\chapter{La lunette astronomique}
\section{Introduction}
\begin{exointro}{D'après lycée Condorcet, Paris}
  Une \index{Lunette}lunette astronomique est constituée de deux lentilles minces,
  l'objectif et l'oculaire, distantes de $1020$~mm. On observe une
  étoile double à l'aide de cette lunette. Il s'agit de deux étoiles
  très proches l'une de l'autre sur la sphère céleste, séparées par un
  angle $\alpha$ de seulement $4{,}3$ secondes d'arc. Sachant que le
  grossissement utilisé est $G=50$, déterminer:
  \begin{questions}
    \item la distance focale de l'objectif et de l'oculaire;
    \item la distance séparant les deux étoiles sur l'image
      intermédiaire formée par l'objectif;
    \item l'angle apparent sous lequel l'observateur voit les deux étoiles.
    \end{questions}
    \textit{Indication:}
    il y a $60$ secondes d'arc dans une minute d'arc, et $60$ minutes
    d'arc dans un degré.
\end{exointro}

\enlargethispage*{5em}

Ce chapitre de présentation de la lunette astronomique requiert une bonne maîtrise des cours d'optique vus en classe de Seconde et de Première.

\begin{aretenir}
Soit une lentille mince avec O son centre, A la position de l'objet, A' la position de l'image; alors on rappelle la relation de conjugaison d'une lentille mince : 
\[ \frac{1}{\overline{\mathrm{OA}'}}-\frac{1}{\overline{\mathrm{OA}}}=\frac{1}{f'} \]
avec $f'$ la distance focale de la lentille.

En optique géométrique, les distances sont algébriques, donc peuvent être négatives. Elles sont notées avec une barre au-dessus du segment considéré.
\end{aretenir}
 
\section{Une expérience avec deux lentilles}
\label{sec:image-donnee-par}
Si l'on place une feuille de papier derrière une lentille mince
convergente, et que l'on dispose l'ensemble devant
une fenêtre durant la journée, on peut
observer une image inversée, sur la feuille de papier, du paysage
extérieur. Il faut pour cela ajuster la distance entre la lentille mince et la
feuille, de manière à obtenir une image nette.

\begin{center}
\includegraphics[height=48mm]{366_chbrenoire}
\end{center}

On peut alors imaginer que l'on souhaite observer des petits détails
du paysage: pour cela on peut examiner l'image formée avec une loupe.

\begin{center}
\includegraphics{366_chbrenoire2}
\end{center}


Toutefois, on va également voir, au travers de la loupe le grain et
les défauts de la feuille de papier, qui dégradent la qualité de
l'image. Si on maintient la loupe en place et que l'on retire la
feuille de papier, on continue de voir le paysage inversé, agrandi, sans être gêné par la présence de la feuille de papier. C'est le principe de la lunette astronomique, qui donne une image \textit{agrandie} et \textit{inversée} des objets lointains. Nous allons explorer ses propriétés dans les sections suivantes en exploitant les propriétés des lentilles minces qui ont été vues dans les classes antérieures.

Naturellement, il n'est pas commode que les deux lentilles requises
pour élaborer une lunette soient séparées comme ici. Dans la pratique,
on les rend solidaires à l'aide d'un tube rigide, généralement en
métal, parfois en bois ou en plastique.

De manière générale, la lentille qui se trouve du côté de l'objet
observé (dans l'exemple précédent, la lentille montée sur trépied) est appelée \og objectif\fg, tandis que la lentille du côté de l'\oe il de l'observateur (ici la loupe) est appelée oculaire. Naturellement, les deux lentilles doivent être alignées: elles doivent avoir le même axe optique.


\begin{aretenir}
  Une lunette astronomique est composée de deux lentilles:
  l'\index{Objectif}objectif et l'\index{Oculaire}oculaire, alignées
  de manière à partager le même axe optique. L'\oe il de l'observateur
  doit se positionner derrière l'oculaire.
\end{aretenir}

