\onglet
\begin{qcm}{Vérification des connaissances}{5}
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\begin{questions}

\item La capacité d'un
condensateur plan :

\resetchoix 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix{} augmente &\choix{} diminue & 
\end{tabularx}

avec la surface des armatures, à écartement constant.

\item Un cadenceur d'essuie-glace contient entre autres un circuit RC. La valeur de la
résistance est $R=50$~k$\Omega$. Indiquer quelle est la seule valeur possible de
la capacité du condensateur parmi les trois suivantes :

\resetchoix 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix{} $100$~nF &
\choix{} $100$~\textmu F &
\choix{} $1$~\textmu F
\end{tabularx}


\item Lorsqu'on dit qu'un condensateur de capacité $C$, chargé sous une tension $U$,
contient une charge $Q=CU$, cela signifie que \emph{l'une de ses armatures} porte
une charge $Q=CU$. Quelle charge porte l'autre armature ?

\resetchoix 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix{} $0$ &\choix{} $-Q$ &\choix{} $Q$
\end{tabularx}


\item Lorsqu'on éteint un appareil contenant des condensateurs, la charge portée par
chacun d'eux s'annule rapidement.

\resetchoix 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix{} Vrai & \choix{} Faux & 
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}
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\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[a].
  La capacité augmente, ainsi qu'on l'a vu en cours.
  
\item Réponse \choix[b]. Le seul résultat qui donne un ordre de
  grandeur correct de la constante de temps $\tau=RC$ qui gouverne la
  cadence des balais d'essuie-glace est $100$~\textmu F (la constante
  de temps doit être de l'ordre de quelques secondes).  Les autres
  valeurs conduisent à une constante de temps beaucoup trop courte.
\item Réponse \choix[b]. L'autre armature porte une charge $-Q$. 
\item Réponse \choix[b]: faux. Si on ouvre un interrupteur dans un
  circuit série contenant des condensateurs, les porteurs de charge
  n'ont aucun moyen d'aller d'une armature à l'autre et les
  condensateurs restent chargés. C'est l'une des raisons pour
  lesquelles il est formellement déconseillé d'ouvrir certains
  appareils électroniques même éteint (risque de décharge).
\end{questions}
\end{corrige}

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\begin{exo}{Circuit RC}{Lycée Guy Nollet, Arras}{2}{15}
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\begin{center}
\includegraphics{412_condos02}
\end{center}
Le condensateur de la figure ci-dessus, de capacité~$C$,
est initialement chargé sous une tension~$U_0=5$~V. À
l'instant $t=0$, on ferme l'interrupteur~K.
\begin{questions}
\item Établir l'équation différentielle à laquelle obéit la tension $U_C(t)$
  aux bornes du condensateur. On fera apparaître la constante de temps $\tau$
  du système, dont on donnera l'expression.
\item Établir la solution de l'équation différentielle de la question précédente, en prenant
  en compte la condition initiale donnée dans l'énoncé.
\item On prend $C=100$~\textmu F et $R=1$~k$\Omega$. 
  \begin{questions}
  \item Calculer la constante de temps $\tau$ ainsi que l'intensité
    $i$ du courant à $t=0$.
  \item Calculer le coefficient directeur de la tangente en $t=0$ au
    graphe de $U_C(t)$. On calculera cette dernière grandeur en
    faisant le minimum de calculs.
  \end{questions}
\end{questions}
\end{exo}
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\begin{corrige}
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\begin{questions}
\item Appelons $q(t)$ la charge portée par les armatures du condensateur. On a 
les deux relations suivantes : 

\deuxegal{q(t)}{CU_c(t)}{i(t)}{-\frac{\dd q}{\dd t}}

Le signe \og~moins\fg dans cette dernière égalité vient du fait que le courant $i$
est un courant de décharge, c'est-à-dire qu'avec les orientations définies par 
la figure de l'énoncé, la charge $q(t)$ {\em diminue} quand l'intensité $i(t)$
est {\em positive}. 

