséder un rayon minimum :\par
%  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
%    \resetchoix
%    \choix $R=1\text{ m}$ & \choix $R=50\text{ cm}$\\
%    \choix $R=25\text{ cm}$ & \choix $R=2\text{ m}$
%  \end{tabularx}
%\end{qcm}
%\begin{corrige}
%    \textbf{Partie I.}
%    \begin{questions}
%  \item Sur l'écran sont produites les franges d'interférence rectilignes, situées aux abscisses verticales :
%    \[x=p\times\frac{\lambda\,D}{a}
%    \]
%    où $\lambda$ désigne la longueur d'onde du rayonnement lumineux. Ainsi, en utilisant un rayonnement composé des longueurs d'onde ${\lambda _j=0{,}60\;\text{\textmu m}}$
%    (jaune) et ${\lambda _b=0{,}48\;\text{\textmu m}}$ (bleu), deux figures d'interférence sont observables (en traits pleins pour le jaune
%    et en pointillés pour le bleu, sur la figure suivante) :
%    \Form{376_003_003ondes002}
%    À une abscisse $X$, deux franges brillantes jaune et bleue se superposent une première fois s'il existe deux entiers (les plus petits)
%    $p_j$ et $p_b$ tels que :
%    \begin{equation}\label{2303122}
%      X=p_j\lambda _j\,\frac{D}{a}\text{ et }X=p_b\lambda _b\,\frac{D}{a}
%    \end{equation}
%    c'est-à-dire si :
%    \begin{eqnarray}
%      \frac{aX}{D}=p_j\lambda _j=p_b\lambda _b
%      & \Rightarrow & \frac{p_b}{p_j}=\frac{\lambda _j}{\lambda _b}=\frac{0{,}60\cdot 10^{-6}}{0{,}48\cdot 10^{-6}}=1{,}25\notag\\
%      & \Rightarrow & p_b=1{,}25\times p_j.\label{2303121}
%    \end{eqnarray}
%    Pour les premières valeurs entières non nulles de $p_j$, évaluons les valeurs de $p_b$ vérifiant cette relation :
%    \begin{center}\begin{tabular}{|C|p{0.6cm}|p{0.6cm}|p{0.6cm}|p{0.6cm}|p{0.6cm}|p{0.6cm}}
%    \hline
%    $p_j$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $\cdots$\\
%    \hline
%    $p_b$ & $1{,}25$ & $2{,}50$ & $3{,}75$ & $5$ & $6{,}25$ & $\cdots$\\
%    \hline
%  \end{tabular}\end{center}
%Il apparaît ainsi que les plus petites valeurs entières positives liées par l'identité (\ref{2303121}) sont :
%\begin{center}$p_j=4$ franges jaunes et $p_b=5$ franges bleues (réponse \choix[a]).\end{center}
%
%\item
%  \'Etant donné que $p_j\lambda _j=p_b\lambda _b$, les relations (\ref{2303122}) fournissent l'abscisse à laquelle des franges jaune et
%  bleue coïncident une première fois :
%  \begin{eqnarray*}
%  X&=&p_j\lambda _j\,\frac{D}{a}=4\times 0,60\cdot 10^{-6}\times\frac{2}{2\cdot 10^{-3}}
%       \Rightarrow X=2{,}4\cdot 10^{-3}\\
%    &=&2{,}4\text{ mm}\text{ (réponse \choix[c])}.
%  \end{eqnarray*}
%  
%\item La source $S_0$ ne peut pas être monochromatique puisqu'elle contient des radiations de longueurs d'onde différentes. En outre
%  ces radiations ne sont pas cohérentes (ne possédant pas la même fréquence, elles ne peuvent pas interférer, mais seulement additionner
%  leurs intensités). Cependant, pour chacune des longueurs d'onde $\lambda _j$ ou $\lambda _b$ apparaît une figure d'interférence sur
%  l'écran, ce qui n'est possible que si les sources $S_1$ et $S_2$ sont mutuellement cohérentes (réponse \choix[b]).
%  \end{questions}\Par
%  \textbf{Partie II.}
%  \begin{questions}
%\item Un trou carré produit, sur l'écran, une figure de diffraction qui possède les mêmes symétries que le trou, c'est-à-dire un carré
%  ; l'intensité lumineuse $I$ s'annule alors une première fois à une distance ${X=\dfrac{\lambda\ell}{a}}$ du centre $O$ de la figure de
%  diffraction :
%  \Form{377_003ondes003}
%  Par suite, la figure de diffraction est un carré de côté :
%  \begin{eqnarray*}
%  b&=&2\times\frac{\lambda\ell}{a}=\frac{2\times 650\cdot 10^{-9}\times 0{,}2}{0{,}1\cdot 10^{-3}}
