\onglet
\begin{qcm}{Vérification des connaissances}{5}
%%%%
  %%%% 
  \begin{questions}

\item Dans une lunette astronomique, la distance focale de l'oculaire
  est 

  \resetchoix 
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix{} supérieure & \choix{} inférieure
  \end{tabularx}

  à celle de l'objectif.

\item  On peut fabriquer une lunette astronomique en utilisant deux
  lentilles convergentes identiques.

\resetchoix 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}\choix{} Vrai &\choix{} Faux
\end{tabularx}

\item Plus la distance focale de l'oculaire est grande, plus le grossissement
de la lunette astronomique est important.

\resetchoix 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}\choix{} Vrai &\choix{} Faux
\end{tabularx}

\item Pour qu'une lunette astronomique offre une vision nette des
  objets situés \og à l'infini\fg, il faut que la lentille mince
  servant d'oculaire soit placée

  \resetchoix \choix{} au foyer objet de l'objectif\\
  \choix{} au foyer image de l'objectif\\
  \choix{} à aucune de ces deux positions.


\item Un rayon parallèle à l'axe optique de la lunette émerge de
  celle-ci parallèlement à l'axe optique.

\resetchoix 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}\choix{} Vrai &\choix{} Faux
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}
\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item Réponse \choix[b]: inférieure. En effet, le grossissement étant
    $G=F/f$, où $F$ est la distance focale de l'objectif et $f$ celle
    de l'oculaire, si on avait $f>F$,  le grossissement serait
    inférieur à un, ce qui n'est pas vraiment ce que l'on attend d'une
    lunette astronomique.
    \item Réponse \choix[b]: faux. Deux lentilles identiques ont même
      distance focale, ce qui implique un grossissement égal à un. La
      lunette astronomique est conçue pour \og grossir\fg{} les
      objets.
    \item Réponse \choix[b]: faux. Le grossissement est inversement
      proportionnel à la distance focale de l'oculaire.
    \item Réponse \choix[c]. C'est le foyer objet de
      l'oculaire (et non directement ce dernier) qui doit être placé
      au foyer image de l'objectif.
    \item Réponse \choix[a]: vrai. Ce rayon passe par le foyer image de
      l'objectif, qui est lui-même foyer objet de l'oculaire, et
      ressort donc parallèle à l'axe optique. C'est la raison pour
      laquelle la lunette est dite \og afocale\fg.
  \end{questions}
\end{corrige}
%
%
%
%
\begin{exo}{Lunette astronomique du commerce}{Lycée Joffre, Montpellier}{1}{15}
%%%%
%%%%
  Un site de vente par internet propose la lunette 
  suivante :
  
  \og \textit{Grossit jusqu'à 450~fois~!  Lunette astronomique
    $D=102$~mm, $F=900$~mm, oculaires AH $20$~mm, OR $9$~mm et
    H~$4$~mm. Lentille de Barlow~2$\times$, filtres solaire et
    lunaire, redresseur terrestre, monture azimutale. Chercheur $5\times
    24$. Grossissements : $45\times$, $90\times$, $100\times$,
    $200\times$, $225\times$ et $450\times$.\/}\fg
  
  \begin{questions}
  \item
    \begin{questions}
    \item Rappeler en faisant un schéma le principe de la lunette
      astronomique, ainsi que la formule donnant son grossissement en
      fonction de la distance focale de l'objectif et de l'oculaire.
      
    \item Sachant que la lentille de Barlow est un dispositif qui
      double la distance focale de l'objectif, justifier les
      grossissements annoncés. Les lettres majuscules pour chaque
      oculaire caractérisent l'assemblage de lentilles à l'intérieur
      de celui-ci. Toutefois, chacun des oculaires, pour le calcul du
      grossissement, peut être considéré comme une lentille mince
      convergente unique dont la longueur focale est égale à la
      mention
    \end{questions}
  \item
    \begin{questions}
    \item Quel est le pouvoir de résolution de cet
      instrument pour la longueur d'onde $\lambda = 550$~nm ?
\textit{Indication:} le pouvoir de résolution est l'angle minimal entre deux étoiles pour
qu'on puisse les discerner l'une de l'autre. Il est donné par:
      \[\alpha =\frac{1{,}22\lambda}{D},\]
      où le résultat est exprimé en radian. On convertira la valeur
      obtenue en seconde d'arc. Il y a $60$ secondes d'arc dans une
      minute d'arc, et $60$ minutes d'arc dans un degré.
      
