\chapter{Mouvement\\et interactions}

\section{Introduction}

La mécanique est la discipline qui analyse les mouvements des corps ainsi que les forces ou actions à l'origine de ces mouvements.

Dans ce chapitre, nous analyserons deux types d’interactions : la gravitation (qui explique la chute des objets ou le mouvement des planètes) et l’électrostatique (à l’origine des attractions ou répulsions entre charges).

Pour décrire ces interactions à distance, nous utiliserons la notion de champ (gravitationnel ou électrostatique), un outil clé pour comprendre comment une force s’exerce à distance.

Ensuite, nous définirons le vecteur vitesse et apprendrons à déterminer graphiquement ses variations. Nous verrons enfin que la variation du vecteur vitesse est liée à la résultante des forces appliquées.


\section{Interactions, forces et champs}

    \begin{exointro}{Lycée Victor Hugo, Colomiers}
 On étudie le noyau d'un atome d'hélium $_2^3\he$ comportant deux protons (notés $A$ et $B$) et un neutron (noté $C$). On modélise ces
    particules par des sphères de rayon $r$ placées comme l'indique la figure suivante:
    
    \Par
    
    \Illustration{019_champs_523}
    
    \vspace*{-1.5em}
    \Break
    \be
        \item
        \be
            \item Exprimer puis calculer la valeur de la force de gravitation $\vec{F}_g$ exercée par le proton $A$ sur le proton $B$.
            \item Cette force est-elle attractive ou répulsive ?
            \item Représenter cette force sur la figure, sans souci d'échelle.
        \ee
       
        \item
        \be
            \item Exprimer puis calculer la valeur de la force électrostatique $\vec{F}_e$ exercée par le proton $A$ sur le proton $B$.
            \item Cette force est-elle attractive ou répulsive ?
            \item Représenter cette force sur la figure, sans souci d'échelle.
        \ee
        
        
        \item Comparer les valeurs de ces deux forces. Que peut-on en conclure ?
        \item
        \be
            \item Pourquoi les deux interactions, gravitationnelle et électrique, ne permettent pas d'expliquer la cohésion du noyau d'hélium ?
            \item Comment expliquer alors la cohésion du noyau d'hélium ?
        \ee
    \ee
    
    Données :
    \bi
        \item charge élémentaire : $e=1,60.10^{-19}\text{ C}$ ;
        \item masse d'un nucléon : $m=1,673.10^{-27}\text{ kg}$ ;
        \item rayon d'un nucléon : $r=1,2.10^{-6}\text{ nm}$ ;
        \item constante de la loi de Coulomb : $k=9,0.10^9\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$ ;
        \item constante de gravitation universelle : $G=6,67.10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.
    \ei
    
    \end{exointro}
   
    Cette section a pour but de présenter deux des quatre interactions fondamentales: l'interaction \textit{gravitationnelle} et l'interaction \textit{électrostatique}, qui sont à l'origine des forces du même nom. Par ailleurs, la notion de champ sera introduite. 	
    
    \subsection{Interaction gravitationnelle\\ et interaction électrostatique}
    
\subsubsection{Interaction gravitationnelle entre deux masses ponctuelles}

On considère deux corps~A et~B, suffisamment petits pour que
l'on puisse les considérer comme ponctuels. Les \index{Masse}masses de ces
corps sont respectivement $m_A$ et $m_B$, et ils sont
séparés par une distance~$d$.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{020_08c_gravcours01}
\figcaption{Force exercée par la masse ponctuelle~A sur la masse ponctuelle~B.}
\end{center}
}

Alors le corps~A exerce sur le corps~B une force
$\vec F_{A/B}$, appelée force gravitationnelle, colinéaire au
vecteur $\gvec{AB}$, 
dirigée de~B vers~A, et dont la valeur est donnée par la \emph{loi de la gravitation universelle} :
\[F_{A/B}=\frac{{\cal G}\times m_A\times m_B}{d^2}.\] 

Il s'agit d'une force exercée sans contact entre les masses~A et~B.

Dans cette expression,
${\cal G}$ est une constante, appelée constante de la
\index{Gravitation universelle}gravitation universelle. Dans les
unités du Système International, elle vaut :
\[{\cal G}=6{,}67\times 10^{-11}\mbox{~S.I.}\]
On en déduit immédiatement que la force exercée par~B sur~A est,
en intervertissant les indices~A et~B.

\begin{aretenir}
\[F_{B/A}=\frac{{\cal G}\times m_B \times m_A}{d^2}=F_{A/B}\]
\end{aretenir}

Nous retrouvons ainsi le \index{Principe de l'action-réaction}principe de l'action-réaction, sur une force qui
s'exerce à distance.

