\devoirsynthese{Baccalauréat Blanc}{Baccalauréat blanc}

La durée de l'épreuve est de 3 heures 30. Elle est composée de 3 exercices indépendants.

Ici, 4 exercices sont présentés, mais l'étudiant choisira, au choix, de traiter l'exercice \ref{exoBB3} ou \ref{exoBB4}.

\begin{exobb}{Station spatiale ISS -- 4 points}{Amérique du Nord , 2013}{2}{50}

La station spatiale internationale ISS (International Space Station) est à ce jour le plus grand des objets artificiels placé en orbite terrestre à une altitude de 400 km. Elle est occupée en permanence  par un équipage international qui se consacre à la recherche scientifique dans l’environnement spatial.

La station spatiale internationale, supposée ponctuelle et notée S, évolue sur une orbite qu’on admettra  circulaire, dont le plan est incliné de 51,6$^\circ$ par rapport au plan de l’équateur. Son altitude est environ égale à 400 km.

\textit{Données :} \begin{itemize}
	\item rayon de la Terre : $R_T = 6380$ km
	\item masse de la station : $m=435$ t
	\item masse de la Terre, supposée ponctuelle : $M_T = 5,98 \cdot 10^{24}$ kg
	\item constante de gravitation universelle : $G=6,67 \cdot 10^{-11}$ m$^3$.kg$^{-1}$.s$^{-2}$
	\item altitude de l'ISS : $H$
	\item expression de la valeur de la force d’interaction gravitationnelle $F_G$ entre deux corps A et B ponctuels de masses respectives $m_A$ et $m_B$, distants de $d = AB$ : 
	\[ F_G=G \times \frac{m_A\cdot m_B}{d^2} \]
\end{itemize}

\begin{questions}
	\item Représenter sur un schéma : 
	\begin{itemize}
		\item la Terre (T) et la station ISS (S)
		\item un vecteur unitaire $\overrightarrow{u}$ orienté de la station S vers la Terre T
		\item la force d’interaction gravitationnelle exercée par la Terre sur la station
	\end{itemize}
	Donner l’expression vectorielle de cette force en fonction du vecteur unitaire $\overrightarrow{u}$.
	\item En considérant la seule action de la Terre, établir l’expression vectorielle de l’accélération $\overrightarrow{a_S}$ de la station dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen, en fonction de $G, M_T, H, R_T$ et du vecteur unitaire $\overrightarrow{u}$.
	\item Pour un mouvement uniforme circulaire de rayon r, on peut s'appuyer sur la relation entre l'accélération $a$ et la vitesse $v$ : $a=\frac{v^2}{r}$.
	\begin{questions}
		\item Montrer que, dans le cas d’un mouvement circulaire, la valeur de la vitesse du satellite de la station a pour expression : $v=\sqrt{\dfrac{G \cdot M_T}{R_T + H}}$.
		\item Calculer la valeur de la vitesse de la station en m.s$^{–1}$.
	\end{questions}
	\item Combien de révolutions autour de la Terre un astronaute présent à bord de la station spatiale internationale fait-il en 24h ? 
\end{questions}

\end{exobb}

\begin{corrigebb}

\begin{questions}
	\item La distance $d$ qui sépare M et S est, ici, $d=R_T+H$. Donc, en reprenant l'expression de la force gravitationnelle de la Terre sur l'ISS, on obtient :
	\[ \overrightarrow{F_G}= G \times \frac{M_T\cdot m}{(R_T+H)^2} \overrightarrow{u} \]
\begin{center}
  \includegraphics{430_satellite}
\end{center}
	\item On applique la 2ème loi de Newton à l’ISS dans le référentiel géocentrique supposé galiléen.\\
	$m\times \overrightarrow{a_S}=\Sigma \overrightarrow{F_{ext}}=\overrightarrow{F_G}$, l’accélération est dans la même direction que $\overrightarrow{F_G}$. D'où :
	\[ \overrightarrow{a_S}=G \times \frac{M_T}{(R_T+H)^2} \overrightarrow{u} \]
	\item 
	\begin{questions}
		\item On reprend l'expression de $\overrightarrow{a_S}$ obtenue précédemment et la relation donnée dans l'énoncé puisque la trajectoire de l'ISS est circulaire uniforme :
		\[ ||\overrightarrow{a_S}||= G \times \frac{M_T}{(R_T+H)^2}=\frac{v^2}{R_T+H}\]
		\[ v^2= G \times \frac{M_T}{(R_T+H)}\]
		\[v=\sqrt{\frac{G \cdot M_T}{R_T + H}}\]
		On retrouve bien l'expression de l'énoncé.
		\item Sans oublier la conversion en m, on obtient : 
		\[v=\sqrt{\frac{G \cdot M_T}{R_T + H}}=\sqrt{\frac{6,67\cdot 10^{-11}\times 5,98\cdot 10^{24}}{(6380+400)\cdot 10^3}}=7,67\cdot 10^3\ \mathrm{m.s}^{-1} \]
	\end{questions}
	