    \item À partir de quel grossissement~${\cal G}_l$ ce pouvoir de
      résolution correspond-il au pouvoir de résolution de l'\oe il ?
      Voit-on plus de détails si le grossissement dépasse la
      valeur ${\cal G}_l$ ? Qu'advient-il alors ?

      \textit{Indication:} le pouvoir de résolution de l'\oe il est d'une minute d'arc.
      
    \item Que penser de la phrase \og~Grossit jusqu'à
        450 fois\fg{} ?

      
    \end{questions}
    
  \item Le chercheur est une petite lunette alignée avec le
    télescope et pointant dans la même direction. Le premier nombre le
    caractérisant est son grossissement, le deuxième est son diamètre en millimètre.
    
    
    Quelle est la distance focale de son objectif, sachant que celle
    de son oculaire est de $20$~mm ?

    \item On s'intéresse au dispositif mentionné dans l'annonce appelé \og
      redresseur terrestre\fg. Quelle propriété des images données
      par une lunette astronomique, à votre avis, ce dispositif
      permet-il de compenser ?
  \end{questions}
\end{exo}
%%%% 
%%%% 
\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item
    \begin{questions}
    \item On rappelle sur la figure suivante le principe
      d'une lunette astronomique.
      
      \includegraphics{378_principetelescope}
      
      On observe un objet~$AB$ situé à l'infini, qui est vu sous un angle~$\alpha$. Cet
      objet donne lieu à une image  $A'B'$ dans le plan focal image de l'objectif. La taille
      de cette image réelle est donnée par :
      $$d(A',B')=F\alpha$$
      où $F$ est la distance focale de l'objectif. Nous rappelons que
      nous avons la relation $\tan\alpha\simeq \alpha$ quand l'angle
      $\alpha$, exprimé en radian, est petit.
      Cette image est également située dans le plan focal objet de l'oculaire, et constitue
      donc pour celui-ci un \og objet \fg.  
      \newpage
      L'oculaire en donne une image à l'infini, et les
      rayons issus de~$A'$ font avec l'axe optique du système un angle $\beta$ donné par :
      $$d(A',B')=f\beta$$
      où $f$ est la distance focale de l'oculaire. De la même manière
      que précédemment nous avons utilisé l'approximation
      $\tan\beta\simeq\beta$.
      
      Le grossissement du système est le rapport entre l'angle sous lequel 
      émergent les rayons issus de $A'$ après leur traversée de l'oculaire (c'est-à-dire
      l'angle sous lequel l'observateur \og croit\fg{} voir l'objet~$AB$) et l'angle que sous-tend
      réellement cet objet sur le fond du ciel (à savoir $\alpha$). Le grossissement vaut donc :
      \[G=\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\frac{d(A',B')}{f}}{\frac{d(A',B')}{F}}
        =\frac{F}{f}.\]
      
    \item On commence par calculer les grossissements donnés par la
      lunette lorsque la lentille de Barlow n'est pas utilisée. 
      
      Les grossissements offerts par les oculaires sont :
      
      \[
        \left\{
          \begin{aligned}
            G_1 &= \frac{F}{f_1}  =\frac{900}{20}=45\\
            G_2 &=\frac{F}{f_2}=\frac{900}{9}=100  \\
            G_3 &=\frac{F}{f_3}=\frac{900}{4}=225 
          \end{aligned}
        \right. 
      \]
      
      
      En utilisant la lentille de Barlow, on double la focale de l'objectif et donc le
      grossissement, donc on obtient une série de trois nouveaux grossissements qui sont les
      doubles des grossissements déjà calculés :
      
      \[
        \left\{
          \begin{aligned}
            G_1' &= 2G_1=90\\
            G_2' &=2G_2=200  \\
            G_3' &=2G_3=450 
          \end{aligned}
        \right. 
      \]
      
      
      Ainsi, on retrouve bien en définitive les six grossissements
      annoncés.
    \end{questions}
  \item
    \begin{questions}
    \item Le pouvoir de résolution angulaire $\theta$ d'une lunette de diamètre $D$ est
      donné par :
      \[\alpha=1{,}22\frac{\lambda}{D}=1{,}22\frac{550\cdot 10^{-9}}{0{,}102}=6{,}58\cdot 10^{-6}\mbox{~rad}.\]
      Exprimé en secondes d'arc, ce pouvoir de résolution vaut environ :
      $$\alpha=6{,}6\cdot10^{-6}\times \frac{180}{\pi}\times 3600=1{,}36''.$$
      
    \item Soit $\alpha_o=1'$ le pouvoir de résolution de l'\oe
      il. Cette quantité vaut également $60$~secondes d'arc.