Enfin, on peut écrire, d'après la loi d'Ohm, la relation : $U_c(t)=Ri(t)$. On peut 
donc réécrire le système d'égalités vu ci-dessus de la manière suivante (on dérive 
la première égalité par rapport au temps) : 

\deuxegal{\frac{\dd q}{\dd t}}{C\frac{\dd U_c}{\dd t}}{\frac{U_c(t)}{R}}{-\frac{\dd q}{\dd t}}

D'où l'on déduit l'équation différentielle vérifiée par la tension $U_c(t)$ : 
\[\frac{\dd U_c}{\dd t}+\frac{U_c(t)}{\tau}=0\]

où la constante $\tau$ est définie par $\tau = RC$.

\item La solution générale de l'équation différentielle de la réponse
  précédente est : 
\[U_c(t) = Ke^{-t/\tau}.\]
À $t=0$, on a : 
\[U_c(0)=U_0=K\]
donc la solution recherchée s'écrit en définitive : 
\[U_c(t)=U_0e^{-t/\tau}.\]

\begin{questions}
\item On a : 
\[\tau = RC= 10^3\times 100\cdot 10^{-6}=0{,}1\mbox{~s}.\]
On a : $i(t)=\frac{U_c(t)}{R}$ donc à $t=0$ : 
\[i(0)=\frac{U_0}{R}=\frac{5}{10^3}=5\cdot 10^{-3}\mbox{~A}=5\mbox{~mA}.\]

\item La grandeur demandée, par définition, est la dérivée par rapport au temps 
de $U_c(t)$. Il serait maladroit de dériver la solution obtenue à la
réponse précédente pour 
l'évaluer (même si la réponse serait correcte). Il y a plus simple. En
effet, en utilisant l'équation différentielle écrite à la première question, 
on peut écrire directement : 
\[\frac{\dd U_c}{\dd t}=-\frac{U_c(t)}{\tau}\mbox{~~donc à $t=0$ :~~}\frac{\dd U_c}{\dd t}=-\frac{U_0}{\tau}
  =-\frac{5}{0{,}1}=-50\mbox{~V.s}^{-1}.\]
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}
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\begin{exo}{Charge d'un condensateur}{Lycée Ampère, Lyon}{3}{25}
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%
On considère le circuit de la figure ci-dessous. 

\begin{center}
\includegraphics{413_supcond01}
\end{center}

Le condensateur est initialement déchargé, et a pour capacité
$C=10$~\textmu F.  Le générateur de tension continue n'a pas de
résistance interne. À l'instant initial $t=0$, on ferme
l'interrupteur. La charge portée par l'armature~A du condensateur est
représentée sur la figure ci-après. On reporte également sur cette
figure la tangente à la courbe $q_A(t)$ à l'instant $t=0$.
%
\begin{center}
\includegraphics{413_supcond02}
\end{center}
\begin{questions}
\item Quelle est la valeur limite de la charge~? En déduire
la valeur de la tension à vide $E$ du générateur.

\item Donner l'expression de $q_A(t)$ en fonction de $R$,
$C$ et $E$. On fera apparaître la constante de temps $\tau$
du circuit.

\item Quelles sont les coordonnées du point d'intersection
de la tangente à l'origine à la courbe de $q_A(t)$ et
de son asymptote~? En déduire la valeur de $\tau$ pour
le circuit étudié.

\item Quelle est la valeur de la résistance~$R$~?
\end{questions}
\end{exo}
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\begin{corrige}
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\begin{questions}
\item La valeur limite $q_l$ de 
la charge correspond à l'asymptote horizontale de la 
courbe donnée dans l'énoncé, donc $q_l=100\cdot 10^{-6}$~C. 