\section{Principe de la lunette astronomique}
Nous commençons par tracer la marche de rayons parallèles arrivant sur
l'objectif (lentille L$_1$) et faisant un angle $\alpha$ avec l'axe
optique. Ces rayons peuvent être conçus comme émanant d'une source
ponctuelle située à très grande distance. Nous savons depuis la classe
de Seconde qu'un faisceau de rayons parallèles converge, après passage
au travers d'une lentille mince, vers un point du plan focal image de
cette lentille. Nous savons également que le rayon passant par le
centre optique d'une lentille n'est pas dévié. Utilisons cette
propriété pour construire la marche des rayons du faisceau incident.
\Par
\begin{center}
\includegraphics{367_pcpelunette1}
\end{center}
\Par
Sur la figure ci-dessus, nous appelons L$_1$ la lentille d'entrée
(c'est-à-dire l'objectif),  O$_1$ son centre optique, et F$'_1$ son
foyer image. Le rayon passant par O$_1$ n'est pas dévié, et intersecte
le plan foyer image au point~I. Tous les autres rayons incidents
doivent donc converger vers le point~I, comme représenté page suivante.
\newpage
\begin{center}
\includegraphics{368_pcpelunette2}
\end{center}

On place à présent l'oculaire (lentille L$_2$) de telle manière que
son plan foyer objet coïncide avec le plan foyer image de la lentille
L$_1$.

\begin{aretenir}
  Lorsqu'on observe une source à l'infini, le foyer objet de
  l'oculaire doit coïncider avec le foyer image de l'objectif.
\end{aretenir}

Quelle est l'image du point~I par cette seconde lentille ? On
sait depuis la classe de Seconde qu'une source ponctuelle placée au
foyer objet d'une lentille donne lieu à un faisceau de rayons
parallèles en sortie de la lentille mince convergente. Un observateur
placé derrière l'oculaire aura donc l'impression de voir une source
ponctuelle à l'infini. Dans quelle direction voit-il cette source ?
Pour construire l'image de I par l'oculaire, on exploite à nouveau le
fait que le rayon passant par le centre optique d'une lentille mince
n'est pas dévié. On trace donc le rayon issu de I et passant par
O$_2$, centre optique de l'oculaire, comme représenté sur la figure
ci-dessous.
\Par
\begin{center}
\includegraphics{368_pcpelunette3}
\end{center}
\Par
On peut donc compléter la marche des autres rayons issus de I: ils
doivent être parallèles à celui passant par O$_2$ en sortie de la lentille.
\Par
\begin{center}
\includegraphics{369_pcpelunette4}
\end{center}
\Par
L'observateur voit donc une source ponctuelle à l'infini dans la
direction repérée par l'angle $\beta$.

On remarque deux choses:
\begin{itemize}
\item l'angle $\beta$ et l'angle $\alpha$ ont des signes différents
  (les rayons incidents provenaient de la partie inférieure de la
  figure, tandis que les rayons arrivant à l'\oe il de l'observateur
  proviennent \og d'en haut\fg). Ceci explique qu'une lunette
  astronomique fournisse une image inversée;
\item l'angle $\beta$ est, en valeur absolue, supérieur à l'angle
  $\alpha$: l'image vue par\linebreak l'observateur est agrandie. 
\end{itemize}


\section{Notion de grossissement}
Nous cherchons à présent la relation entre les angles $\alpha$ et
$\beta$. Nous allons faire dans ce qui suit l'approximation que les
valeurs de ces deux angles sont petites. Dans cette approximation,
la valeur d'un angle exprimée en radian est pratiquement égale à la
valeur de sa tangente:
\[\tan\alpha\approx\alpha\mbox{~~~et~~~}\tan\beta\approx\beta.\]

En nous reportant à la figure de la section précédente, nous pouvons
écrire, dans le triangle O$_1$F$'_1$I, rectangle en F$'_1$, la
relation suivante:
\[\mathrm{F_1'I}=\mathrm{O_1F_1'}\tan\alpha.\]
En remarquant que $\mathrm{O_1F_1'}$ est la distance focale $f_{obj}$ de
l'objectif, et en utilisant l'approximation énoncée plus haut, nous
avons:
\[\mathrm{F_1'I}\approx f_{obj}\alpha.\]
Par ailleurs, dans le triangle O$_2$F$'_1$I, rectangle également en
F$'_1$, nous avons la relation:
\[\mathrm{F_1'I}=\mathrm{O_2F_1'}\tan\beta.\]
En remarquant que $\mathrm{O_2F_1'}$ est la distance focale $f_{ocu}$ de
l'oculaire, et en utilisant l'approximation vue plus haut, nous
pouvons réécrire cette relation:
\[\mathrm{F_1'I}\approx f_{ocu}\beta.\]
De ces deux relations nous pouvons déduire:
\[f_{obj}\alpha\approx f_{ocu}\beta\]
soit encore:
\[\frac{\beta}{\alpha}\approx\frac{f_{obj}}{f_{ocu}}.\]
Nous appelons \index{Grossissement}grossissement, et notons $G$ ce
quotient. Il correspond au facteur par lequel est multiplié l'angle
sous lequel on voit la source.
\begin{Exemple}
  la Lune a un diamètre apparent de $0{,}5^\circ$. Si on l'observe
  avec un grossissement $G=10$, son image aura alors un diamètre
  apparent de $10\times 0{,}5=5^\circ$. 
\end{Exemple}