      Le grossissement pour lequel le plus petit détail séparable par
      la lunette est vu sous un angle égal au pouvoir de résolution
      de l'\oe il est donné par :
      \[{\cal G}_l=\frac{\alpha_o}{\alpha}=\frac{60}{1{,}36}
        =45.\]
      
      Si on pousse le grossissement au-delà de cette valeur, on ne voit pas plus de détails,
      simplement l'image devient de plus en plus floue à mesure que le grossissement augmente.
      En revanche, utiliser un oculaire de longue distance focale donnant un grossissement 
      inférieur à ${\cal G}_l$ ne permet pas de voir tous les détails que peut détecter
      la lunette. Pour une vision confortable, et afin de ne pas avoir à faire trop
      d'efforts pour voir tous les détails d'une image, on préférera utiliser un grossissement
      légèrement supérieur à ${\cal G}_l$.
      
    \item La phrase \og\textit{grossit jusqu'à 450 fois}\fg{} donne
      une impression trompeuse.  L'observateur utilisant ce télescope
      avec l'oculaire H~$4$~mm et la lentille de Barlow (c'est-à-dire la
      combinaison qui permet d'atteindre le grossissement de
      $450\times$) sera extrêmement déçu par la qualité de l'image,
      quelle que soit la qualité des lentilles, leur état de
      propreté, la transparence et la stabilité de l'atmosphère lors
      de l'observation.
    \end{questions}
      
    \item On utilise la relation entre distances focales de l'objectif et de l'oculaire
      et grossissement :
      \[G=\frac{F}{f}\mbox{~~~~~soit :~~~~~}F=Gf=5\times
        20=100\mbox{~mm}.\]
      Cette distance est obtenue en millimètre puisque c'est l'unité
      avec laquelle est donnée la distance focale de l'oculaire.
    \item Les images données par une lunette astronomique sont
      inversées (\og la tête en bas\fg). Pour l'observation d'objets
      célestes, ceci n'est pas vraiment gênant: il n'y a ni haut ni bas
      dans l'espace. En revanche, pour l'observation terrestre
      (paysages, animaux, etc.) l'inversion de l'image peut être
      gênante. Le \og redresseur terrestre\fg{} permet d'obtenir une
      image droite au lieu d'une image inversée. Il compense
      le renversement de l'image donnée par la lunette.
  \end{questions}
\end{corrige}
%%%% 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
%%%%
%%%% VIDEO EXO
  \begin{exo}{Mise au point}{Lycée Lavoisier, Paris}{2}{20} 
  \NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{mise au point}{https://media.prepamath.fr/ILTPCch18exo03}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.4){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTPCch18exo03}}}
\vspace*{-20pt}
 
  \enlargethispage*{2em}
    La plupart des lunettes astronomiques du commerce possèdent un
    dispositif de mise au point (pour régler la \og netteté\fg{} de
    l'image) comprenant une roue à pignons et une crémaillère. Ce
    dispositif est placé en bout de tube et supporte l'oculaire, que
    l'on peut ainsi déplacer longitudinalement pour que son foyer
    objet coïncide avec l'image intermédiaire fournie par l'objectif,
    afin d'obtenir une image nette. On le représente sur la figure
    ci-après.

    \includegraphics{374_mapcremaillere}


    On considère un dispositif de mise au point par crémaillère pour
    lequel le porte-oculaire se déplace de $5{,}0$~mm pour un tour du
    bouton de mise au point. L'objectif de la lunette peut être
    assimilé à une lentille mince convergente de distance focale
    $f=910$~mm.


    On observe la pleine Lune se levant à l'horizon, derrière un 
    arbre situé à la distance $d=250$~m. L'observateur tourne le 
    bouton de mise au point de manière à ce que la Lune apparaisse 
    nette. Les branches de l'arbre, en silhouette devant celle-ci, 
    apparaissent floues, comme schématisé sur la figure ci-après. 
    \begin{center}
      \includegraphics[scale=0.8]{375_lunearbre1}
    \end{center}

    \begin{questions}

    \item L'observateur souhaite modifier la \og mise au point\fg{} de
      l'image de manière à ce que l'arbre apparaisse net, comme sur la
      figure ci-après.
      \begin{center}
        \includegraphics[scale=0.8]{375_lunearbre2}
      \end{center}

      \begin{questions}
        \item Doit-il actionner le dispositif de mise au point de
          manière à éloigner l'oculaire de l'objectif, ou de manière à
          le rapprocher de l'objectif ?
        \item De combien de tour(s) doit-il tourner le bouton de mise au
          point ?
        \end{questions}
\newpage
        \item Le dispositif de mise au point comporte une butée
          empêchant que le porte-oculaire ne sorte complètement du
          tube. Après avoir mis au point sur la Lune, l'observateur
          doit tourner le bouton de mise au point de $1{,}4$~tours
          pour atteindre la butée. Quelle est la plus petite distance à
          laquelle on peut voir un objet net avec la lunette ?
      