	\item On commence par chercher la période $T_S$ de révolution de l'ISS. Puisque le mouvement de la station est circulaire uniforme, on a : $v=\frac{2\pi (R_T+H)}{T_S}$. \\
	Avec l'expression obtenue précédemment de $v$, on obtient : 
	\[ 
	\frac{2\pi (R_T+H)}{T_S}= \sqrt{\frac{G \cdot M_T}{R_T + H}} 
	\]
	\begin{align*}
	T_S & =2\pi (R_T+H)\times \sqrt{\frac{R_T + H}{G \cdot M_T}} \\
	& = 2\pi (6380+400)\cdot 10^3 \times \sqrt{ \frac{(6380+400)\cdot 10^3}{6,67\cdot 10^{-11}\times 5,98\cdot 10^{24}} }\\
	& = 4,15\cdot 10^3\ \mathrm{s}.
	\end{align*}
	Pour obtenir le nombre $N$ de révolution de l'ISS autour de la Terre en 24 h, il suffit maintenant de diviser 24 h par la période de révolution de l'ISS : 
	\[ N=\frac{24\times 60 \times 60}{4,15 \cdot 10^3}=20,8. \]
	Un astronaute à bord de l'ISS fera quasiment 21 révolutions en 24 h autour de la Terre.
\end{questions}
\end{corrigebb}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exobb}{Le lait de chèvre -- 6 points}{Amérique du Nord 1, 2019}{3}{70}

L’acide caprique est un acide gras saturé de longueur de chaîne moyenne, présent en petites quantités dans le lait de vache et le lait de chèvre. Par contre, il est abondant dans les huiles tropicales comme l'huile de noix de coco et l'huile de palmiste. L’acide caprique est, entre autres, responsable de bienfaits pour la santé attribués à l'huile de coco.

Cet exercice propose d’étudier la structure et les propriétés acidobasiques de l’acide caprique et de vérifier, par un titrage, que le lait de chèvre en contient environ trois fois plus que le lait de vache.

\textit{Données :}
\begin{itemize}
	\item masse molaire atomique (en g.mol$^{-1}$) :
	\Par
	\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|c|c|}
	\hline\tabulartitle
	Hydrogène & Carbone & Oxygène \\ \hline
	1,0 & 12,0 & 16,0	\\ \hline
	\end{tabular}
	\end{center}
	\item 100 mL de lait de vache contiennent environ 0,09 g d’acide caprique (sous ses différentes formes acido-basiques)
	\item la  conductivité $\sigma$ d’une solution ionique peut s’exprimer en fonction de la concentration molaire $[X_i]$  en  ions  dans  la  solution  et  des  conductivités  molaires  ioniques $\lambda_i$ de  chaque ion $X_i$ selon l’expression :
	\[ \sigma = \sum_i \lambda_i \times [X_i] \]
	\item conductivités molaires ioniques à 25$^\circ$C :
	\Par
	\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
	\hline\tabulartitle
	Ion & \ce{H3O+} & \ce{Cl-} & \ce{Na+} & \ce{HO-} & \ce{RCOO-} \\ \hline
	$\lambda$ (mS.m$^2$.mol$^{-1}$) & 34,96 & 7,63 & 5,01 & 19,8 & <4 \\ \hline
	\end{tabular}
	\end{center}
\end{itemize}

\newpage

\subsectionnn{Partie A : structure et propriétés acidobasiques de l’acide\\caprique}

\begin{questions}
	\item Comment appelle-t-on la représentation donnée ci-dessous de l’acide caprique? Recopier  la molécule et entourer la chaîne de longueur moyenne évoquée dans le texte introductif. Vérifier que la masse molaire de l’acide caprique a pour valeur 172 g.mol$^{-1}$.\\ \vspace{8pt}
	\begin{center}
	\setchemfig{atom sep=2em}
	\chemfig{[7]-[1]-[7]-[1]-[7]-[1]-[7]-[1]-[7]-[1](=[2]O)-[7]OH}
	\end{center}
	\vspace{8pt}
	\item Représenter un exemple d’acide carboxylique à longueur de chaîne courte et le nommer.
	\end{questions}
\textit{Par souci de simplification, l’acide caprique sera noté RCOOH dans la suite de l’exercice.}
\begin{questions}
\setcounter{enumi}{2}	
	\item Définir un acide au sens de la théorie de Brönsted. Justifier que l’acide caprique possède des propriétés acido-basiques et donner le couple acide/base auquel il appartient.
\end{questions}
Un producteur de lait souhaite connaître sous quelle forme, acide ou basique, est présent l’acide caprique dans le lait de chèvre. Une mesure du $pH$ de ce lait indique la valeur de 6,0.
\begin{questions}
\setcounter{enumi}{3}	
	\item Les quantités des formes acide et basique de l’acide caprique, en solution  aqueuse, dépendent du $pH$ de la solution. À 25$^\circ$C, les proportions de ces espèces en fonction du $pH$ sont données par les courbes ci-dessous.\enlargethispage*{5em}
	