En outre, cette force est dirigée de A vers B, comme représenté
sur la figure page ci-contre.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{021_08c_gravcours02}
\figcaption{Les deux forces sont de valeurs égales et de sens opposés.}
\end{center}
}

\Par

L'expression de l'\index{Interaction gravitationnelle}interaction
gravitationnelle peut se résumer ainsi : \og Entre deux corps massifs
ponctuels, il existe une action à distance appelée force gravitationnelle,
attractive et parallèle à la droite joignant les deux corps, dont la
valeur est proportionnelle au produit des masses des deux corps et
inversement proportionnelle au carré de leur distance. \fg
\begin{Exemple}
il existe une interaction gravitationnelle entre la Terre
et la Lune, entre la Terre et le Soleil, mais aussi entre la
Lune et le Soleil, entre votre main droite et votre main gauche
ou entre ce livre et vous. L'interaction gravitationnelle est
universelle, en ce sens qu'elle intervient dans toute paire
de corps de masse non nulle. Toutefois, elle est généralement
beaucoup trop faible pour être détectable, et il faut des
masses considérables pour qu'elle joue un rôle non négligeable.
Ainsi, dans la vie quotidienne, la seule masse avec laquelle nous
interagissons de manière notable est la Terre ; 
\end{Exemple}

\subsubsection{Interaction électrostatique entre deux charges ponctuelles}

On considère à nouveau deux corps~A et~B, suffisamment petits pour que
l'on puisse les considérer comme ponctuels mais on s'intéresse cette fois au fait qu'ils portent des charges électriques $q_A$ et $q_B$ (exprimées en coulomb: C). Ils sont
séparés par une distance~$d$.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{022_FElectrostat}
\figcaption{Force exercée par la charge ponctuelle~A sur la charge ponctuelle~B.}
\end{center}
}

\Par

Alors le corps~A exerce sur le corps B une force
$\vec F_{A/B}$, appelée force électrostatique, colinéaire au
vecteur $\gvec{AB}$, dont la valeur est donnée par la \emph{loi de Coulomb} :
\[F_{A/B}=\frac{k \times |q_A| \times |q_B|}{d^2}.\] 


Cette force est attractive si $q_a$ et $q_b$ sont de signes contraires (comme dans l'exemple ci-dessus) et répulsive si $q_a$ et $q_b$ sont de même signe.

Il s'agit d'une force exercée sans contact entre les corps~A et~B.


\begin{aretenir}[loi de Coulomb]
\[F_{A/B}=\frac{k \times |q_A| \times |q_B|}{d^2}.\]
\end{aretenir}


Dans cette expression, $k$ est une constante, appelée constante de Coulomb. Dans les unités du Système International, elle vaut :
\[k=9{,}0\times 10^{9}\ \rm N \cdot m^2 \cdot C^{-2}.\]

De la même manière que précédemment, la force exercée par~B sur~A est égale à celle exercée par~A et~B (principe de l'action-réaction).

\Par

L'expression de l'\index{Interaction électrostatique}interaction
électrostatique peut se résumer ainsi : \og Entre deux charges ponctuelles, il existe une action à distance appelée force électrostatique,
attractive ou répulsive, et parallèle à la droite joignant les deux corps, dont la
valeur est proportionnelle au produit des charges des deux corps et
inversement proportionnelle au carré de leur distance. \fg

\begin{Exemple}
il existe une interaction électrostatique entre le noyau d'un atome (chargé positivement) et un électron (chargé négativement) du même atome. Cette force attractive maintient l'électron à proximité du noyau.
\end{Exemple}
    
    
    \subsection{Notion de champs}
	
	\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le cours sur les champs en vidéo.]{notion de champs}{https://media.prepamath.fr/IL1PCch02CrsChamps}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.3){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1PCch02CrsChamps}}}
\vspace*{-15pt}
	
