\onglet
\begin{qcm}{Testez vos connaissances}{5}
%%%%
%%%%
\begin{questions}
\item Pour arracher un électron d'un atome de son état
          fondamental, on a besoin d'un photon d'énergie supérieure ou
          égale à~$E$. On pourrait aussi utiliser : 
        
        \resetchoix 
        \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
        \choix{} deux photons d'énergie $\frac{E}{2}$&
         \choix{} trois photons d'énergie $\frac{E}{3}$
         \end{tabularx}

\item Un atome dans son état fondamental peut se désexciter.
        
        \resetchoix 
        \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
        \choix{} Vrai & \choix{} Faux
        \end{tabularx}
        
%\item Un atome~A est dans son état fondamental, et un atome~A$^*$ identique se
%        trouve dans un état excité. On doit dépenser plus d'énergie pour ioniser:
%        
%        \resetchoix 
%        \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
%        \choix{} l'atome~A &\choix{} l'atome A$^*$
%        \end{tabularx}
        
        \item Une collection d'atomes identiques tous excités dans l'état E$^*$ émet un spectre
          dans lequel on observe deux raies différentes. L'état E$^*$ peut-il être le premier
          état excité de l'atome~?

          \resetchoix 
          \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
          \choix{} Oui & \choix{} Non
          \end{tabularx}

        \item Un photon de type $\gamma$ a suffisamment d'énergie pour arracher un électron à un atome.

          \resetchoix 
          \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
          \choix{} Vrai &\choix{} Faux
          \end{tabularx}

        \item Une collection d'atomes tous dans leur état fondamental peut-elle présenter:

          \resetchoix 
          \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
          \choix{} Un spectre en émission ? &
          \choix{} Un spectre en absorption ?
          \end{tabularx}

        \item Un atome dans son premier état excité A$^*$ se désexcite spontanément au bout d'un certain temps.
          À nombre d'atomes dans l'état A$^*$ donné, plus le temps moyen avant la désexcitation est grand,
          plus les raies du spectre d'émission sont

          \resetchoix 
          \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
          \choix{} intenses &\choix{} faibles
          \end{tabularx}
          
        \item On considère une collection d'atomes tous dans l'état excité E$_2$. On a $E_2-E_1=E_1-E_0$,
          où $E_0$ est l'énergie de l'état fondamental.
          \begin{center}
            \includegraphics{396_qcm2009-chap13-1}
          \end{center}
          Le spectre d'émission de cet ensemble d'atomes peut avoir:

          \resetchoix 
          \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
          \choix{} Une raie &
          \choix{} deux raies &
          \choix{} trois raies
          \end{tabularx}
          
        \item Pour passe de l'état excité E$_2$ à son état fondamental E$_0$, l'atome de la question
           précédente émet un photon de fréquence $\nu$. Peut-il aussi émettre:\enlargethispage*{2em}

           \resetchoix
           {\fontsize{9}{9}\selectfont%\small
           \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
           \choix{} Deux photons de fréquence $\nu/2$ ?
&
           \choix{} Deux photons de fréquence $\nu$ ?
\\
           \choix{} Deux photons de fréquence $2\nu$ ?
&
           \choix{} Trois photons de fréquence $\nu/3$ ?
\\
           \choix{} Trois photons de fréquence $\nu$ ?
&
           \choix{} Trois photons de fréquence $3\nu$ ?
\end{tabularx}}

           \newpage
           
         \item On considère l'état fondamental d'énergie E$_0$ et les deux premiers
           niveaux excités E$_1$ et E$_2$ d'un atome donné, comme représenté ci-après.
           \begin{center}
             \includegraphics{397_qcm2009-chap13-2}
           \end{center}
           On suppose que l'on a une collection de tels atomes, tous dans l'état E$_2$.
           Combien de raies d'émission peut-on observer dans le spectre ?

           \resetchoix 
           \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
           \choix{} Une &\choix{} Deux &\choix{} Trois
           \end{tabularx}
           
           À quelle transition correspond la longueur d'onde la plus grande~?

           \resetchoix 
           \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
           \choix{} E$_2\rightarrow$E$_1$ &
           \choix{} E$_2\rightarrow$E$_0$ &
           \choix{} E$_1\rightarrow$E$_0$
           \end{tabularx}
           
           À quelle transition correspond la longueur d'onde la plus courte~?

