\chapter{Les circuits RC}
\section{Introduction}
\begin{exointro}{Lycée Janson de Sailly, Paris}
  Un condensateur, initialement chargé sous une tension de~$10$~V, se
  décharge dans une \index{Resistance@Résistance électrique}résistance
  de $47$~k$\Omega$. Au bout de $t=5{,}0$~s, la tension aux bornes du
  condensateur ne vaut plus que $U=1{,}0$~V.

  Quelle est la valeur de la \index{Capacite@Capacité d'un
    condensateur}capacité du condensateur ?

%
\end{exointro}

Cet exercice nous permet de rencontrer un composant nouveau, d'importance
de premier plan pour les circuits électriques: le condensateur. Nous allons
apprendre quelles lois le régissent, et voir comment un condensateur permet
d'introduire un comportement variable dans le temps dans un circuit électrique,
en écrivant la relation tension--intensité à ses bornes.

\section{Le condensateur plan}

Un \index{Condensateur}condensateur plan est un dispositif constitué
de deux plaques métalliques parallèles appelées armatures, séparées
par une distance~$d$, entre lesquels se trouve un milieu homogène. Ce
milieu peut, en principe, être de l'air ou même du vide, mais dans la
pratique il s'agit d'un milieu solide isolant, qualifié de
diélectrique.

%
\begin{center}
\includegraphics{407_condcours01}
\end{center}

Si l'on met des charges électriques en regard sur ces armatures, il
apparaît entre elles un champ électrique uniforme, ainsi qu'une
tension~$U$.  Plus précisément, la tension~$U$ est proportionnelle à
la charge~$Q$ portée par une armature. La constante de
proportionnalité est appelée \textit{capacité} du condensateur, et est
notée~$C$. Dans les unités du Système International, elle s'exprime en
farad, de symbole~F, et ses sous-multiples, notamment le microfarad et
le nanofarad ($1$~\textmu F $=10^{-6}$~F et $1\mbox{~nF}=10^{-9}$~F),
et parfois le picofarad ($1\mbox{~pF}=10^{-12}$~F).

\begin{aretenir}
La relation entre la charge $Q$ et la tension $U$ aux bornes d'un condensateur est donnée par :
\[Q=CU.\]
C'est la capacité du condensateur.
\end{aretenir}

On notera que les charges apparaissant en regard sur les armatures du
condensateur sont opposées, donc globalement le condensateur est
électriquement neutre.

\begin{Remarque}
on observe expérimentalement que la capacité d'un condensateur plan est proportionnelle à la surface des armatures, et inversement proportionnelle à la distance qui les   sépare. En augmentant la surface des armatures et/ou en les
  approchant l'une de l'autre, on augmente la capacité.
\end{Remarque}

\section{Association d'un condensateur et d'une\\résistance}
Dans cette section nous construisons un circuit \og RC \fg en associant en
série un condensateur et un \index{Conducteur ohmique}conducteur
ohmique. Ce dernier limite l'intensité du courant traversant le
circuit et implique que la charge ou la décharge du condensateur se
fait en un temps fini, d'autant plus grand que sa
\index{Resistance@Résistance}résistance est grande.

\subsection{Relation entre charge (ou intensité) et tension aux bornes d'un condensateur}

L'intensité d'un courant circulant dans un conducteur est la charge
électrique totale traversant une section de ce conducteur par unité de
temps. On peut en déduire les résultats suivants :
\enlargethispage*{2em}
\begin{center}
\includegraphics{408_condcours02}
\end{center}

Pour le condensateur de la figure ci-dessus, avec l'orientation
adoptée pour $U$
et $i$, on a :
\[i=-\frac{\dd Q}{\dd t}=-C\frac{\dd U}{\dd t}.\]

Le signe \og moins\fg{} vient du fait que le sens du courant est, par
convention, le sens de circulation qu'auraient des charges
positives. Il est opposé au sens de circulation des charges négatives
que sont par exemple les électrons. Par conséquent, on voit que si $i>0$, le
condensateur
tend à se décharger.
\begin{aretenir}
Quand $U$ et $i$ ont même orientation, $i$ est dit courant de décharge
du condensateur et est alors de signe contraire à la dérivée temporelle de la
charge du condensateur.
\end{aretenir}

%
\begin{center}
\includegraphics{409_condcours03}
\end{center}

En revanche, pour
le condensateur de la figure ci-contre, avec l'orientation adoptée pour $U$
et $i$, on a :
\[i=\frac{\dd Q}{\dd t}=C\frac{\dd U}{\dd t}.\]
Cette fois, le courant $i$ est un courant de charge du condensateur.