	
	\begin{figure}
	%\hspace{-8em}
	%\includegraphics[trim = 0cm 0cm 0cm 5cm ,width=1.4\textwidth]{423_courbespH}
	\includegraphics{423_courbespH}
	\figcaption{Diagramme de répartition de l'acide caprique et de sa base conjuguée en fonction du pH.}
	\end{figure}
	
	\newpage
	
	\begin{questions}
		\item Identifier la courbe correspondant à l’acide caprique et celle correspondant à l’autre forme du couple et déterminer la valeur du $pK_a$ de ce couple en explicitant votre démarche.
		\item En déduire quelle est la forme acido-basique de l’acide caprique présente majoritairement dans le lait de chèvre.
		\item Une espèce chimique est considérée comme négligeable devant une autre si sa concentration molaire est au moins 100 fois inférieure à l’autre. Dans le cas du lait de chèvre, peut-on négliger une des formes acido-basiques de l’acide caprique devant l’autre ? Justifier la réponse.
	\end{questions}
\end{questions}

\subsectionnn{Partie B : titrage de l’acide caprique contenu dans le lait de chèvre}

L’acide caprique contenu dans le lait de chèvre et sa base conjuguée ont été extraits afin de reconstituer une solution aqueuse notée S de même $pH$ que le lait de chèvre.
	
Il est possible de réaliser le titrage de l’espèce majoritaire contenue dans 10,0 mL de solution S par une solution titrante de concentration molaire égale à $1,00 \times 10^{–2}$mol.L$^{–1}$ à choisir entre :
	\begin{itemize}
		\item une solution aqueuse d’acide chlorhydrique (\ce{H3O+(aq), \ce{Cl-(aq)}})
		\item une solution aqueuse d’hydroxyde de sodium (\ce{Na+(aq), \ce{HO-(aq)}})
	\end{itemize}
\begin{questions}
\setcounter{enumi}{4}
	\item Choisir la solution titrante en justifiant votre choix et établir l’équation de la réaction support du titrage. 
	\item Définir l’équivalence d’un titrage et écrire la relation entre les quantités de matière des espèces chimiques mises en jeu.
	\item Choisir parmi les 4 représentations proposées ci-dessous, celle représentant au mieux le suivi conductimétrique de l’espèce prédominante contenue dans le lait de chèvre. Justifier la réponse en faisant notamment un bilan de l’évolution des espèces ioniques au cours du titrage.
	\item On obtient lors du titrage un volume de solution titrante versée à l’équivalence égal à 14,1 mL. Le lait de chèvre contient-il bien trois fois plus d’acide caprique (sous ses différentes formes acidobasiques) que le lait de vache ?\\
\textit{Pour répondre à cette question, le candidat est invité à prendre des initiatives, à  présenter la démarche suivie, même si elle n’a pas abouti, et à faire preuve d’esprit critique sur la méthode choisie pour effectuer cette comparaison. La démarche suivie est évaluée et nécessite donc d'être correctement présentée.}

	\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*2{>{\centering\arraybackslash}X}}
	\includegraphics{425_caprique1} & \includegraphics{425_caprique2}\\
	\includegraphics{425_caprique3} & \includegraphics{425_caprique4}
	\end{tabularx}
	\end{center}
	%\hspace{-12em}
	
\end{questions}

\end{exobb}

\begin{corrigebb}

\begin{questions}
	\item  La représentation donnée est la formule topologique de l’acide caprique.
	La \og chaîne \fg dont on parle dans l'énoncé est la chaîne carbonée, elle est entourée dans le schéma suivant :
	
	\begin{center}
	\includegraphics{431_conductimetrie}%[width=1.5\textwidth]
	\end{center}
	