Au bout d'un temps très long, la charge portée par 
le condensateur ne varie presque plus : l'intensité 
du courant circulant dans le circuit tend vers zéro. 
Donc il n'y a plus de chute de tension aux bornes 
de la résistance, et donc pour un temps tendant vers 
l'infini on a : 

$$E=\lim_{t\rightarrow+\infty}U_{AB}(t) 
=\frac{q_l}{C}.$$

L'application numérique donne : $E=\frac{10^{-4}}{10^{-5}}=
10$~V. 
\item On peut écrire les relations suivantes : 
\deuxegal{i}{\frac{\dd q_A}{\dd t}}{E}{U_{AB}+Ri=\frac{q_A}{C}+Ri}

si on adopte le sens conventionnel du courant. 
\newpage
On en déduit l'équation différentielle vérifiée par~$q_A(t)$ : 

\[\frac{\dd q_A}{\dd t}+\frac{q_A}{\tau}=\frac{E}{R}=\frac{EC}{RC}=\frac{EC}{\tau}\]
où $\tau=RC$ est la constante de temps du circuit. 

La solution générale de cette équation différentielle 
est, d'après le cours: 
\[q_A(t)=EC+Ke^{-t/\tau}.\]
En utilisant les conditions initiales ($q_A(t=0)=0$), 
on déduit la valeur de la constante d'intégration : 
$K=-EC$, et donc en définitive : 
\[q_A(t)=EC(1-e^{-t/\tau}).\]
\item Déterminons l'équation de la tangente à l'origine. 
Sa pente est : 
\[\left.\frac{\dd q_A}{\dd t}\right|_{t=0}
=\frac{E}{R}-\frac{q_A}{\tau}
=\frac{q_l}{\tau}-\frac{q_A}{\tau}
=\frac{q_l}{\tau}\]
d'après les égalités écrites à la réponse précédente, et puisqu'à 
$t=0$ on a $q_A=0$. 
En conséquence, l'équation de la tangente à l'origine dans le plan $(t,q)$ est : 
\[q=\left(\frac{q_l}{\tau}\right)t.\]
On veut connaître pour quelle valeur de $t$ cette tangente 
intersecte la droite horizontale d'équation $q=q_l$, 
donc on résout l'équation : 
\[q=q_l\]
soit
\[q_l=\left(\frac{q_l}{\tau}\right)t\]
qui implique que $t=\tau$.
On voit que la tangente à l'origine intercepte l'asymptote 
à une date égale à la constante de temps du circuit, ainsi qu'on l'a
vu en cours. Dans 
notre cas, on lit sur la courbe de l'énoncé que la 
constante du circuit vaut : $\tau=100\mbox{~ms}=0{,}1$~s. 
\item On a : $\tau=RC$ donc : 
\[R=\frac{\tau}{C}=\frac{0{,}1}{10^{-5}}=10^4\;\Omega=10\;\rm
  k\Omega.\]
\end{questions}
\end{corrige}
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\begin{exo}{Décharge d'un condensateur}{Lycée Henri IV, Paris}{3}{30}
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%
On 
considère le circuit de la figure 
ci-dessous. 
\begin{center}
\includegraphics{414_condens01}
\end{center}

Le générateur est une source idéale de tension de tension à 
vide~$E=10$~V. 
La capacité du condensateur est $C=10$~\textmu F. On suppose dans un premier 
temps que l'interrupteur est fermé depuis longtemps. 

\begin{questions}
\item Que vaut alors la tension $U_{AB}$ ? 

\item Que vaut la charge $q_0$ du condensateur ? 

\`A l'instant $t=0$, on ouvre l'interrupteur. 

\item Que se passe-t-il alors ? 

\item \'Etablir l'équation différentielle qui régit le comportement 
temporel de la charge~$q$ du condensateur. 

\item Montrer que cette équation différentielle admet une solution de 
  la forme $q(t)=Qe^{-\nu t}$. On exprimera les constantes 
  $Q$ et $\nu$ en fonction de $R$, $C$ et $q_0$.\\
\item Donner l'expression, sous forme littérale, de la tension $U_{AB}$
pour tout $t>0$.\\
\item Quelle valeur de résistance doit-on prendre pour que la 
  tension~$U_{AB}$ vaille~$3$~V au bout de~$15$~s ? 
  \end{questions}
\end{exo}
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\begin{corrige}
%%%%
%%%%
\begin{questions}
\item On observe que lorsque l'interrupteur est fermé, 
le point~A est directement relié, via un conducteur parfait, à la borne 
positive du générateur, et que dans tous les cas le point~B est relié 
à la borne négative du générateur. Donc la tension $U_{AB}$ est 
égale à la tension aux bornes du générateur, qui est égale à sa 
tension à vide 
puisque celui-ci est parfait, donc : 
\[U_{AB}=E.\]

On remarquera que la précision \og l'interrupteur est fermé depuis longtemps\fg{}
est inutile et que l'égalité ci-dessus est vraie dès que l'interrupteur 
est fermé. 