           \resetchoix 
           \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
           \choix{} E$_2\rightarrow$E$_1$ &
           \choix{} E$_2\rightarrow$E$_0$ &
           \choix{} E$_1\rightarrow$E$_0$
           \end{tabularx}
           
         \item Les états de l'atome d'hydrogène ont pour énergie:

           \[E_n=-\frac{E_0}{n^2}, \mbox{~~où~}E_0=13{,}6\mbox{~eV}\]
           Sachant que la transition de E$_3$ vers E$_2$ se fait par émission d'un photon
           visible, dans le rouge, dans quel domaine du spectre se fait la transition E$_4\rightarrow$E$_3$~?

           \resetchoix 
           \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
           \choix{} X &
           \choix{} UV &
           \choix{} visible &
           \choix{} IR
           \end{tabularx}
\end{questions}
%
%
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
        \item Ni l'un ni l'autre~! Ces photons, individuellement,
          n'ont pas assez d'énergie. Pour arracher l'électron, on a besoin 
        d'un photon d'énergie~$E$ au minimum. C'est ce résultat qui 
        est à la base de toute la théorie corpusculaire de la lumière. 
        
        \item Réponse \choix[b]: faux. L'état fondamental est l'état de plus basse énergie.
        
%        \item Réponse \choix[a]: l'atome~A est celui pour lequel on dépense le plus d'énergie.
        

        \item Réponse \choix[b]: non. S'il était le premier état excité, on ne pourrait observer qu'une
          raie d'émission dans son spectre, correspondant à la transition de cet
          état vers l'état fondamental.

        \item Réponse \choix[a]: vrai. L'énergie d'un photon $\gamma$ est en fait
          tellement élevée qu'elle correspond plutôt aux énergies en
          jeu lors des réactions nucléaires, de l'ordre du MeV ou
          plus.  Ici, pour arracher des électrons à un atome, les
          énergies requises sont beaucoup plus basses, de l'ordre de
          l'électron-volt. Quoi qu'il en soit, un photon $\gamma$
          possède largement l'énergie requise pour arracher un ou
          plusieurs électrons à un atome.

        \item Réponse \choix[b]. Ils ne peuvent pas présenter de raie
          d'émission car les atomes ne peuvent pas se désexciter vers
          un niveau inférieur. En revanche ils peuvent être amenés
          dans un état excité par une radiation incidente, à laquelle
          ils prélèvent donc les photons qui ont exactement l'énergie
          requise pour cela. Cela se traduit, en absorption, par un
          spectre de raies sombres (radiations manquantes dans le
          spectre).


        \item Réponse \choix[b]:  faibles. Ceci est logique puisque l'on a
          alors moins de photons émis par unité de temps. On notera
          ici l'analogie possible entre ce temps caractéristique de
          désexcitation et la demi-vie d'un radionucléide d'une part,
          et entre l'intensité de la raie et l'activité d'un matériau
          radioactif d'autre part.

        \item Réponse \choix[b]: deux raies. Il y a {\em a priori} trois
          transitions possibles, mais les transitions
          E$_2\rightarrow$E$_1$ et E$_1\rightarrow$E$_0$ présentent la
          même différence d'énergie, donc correspondent à des photons
          de même énergie (ou longueur d'onde). Les raies
          correspondantes sont donc confondues dans le spectre et on
          n'en voit finalement que deux.

        \item Réponse \choix[a]. L'atome peut aller vers le niveau E$_0$
          directement, en émettant un photon d'énergie $h\nu=E_2-E_0$,
          ou bien effectuer une étape intermédiaire au niveau E$_1$.
          Ce faisant il émet d'abord un photon d'énergie
          $E_2-E_1=h\nu/2$, donc de fréquence $\nu/2$, puis un autre
          lors de la transition E$_1\rightarrow$E$_0$.

          \item Réponse \choix[c]. On peut observer cette fois 3 raies dans le spectre. 

            Réponse \choix[a]. La transition de longueur d'onde la plus grande correspond
            aux photons d'énergie la plus petite, donc ceux qui
            correspondent à la transition présentant la plus petite
            différence d'énergie, soit E$_2\rightarrow$E$_1$.

            Réponse \choix[b]. La transition de longueur d'onde la plus petite correspond
            aux photons d'énergie la plus grande, donc ceux qui
            correspondent à la transition présentant la plus grande
            différence d'énergie, soit E$_2\rightarrow$E$_0$.