	La formule brute de l'acide caprique, déduite à partir de la formule topologique, est \ce{C10H20O2}. On a ainsi : 
	\[ M(\ce{C10H20O2})=10M\mathrm{(C)}+20M\mathrm{(H)}+2M\mathrm{(O)}\]
	\[ M(\ce{C10H20O2})=10\times 12,0+20\times 1,0+2\times 16,0=174,0\ \mathrm{g.mol}^{-1}.\]
	
	\item On prend par exemple l'acide butanoïque :\\ \vspace{1ex}
	\begin{center}	
	\setchemfig{atom sep=2em}
	\chemfig{[7]-[1]-[7]-[1](=[2]O)-[7]OH}
	\end{center}
	\item Un acide, au sens de Brönsted, est une espèce chimique capable de libérer un (ou plusieurs) proton(s) \ce{H+}.\\
	Le groupe carboxyle \ce{-COOH} de l'acide caprique est capable de libérer un proton \ce{H+} : l'acide caprique possède donc des propriétés acidobasiques.\\
	L'acide caprique appartient au couple acide/base : \ce{RCOOH}/\ce{RCOO-}.
	
	\item 
	\begin{questions}
		\item La forme acide RCOOH va être prédominante pour les $pH$ les plus bas, c'est donc la courbe 1 qui la représente. 
		
		La base conjuguée RCOO$^-$, l'autre forme du couple, sera majoritaire pour les $pH$ les plus hauts, c'est ainsi la courbe 2 qui la représente. Le $pK_a$ est le $pH$ de la solution lorsqu'il y a autant de forme acide que de sa base conjuguée. Par lecture graphique, on obtient :
		\[ pK_a=4,8\pm 0,1 \]
		\item On sait que le $pH$ du lait est de 6,0, donc supérieur au $pK_a$. Ainsi c'est la base conjuguée qui prédomine dans le lait de chèvre.
		\item Par lecture graphique, on constate qu'à $pH=6$, il y a 94\% de la base conjuguée et 6\% d'acide caprique. Or $\frac{94}{6} \simeq 16 <100$ donc aucune des deux espèces n'est négligeable à $pH=6$.
	\end{questions}
	\item L'espèce majoritaire à titrer est la base conjuguée RCOO$^-$, donc on choisit une solution acide pour le titrage, donc la solution d'acide chlorhydrique ici. L'équation de la réaction de titrage est :
	\[ \ce{RCOO-}+\ce{H3O+} \ce{<=>} \ce{RCOOH}+\ce{H2O} \]
	\item A l’équivalence, la quantité de matière des réactifs titrés et celle des réactifs titrants ont été introduit en proportion stoechiométrique :
	\[ n(\ce{RCOO-})=n(\ce{H3O+}) \]
	\item La conductivité est due aux ions présents dans la solution. On fait donc un bilan de matière des ions au cours du titrage : 
	\begin{itemize}
    	\item Avant l'équivalence : [\ce{RCOO-}] diminue et [\ce{Cl-}] augmente dans un rapport de 1 pour 1. Les ions \ce{H3O+} sont directement consommés par la réaction de titrage après introduction donc n'interviennent pas dans la conductivité de la solution. Les ions \ce{Cl-} ($\lambda_{Cl^-}=7,63mS.m^2.mol^{-1}$) sont plus conducteurs que \ce{RCOO-} ($\lambda_{RCOO^-}<4mS.m^2.mol^{-1}$), ainsi la conductivité $\sigma$ augmente légèrement avant l'équivalence. 
    	\item Après l'équivalence : RCOO$^-$ a été entièrement consommé, d'où\linebreak $[\ce{RCOO-}]=0$. [\ce{Cl-}] et [\ce{H3O+}] augmentent. Donc la conductivité $\sigma$ augmente fortement. 
	\end{itemize}
	Donc la représentation 3 est la bonne représentation.
	\item A l'équivalence, on a $n_0(\ce{RCOO-})=n_{eq}(\ce{H3O+})$.\\
$n_{eq}(\ce{H3O+})=V_{eq}\times [\ce{H3O+}]=14,1\cdot 10^{-3}\times 1,00\cdot 10^{-2}=1,41\cdot 10^{-4}$ mol.

Il y a donc $1,41\cdot 10^{-4}$ mol de la base conjuguée dans les \mbox{$V_{titr\acute e}=10$ mL} de la solution titrée.

On rajoute les 6\% de la forme acide non négligeable d'après la question 1.4.3). 