        \end{questions}

        \textit{Indication:}

        On rappelle la \index{Relation de conjugaison}relation de
        conjugaison  d'une lentille mince convergente, vue en classe
        de Première, à savoir par c\oe ur:

        \[\frac{1}{\overline{\mathrm{OA}'}}-\frac{1}{\overline{\mathrm{OA}}}=\frac{1}{\overline{\mathrm{OF'}}},\]
        où A est le point objet et A$'$ son image conjuguée, O est le centre
        optique de la lentille et F$'$ son point foyer image.
  \end{exo}
  %%%%%
  %%%%%
  %%%%%
  %%%%%
  \begin{corrige}
   
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTPCch18exo03}}}
\vspace*{-10pt}
   \enlargethispage*{2em}
    \begin{questions}
    \item 
      \begin{questions}
      \item Pour que l'observateur voit un objet net à travers la
        lunette, il faut que l'image intermédiaire de cet objet formée
        par l'objectif se situe au foyer objet de la lentille
        oculaire. D'après la relation de conjugaison des lentilles
        minces, lorsque l'on approche un objet d'une lentille (au-delà
        de son foyer objet, ce qui est ici largement le cas), son
        image s'éloigne de la lentille. Il faut donc éloigner
        l'oculaire de l'objectif pour mettre au point sur l'arbre.
    \item Nous écrivons la relation de conjugaison des lentilles
      minces. On appelle A un point de l'arbre, O le centre optique de
      l'objectif et A$'$ le point conjugué de A dans l'image. La
      relation de conjugaison des lentilles minces nous donne:
      \[\frac{1}{\overline{\mathrm{OA'}}}-\frac{1}{\overline{\mathrm{OA}}}=\frac
        1f.\]
      Nous connaissons $f=910$~mm et $\overline{\mathrm{OA}}=-250$~m
      soit encore $\overline{\mathrm{OA}}=-2{,}50\cdot 10^5$~mm (il
      nous faut exprimer toutes les distances dans la même
      unité). Nous pouvons donc déterminer $\overline{\mathrm{OA'}}$:
      \[{\overline{\mathrm{OA'}}}=\left(\frac{1}{910}-\frac{1}{2{,}50\cdot
          10^5}\right)^{-1}=913{,}3\mbox{~mm}.\]
      Nous gardons quatre chiffres significatifs dans ce
      résultat, ce qui peut surprendre compte-tenu de la précision des
      indications de\linebreak l'énoncé. Nous justifierons ce choix ci-dessous. Pour l'heure,
      évaluons de quelle distance il faut déplacer l'oculaire pour
      mettre au point. Son foyer objet se trouvait précédemment à
      $910$~mm de l'objectif (la Lune peut être considérée comme étant
      à l'infini, aussi son image se forme dans le plan foyer image de
      l'objectif). Le foyer objet de l'oculaire doit désormais se
      trouver à  $913{,}3$~mm de l'objectif: il faut donc le déplacer
      de la distance $D$ donnée par:
      \[D=\overline{\mathrm{OA'}} -f=913{,}3-910=3{,}3\mbox{~mm}\]  et donc effectuer $3{,}3/5= 0{,}66$~tour. Il faut
      tourner le bouton de deux tiers de tour pour que l'arbre
      apparaisse net.

      Justifions à présent la précision avec laquelle nous avons donné
      la valeur de $\overline{\mathrm{OA'}}$ ci-dessus. La quantité
      importante n'est pas tant, en soi, cette valeur algébrique, mais
      la distance $D$, obtenue en soustrayant la distance focale $f$.
      Il est possible que la valeur $913{,}3$~mm ne représente pas
      correctement la distance entre l'objectif et l'image de
      l'arbre. En revanche, la différence entre cette valeur et la
      distance focale de l'objectif est correctement représentée avec
      deux chiffres significatifs. Le fait de donner la distance
      focale de l'objectif avec trois chiffres significatifs implique
      que celle-ci est comprise dans l'intervalle $[909{,}5\mbox{~cm},
      910{,}5\mbox{~cm}]$. Quel résultat obtiendrait-on si l'on
    refaisait le calcul de la distance $D$ ci-dessus en prenant ces
    valeurs extrêmes pour la distance focale ?
    Nous pouvons rapidement répondre à cette question en utilisant
    Python (voir programme page suivante).
    