%       \Rightarrow b=2{,}6\cdot 10^{-3}\text{ m}\\
%    &=&2{,}6\text{ mm (réponse \choix[d])}.
%  \end{eqnarray*}
%\item D'après ce qui précède, un carré de côté $a'=\dfrac{a}{5}$, percé dans le carton, produit dans les mêmes conditions une figure de
%  diffraction carrée de côté :
%  \[b'=\frac{2\lambda\ell}{a'}=\frac{2\lambda\ell}{a}\times 5\Rightarrow b'=5b\text{ (réponse \choix[b])}.
%  \]
%  \end{questions}\Par
%  \textbf{Partie III.} Soient $P_1$ et $P_2$ les deux phares supposés ponctuels, distants de ${P_1P_2=1{,}5\text{ m}}$ et soit $P$ le milieu du
%        segment $[P_1P_2]$. Le plan vertical qui contient $P_1$, $P_2$ et $P$ est éloigné d'une distance $L$ de la pupille, dont le diamètre
%        ${D=6\text{ mm}=6.10^{-3}\text{ m}}$ définit le rayon ${R=\dfrac{D}{2}}$.\par
%        Chacun des phares produit à l'intérieur de l'\oe il (sur la rétine) une tache de largeur angulaire ${\Delta\theta
%          =\dfrac{1{,}22\,\lambda}{R}}$, centrée respectivement sur $O_1$ et $O_2$ :
%        \Form{378_003ondes004}
%        Le critère de {\sc Rayleigh} stipule que ces deux taches sont perçues comme distinctes si leur distance angulaire $2\alpha$ est supérieure
%        à la largeur $\dfrac{\Delta\theta}{2}$ :
%        \begin{equation}\label{2503121}
%          2\alpha >\frac{\Delta\theta}{2}=\frac{0{,}61\,\lambda}{R}
%          \Rightarrow\alpha >\frac{0{,}61\,\lambda}{2R}\Rightarrow\alpha >\frac{0{,}61\,\lambda}{D}.
%        \end{equation}
%        Soit $C$ le centre de la pupille qui définit, avec $P$ et $P_1$, un triangle rectangle dans lequel :
%        \[\tan\alpha =\frac{P_1P}{CP}=\frac{P_1P_2}{2L}.
%        \]
%        La relation (\ref{2503121}) impose alors :
%        \begin{eqnarray*}
%          \tan\alpha >\tan\paren{\frac{0{,}61\,\lambda}{D}}
%          & \Rightarrow & \frac{P_1P_2}{2L}>\tan\paren{\frac{0{,}61\,\lambda}{D}}\\
%          & \Rightarrow & L<\cfrac{P_1P_2}{2\times\tan\paren{\cfrac{0{,}61\,\lambda}{D}}},
%        \end{eqnarray*}
%        ce qui signifie aussi que, pour que ses deux phares soient séparés par l'{\oe}il, la voiture doit se trouver à moins de :
%        \[L_{\max}=\cfrac{1{,}5}{2\times\tan\paren{\cfrac{0{,}61\times 600\cdot 10^{-9}}{6\cdot 10^{-3}}}}
%        =\nombre{12295}\text{ m (réponse \choix[a])}.
%        \]
%        \textbf{Partie IV.}  Chaque étoile produit, dans le plan d'observation, une tache d'Airy de diamètre angulaire
%        ${\Delta\theta=\dfrac{1{,}22\,\lambda}{R}}$ :
%        \Form{379_003ondes005}
%        Pour que ces étoiles soient séparées au cours de leur observation, il faut que leur écart angulaire $\alpha$ soit supérieur au
%        \og rayon\fg de la tache d'Airy :
%        \[\alpha >\frac{\Delta\theta}{2}=\frac{0{,}61\,\lambda}{R}\Rightarrow R>\frac{0{,}61\,\lambda}{\alpha}=R_{\text{min}}.
%        \]
%        Le rayon du télescope doit donc excéder une valeur $R_{\text{min}}$ qui dépend de l'angle $\alpha$ exprimé en radian. Or :
%        \[1\text{\degres} =\nombre{3600}\text{ secondes}\Rightarrow 1\text{ seconde}=\frac{1}{\nombre{3600}}\text{ degré}
%        \]
%        tandis que :
%        \[
%        180\text{\degres} =\pi\text{ rad}\Rightarrow 1\text{\degres} =\frac{\pi}{180}\text{ rad}
%        \Rightarrow 1\text{ seconde}=\frac{1}{\nombre{3600}}\times\frac{\pi}{180}\text{ rad}.
%        \]
%        C'est pourquoi :
%        \begin{eqnarray*}
%          \alpha
%          & = & 0{,}15 ''=\frac{0{,}15\times\pi}{\nombre{3600}\times 180}\simeq 7{,}3\cdot 10^{-7}\text{ rad}\\
%          & \Rightarrow & R_{\text{min}}=\frac{0{,}61\times 600.10^{-9}}{7{,}3\cdot 10^{-7}}=0{,}50\text{ m}=50\text{ cm (réponse \choix[b])}.