\begin{aretenir}
  Le grossissement $G$ d'une lunette est donné par
  \[G=\frac{\beta}{\alpha} \approx \frac {f_{obj}}{f_{ocu}},\]
  où $f_{obj}$ est la distance focale de l'objectif et $f_{ocu}$
  celle de l'oculaire.
\end{aretenir}

On comprend dès lors que la focale de l'oculaire doit être (nettement)
plus petite que celle de l'objectif, sans quoi la lunette ne grossit
pas les objets.

%\begin{Remarque}
%  il peut ne pas être évident, de prime abord, que la démonstration
%  que nous avons faite pour une source ponctuelle implique qu'en
%  général, nous observons une image agrandie. Après tout, dans le
%  cadre restreint de la source ponctuelle, on voit simplement, en
%  sortie de l'oculaire, une autre source \textit{ponctuelle}, dans une
%  autre direction. Dans le cas général où la source n'est pas
%  ponctuelle (par exemple, la Lune ou tout autre objet lointain), il faut la
%  considérer comme un très grand ensemble de sources ponctuelles,
%  chacune étant un \og pixel\fg{} de l'image que l'on voit,
%  donnant lieu à un faisceau incident avec un angle $\alpha$
%  particulier. Chacune de ces sources ponctuelles élémentaires va
%  donner lieu, en sortie de la lunette, à une image paraissant
%  provenir d'une source ponctuelle avec la même couleur et intensité
%  lumineuse, dans une direction faisant un angle $G\alpha$ avec l'axe
%  optique. L'image initiale est donc bien grossie d'un facteur $G\alpha$.
%\end{Remarque}

\section{Image intermédiaire}
Nous avons vu à la section précédente comment une image intermédiaire
se forme dans le plan focal image de l'objectif, lorsqu'on observe une
source à l'infini. C'est cette \index{Image intermédiaire}image
intermédiaire que l'on a matérialisée avec une feuille de papier dans
la section~\ref{sec:image-donnee-par}. Dans le cas où la source n'est
pas située à l'infini, l'image intermédiaire se forme dans un autre
plan, situé plus loin de l'objectif que le plan focal image. Dans ce
cas, il faut ajuster la position de l'oculaire pour que son foyer
objet se trouve dans ce plan. C'est la raison pour laquelle les
lunettes sont équipées de dispositifs de \og \index{Mise au point}mise
au point\fg, pour régler la netteté de l'image. On doit ajuster la
mise au point lorsqu'on observe des sources à des distances
différentes. Nous reverrons ceci en exercice.