    \Par

Compte-tenu des résultats, on voit que la valeur de la distance $D$
est précise au dixième de millimètre près, bien que la distance focale ne
soit précise qu'au millimètre près.

    \newpage
	
	\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.7){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/ILTPC/arbrelune.py}}}
\vspace*{-10pt}
    
    \begin{listing}{En Python}{arbrelune.py}\end{listing}
    
    Ces instructions affichent respectivement les résultats:\\
      \texttt{3.3208422240110167}\\
\texttt{3.3281621666108094}


\begin{methode}
  De manière générale, il convient de s'interroger sur la précision
  d'un résultat quand celui-ci s'obtient par différence entre deux
  valeurs voisines, et que l'une de ces valeurs dépend de l'autre,
  comme c'est ici le cas.
\end{methode}
      \end{questions}
\item Commençons par évaluer la distance $D'$ à laquelle correspond
  $1{,}4$ tour du bouton de mise au point:
\[D'=5{,}0\times 1{,}4=7{,}0\mbox{~mm}.\]
Le plus proche objet BC que l'on veut voir net à travers la lunette donne
donc une image intermédiaire à la distance
$\overline{\mathrm{OB'}}=f+D'$ de l'objectif, comme représenté sur le
schéma ci-après.
\begin{center}
\includegraphics{382_objetproche}
\end{center}


Écrivons la relation de conjugaison des lentilles minces entre l'objet
BC, son image $\mathrm{B'C'}$, et la lentille de l'objectif. Nous
avons:
\[\frac{1}{\overline{\mathrm{OB'}}}-\frac{1}{\overline{\mathrm{OB}}}=\frac{1}{f}.\]
\enlargethispage*{2em}
Nous venons de déterminer $\overline{\mathrm{OB'}}$ et connaissons
$f$, nous sommes donc en mesure de déduire $\overline{\mathrm{OB}}$
de l'expression ci-dessus, ce qui correspond à la grandeur recherchée.

Nous pouvons réécrire la relation de conjugaison des lentilles minces
de la manière suivante:
\[\frac{1}{f+D'}-\frac{1}{\overline{\mathrm{OB}}}=\frac 1f\]
soit:
\[\frac{1}{\overline{\mathrm{OB}}}=\frac{1}{f+D'}-\frac
    1f=\frac{f-f-D'}{f(f+D')}.\]
Nous avons donc:
\[\left|\frac{1}{\overline{\mathrm{OB}}}\right|=\frac{D'}{f(f+D')}\]
donc:
\[|\overline{\mathrm{OB}}|=\frac{f(f+D')}{D'}.\]
L'application numérique donne:
\[|\overline{\mathrm{OB}}|=\frac{910\times(910+7{,}0)}{7{,}0}
  %%% ERREUR VOLONTAIRE (détectée)
  %=12\mbox{~m}.\]
 %%% RESULTAT CORRECT
  =1,2.10^2\mbox{~m}.\] 
Nous gardons deux chiffres significatifs puisque c'est la précision
avec laquelle on a déterminé la distance $D'$. La lunette ne peut
fournir d'image nette que pour les objets situés à au moins $120$~m.
    \end{questions}
  \end{corrige}
  %%%% 
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
  %%%% 
  \begin{exo}{Étude d'une lunette}{Lycée Saint Sernin, Toulouse}{3}{25}
    
{\em Les lunettes se résument à un tube portant une lentille (ou un groupe
de lentilles) à chaque extrémité. La plus grosse, tournée vers le
ciel, est l'objectif : elle capte la lumière et concentre les rayons
pour former une image à l'intérieur de l'instrument. La deuxième
lentille, l'oculaire, permet d'observer cette image. Le grossissement
d'une lunette est égal à la distance focale de l'objectif divisée par
celle de l'oculaire.}

D'après l'article \og Lunette ou télescope \fg de Henri-Pierre Penel, Sciences et
 Vie, août 2001. 