$\begin{aligned}[t]
n_{tot} & = n(\ce{RCOO-})+n(\ce{RCOOH}) = n(\ce{RCOO-})+0,06n(\ce{RCOO-})\\
& =1,06n(\ce{RCOO-}) =1,5\cdot 10^{-4}\text{ mol}.
\end{aligned}$

\newpage

On en déduit la masse dans 100mL de lait de chèvre :

$\begin{aligned}[t]
 m_{100mL}(ch\grave evre) & = \frac{100\ mL}{V_{titr\acute e}}\times n_{tot}\times M(caprique)\\
 & = \frac{100}{10}\times 1,5\cdot 10^{-4}\times 172=0,26\text{ g}.
 \end{aligned}$
 
 
On a donc $m_{100mL}(ch\grave evre)=0,026g \simeq 3\times m_{100mL}(vache)$ avec $m_{100mL}(vache)=0,09g$ d'après l'énoncé. \\
Le lait de chèvre contient bien quasiment 3 fois plus d'acide caprique que le lait de vache. 
	 
\end{questions}

\end{corrigebb}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exobb}{Batterie de voiture -- 5 points}{Amérique du Sud 2, 2022}{3}{60}\label{exoBB3}
Les batteries lithium-ion sont devenues une source d'électricité indispensable pour nos dispositifs 
électroniques portables et portatifs dont la taille ne cesse de se réduire. En outre, du fait de leurs 
avantages remarquables par rapport aux autres types de batteries, par exemple leur densité de 
stockage d’énergie supérieure, elles ont permis le développement d’un large éventail d’applications 
au-delà de leur cœur de cible technologique, notamment pour les véhicules hybrides et électriques.

\textit{Données :} \begin{itemize}
	\item charge élémentaire : $e=1,60 \cdot 10^{-19}$ C
	\item constante d'Avogadro : $N_A=6,02\cdot 10^{23}$ mol$^{-1}$
	\item équivalence ampère-heure / coulomb : $1,0$ Ah $=3,6\cdot 10^3$ C
	\item masses molaires : $M(\ce{LiC6})=78,9$ g.mol$^{-1}$, $M(\ce{FePO4})=150,8$ g.mol$^{-1}$
\end{itemize}

\textit{Caractéristiques de la batterie :}\\
L’électrode de phosphate de fer, \ce{FePO4}, du compartiment 1 a une masse $m(\ce{FePO4}) = 4,7$ kg et lorsque la batterie est chargée, l‘électrode du compartiment 2 est recouverte d’une matrice de carbone lithié de formule \ce{LiC6} pesant $1,1$ kg. Les électrodes plongent dans un électrolyte organique ionique contenant des ions lithium et les deux compartiments sont séparés par une membrane.

%\vspace*{-2cm}
\begin{center}
	\includegraphics{426_batterie_vide}%[width=0.7\textwidth]
	\end{center}
%\vspace*{-1.5cm}

Pour démarrer, la voiture nécessite une charge électrique $q_D = 45$ Ah. 

Lors de la décharge de la batterie, les transformations chimiques en jeu sont modélisables par deux réactions électrochimiques aux électrodes dont les équations figurent ci-dessous.
\begin{itemize}
	\item Libération du lithium dans le compartiment 2 :
	\[ \ce{LiC6(s)}=6\ce{C(s)}+\ce{Li+}+\ce{e-} \]
	\item Libération du lithium dans le compartiment 2 :
	\[ \ce{Li+}+\ce{e-}+\ce{FePO4(s)}=\ce{LiFePO4(s)} \]
\end{itemize}

\begin{questions}
	\item Identifier l’électrode où se produit une oxydation et celle où se produit une réduction. Justifier.
	\item Reproduire le schéma de la pile, indiquer les polarités des électrodes et représenter les 
porteurs de charges et leur sens de circulation lorsque la pile débite.
	\item Écrire l’équation de la réaction modélisant le fonctionnement de la pile.
	\item La valeur de la constante d’équilibre de la réaction de fonctionnement de la pile à $25^\circ$C vaut $K = 10^{54}$. Conclure quant à la transformation chimique mise en jeu dans la pile.
	\item Montrer que la valeur de l’avancement final de la transformation est $x_{max} = 14$ mol. Indiquer ce qu’il se passe lorsque cette valeur est atteinte lors du fonctionnement de la batterie ?
	\item Déterminer la valeur de la capacité électrique maximale $q_{max}$ de cette batterie.
	\item Indiquer si la batterie permet le démarrage du véhicule.
\end{questions}