    \subsubsection{Champs scalaires et champs vectoriels}

    \begin{defin}
    On appelle \emph{champ} une grandeur physique définie en chaque point de l'espace.
    \end{defin}
    Un champ peut être \emph{scalaire}, c'est-à-dire caractérisé uniquement par sa valeur numérique. Par exemple :
    \bi
        \item la température $T$ est un champ scalaire : elle est caractérisée, en chaque point de l'espace, par une valeur numérique ;
        \item la pression $P$ est un champ scalaire, aussi caractérisé par une valeur numérique en chaque point de l'espace (par exemple, plus
        l'altitude augmente, plus la pression atmosphérique diminue).
    \ei
    Un champ peut aussi être vectoriel, par exemple dans le cas de l'écoulement de l'air : en tout point de l'espace la vitesse de l'air est
    caractérisée par sa valeur, mais également par sa direction ou son sens (qui peuvent varier d'un point à l'autre) ; c'est le champ de
    vitesse.
    \begin{defin}
    Un champ est \emph{uniforme} lorsqu'il ne varie pas d'un point à l'autre de l'espace.
    \end{defin}
	
    \subsubsection{Rappel sur les vecteurs}
	
    \begin{defin}
    Un \emph{vecteur} $\vec{V}$ est une grandeur caractérisée par :
    \bi
        \item sa direction (horizontale, verticale,\ldots) ;
        \item son sens (vers la droite, la gauche,\ldots) ;
        \item sa norme $V=\norme{\vec{V}}$ (taille du vecteur).
    \ei
    \end{defin}
    \enlargethispage*{5em}
    Deux vecteurs unitaires $\vi$ et $\vj$ (c'est-à-dire de normes : ${\norme{\vi}=\norme{\vj}=1}$) et une origine $O$ suffisent généralement à
    définir un repère $\mc{R}=\paren{O,\,\vi ,\,\vj}$.
    
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-4cm}
Un vecteur $\vec{V}$ est décrit, dans $\mc{R}$, par ses composantes $V_x$ et $V_y$ qui s'obtiennent par projection orthogonale de $\vec{V}$  sur les axes $(Ox)$ et $(Oy)$ de vecteurs unitaires directeurs $\vi$ et $\vj$. $\vec{V}$ admet ainsi deux représentations.
\[\vec{V}=V_x\,\vi +V_y\,\vj\text{ et }\vec{V}=\vcoord{V_x}{V_y}. \]
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{35mm}
\Illustration{023_champs_001}
\end{minipage}
    
    
    
    
    
    Soit $\phi$ l'angle que fait $\vec{V}$ avec l'un des axes (par exemple l'axe $Ox$). Les composantes de $\vec{V}$ peuvent s'exprimer en
    fonction de ${V=\norme{\vec{V}}}$ et de $\phi$ :
    \bi
        \item représenter les extrémités $O$ et $P$ de $\vec{V}$ ;
        \item projeter le point $P$ sur l'axe par rapport auquel l'angle $\phi$ est défini ($Q$ est ici ce projeté) ;
 
        \item définir, dans le triangle rectangle $(OPQ)$:
        \[
        \left\{\begin{array}{l}
        \cos\phi =\cfrac{OQ}{OP}=\cfrac{OQ}{V}\\[6pt]
        \sin\phi =\cfrac{PQ}{OP}=\cfrac{PQ}{V}
        \end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
        OQ=V\,\cos\phi\\[6pt]
        PQ=V\,\sin\phi
        \end{array}\right.
        \]
        
        \Illustration{024_champs_002}
        
        \item repérer les composantes de $\vec{V}$ et les identifier à $\pm V_x$ et $\pm V_y$ :
        \[V_x=OQ=V\,\cos\phi\text{ et }V_y=PQ=V\,\sin\phi.
        \]
    \ei
    
    
    \begin{attention}
    La dernière identification doit tenir compte des signes de $V_x$ et $V_y$. On pourra, par exemple, trouver :\par
    \Twopic{7.44}{
    \[\left\{\begin{array}{l}
    V_x=OQ=V\,\cos\phi\\[5pt]
    V_y=-PQ=-V\,\sin\phi
    \end{array}\right.
    \]
    }{2.56}{024_champs_003}
    \end{attention}
    
  
    
    Rappelons quelques propriétés des vecteurs :
    
    \bi
        \item \emph{Addition des vecteurs.}
        
        \Par
        
        La somme $\vec{U}=\vec{V}+\vec{W}$ s'obtient, graphiquement, en joignant l'extrémité \og avec flèche\fg d'un vecteur à l'extrémité
        \og sans flèche\fg de l'autre vecteur (en déplaçant, au besoin les deux vecteurs) :
        