 L'objectif de cet exercice est de schématiser les trajets suivis par
 la lumière dans une lunette astronomique.

 \begin{questions}
 \item On observe la Lune à l'aide d'une lunette astronomique dont
   l'objectif est une lentille convergente de distance focale $f =
   100$~cm. Vue depuis la Terre, la Lune a un diamètre angulaire 
   $\alpha = 9{,}3 \cdot 10^{-3}$~rad.
   \begin{questions}
   \item Rappeler la définition du diamètre angulaire (on pourra
     répondre par un schéma clairement annoté).
    \item Calculer le diamètre réel de la Lune sachant qu'elle est
      située à $3{,}8 \cdot 10^5$~km de la Terre.
    \end{questions}
  \item On appelle $AB$ le diamètre de la Lune situé dans le plan
    vertical contenant l'axe de la lunette, le point $A$ étant situé
    sur l'axe optique principal (voir figure page suivante). La
    Lune étant très éloignée de la Terre, dans toute la suite de
    l'énoncé, on la supposera à l'infini.
    \begin{questions}
    \item Sur la figure page ci-contre,
      construire l'image $A_1B_1$, donnée par l'objectif (lentille L$_1$)
      de l'objet $AB$. Le point F$_1'$, sur cette figure, indique le
      point foyer image de la lentille L$_1$.
      \begin{figure}
        \includegraphics{377_bb2009-fig6}
%        \figcaption{Schéma à compléter}\label{fig:bb2009-fig6}
      \end{figure}
    \item Calculer la taille de cette image. L'angle $\alpha$ étant
      petit, on pourra utiliser l'approximation $\tan\alpha
      \simeq\alpha$, $\alpha$ étant exprimé en radian.
    \end{questions}
  \item L'image $AB$ sert d'objet pour l'oculaire (lentille L$_2$) qui en
    donne une image $A'B'$.
    \begin{questions}
    \item Quelle position particulière doit occuper $A_1B_1$ pour que 
      $A'B'$ soit rejetée à l'infini (vision sans fatigue) pour un \oe il
      normal ? 
    \item En déduire la position des foyers de la lentille
      L$_2$ et les marquer sur la figure recopiée.
    \item Construire l'image $A'B'$ sur la figure recopiée.
    \end{questions}
  \item On appelle grossissement de la lunette le rapport $G =
    \alpha'/\alpha$, $\alpha$ étant le diamètre angulaire et $\alpha'$
    l'angle sous lequel on voit l'image $A'B'$.
    \begin{questions}
    \item Calculer l'angle $\alpha'$ sachant que l'oculaire a une
      distance focale $f_2 = 10{,}0$~cm. L'angle $\alpha'$ étant petit,
      on pourra utiliser l'approximation $\tan \alpha' \simeq
      \alpha'$, $\alpha'$ étant exprimé en radian. 
    \item En déduire le grossissement de la lunette. 
    \item Vérifier que la relation indiquée dans l'extrait au début de
      l'énoncé pour calculer le grossissement donne le même résultat.
    \end{questions}
  \item On appelle \og cercle oculaire\fg{} l'image de la circonférence de
    l'objectif par l'oculaire.
    \begin{questions} 
    \item  Construire le cercle oculaire sur la figure suivante.
      \begin{figure}
        \includegraphics{377_bb2009-fig7}
        \textit{Schéma à compléter}
     \end{figure}
   \item À quelle distance le cercle oculaire se trouve-t-il de la
     lentille L$_2$~?
   \item  Sachant que l'objectif a un diamètre de $60$~mm, quel est le
     diamètre du cercle oculaire~?
   \end{questions}
 \end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
    \begin{questions}
    \item
      \begin{questions}
      \item Le diamètre angulaire est l'angle sous lequel on voit un objet. Ainsi, pour
        l'observateur de la figure ci-après, la Lune a un diamètre angulaire $\alpha$.
        \begin{center}
          \includegraphics{383_bb2009-exo4-corr1}
        \end{center}
      \item Dans le triangle OCA de la figure ci-dessus, rectangle en A, on a
        la relation : \enlargethispage*{4em}
        $$\mathrm{AC} = \mathrm{OC}\sin \beta,$$ où $\beta=\alpha/2$ est le rayon angulaire lunaire.     
        Or on a : $\mathrm{AC}=R$, où
        $R$ est le rayon réel de la Lune, et $\mathrm{OC}=D$, où $D$ est la distance de l'observateur
        au centre de la Lune, que l'on assimile à la distance Terre-Lune. En utilisant
        le fait que l'angle $\beta$ est petit (il suffit pour s'en convaincre de vérifier
        la valeur de $\alpha = 2\beta$ donnée dans l'énoncé), on a :
        \[R=D\beta\]
        où $\beta$ est exprimé en radian.        
        En multipliant par 2 les deux membres de cette
        égalité, on obtient :
        \[d=D\alpha,\]
        où $d=2R$ est le diamètre réel lunaire. 
        