\end{exobb}


\begin{corrigebb}

\begin{questions}
	\item L’électrode 2 de $\ce{LiC6}$ subit une oxydation, donc c’est l’anode. L’autre électrode 1 de $\ce{FePO4}$ fait une réduction, c’est la cathode.
	\item~\vspace*{-1.5em}
	\begin{center}
	\includegraphics{433_batterie}%[width=0.7\textwidth]
	\end{center}
	%\vspace*{-1.5cm}
	\item On part des 2 demi-équations : 
	\[ \ce{LiC6(s)}=6\ce{C(s)}+\ce{Li+}+\ce{e-} \]
	\[ \ce{Li+}+\ce{e-}+\ce{FePO4(s)}=\ce{LiFePO4(s)} \]
	On équilibre les électrons produits et consommés, ici il nous faut une seule fois chacune des 			équations. Puis on les rassemble et on simplifie en faisant attention aux espèces qui sont les réactifs et celles qui sont produites.
	\[ \ce{LiC6}+\ce{Li+}+\ce{e-}+\ce{FePO4}=6\ce{C}+\ce{Li+}+\ce{e-}+\ce{LiFePO4} \]
	\[ \ce{LiC6}+\ce{FePO4}=6\ce{C}+\ce{LiFePO4} \]
	\item On veut savoir dans quel sens va se dérouler la réaction, donc on calcule $Q_r$ le quotient de réaction et ensuite on le compare à $K$, la constante d’équilibre de la réaction.
	\[ Q_r=\frac{\mathrm{produit\ des\ activités\ des\ produits}}{\mathrm{produit\ des\ activités\ des\ réactifs}} \]
	$Q_r=1$ car les réactifs et les produits sont des solides, donc leur activité est de 1. Donc $Q_r<K$, la réaction va se dérouler dans le sens direct jusqu'à épuisement de l'un ou l'autre des réactifs.
	\item On commence par calculer la quantité de matière initiale des réactifs :
	\[ n_{LiC_6}=\frac{m_{LiC_6}}{M_{LiC_6}}=\frac{1,1\cdot 10^3}{78,9}=14\ \mathrm{mol} \]
	\[ n_{FePO_4}=\frac{m_{FePO_4}}{M_{FePO_4}}=\frac{4,7\cdot 10^3}{150,8}=31\ \mathrm{mol} \]
	\hspace{-3em}
	\scalebox{0.8}{\begin{tabular}{|c|c|ccccccc|}
      \hline \tabulartitle  
      Etat & Avancement & \ce{LiC6} &+& \ce{FePO4} &\ce{<=>}& 6\ce{C} &+& \ce{LiFePO4} \\ \hline  
      Initial & $x=0$ & 14 & & 31 & & $0$ & & 0 \\ \hline 
      Intermédiaire & $x$ & $14-x$ & & $31-x$ & & $6x$ & & $x$ \\ \hline
      Final & $x_{max}$ & $14-x_{max}$ & & $31-x_{max}$ & & $6x_{max}$ & & $x_{max}$ \\ \hline
    \end{tabular}}
    
    \Par
    
    On voit que $n_{LiC_6}<n_{FePO_4}$ va être le réactif limitant, donc\linebreak $x_{max}=14$ mol. Quand on atteint $x = x_{max}$, la réaction est finie et la batterie s’arrête.
    \item $q_{max}=\mathrm{Nombre\ électrons\ produits} \times \mathrm{charge\ d'un\ électron}$ \\
	$q_{max}=N(e^-)\times e=n(e^-)\times N_A\times e$ \\
	Or d’après la demi-équation redox, on a autant d’électrons produits que de $LiC_6$ consommés, donc $n(e^-)=n(LiC_6)$ et : 
	\[ q_{max}=x_{max}\times N_A\times e=14\times 6,02\cdot 10^{23}\times 1,6\cdot 10^{-19}=1,3\cdot 10^6 C \]
	\item On compare des valeurs dans la même unité.
	\[ q_D = 45\ \mathrm{Ah} = 45\times 3,6\cdot 10^3 = 1,6\cdot 10^5\ \mathrm{C} \]
	\[ q_{max}=1,3\cdot 10^6 \ \mathrm{C}=\frac{1,3\cdot 10^6}{3,6\cdot 10^3}=361 \ \mathrm{Ah} \]
$q_{max}>q_D$ donc la batterie a largement la capacité nécessaire pour démarrer la voiture.
    

\end{questions}

\end{corrigebb}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\begin{exobb}{Four à céramique -- 5 points}{Centres étrangers 1, 2023}{3}{60} \label{exoBB4}

Pour obtenir des objets en céramique, il faut les placer à l’intérieur d’un four adapté. Les objets 
sont introduits dans le four à température ambiante, chauffés progressivement jusqu’à 
atteindre 1000°C (phase 1) et maintenus à cette température pendant une durée précise pour 
obtenir une céramique réussie (phase 2).

L’objectif de cet exercice est d’évaluer la consommation de gaz d’un four lors des deux phases 
de la cuisson.