%        \end{eqnarray*}
%      \end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\begin{exo}{Diffraction ou pas ?}{Lycée Hoche, Versailles}{1}{10}
%%%%%
%  %%%%
%  \label{diffoupas}
%On fait passer un faisceau de lumière monochromatique à travers une
%fente de largeur $a$. On dispose un écran à~2~m de la fente.
%La longueur d'onde du faisceau est $\lambda=0{,}52$~\textmu m.
%
%L'expression donnant la largeur caractéristique $L$ du faisceau
%diffracté à une distance $D$ de l'obstacle est :
%\[L = \frac{D\lambda}{a}.\]
%\begin{questions}
%\item Qu'est-ce qu'une lumière \index{Monochromatique}monochromatique ?
%
%\item La largeur de la fente est $a=3$~mm. Observe-t-on une 
%\og tache de diffraction\fg{} sur l'écran ?
%
%\item La largeur de la fente est à présent $a=0{,}1$~mm. Observe-t-on
%cette fois-ci un phénomène de diffraction sur l'écran ?
%
%\item Expliquer pourquoi il serait judicieux de prendre un laser de lumière
%rouge plut\^ot qu'une autre couleur pour observer le phénomène de diffraction
%dans les expériences précédentes.
%\end{questions}
%\end{exo}
%%%%%
%%%%%
%\begin{corrige}
%%%%%
%%%%%
%\begin{questions}
%\item Une lumière monochromatique est une lumière dont toutes les 
%  radiations ont la même longueur d'onde. C'est le cas de la lumière d'un laser. 
%\item Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il apparaît une tache
%  de diffraction sur l'écran et calculons la largeur caractéristique
%  qu'elle doit avoir. La formule donnée dans l'énoncé donne :
%\[L=\frac{D\lambda}{a}=\frac{2\times 0{,}52\cdot 10^{-6}}{3\cdot 10^{-3}}=3\cdot 
%  10^{-4}\mbox{~m}=0{,}3\mbox{~mm}.\]
%On trouve que la largeur de la tache de diffraction est nettement inférieure à la 
%largeur de la fente.  C'est absurde puisque lorsqu'un faisceau de lumière est 
%diffracté, il s'\og ouvre\fg{} et la tache de diffraction est donc dans tous les cas 
%plus large que la fente. Cela signifie, dans le cas présent, que la fente est trop 
%large pour que le faisceau soit diffracté, et donc la formule de l'énoncé, qui suppose 
%qu'il y a diffraction, n'est pas valable dans ces conditions. La tache qu'on observe 
%donc sur l'écran est simplement la projection de la fente, et a pour largeur celle de la fente, 
%comme on le voit sur la figure ci-dessous. 
%
%% 
%\begin{center}
%  \includegraphics{380_ondulsol01}
%\end{center}
%
%\item Raisonnons comme à la question précédente et calculons la
%  largeur caractéristique que doit avoir la tache de diffraction. On a:
%  
%  \[L=\frac{D\lambda}{a}=\frac{2\times 0{,}52\cdot 10^{-6}}{10^{-4}}=
%    10^{-2}\mbox{~m}=1\mbox{~cm}.\]
%  
%  Cette fois, cette largeur est nettement supérieure à celle de la fente. Celle-ci 
%  est donc à présent suffisamment étroite pour diffracter le faisceau, et on observe 
%  bien une tache de diffraction sur l'écran. 
%  
% \Par
%  
%  % 
%  \begin{center}
%    \includegraphics{380_ondulsol02}
%  \end{center}
%  
%\item On voit d'après la formule donnée dans l'énoncé que le diamètre
%  de la tache de diffraction est proportionnel, pour une géométrie
%  donné ($a$ et $D$ fixés), à la longueur d'onde. Donc, pour que le
%  phénomène de diffraction puisse se manifester avec une fente qui ne
%  soit pas trop petite, on a intérêt à prendre la plus grande longueur
%  d'onde possible du domaine visible, donc à travailler avec des
%  radiations monochromatiques de couleur rouge (qui ont une grande
%  longueur d'onde).
%  
%\end{questions}
%\end{corrige}
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
% 2024
\begin{exo}{Trombone de K\oe nig}{Lycée Fabert, Metz}{1}{10}