           \item Réponse \choix[d]:  IR (infrarouge).  La transition E$_3\rightarrow$E$_2$ correspond à une différence
             d'énergie:
             \[E_3-E_2=-E_0\left(\frac 19-\frac
                 14\right)=\frac{5E_0}{36}\simeq 0{,}14E_0.\] La
             transition E$_4\rightarrow$E$_3$ correspond à une
             différence d'énergie:
             \[E_4-E_3=-E_0\left(\frac{1}{16}-\frac 19\right)=\frac{7E_0}{144}\simeq 0{,}047E_0.\]
             La transition E$_4\rightarrow$E$_3$ implique donc des photons d'énergie environ trois fois
             plus basse (et donc de longueur d'onde trois fois plus grande) que la transition E$_3\rightarrow$E$_2$.
             Ils sont donc situés au-delà du rouge dans le spectre électromagnétique, soit dans l'infrarouge.
\end{questions}
\end{corrige}
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\begin{exo}{Énergie d'un photon}{Lycée Charles de Foucauld, Lyon}{1}{5}
%
Un photon absorbé par un atome de lithium a une énergie de $2{,}71$~eV.

\begin{questions}
\item Quelle est son énergie en joules ?
        
\item Quelle est la longueur d'onde et la fréquence de l'onde
  correspondante ?  À quel domaine appartient-elle ?
\end{questions}

\textit{Donnée :}

La constante de Planck vaut $h=6{,}63\cdot 10^{-34}$~J.s.
  
\end{exo}
\begin{corrige}

  \begin{questions}
  \item Un électron-volt représente une énergie de $1{,}6\cdot 
    10^{-19}$~J, donc : 
    \[E=2{,}71\times 1{,}6\cdot 10^{-19}\simeq 4{,}34\cdot 
    10^{-19}\mbox{~J}.\]
    
  \item  La fréquence de l'onde correspondante est donnée par : 
    \[\nu=\frac{E}{h}=\frac{4{,}34\cdot 
      10^{-19}}{6{,}63\cdot 10^{-34}}
    \simeq6{,}55\cdot 10^{14}\mbox{~Hz}.\]
    
    La longueur d'onde s'en déduit par : 
    \[\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3\cdot 
      10^8}{6{,}56\cdot 10^{14}}\simeq4{,}58\cdot 10^{-7}
    \mbox{~m}=450\mbox{~nm}.\]
    
    Cette onde appartient au domaine des ondes visibles. Elle 
    correspond à une couleur violette. 
  \end{questions}
\end{corrige}
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\begin{exo}{Effet photoélectrique}{École de masso-kinésithérapie de Poitiers}{1}{10}
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\begin{questions}
       \item  Représenter schématiquement les différents domaines du spectre des ondes
         électromagnétiques.
       
       \item  Quelle est, dans le vide, la longueur d'onde d'une onde
       électromagnétique de fréquence~$f=10^{14}$~Hz ? À quel
       domaine du spectre appartient cette onde ?
       
       \item  Les photons associés à cette onde arrivent sur une lame de zinc. Des
       électrons peuvent-ils être arrachés à cette lame ?
\end{questions}
\textit{Données :}

Constante de Planck : $h=6{,}62\cdot 10^{-34}$~J.s\\
Charge élémentaire : $e=1{,}6\cdot 10^{-19}$~C\\
Énergie d'extraction d'un électron du zinc : $E_{\rm seuil}=3{,}4$~eV.
%
%
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
       \item  Sur la figure ci-dessous, on a fait apparaître les
       principaux domaines du spectre électromagnétique, et quelques longueurs
       d'onde et fréquences importantes. Il n'est toutefois pas obligatoire de les
       apprendre par c\oe ur. En revanche, il faut connaître les noms des différents
       domaines, dans l'ordre, ainsi que les ordres de grandeur des longueurs d'onde
       associées. Les valeurs des bornes des différents domaines ne
       sont pas à connaître.
       
       %
\begin{center}
\includegraphics{401_kinesol01}
\end{center}
       
       \item  On écrit la relation :
       \[\lambda=\frac{c}{f}=\frac{3\cdot 10^8}{10^{14}}=3\cdot 10^{-6}\mbox{~m}=3\mbox{~\textmu m}.\]
       
       Cette onde appartient au domaine infrarouge.
       