\subsubsectionnn{Document 1 : le Four}

Une fois allumé, un brûleur à propane est placé devant l’entrée en bas du four. Les flammes jaillissent à l’intérieur sous une plaque de protection sur laquelle sont placées les pièces à cuire.

L’intérieur du four est fabriqué en briques réfractaires, dotées d’une grande résistance thermique.

Au sommet du four, une cheminée permet d’évacuer l’air et les vapeurs.

\textit{Caractéristiques du four : }
\begin{itemize}
	\item Capacité thermique massique : $c_f=800$ J.K$^{-1}$.kg$^{-1}$
	\item Masse du four : $m_f=120$ kg
	\item Résistance thermique du four : $R_{th}= 0,6$ K.W$^{-1}$ = $0,6^\circ$C.W$^{-1}$
\end{itemize}

\subsubsectionnn{Document 2 : bouteille de propane}

Pour la cuisson, on utilise du propane, gaz combustible, dont les caractéristiques sont les 
suivantes :
\begin{itemize}
	\item Masse molaire du propane : $ M=44,1$ g.mol$^{-1}$
	\item Énergie molaire libérée lors de la combustion du propane : $E_n=2004$ kJ.mol$^{-1}$
\end{itemize}

\textit{Rappels :}
\begin{itemize}
	\item $T(K)=\theta(^\circ \mathrm{C})+273,15$
	\item La variation de l’énergie interne $\Delta U$ d’un système incompressible de masse $m$ et de 
capacité thermique massique $c$, dont la température passe de $\theta_i$ à $\theta_f$, est donnée par 
la relation :
\[ \Delta U=m\times c \times (\theta_f-\theta_i). \]
\end{itemize}

\textit{Données :}
\begin{itemize}
	\item Le débit massique de gaz en sortie de bouteille, $D$, en g·h$^{-1}$, est la masse de gaz, en 
gramme, cédée par la bouteille durant 1 h.
	\item La résistance thermique est reliée au flux thermique par la relation : 
	\[ \Phi=\frac{\theta_{four}- \theta_{ext}}{R_{th}} \]
avec le flux $\Phi$ en watt et la différence de température ($\theta_{four}- \theta_{ext}$) entre le four et l’air extérieur, en K ou en $^\circ$C.
\end{itemize}

\subsectionnn{Partie A : durée de la mise en température du four}

On veut déterminer la quantité de gaz brûlée dans le four pour élever sa température de $\theta_i = 20$°C à $\theta_f = 1000$°C.

\begin{questions}
	\item Calculer la variation d’énergie interne $\Delta U$ du système {four} lorsque sa température 
passe de $\theta_i$ à $\theta_f$.
	\item Appliquer le premier principe de la thermodynamique au système {four} et en déduire 
la valeur de la quantité d’énergie $Q$ reçue par le système par transfert thermique.
\end{questions}

Lors de la phase de chauffe, la combustion du gaz dégage une quantité de chaleur $Q_A$ supérieure à $Q$ car 33 \% de la quantité $Q_A$ est perdue lors de la chauffe.

\begin{questions}
\setcounter{enumi}{2}
	\item Montrer que la quantité d’énergie thermique $Q_A$ que doit fournir la combustion du gaz 
a pour valeur $Q_A = 1,4\times10^8$ J.
	\item Déduire des questions précédentes la valeur de la masse $m_g$ de gaz nécessaire pour 
atteindre la température $\theta_f$.
	\item En supposant que, pour cette phase, le débit du gaz en sortie de bouteille est constant 
et vaut $D = 1250$ g.h$^{-1}$, déterminer la valeur de la durée $\Delta t_A$ nécessaire pour que la 
température du four atteigne la valeur souhaitée.
\end{questions}

\subsectionnn{Partie B : maintien en température}

Une fois la température de 1000°C atteinte, la combustion du propane est maintenue pour que le four reste à cette température $\theta_{four} = 1000$°C pendant la durée $\Delta t_B=20$ min. Le lieu où se trouve le four (milieu extérieur) demeure en permanence à la température $\theta_{ext}=20$°C.