Le trombone de K\oe nig est un dispositif de laboratoire permettant de faire interférer deux ondes sonores ayant suivi des chemins différents. Le haut-parleur, alimenté par un générateur de basses fréquences, émet un son sinusoïdal de fréquence $f=1500$ Hz. \\
On mesure le signal de sortie avec un microphone branché sur un oscilloscope.
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{354_trombone}  
\end{center}
En déplaçant la partie mobile $T_2$, on fait varier l'amplitude du signal observé. On constate que si l'amplitude est minimale pour une position donnée de $T_2$, l'amplitude redevient minimale si on déplace $T_2$ d'une distance:\\ $d=11,5$ cm $\pm 2$ mm.

Déterminer la valeur de la célérité du son dans l'air à $\theta = 20^\circ C$, qui est la température de l'expérience.

\end{exo}

\begin{corrige}

L'onde émise par le haut-parleur est séparée en deux, en passant soit par $T_1$ ou $T_2$, avant de se rejoindre au niveau du microphone. Puisque les ondes passant par $T_1$ ou $T_2$ sont issues de la même sources, elles, sont \emph{cohérentes} et donc peuvent interférer ensemble. 

Soit $\delta$, la différence de marche au niveau du microphone, entre l'onde passant par $T_1$ et celles passant par $T_2$. Avant le déplacement de $T_2$, on enregistre un minimum d'amplitude, donc les interférences sont destructives, et :
\begin{center}
$\delta_1 = (k_1+\frac{1}{2})\lambda$, avec $k_1$ un entier relatif. 
\end{center}

Lorsqu'on déplace $T_2$ de $d$, on rallonge (ou raccourcit) le trajet de l'onde passant par $T_2$ de $2d$, donc $\delta_2=\delta_1+2d$. De plus, on retrouve après ce déplacement, la prochaine amplitude minimale, donc :
\begin{center}
$\delta_2 = (k_2+\frac{1}{2})\lambda$, avec $k_2=k_1 \pm 1$. 
\end{center}

Ainsi, on trouve d'une part : 
\[ |\delta_1 - \delta_2| = |(k_1+\frac{1}{2})\lambda - (k_2+\frac{1}{2})\lambda| = \lambda. \]
Et d'autre part : 
\[ |\delta_1 - \delta_2|=2d. \]
D'où on obtient : $\lambda = 2d$ et avec la relation de la célérité : 
\[ c_{son}=\lambda \times f = 2d \times f = 2 \times 11,5 \cdot 10^{-2} \times 1500 = 345\ \mathrm{m.s}^{-1}. \]
On effectue le même calcul pour obtenir l'incertitude $i$ sur $c_{son}$ : 
\[ i=2 \times 2 \cdot 10^{-3} \times 1500 = 6\ \mathrm{m.s}^{-1}. \]

\end{corrige}





%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{exo}{Diamètre d'un fil d'araignée}{Lycée Bourdelle, Montauban}{1}{15}
%%%%
%%%%
Un biologiste veut mesurer le diamètre d'un fil d'araignée. 
Pour ce faire, il le dispose dans le faisceau d'un laser 
He-Ne de longueur d'onde $\lambda=628$~nm et observe l'image 
de diffraction sur un écran placé à la distance~$D$. 

%
\begin{center}
\includegraphics{355_araignee01}
\end{center}


Sachant que l'angle caractéristique du faisceau diffracté est donné 
par $\alpha\simeq \frac\lambda r$ où $r$ est le rayon du fil 
d'araignée, et que le biologiste mesure une tache de largeur 
caractéristique $d=1{,}4$~cm sur l'écran, quel est le diamètre du fil 
d'araignée ? 