\subsection{Décharge d'un condensateur dans une résistance}

On considère le circuit de la figure ci-dessous.
\enlargethispage*{2em}
\begin{center}
\includegraphics{409_condcours04}
\end{center}

Le condensateur est initialement chargé. À $t=0$, on ferme
l'interrupteur.  Les charges qu'il portait sont à présent libres de
circuler à travers la résistance. On dit que le condensateur se
décharge à travers la résistance.

La méthode pour résoudre ce genre de problème est invariablement la
suivante : on écrit la relation tension-intensité aux bornes des deux
dipôles du circuit, qui ont en commun la tension~$U$. Cela donne :

\begin{itemize}
\item aux bornes de la résistance, on écrit la loi d'Ohm : $U=Ri$;
\item aux bornes du condensateur, on écrit la relation vue précédemment :
$$i=-C\frac{\dd U}{\dd t}.$$
\end{itemize}

Il est à noter que si l'on avait adopté l'autre sens de circulation du
courant, on aurait obtenu respectivement~$U=-Ri$ et
$i=C\frac{\dd U}{\dd t}$, ce qui revient au même et donne naturellement les
mêmes résultats.

De ces deux égalités, par élimination de $i$ (que l'on remplace par son expression donnée par la loi d'Ohm), on obtient :

\[\frac{\dd U}{\dd t}+\frac{1}{RC}U=0.\]

On reconnaît ici une équation différentielle de la première forme vue
à la section~\ref{sec:savoir-resoudre-une}, à condition de poser
$\tau=RC$.

La solution générale de cette équation est donc du type
$U(t)=Ae^{-t/\tau}$, où $A$ est une constante d'intégration que l'on
détermine à partir des conditions initiales (à $t=0$,
$U=U_0=Ae^0=A$). Le variable $\tau$, qui représente physiquement une
durée, est donc le temps caractéristique de variation de la tension
aux bornes du condensateur. Ici, en l'occurrence, c'est le temps de
décharge du condensateur. Nous allons revoir plus en détail comment
résoudre une telle équation à la section suivante.

\section{Équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants}
\label{sec:savoir-resoudre-une}
La solution générale de l'équation 
différentielle : 
\[\frac{\dd U}{\dd t}+\frac{U}{\tau}=0\]
est de la forme $U(t)=Ae^{-t/\tau}$, où $A$ est une constante
d'intégration, que l'on détermine en fonction des conditions
initiales.

\enlargethispage*{3em}
La solution générale de l'équation différentielle :
\[\frac{\dd U}{\dd t}+\frac{U}{\tau}=\frac{E}{\tau}\]
est, quant à elle, de la forme $U(t)=E+Ae^{-t/\tau}$, où $A$ est
encore une fois une constante d'intégration à déterminer à partir des
conditions initiales. 

Notons que l'équation différentielle précédente
correspond au cas particulier\linebreak $E=0$.  On a souvent comme condition
initiale $U(t)=0$, auquel cas: $A=-E$. La figure représentée ci-après
repose sur ce cas particulier, mais les propriétés que nous allons
énoncer sont tout à fait générales.

Notons que toute équation différentielle linéaire du premier ordre à
coefficients constants peut être écrite sous l'une des deux formes
ci-dessus (la variable n'est pas nécessairement $U$, bien entendu, ce
peut être la charge $q$, ou toute autre grandeur d'une autre partie du
cours, comme la température ou le nombre de noyaux radioactifs).

\subsubsectionnn{Propriétés des solutions}

\begin{itemize}
\item Lorsque le temps tend vers l'infini, $U(t)$ tend vers $E$ : 
$$\lim\limits_{t\rightarrow+\infty} U(t)=E$$
ce qui revient à dire que la droite horizontale d'équation $U=E$ est asymptote à 
la courbe. 
\item La tangente au graphe à l'origine intersecte l'asymptote d'équation $U=E$
en $t=\tau$. 
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics{411_propriete10}
\end{center}

%
\enlargethispage*{4em}

\begin{solintro}
  La loi d'évolution temporelle de la tension aux bornes du
  condensateur est donnée par~$U(t)=U_0e^{-t/\tau}$, où $U_0=10$~V et
  $\tau=RC$ est la constante de temps du circuit.

  On veut connaître la valeur de $C$, et on connaît $R$.  Donc il
  s'agit de déterminer $\tau$ dans un premier temps. Pour cela, on
  écrit :

\[U_{(t=5\mbox{~s})}=1{,}0=10e^{-5/\tau}\]
donc :
\[\ln 1{,}0=0=\ln 10 - \frac{5}{\tau}\mbox{~~~~~soit :~~~~~}\tau=\frac{5}{\ln 10}=2{,}17\mbox{~s}.\]

Or on sait que :
\[\tau=RC\mbox{~~~~~donc :~~~~~}C=\frac{\tau}{R}=\frac{2{,}17}{47\cdot 10^3}=4{,}6\cdot 10^{-5}\mbox{~F}=46\mbox{~\textmu F}.\]
\end{solintro}