On note $Q_B$ la quantité de chaleur reçue par le système {four}, due à la combustion du propane durant la durée $\Delta t_B$, pour compenser les pertes thermiques vers le milieu extérieur.

\begin{questions}
\setcounter{enumi}{5}
	\item Citer les trois modes de transfert thermique possibles du four vers le milieu extérieur.
\end{questions}

Le constructeur du four indique une résistance thermique de $R_{th} = 0,60$ K·W$^{-1}$.

\begin{questions}
\setcounter{enumi}{6}
	\item Calculer la valeur du flux thermique $\Phi$ entre le système {four} et le milieu extérieur lorsque le four est maintenu à $\theta_{four} = 1000$°C.
\end{questions}

Le four est maintenu à cette température pendant la durée $\Delta t_B=20$ min. 

\begin{questions}
\setcounter{enumi}{7}
	\item Montrer que la valeur de l’énergie $Q_B$ nécessaire pour maintenir constante la température du four pendant cette durée est proche de 2,0 MJ.
	\item En déduire la valeur de la masse de gaz minimale $m_{min}$ qui doit être consommée pendant cette phase de maintien de la température du four à $\theta_{four} = 1000$°C.
\end{questions}

\subsectionnn{Partie C : comparaison des énergies}

\begin{questions}
\setcounter{enumi}{9}
	\item Comparer la valeur de l’énergie $Q_A$ nécessaire pour la mise en température avec celle de l’énergie $Q_B$ nécessaire pour maintenir le four à température. En tirer une conclusion pratique dans la vie quotidienne lorsque l’on a plusieurs cuissons différentes au four à réaliser.
\end{questions}

\end{exobb}

\begin{corrigebb}
\begin{questions}
	\item Pour le chauffage de $\theta_i$ à $\theta_f$, on a, avec la formule rappelée :
	\[ \Delta U = m_f\times c_f\times (\theta_f-\theta_i)=120\times 800 \times (1000-20)=94,1\cdot 10^6\ \mathrm{J}. \]
	\item Le premier principe de la thermodynamique énonce : $\Delta U = W+Q$. Or à volume constant $W=0$ (pas de travail de force non conservative sur le système), donc :
	\[ \Delta U=Q=94,1\cdot 10^6\ \mathrm{J}. \]
	\item En prenant en compte la chaleur perdue lors de la chauffe, on obtient : 
	\[ Q=0,67\times Q_A \implies Q_A=\frac{Q}{0,67}=\frac{94,1\cdot 10^6}{0,67}=1,4\cdot 10^8\ \mathrm{J}. \]
	\item $Q_A$ est fournie par la combustion de $n_g$ moles (ou $m_g$ kilogrammes) de propane, donc :
	\[ Q_A=n_gE_n=\frac{m_g}{M}E_n \;,\]
	d'où : $m_g=\dfrac{M\times Q_A}{E_n}=\dfrac{44,1\cdot 10^{-3}\times 1,4\cdot 10^8}{2004\cdot 10^3}=3,1$ kg.
	
	Il faut brûler $m_g=3,1$ kg de propane pour atteindre $\theta_f$.
	
	\item On cherche la durée $\Delta t_A$ nécessaire pour que la masse $m_g$ de propane soit brûlée dans le four, donc :
	\[ \Delta t_A=\frac{m_g}{D}=\frac{3,1}{1250\cdot 10^{-3}}=2,48\ \mathrm{h}. \]
	\item Les échanges thermiques entre le four et le milieu extérieur peuvent se faire selon 3 modes : par conduction, par convection, ou par radiation.
	
	\item On reprend simplement la formule donnée :
	\[ \Phi=\frac{\theta_{four}- \theta_{ext}}{R_{th}}=\frac{1000-20}{0,60}=1,6\cdot10^3 \mathrm{W}. \]
	
	\item On remarque que le flux $\Phi$ est homogène à une puissance, donc une énergie par un temps. Ainsi, on obtient $Q_B$ avec :
	\[ Q_B=\Phi \Delta t_B= 1,6\cdot10^3\times (20\times 60)=1,9\cdot 10^6\ \mathrm{J}\approx 2,0\ \mathrm{MJ}.\]
	
	\item On reprend la formule obtenue dans la question 4 : 
	\[ m_{min}=\frac{M\times Q_B}{E_n}=\frac{44,1\cdot 10^{-3}\times 1,9\cdot 10^6}{2004\cdot 10^3}= 4,2\cdot 10^{-2}\ \mathrm{kg}.\]
	On a donc besoin de $m_{min}=42$ g de propane pour maintenir la température pendant $\Delta t_B$. On remarque que c'est très inférieur à la masse de propane nécessaire à la montée en température.
	
	\item Comme pour les masses de propane nécessaires, on remarque que\linebreak $Q_A \gg Q_B$, il faut beaucoup plus d'énergie pour porter le four à sa température de fonctionnement, que pour la maintenir à température. Ainsi, on peut conclure que si l'on a plusieurs choses à chauffer, il vaut mieux garder le four chaud, plutôt que de l'éteindre et de le rallumer entre chaque cuisson. Bien sûr, ceci n'est vrai que si le temps entre les cuissons n'est pas trop long et que notre four est assez bien isolé thermiquement. 
\end{questions}
\end{corrigebb}

\onglet 
\AfficheCorrigeBB