\textit{Indication:}

Pour tout petit angle $\alpha$, on peut considérer que l'on a: 
$\tan\alpha\simeq \alpha$, lorsque $\alpha$ est exprimé en radian. 
\end{exo}

\begin{corrige}
%%%%
%%%%

On représente la situation sur la figure ci-après 

%
\begin{center}
\includegraphics{359_araigneesol}
\end{center}

On peut écrire, en considérant le triangle ABC, rectangle en C: 
\[d = 2D\tan\left(\frac\alpha 2\right).\]

Or l'angle $\alpha$ est petit, donc on a : 
\[d\simeq 2D\times\frac{\alpha}{2}=D\alpha\simeq \frac{D\lambda}{r}\]
d'où l'on déduit : 
\[r\simeq\frac{D\lambda}{d}=\frac{1\times 628\cdot 10^{-9}}{1{,}4\cdot 10^{-2}}
=4{,}5\cdot 10^{-5}\mbox{~m}\simeq 0{,}05\mbox{~mm}.\]

Le diamètre du fil est donc égal à $2r=0{,}1$~mm. 

\begin{plusloin}
  L'énoncé de cet exercice nous permet de déduire que la figure de 
  diffraction d'un obstacle d'une certaine largeur a les mêmes 
  propriétés que la figure de diffraction d'une fente de même 
  largeur. Cette propriété porte un nom, il s'agit du principe de 
  Babinet. 
\end{plusloin}
\end{corrige}
%%%%%
%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%
%%%%%
% 
%
\begin{exo}{Mirois de Fresnel}{Lycée Rabelais, Meudon}{2}{25}
%%%%
%%%%

On considère le dispositif de la figure ci-après.

%
\begin{center}
\includegraphics{355_fresnel01}
\end{center}

Les deux miroirs plans $\mathrm{(OO_1)}$ et $\mathrm{(OO_2)}$ font
entre eux un très petit angle $\alpha$.

On les éclaire en incidence rasante à l'aide d'un laser He-Ne
de longueur d'onde $\lambda=628$~nm. Le laser se trouve à une
distance $d$ de l'arête commune~O des miroirs, et on 
observe la figure d'interférence sur un écran situé à une
distance~$D$ de cette arête.
\begin{questions}

\item Montrer que ce dispositif
est équivalent à un dispositif de trous d'Young.

\item En déduire la valeur de l'\index{Interfrange}interfrange.

\end{questions}
\textit{Données:}

\hf
$d=25$~cm\hf
$D=50$~cm\hf
$\alpha=5$~minutes d'arc\hf

\Par

\textit{Indications:}

Il y a $60$ minutes d'arc dans un degré.\\
On admettra qu'on peut considérer que les rayons  
arrivant sur l'écran sont issus de deux sources S$_1$ 
et S$_2$ qui sont respectivement les symétriques de la sortie S du
laser par le miroir OO$_1$ et par le miroir OO$_2$.
\end{exo}

\begin{corrige}
%%%%
%%%%
  \begin{figure}
    \begin{center}
      \includegraphics{359_fresnelsol}
    \end{center}
    \label{fig:fresnel}
  \end{figure}
  \newpage
\begin{questions}
\item Les ondes lumineuses parvenant sur l'écran au niveau du point~M de la figure~\ref{fig:fresnel} peuvent parvenir de deux sources différentes : 

  \begin{itemize}
  \item Le symétrique S$_1$ de la sortie~S du laser par rapport au miroir $(OO_1)$~; 
  \item Le symétrique S$_2$ de la sortie~S du laser par rapport au miroir $(OO_2)$. 
  \end{itemize}
  
  On appelle~$l$ la distance du point~S au miroir~$(OO_1)$.  Alors le point~S$_1$
  se trouve à une distance $2l$ du point~S. Puisque l'angle~$\alpha$ est petit, on 
  peut dire que le point~S se trouve à une distance $l'=l+\alpha d$ de la droite~$(OO_2)$, 
  et donc le point~S$_2$ se trouve à une distance $2l'=2l+2\alpha d$
  du point~S.
  \begin{methode}
    On utilise ici la propriété 
    qu'un angle petit, exprimé en radians, peut être confondu avec sa
    tangente ou son sinus.
  \end{methode}
  Par conséquent les points~S$_1$ et~S$_2$ se trouvent à une distance 
  $$\Delta = 2l'-2l=2\alpha d$$
  l'un de l'autre, et dans la limite d'un petit angle $\alpha$, la droite $\mathrm{(S_1S_2)}$
  tend à être perpendiculaire à la droite $(OO_1)$. 
  