\item La charge du condensateur est alors donnée par : 
\[q_0=CU_{AB}=CE.\]

%
\begin{center}
\includegraphics{418_condsol03}
\end{center}

\item Lorsque l'on ouvre l'interrupteur, 
le circuit devient équivalent au circuit 
de la figure ci-dessus. La différence de potentiel entre les points~A et~B 
donne lieu à un courant $i$ dans le conducteur ohmique. Cette fois, 
le générateur ne peut assurer ce courant puisque l'interrupteur est ouvert, 
donc le condensateur se décharge dans la résistance. 
\item En utilisant la loi d'Ohm et la relation entre charge et tension aux bornes 
d'un condensateur, on peut écrire les relations suivantes : 
\[U(t)=Ri(t)=-R\frac{\dd q}{\dd t}\mbox{~~~~~et~~~~~~}q(t)=CU(t),\]

le signe \og moins\fg{} de la première égalité étant dû au fait que le 
courant $i$ est un courant de décharge (quand sa valeur est positive, $q$ décroît). 
On en déduit : 
\[R\frac{\dd q}{\dd t}+\frac{q(t)}{C}=0\]
soit encore : 
\[\frac{\dd q}{\dd t}+\frac{q(t)}{RC}=0.\]

\item On suppose que la solution a la forme $q(t)=Qe^{-\nu t}$. Alors, 
\[\frac{\dd q}{\dd t}=-\nu Qe^{-\nu t}=-\nu q.\]

En substituant ces expressions dans l'équation différentielle obtenue 
à la réponse précédente, 
on obtient : 
\[\left(-\nu+\frac{1}{RC}\right)Qe^{-\nu t}=0.\]
La valeur d'une exponentielle n'est jamais nulle donc pour que l'égalité ci-dessus 
soit vraie, il faut et il suffit que le facteur de gauche soit nul, soit : 
\[\nu=\frac{1}{RC}.\]

Enfin, à $t=0$ on a $q(0)=Q$ d'après la solution de l'équation 
différentielle, et $q(0)=q_0$ d'après les 
conditions physiques précisées dans l'énoncé. On a donc~$Q=q_0$, et donc : 
\[q(t)=q_0e^{-\frac{t}{RC}}.\]

\item L'expression de la tension $U_{AB}(t)$ se déduit de celle de $q(t)$ en 
la divisant par~$C$. On en déduit facilement : 
\[U_{AB}(t)=Ee^{-\frac{t}{RC}}.\]
\item On veut que $U_{AB}(t_1)=U_1$, avec $t_1=15$~s et $U_1=3$~V. Donc on peut 
écrire : 
\[U_1=Ee^{-\frac{t_1}{RC}}\mbox{~~~~~soit :~~~~~}e^{-\frac{t_1}{RC}}=-\frac{U_1}{E}\]
ce que l'on peut encore écrire : 
\[-\frac{t_1}{RC}=\ln\frac{U_1}{E}\]
donc : 
\[R=\frac{t_1}{C\ln\frac{E}{U_1}}.\]

L'application numérique donne :
%%%% ERREUR VOLONTAIRE  (détectée)
%\[R=\frac{15}{10^{-5}\ln\frac{10}{3}}=5{,}35\cdot  10^6\;\Omega\;=5{,}35\mbox{~M}\Omega.\]
%%%% RESULTAT CORRECT
\[R=\frac{15}{10^{-5}\ln\frac{10}{3}}=1{,}25\cdot 10^6\;\Omega\;=1{,}25\mbox{~M}\Omega.\]
\end{questions}
\end{corrige}


\thumb\AfficheCorrige