\begin{Remarque}
  dans le cas particulier de l'observation d'une source à l'infini
  (lorsque les plans focaux respectivement image et objet de
  l'objectif et de l'oculaire coïncident), on dit que la lunette est
  dans une configuration \emph{afocale}.  En effet, tout faisceau parallèle
  entrant dans la \index{Lunette afocale}lunette en ressort sous forme
  d'un autre faisceau parallèle: la lunette ne fait pas converger le
  faisceau incident vers un foyer (\textit{focus}, en latin), d'où le
  préfixe privatif a- dans le mot \og afocale\fg.
\end{Remarque}
%\section{Un peu d'histoire des lunettes}
%\index{Lunette (histoire des)}
%La lunette a été inventée sans doute vers la fin du XVI\up{e}
%siècle. Galilée a été le premier à l'utiliser pour l'observation des
%objets célestes en 1609, ce qui lui a permis de très nombreuses
%découvertes. Outre l'astronomie, les lunettes sont d'un emploi répandu
%pour des utilisations terrestres ou maritimes. En astronomie, les
%lunettes ont connu leur apogée vers la fin du dix-neuvième et le début
%du vingtième siècle, avec des objectifs dont le diamètre était de
%l'ordre du mètre, et des distances focales de l'ordre d'une vingtaine
%de mètres (on peut citer notamment les grandes lunettes de
%l'observatoire de Nice, de Meudon, de Yerkes au États-Unis). Le record
%de diamètre jamais atteint par une lunette fut de $1{,}25$~m: c'était
%le diamètre d'une lunette construite spécifiquement pour l'Exposition
%Universelle de Paris en 1900. Sa distance focale était de
%$57$~mètres. Cette lunette fut spécialement conçue pour l'exposition,
%et, étant donnés ses dimensions et son poids, ne fut jamais pointée
%vers le ciel. Elle fut démantelée à l'issue de l'exposition. Un
%diamètre d'environ un mètre est un maximum infranchissable pour une
%lunette astronomique: au-delà, l'objectif se déforme sous son propre
%poids, et sa forme change avec l'inclinaison de la lunette par rapport
%à l'horizontale. Depuis le début du XX\up{e} siècle, les télescopes
%ont pris le relais (ils sont fondés sur le même principe que les
%lunettes astronomiques, sauf que leur objectif est constitué d'un
%miroir plutôt que d'une lentille). De nos jours, les lunettes
%astronomiques sont encore d'un emploi très répandu en astronomie
%d'amateur.

\begin{solintro}
  \begin{questions}
  \item Nous avons les deux informations suivantes:
    \[f_{obj}+f_{ocu}=1020\mbox{~mm}\]
    puisque la distance séparant l'objectif de l'oculaire est la somme
    de leurs distances focales, et:
    \[G=\frac{f_{obj}}{f_{ocu}}=50{,}0.\]

    On cherche donc deux nombres dont la somme est $1020$~mm et le
    quotient $50$.  Nous pouvons remplacer $f_{obj}$ par $Gf_{ocu}$ dans la
    première égalité:
    \[Gf_{ocu}+f_{ocu}=1020\mbox{~mm}\]
    ce qui nous permet d'obtenir la distance focale de l'oculaire:
    \[f_{ocu}=\frac{1020}{G+1}=\frac{1020}{51}=20\mbox{~mm}.\]
    Nous gardons deux chiffres significatifs pour ce résultat car
    c'est la précision avec laquelle est donné le grossissement.
    Nous en déduisons la distance focale de l'objectif par:
    \[f_{obj}=1020-f_{ocu}=1000\mbox{~mm}.\]

  \item L'image intermédiaire est celle formée dans le plan foyer
    image de l'objectif. Considérons le schéma suivant:

    \begin{center}
      \includegraphics{371_iminterm}
    \end{center}

    L'image de l'une des étoiles (correspondant aux rayons représentés
    en bleu) se trouve sur l'axe optique au point foyer image F$'$,
    tandis que l'autre, correspondant aux rayons représentés en rouge,
    se trouve au point I, dans le plan focal image de l'objectif.

    Nous pouvons écrire, dans le triangle OF$'$I, rectangle en F'$'$:
    \[\mathrm{F'I}=\mathrm{OF'}\tan\alpha\approx f_{obj}\alpha,\]
    où nous avons utilisé le fait que $\mathrm{OF'}=f_{obj}$ et le fait que
    $\tan\alpha\approx \alpha$ pour des petits angles, à condition
    d'exprimer leur valeur en radian.
\BreakWithoutItem
    \textit{Application numérique:}
    La distance séparant les images des deux étoiles sur l'image
    intermédiaire est donc:
    \[\mathrm{F'I}=1000\times \frac{4{,}3}{60\times 60}\times
      \frac{\pi}{180}
      =0{,}021\mbox{~mm}=21\mbox{~\textmu m}.\]
 On obtient le résultat dans la même unité que celle de $f_{obj}$, donc ici
 en millimètre. Le facteur $\pi/180$ permet de convertir les degrés en
 radians.
\item L'observateur voit les deux étoiles sous un angle apparent
  $\beta$
  donné par:
  \[G=\frac{\beta}{\alpha}\mbox{~~~~soit~~~~}\beta = G\alpha.\]
  \textit{Application numérique:}
  \[\beta = 50\times 4{,}3=215\mbox{~secondes
      d'arc}=3{,}6\mbox{~minutes d'arc}.\] Il s'agit d'un angle très
  petit qui est tout de même plus grand que le pouvoir de résolution
  de l'\oe il humain.
  \end{questions}
\end{solintro}