  L'application numérique donne ici : 
  $$\Delta = 2\times \frac{5}{60}\times\frac{\pi}{180}\times 
  0{,}25=7{,}3\cdot 10^{-4}\mbox{~m}=0{,}73\mbox{~mm}.$$
  
%Ces sources sont virtuelles car elles n'existent pas. Elles sont les
%\og conjuguées\fg{} du point~S respectivement par les miroirs
%$(OO_1)$ et $(OO_2)$, mais les rayons lumineux n'émanent pas
%réellement des points~S$_1$ et S$_2$. Toutefois tout se passe comme
%si les rayons réfléchis par $(OO_1)$ (resp. $(OO_2)$) étaient émis
%par la source S$_1$ (resp. S$_2$).
%
  Ces sources sont synchrones car
  elles sont issues d'une même source physique (le laser placé en~S) à
  partir d'un même dispositif (la réflexion sur un miroir).

  Le dispositif  des miroirs de Fresnel se réduit, d'après ce que nous avons vu 
  à la première question, à deux sources S$_1$ et S$_2$ synchrones ponctuelles séparées par une petite distance 
  $\Delta$, et telles que $\rm (S_1S_2)$ soit   parallèle à l'écran sur lequel 
  on réalise l'observation. 
  
  % 
  \begin{center}
    \includegraphics{360_fresnelsol02}
  \end{center}
  
 Tout se passe donc comme dans l'expérience des trous d'Young, où les
 trous seraient ici S$_1$ et S$_2$.

 \item Dans l'expérience des trous d'Young, la valeur de l'interfrange
   est donnée par:
   \[i=\frac{L\lambda}{\Delta}\]
   
donc ici nous avons : 
\[i=\frac{(D+d)\lambda}{\Delta}=\frac{(0{,}5+0{,}25)\times 628\cdot 10^{-9}}{7{,}3 
\cdot 10^{-4}}=6{,}4\cdot 10^{-4}\mbox{~m}=0{,}6\mbox{~mm}.\]

La valeur de l'interfrange est de $0{,}6$~mm.
\end{questions}
\end{corrige}

\begin{exo}{Interférences}{Baccalauréat Nouvelle
    Calédonie 1964}{3}{75} 
Une source S éclaire deux fentes F$_1$ et F$_2$, fines, parallèles et
distantes l'une de l'autre de $2$~mm. La source~S se trouve sur la
perpendiculaire au plan des fentes, à égale distance de chacune
d'elles (voir figure ci-après). Un écran est placé à la distance
$D=3$~m du plan des fentes.
\begin{center}
  \includegraphics{356_newscaled1}
\end{center}
\begin{questions}
\item On éclaire la source en lumière monochromatique de longueur
  d'onde $\lambda$. Des franges d'interférences apparaissent sur
  l'écran et l'on compte~5~franges brillantes de part et d'autre de la
  frange centrale~O, occupant dans leur ensemble une longueur
  $b=9$~mm. En déduire $\lambda$.
\begin{center}
  \includegraphics{356_newscaled2}
\end{center}
\item Avec quelle approximation connaît-on $\lambda$, sachant que $b$
  a été mesuré à $0{,}1$~mm près, F$_1$F$_2$ à $0{,}1$~mm près et $D$
  à $1$~cm près~?
\item On place alors devant la fente F$_1$ une lame à faces parallèles
  d'épaisseur $60$~micromètres et d'indice de réfraction $n=1{,}5$. De
  combien et dans quel sens se déplace la frange centrale~?
\item On éclaire la source en lumière blanche, la lame précédente
  étant enlevée. Qu'observe-t-on sur l'écran~?\Par
\item On place la fente d'un spectroscope à $5$~mm du point~O, où se reforme
la frange centrale (le rôle de ce spectroscope est d'analyser la
lumière au point où il se trouve, chaque radiation correspondant à une frange
noire donnera une cannelure noire). Donner le nombre et la longueur
d'onde de ces cannelures, les limites du spectre visible étant
$0{,}4$~\textmu m et $0{,}7$~\textmu m.