       \item  Il nous faut calculer l'énergie des photons associés à cette onde. On a :
       \[E=hf=6{,}62\cdot 10^{-34}\cdot 10^{14}=6{,}62\cdot 10^{-20}\mbox{~J}.\]
       On en déduit la valeur de $E$ en électron-volt par :
       \[E=\frac{6{,}62\cdot 10^{-20}}{1{,}6\cdot 10^{-19}}
         %%% ERREUR VOLONTAIRE (détectée)
         %=0{,}09\mbox{~eV}.\]
       %%% RESULTAT CORRECT
         =0{,}414\mbox{~eV}.\]
       
       On a $E<E_{\rm seuil}$ donc les photons de cette onde n'ont pas une énergie suffisante pour
       arracher des électrons aux atomes de zinc. L'effet photoélectrique ne peut pas
       avoir lieu.
\end{questions}

\end{corrige}
%%
\begin{exo}{Constante de Rydberg}{Lycée René Cassin, Arpajon}{2}{15}
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%%%%
Les niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène, qui sont
quantifiés, sont décrits par la formule suivante :
\[E_n=-\frac{13{,}6}{n^2},\mbox{~~où $E_n$ est en~eV, et où $n$
est un entier non nul.}\]
La constante $13{,}6$~eV est appelée la constante de Rydberg.
\begin{questions}
        \item  Que veut dire l'expression : \og les niveaux d'énergie de
        l'atome d'hydrogène sont quantifiés\fg ?
        
        \item  Quelle est l'énergie minimale de l'atome d'hydrogène ? À
        quoi correspond-elle ?
        
        \item  À quoi correspond une énergie~$E\ge 0$ ?
        
        \item  Un examen du spectre d'émission de l'atome d'hydrogène
        permet de mettre en évidence les raies suivantes :\\
        \hspace*{\fill} H$_\alpha$ :~$656$~nm\hspace*{\fill} H$_\beta$ :~$486$~nm\hspace*{\fill} H$_\gamma$ :~$434$~nm\hspace*{\fill} 
        
        Ces radiations sont émises lorsque l'atome se désexcite vers
        l'état~$n=2$. Donner les valeurs de $n$ des états initiaux
        correspondant à chacune de ces raies.
        
\end{questions}
\textit{Données :}

Constante de Planck : $h=6{,}63\cdot 10^{-34}$~J.s\\
Charge élémentaire : $e=1{,}60\cdot 10^{-19}$~C\\
Vitesse de la lumière dans le vide : $c=3{,}0\cdot 10^8$~m.s$^{-1}$
%
%
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
        \item  L'expression \og les niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène
        sont quantifiés\fg signifie que l'énergie d'un atome d'hydrogène ne peut pas prendre
        un ensemble continu de valeurs, comme ce serait le cas par exemple de l'énergie
        mécanique d'un oscillateur tel un pendule, auquel on peut communiquer une valeur
        parfaitement arbitraire d'énergie mécanique (soit en fixant sa vitesse initiale, soit
        en fixant sa position initiale, ou une combinaison des deux). 
\begin{attention}       
        Le fait que les niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène soient quantifiés ne signifie
        pas qu'ils constituent un ensemble {\em fini} (on voit bien sur la formule de l'énoncé
        qu'il y en a autant que d'entiers naturels, donc une quantité infinie), mais {\em
        discret}, en ce sens que l'on peut toujours numéroter les niveaux et que la distance
        entre deux niveaux consécutifs est non nulle.
\end{attention} 
        \item  Montrons que la suite $(E_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite croissante. 
        
        En posant
        $A=13{,}6$~eV, on a :
        \begin{eqnarray*}
        E_{n+1}-E_n&=&-A\left[\frac{1}{(n+1)^2}-\frac{1}{n^2}\right]
        =A\frac{(n+1)^2-n^2}{n^2(n+1)^2}\\
        &=&A\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}>0.
        \end{eqnarray*}
        \enlargethispage*{2em}
        Donc la suite est croissante et son  plus petit terme est le premier. L'énergie
        minimale de l'atome d'hydrogène est donc $E_1=-\frac{13{,}6}{1^2}=-13{,}6$~eV.
        Cette énergie est celle de l'état fondamental.
        
        \item  Une énergie $E\geqslant 0$ correspond à un état libre de l'atome, c'est-à-dire que
        l'électron de l'atome d'hydrogène n'est plus lié au noyau et peut le quitter. L'atome
        est alors ionisé.
        