        L'application numérique donne : 
        \[d = 3{,}8\cdot 10^5\times 9{,}3\cdot 10^{-3}\simeq 3,5.10^3\mbox{~km}.\]
        On garde deux chiffres significatifs puisque c'est la précision avec laquelle sont
        donnés le diamètre angulaire de la Lune et sa distance à la Terre.
      \end{questions}
    \item
      \begin{questions}
      \item L'objet AB étant situé à l'infini, son image se forme dans le plan focal
        image. Le point A se trouvant sur l'axe optique, son image se trouve également sur
        l'axe optique et donc l'image de A est le foyer image de L$_1$, c'est-à-dire
        le point F$_1'$. Le rayon ébauché dans l'énoncé, issu de B, et faisant donc un
        angle $\alpha$ avec l'axe optique, n'est pas dévié puisqu'il passe par le centre
        optique de L$_1$. L'image de B est donc située à l'intersection de ce rayon
        avec le plan focal objet, comme représenté sur la figure suivante.
        \begin{center}
          \includegraphics{384_bb2009-exo4-corr2}
          \textit{Schéma des diverses constructions demandées
            dans l'énoncé.}
        \end{center}
        \textit{Remarque : } on pourrait également tracer un autre rayon issu de B,
        donc parallèle à celui ébauché, et passant par le foyer objet F$_1$ de l'objectif
        (symétrique de F$_1'$ par rapport à l'objectif).
        Ce rayon ressort parallèle à l'axe optique. Toutefois, la figure fournie
        ne permet pas cette construction car le point F$_1$ est situé hors de la feuille.
      \item La grandeur de cette image est donnée par la relation suivante, valable
        dans le triangle $\mathrm{O}_1\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1$, rectangle en A$_1$ :
        \[\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1=\mathrm{O}_1 \mathrm{F}_1\tan \alpha \simeq f\alpha.\]
        L'application numérique donne :
        \[\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1 \simeq 100\times 9{,}3\cdot 10^{-3} \simeq 0{,}93\mbox{~cm}.\]
      \end{questions}
    \item
      \begin{questions}
      \item Pour que $\mathrm{A}'\mathrm{B}'$ soit rejetée à l'infini, il faut que $\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1$ soit
        placé dans le plan focal objet de L$_2$ (c'est la même condition que
        pour l'observation d'un objet à travers une loupe pour un \oe il qui
        n'accommode pas ; ici l'oculaire L$_2$ joue le rôle d'une loupe
        pour observer le petit objet réel $\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1$). 
      \item Le foyer objet F$_2$
        de l'oculaire doit donc être confondu avec F$_1'$, foyer image de l'objectif.
        Le point F$_2'$, foyer image de l'oculaire, est, quant à lui,
        symétrique de F$_2$ par rapport à O$_2$, comme représenté sur la
        figure précédente.
      \item Pour construire l'image B$'$ de B$_1$ par L$_2$, on
        trace un rayon issu de B$_1$ et parallèle à l'axe
        optique, qui passe donc par F$_2'$ en sortie de
        l'oculaire, comme indiqué par le rayon avec une double
        flèche sur la figure précédente. On peut
        aussi tracer le rayon issu de B$_1$ qui passe par le
        centre optique O$_2$ de l'oculaire, et qui n'est donc pas
        dévié. Le quadrilatère $\mathrm{O}_2\mathrm{F}_2'\mathrm{MB}_1$ ayant deux côtés
        parallèles et de même longueur ($[\mathrm{O}_2\mathrm{F}_2']$ et $[\mathrm{B}_1\mathrm{M}]$
        respectivement), c'est un parallélogramme, et donc les
        deux rayons issus de $\mathrm{B}_1$ sont parallèles en sortie de
        l'oculaire, ce qui montre que l'image $\mathrm{B}'$ est bien
        repoussée à l'infini. Il en est de même pour l'image de
        $\mathrm{A}'$, qui est repoussée à l'infini sur l'axe optique,
        comme indiqué sur la figure.
        