\Par

\textit{Indications:}
on pourra utiliser l'approximation suivante:
\[
\sqrt{1+\varepsilon}\simeq 1+\varepsilon/2,
\] valable quand la valeur
absolue de $\varepsilon$ est beaucoup plus petite que l'unité.
\end{questions}
\end{exo}
%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%
\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item Commençons par évaluer l'interfrange $i$.  On a $5$~franges
    brillantes de part et d'autre de la frange centrale, donc on a au
    total $11$~franges et $10$~interfranges sur la longueur $b$. On a
    donc:
    \[i=\frac{b}{10}=0{,}9\mbox{~mm}.\]
    D'après le cours, nous avons la relation suivante entre $d$, la
    distance des fentes, $D$, $i$ et $\lambda$:
\[i = \frac{\lambda D}{d},\]
d'où l'on déduit:
\[\lambda = \frac{id}{D}=\frac{0{,}9\cdot 10^{-3}\times 2\cdot
  10^{-3}}{3}=6\cdot 10^{-7}\mbox{~m}=0{,}6\mbox{~\textmu}m.\]
\item De la relation précédente, pour des erreurs relatives petites,
  on peut écrire:
\[\frac{\delta \lambda}{\lambda}=\frac{\delta i}{i}+\frac{\delta
  d}{d}+\frac{\delta D}{D},\]
où $\delta i$, $\delta d$ et $\delta D$ sont respectivement l'erreur
de mesure sur $i$, $d$ et $D$. Nous ne connaissons par l'erreur
$\delta i$ sur l'interfrange, mais nous connaissons celle sur $b$. Or
\[i=\frac{b}{10}\]
donc
\[\frac{\delta i}{i}=\frac{\delta b}{b}.\]
 L'application numérique donne:
\[\frac{\delta
  \lambda}{\lambda}=\frac{0{,}1}{9}+\frac{0{,}1}{2}+\frac{0{,}01}{3}.\]
\begin{methode}
Notons qu'il n'est pas nécessaire de convertir toutes les longueurs
dans les mêmes unités, puisque chaque terme est un quotient de
longueurs. Il suffit pour chaque terme que le numérateur et le
dénominateur soient exprimés dans les mêmes unités.  
\end{methode}
On note que l'essentiel de l'erreur provient de l'erreur sur la mesure
de la distance entre les fentes (deuxième terme dans la somme
page précédente).  Nous obtenons:
\[\frac{\delta\lambda}{\lambda}=0{,}064\]
soit:
\[\delta\lambda=0{,}06\times 0{,}6=0{,}0384\mbox{~\textmu}m.\]
Ce résultat, tel quel, contient trop de chiffres significatifs.  Il
convient ici d'en garder au plus deux. Toutefois, nous n'allons pas arrondir
le résultat au nombre inférieur, bien qu'il se termine par un $4$,
mais au nombre supérieur, puisqu'il s'agit ici d'une incertitude. Nous
voulons être certain que la valeur réelle tombe dans l'intervalle que
nous allons donner, aussi convient-il de prendre le nombre à deux
chiffres significatifs immédiatement supérieur:
\[\lambda=600\pm 39\mbox{~nm}.\]
\item On rallonge le chemin optique des rayons passant par F$_1$. La
  frange centrale est obtenue à l'endroit où les chemins optiques des
  rayons issus des deux fentes sont égaux: la frange centrale doit
  donc se déplacer vers le haut. Le chemin optique du rayon à travers
  la lame est $ne$ (on néglige l'inclinaison du rayon pour un chemin
  aussi court). Le chemin optique du rayon sur la même région, avant
  insertion de la lame, était simplement $e$. L'insertion de la lame
  augmente donc le chemin optique des rayons issus de F$_1$ de la
  quantité $(n-1)e$.
  \begin{center}
    \includegraphics{362_bbsol2}
  \end{center}
  On calcule le chemin optique $l_1$ des rayons issus de F$_1$:
\[l_1=\sqrt{D^2+\left(y-\frac a2\right)^2} +(n-1)e\]
qui s'écrit encore:
\[l_1=D\sqrt{1+\left(\frac{y-a/2}{D}\right)^2} +(n-1)e.\] 
On utilise à
présent la relation approchée
$\sqrt{1+\varepsilon}\simeq 1+\varepsilon/2$, valable quand
$|\epsilon| \ll 1$ (le symbole $\ll$ signifie \og très petit devant
\fg). C'est ici le cas, puisque tant $y$ que $a$ sont petits devant
$D$. Nous avons donc:
\[l_1=D+\frac{(y-a/2)^2}{2D}+(n-1)e.\]
Le calcul du chemin optique $l_2$ des rayons issus de F$_2$ est
similaire, à ceci près qu'il n'a pas de terme supplémentaire (pas de
lame de verre devant F$_2$), et que l'on remplace $a/2$ par $-a/2$
dans la relation ci-dessus. On obtient:
\[l_2=D+\frac{(y+a/2)^2}{2D}.\]
La différence de marche $\Delta=l_1-l_2$ est donc:
\[\Delta=\frac{(y-a/2)^2}{2D}-\frac{(y+a/2)^2}{2D}+(n-1)e.\]
En utilisant l'égalité $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, on obtient:
\[\Delta=-\frac {ay}{D}+(n-1)e.\]
La frange centrale s'obtient pour $\Delta =0$ soit:
\[y=\frac{(n-1)eD}{a}.\]
L'application numérique donne:
\[y=\frac{(1{,}5-1)\times 60\cdot 10^{-6}\times 3}{2\cdot
  10^{-3}}=4{,}5\cdot 10^{-2}\mbox{~m}=4{,}5\mbox{~cm}.\]
La frange centrale monte de $4{,}5$~cm.
\item À chaque longueur d'onde, on a un système de franges avec
  un interfrange différent, chaque système étant centré sur le
  point~O. Au voisinage de la frange centrale, on observe des franges
  colorées, et lorsqu'on s'éloigne suffisamment de ce point, les
  franges aux différentes longueur d'onde ne sont plus du tout en
  phase et on obtient un \og blanc d'ordre supérieur\fg. Nous
  reviendrons sur ce concept à la fin de la question suivante.