        \item  Effectuons dans un premier temps le calcul pour la raie H$_\alpha$. L'énergie
        des photons correspondant à cette raie est donnée par : 
        \[E=\frac{hc}{\lambda}.\]
        Cette énergie correspond à la différence entre celle du niveau initial~$m$ (où $m$
        est l'entier que l'on recherche) et celle du niveau $n=2$, donc on peut écrire :
        \[-\frac{A}{m^2}+\frac{A}{n^2}=\frac{hc}{\lambda}\mbox{~~~~~d'où l'on déduit :~~~~~}
m=\left(\frac{1}{n^2}-\frac{hc}{\lambda A}\right)^{-\frac 12}.\]
\begin{methode}
        Pour effectuer l'application numérique, il ne faut pas oublier d'exprimer toutes
        les grandeurs dans les unités du Système International, notamment $A=13{,}6$~eV,
        qui s'obtient en joules en la multipliant par $e=1{,}6\cdot 10^{-19}$~C.
\end{methode}
        \[m=\left(\frac{1}{4}-\frac{6{,}62\cdot 10^{-34}\times 3\cdot 10^8}{656\cdot 10^{-9}
        \times 1{,}6\cdot 10^{-19}\times 13{,}6}\right)^{-\frac{1}{2}}=3{,}00.\]
        
        Ainsi, on voit que la raie~H$_\alpha$ correspond à la désexcitation de l'atome
        d'hydrogène de son état~3 vers son état~2. Un calcul similaire donne $m=4$
        pour H$_\beta$, et $m=5$ pour H$_\gamma$. 
\begin{attention}       
        Notons que vous devez obtenir pour
        résultat des applications numériques dans ce genre d'exercices des nombres très
        proches de nombres entiers. Si tel n'est pas le cas, vous avez certainement commis
        une erreur quelque part.
\end{attention} 
        Sur la figure ci-après, on résume les transitions que l'on vient de mettre en
        évidence.
        
        \enlargethispage*{5em}
\begin{center}
\includegraphics{403_balmersol}
\end{center}
        
\end{questions}

\end{corrige}
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\begin{exo}{Atome d'hydrogène}{Lycée Marie Curie, Sceaux}{3}{25}
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  Le but de cet exercice est de justifier la forme de la
  quantification de l'énergie dans l'atome d'hydrogène, et d'évaluer
  la valeur de la constante de Rydberg à partir des constantes
  fondamentales (constante de Planck, charge de l'électron, constante
  de la force électrostatique, masse de l'électron).  
  
  On suppose que
  le modèle orbital de l'atome d'hydrogène est valable. Dans ce
  modèle, on considère un proton fixe au centre, et l'électron en
  orbite circulaire autour du noyau. On appelle $r$ le rayon de
  l'orbite, $v$ la vitesse orbitale de l'électron, $e$ la charge
  électrique élémentaire, $m$ la masse de l'électron. On néglige
  l'interaction gravitationnelle entre le proton et l'électron.

  La grandeur $\Gamma=mvr$ ne peut prendre que certaines valeurs
  précises dans l'atome d'hydrogène : elle est quantifiée. Plus
  précisément, cette grandeur (qui sera revue plus tard au cours de
  vos études, et que l'on appelle le moment cinétique), peut prendre
  les valeurs suivantes :
\[\Gamma = \frac{nh}{2\pi}\]
où $h$ est la constante de Planck et $n$ un entier naturel ($n=0, 1,
2, 3,$~etc.). On notera qu'à l'instar de ce qui a été vu en cours sur
le modèle du photon, cette grandeur peut prendre des valeurs qui sont
multiples d'une constante faisant intervenir la constante de Planck.
\begin{questions}
\item En appliquant la deuxième loi de Newton à l'électron et en
  utilisant les formules de Frenet, exprimer $v$ en fonction de $e$,
  $\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$, $m$ et $r$.
\item En déduire l'expression de $r$ en fonction de $\epsilon_0$, $e$,
  $n$, $h$ et $m$.
\item On admettra que l'électron, en plus de son énergie cinétique,
  possède une énergie potentielle électrostatique
  $E_p=-2E_c$. Exprimer $E_c$ puis $E_p$ en fonction de $\epsilon_0$,
  $e$ et $r$.
\item En déduire l'énergie mécanique $E_m=E_p+E_c$ de l'atome d'hydrogène, et
  montrer que l'on peut la mettre sous la forme :
  \[E_m = -\frac{R}{n^2}\] où l'on exprimera $R$, la constante de
  Rydberg, en fonction de $\epsilon_0$, $e$, $h$ et $m$.
\item Application numérique : donner la valeur de la
  \index{Constante de Rydberg}constante de
  Rydberg en joules, puis en électron-volt.
\end{questions}