        \textit{Remarque : } on peut noter qu'à l'échelle de cette figure,
        le rayon issu de B$_1$ et passant par O$_2$ n'existe pas, car il n'intercepte
        pas l'objectif. Il s'agit donc d'un rayon \og~fictif~\fg, dont l'intérêt réside
        dans la simplicité de sa construction, qui permet de mettre en évidence
        que l'image de B$_1$ est bien rejetée à l'infini. Ceci implique que tous
        les rayons issus de l'objectif et convergeant en B$_1$ ressortent tous
        parallèles entre eux après leur traversée de l'oculaire.
      \end{questions}
    \item
      \begin{questions}
      \item Dans le triangle $\mathrm{O}_2\mathrm{B}_1\mathrm{A}_1$, rectangle en $\mathrm{A}_1$, on peut
        écrire :
        \[\mathrm{A_1B_1}=\mathrm{O_2F_2}\tan\alpha'\]
        qui s'écrit encore :
        \[\mathrm{A_1B_1}\simeq f_2\alpha'.\]
        On en déduit :
        \[\alpha'\simeq\frac{\mathrm{A_1B_1}}{f_2}\simeq\frac{0{,}93}{10{,}0}\simeq9{,}3\cdot 10^{-2}\mbox{~rad}.\]
      \item On a 
        \[G=\frac{\alpha'}{\alpha} = \frac{9{,}3\cdot 10^{-2}}{9{,}3\cdot 10^{-3}}=10.\]
        La lunette grossit dix fois.
      \item En appliquant la formule donnée dans le texte, on a :
        \[G=\frac{f}{f_2}=\frac{100}{10}=10.\]
        On retrouve bien le même résultat. Ceci est tout-à-fait logique puisque l'on a,
        de manière générale :
        \begin{eqnarray*}
          \mathrm{A_1B_1}&\simeq&f\alpha\\
           mathrm{A_1B_1} &\simeq&f_2\alpha'.
        \end{eqnarray*}
        En divisant membre à membre ces deux égalités, on obtient :
        \[1=\frac{f}{f_2}\times \frac 1G\]
        soit :
        \[G=\frac{f}{f_2}.\]
      \end{questions}
      \newpage
    \item
      \begin{questions}
      \item On représente cette construction sur la figure ci-après, où
        l'on considère des rayons issus des bords de l'objectif.
        Les rayons qui passent par F$_2$ ressortent, après leur traversée de
        l'oculaire, parallèles à l'axe optique. Les rayons qui passent par O$_2$
        ne sont pas déviés.
        \begin{center}
          \includegraphics{386_bb2009-exo4-corr3}
        \end{center}
      \item Il suffit d'appliquer la relation de conjugaison des
        lentilles minces à la lentille L$_2$. Ici, elle s'écrit:
        \[\frac{1}{\overline{\mathrm{O_2C}}}-\frac{1}{\overline{\mathrm{O_2O_1}}}=\frac{1}{f_2},\]
        où le point~C est l'intersection du plan du cercle oculaire
        avec l'axe optique, comme représenté sur la figure de la
        question précédente. La distance focale $f_2$ est donnée et vaut
        $10$~cm, tandis que la distance $\mathrm{O_2O_1}$ est la
        somme de la distance focale de l'objectif et de l'oculaire,
        soit $110$~cm. Par ailleurs, le point $\mathrm{O_2}$ étant à
        gauche du point $\mathrm{O_1}$, la valeur algébrique
        $\overline{\mathrm{O_2O_1}}$ est négative et vaut $-110$~cm.
        L'application numérique donne:
        \[\frac{1}{\overline{\mathrm{O_2C}}}=\frac
            1f+\frac{1}{\overline{\mathrm{O_2O_1}}}=\frac
                {1}{10}-\frac{1}{110}=0{,}091\mbox{~cm}^{-1}\]
              donc on a:
              \[\overline{\mathrm{O_2C}}=\frac{1}{0{,}091}=11\mbox{~cm}.\]
              Le cercle oculaire se trouve à $11$~cm de la lentille oculaire.

        
      \item Nous utilisons la formule donnant le grandissement. Si on
        appelle D un point de la périphérie de l'objectif (voir figure
        ci-dessus) et D$'$ son image par l'oculaire, on a:
        \[\frac{\overline{\mathrm{CD'}}}{\overline{\mathrm{O_1D}}}=\frac{\overline{\mathrm{O_2C}}}{\overline{\mathrm{O_2O_1}}}=\frac{11}{110}=0{,}1\]
          Le rayon du cercle oculaire est dix fois plus petit que
          celui de l'objectif, donc le diamètre du cercle oculaire est
          dix fois plus petit que celui de l'objectif. Il vaut donc
          $6{,}0$~mm.
          \begin{plusloin}
            Il est possible de démontrer que le cercle oculaire
            correspond à la position où le faisceau émergent de
            l'oculaire a le plus petit rayon. Il convient donc d'y
            placer son \oe il: c'est là que l'image perçue est la
            plus lumineuse.
          \end{plusloin}
      \end{questions}
    \end{questions}
\end{corrige}
\thumb\AfficheCorrige 