\item
Une cannelure est obtenue quand la différence de marche entre
  deux rayons peut s'écrire $(k+1/2)\lambda$, où $k$ est un entier
  relatif quelconque. On a donc:
\[-\frac{ay}{D}=\left(k+\frac 12\right)\lambda\]
soit encore:
\begin{equation}
  \label{eqbb:1}
\lambda = -\frac{ay}{D(k+1/2)}.
\end{equation}
Il nous reste à déterminer pour quelle(s) valeur(s) de $k$ ces valeurs
de longueur d'onde sont comprises dans le domaine visible. On appelle
$\lambda_1=0{,}4$~\textmu m la limite inférieure du domaine visible,
et $\lambda_2=0{,}7$~\textmu m la limite supérieure. On veut:
\[\lambda_1< -\frac{ay}{D(k+1/2)} < \lambda_2.\]
En prenant l'inverse il vient:
\[\frac{1}{\lambda_1} > -\frac{D(k+1/2)}{ay} > \frac{1}{\lambda_2}.\]
ce qui s'écrit au final:
\begin{equation}
  \label{eqbb:2}
  -\frac{ay}{D\lambda_1}-\frac 12 < k < -\frac{ay}{D\lambda_2}-\frac
  12.
\end{equation}
L'application numérique donne ici:
\[
  -\frac{(2\cdot 10^{-3})\times (5\cdot 10^{-3})}{3\times (4\cdot
    10^{-7})}-\frac 12 < k < -\frac{(2\cdot 10^{-3})\times (5\cdot 10^{-3})}{3\times (7\cdot
    10^{-7})}.
\]
\begin{methode}
  Pour des résultats corrects, il faut exprimer toutes les distances
  dans la même unité dans les inégalités ci-dessus. Nous avons choisi
  de les exprimer en mètre.
\end{methode}
Nous obtenons:
\[-8{,}8 < k < -5{,}3.\] 
Nous avons donc $3$ valeurs entières de $k$
admissibles: $k_1=-8$, $k_2=-7$ et $k_3=-6$. Pour chacune de ces
valeurs, on peut utiliser l'équation~(\ref{eqbb:1}) pour inférer la
longueur d'onde. On trouve:
\[\lambda_1=0{,}44\mbox{~\textmu m}\]
\[\lambda_2=0{,}51\mbox{~\textmu m}\]
%%% ERREUR VOLONTAIRE CI-DESSOUS (non détectée)
%\[\lambda_3=0{,}68\mbox{~\textmu m}\]
%%% RESULTAT CORRECT
\[\lambda_3=0{,}61\mbox{~\textmu m}\] 
On peut mieux comprendre ici l'origine du concept de blanc d'ordre
supérieur. On voit sur l'inégalité~(\ref{eqbb:2}) que les limites
admissibles pour $k$ croissent lorsque $y$ augmente. On a donc de plus
en plus de cannelures dans le spectre au fur et à mesure que l'on
s'éloigne de la frange centrale. Tant que le nombre de cannelures est
petit, on a autour des cannelures des régions de grande largeur qui
ont une faible intensité, et la lumière résultante est teintée. En
revanche, quand le nombre de cannelures est grand, toutes les régions
du spectre visible sont représentées de manière égale (les cannelures
étant serrées et régulièrement espacées), et on obtient une teinte
uniforme blanche.
  \end{questions}
\end{corrige}
\thumb\AfficheCorrige 