\textit{Données :}

Masse de l'électron :  $m=9{,}10938\cdot 10^{-31}$~kg\\
Constante de Planck : $h=6{,}626069\cdot 10^{-34}$~J.s\\
Constante des forces électrostatiques : $\frac{1}{4\pi\epsilon_0}=9\cdot 10^9$~S.I.\\
Charge élémentaire : $e=1{,}602176\cdot 10^{-19}$~C.\\
On admettra que la force (électrostatique) s'exerçant entre le noyau
de l'atome et l'électron a pour valeur
$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}e^2/r^2$, où $r$ est la distance entre le noyau
et l'électron.

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\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La deuxième loi de Newton appliquée à l'électron s'écrit :
\[m\vec a = \vec F\]
où $\vec a$ est l'accélération de l'électron et $\vec F$ la force électrostatique
(attractive) que lui applique le noyau.
Si on appelle $\vec u$ le vecteur unitaire orienté de l'électron vers le noyau,
la formule de Frenet enseigne que :
\[\vec a= \frac{v^2}{r}\vec u\]
et la \index{Loi de Coulomb}loi de Coulomb donne :
\[\vec F =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{r^2}\vec u\]
(en effet la charge du noyau est $e$ et celle de l'électron est $-e$).

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\begin{center}
\includegraphics{404_nequanti01}
\end{center}

On en déduit :
\[m\frac{v^2}{r}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{r^2}\]
soit :
\[v=\frac{e}{\sqrt{4\pi\epsilon_0 mr}}.\]
\item
Nous avons donc :
\[mrv=e\sqrt{\frac{mr}{4\pi\epsilon_0}}=\frac{nh}{2\pi}\]
soit :
\[e\sqrt{\frac{\pi mr}{\epsilon_0}}=nh\]
qui donne en définitive :
\[r=\frac{n^2h^2\epsilon_0}{\pi m e^2}.\]
\item L'énergie cinétique de l'électron est simplement :
\[E_c=\frac 12mv^2\]
donc en utilisant l'expression de $v$ obtenue à la première question on
obtient :
\[E_c=\frac{1}{8\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{r}\mbox{~~~~d'où l'on déduit~:~~~~}
E_p=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{r}.\]
\item L'énergie mécanique de l'atome d'hydrogène peut donc s'écrire :
\[E_m=E_c+E_p=-\frac{1}{8\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{r}.\]

La deuxième question nous a montré que le rayon orbital $r$ de l'électron
est quantifié. On substitue dans l'expression de l'énergie la valeur obtenue
pour le rayon orbital de l'électron :
\[E_m=-\frac{me^4}{8\epsilon_0^2h^2}\frac{1}{n^2}.\]

C'est bien la forme demandée dans l'énoncé, où la constante de Rydberg est :
\[R = \frac{me^4}{8\epsilon_0^2h^2}.\]
\item L'application numérique donne :
\begin{eqnarray*}
R &\simeq& \frac{9{,}10938\cdot 10^{-31}\times (1{,}602176 \cdot 10^{-19})^4}{8\times (6{,}626069\cdot 10^{-34})^2}\times (36\pi\cdot 10^9)^2\\
&\simeq&2{,}18591\cdot 10^{-18}\mbox{~J}.
\end{eqnarray*}

\begin{attention}
Notons que cette application numérique peut être problématique sur
certaines petites calculatrices. Le numérateur est très petit
(inférieur à $10^{-100}$, et certaines calculatrices considèrent un
tel nombre comme valant zéro). Pour éviter ceci, il faut procéder de
manière plus astucieuse que celle qui consiste à calculer le
numérateur, puis le dénominateur. Il vaut mieux dans cet exemple
commencer par diviser la masse de l'électron par le carré de la
constante de Planck, puis multiplier par la puissance quatrième de la
charge électrique, et finir en divisant par $8\epsilon_0^2$.
\end{attention}
La valeur en électron-volt de cette quantité est :
\[R \simeq \frac{2{,}18591\cdot 10^{-18}}{1{,}602176\cdot 10^{-19}}\simeq 13{,}64\mbox{~eV}.\]
Une valeur précise de cette constante est : $R=13{,}6056917$~eV. On
notera que l'on a estimé la valeur de cette constante avec une erreur
relative d'environ $0{,}25$~\%.
\end{questions}
\end{corrige}
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\thumb\AfficheCorrige