        \Par
        
        \Illustration{024_champs_004}
        
        \Par
        
        Analytiquement, l'addition de deux vecteurs se traduit par l'addition de leurs composantes :
        
        \[\vec{V}+\vec{W}=\vcoord{V_x}{V_y}+\vcoord{W_x}{W_y}=\vcoord{V_x+W_x}{V_y+W_y}.
        \]
        
        \Par
        
        \item \emph{\'Egalité de deux vecteurs.}
        
        \Par
        
        Deux vecteurs sont égaux si leurs composantes, associées aux mêmes vecteurs de base, le sont :
        
        \[\vec{U}=\vec{V}\Rightarrow\vcoord{U_x}{U_y}=\vcoord{V_x}{V_y}\Leftrightarrow
            \left\{\begin{array}{l}
            U_x=V_x\\ U_y=V_y
            \end{array}\right..
        \]
        
        \Par
        
        \item \emph{Multiplication par un scalaire.}
        
        \Par
        
        Soit $\alpha$ un scalaire et soit $\vec{U}$ un vecteur. La multiplication d'un vecteur par un scalaire se traduit par la multiplication
        de toutes les composantes du vecteur par le scalaire :
        
        \Par
        
        \[\alpha\vec{U}=\alpha\vcoord{U_x}{U_y}=\vcoord{\alpha U_x}{\alpha U_y}.
        \]
        
        
        L'identité $\vec{V}=\alpha\,\vec{U}$ signifie que :
        
        \Par
        
       \[
       \norme{\vec{V}}=\module{\alpha}\times\norme{\vec{U}};\]
       
       \Par
       
       $\vec{U}$ et $\vec{V}$ sont \emph{colinéaires} : les deux vecteurs ont la même direction (si ${\alpha >0}$, ils ont aussi le même sens, mais si ${\alpha <0}$, ils sont de sens contraire).

\Par


        \item \emph{Norme d'un vecteur.}
        
        \Par
        
        \[\vec{U}=\vcoord{U_x}{U_y}\Rightarrow\norme{\vec{U}}=\sqrt{U_x^2+U_y^2}.
        \]
    \ei
    

    \enlargethispage*{5em}
    
    \subsection{Exemples de champs vectoriels}
    
    \subsubsection{La gravitation}
	
    \paragraph{Champ de pesanteur}
	
    À la surface d'un astre (notamment de la Terre), un point matériel $M$, de masse $m$, est soumis à un champ de pesanteur $\vec{g}$,
    à l'origine du poids $\vec{P}$ de $M$ :
    \[\vec{P}=m\times\vec{g}\text{ avec }
        \left\{\begin{array}{l}
        \norme{\vec{P}}\text{ en newton (N)}\\
        m\text{ en kilogramme}\\
        \norme{\vec{g}}\text{ en }\text{N}\cdot\text{kg}^{-1}
        \end{array}\right.
    \]
    \newpage
    Le champ de pesanteur $\vec{g}$ est localement caractérisé par :\Par
    \begin{minipage}{8cm}
    \bi
        \item sa direction : verticale (qui passe à proximité du centre de la Terre) ;
        \item son sens : vers le sol ;
        \item son intensité, qui dépend de l'endroit où elle est\\ mesurée :
        \vspace*{-0.5em}
        \begin{center}\begin{tabular}{p{5cm}@{}l}
        à l'équateur \dotfill & $g\simeq 9,78\text{ N}\cdot\text{kg}^{-1}$\\
        aux pôles \dotfill & $g\simeq 9,83\text{ N}\cdot\text{kg}^{-1}$\\
        en moyenne, sur Terre \dotfill & $g\simeq 9,81\text{ N}\cdot\text{kg}^{-1}$
        \end{tabular}\end{center}
    \ei    
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{2.6cm}
    \includegraphics{026_champs_014}
    \vspace*{7ex}~\par 
    \end{minipage}

    Rappelons que, dans l'expression de $\vec{P}$, la masse $m$ d'un corps est indépendante de l'endroit où se trouve ce corps ; seul $\vec{g}$
    en dépend.
    \begin{aretenir}
    Pour calculer la masse $m$ d'un corps dont on connaît le volume $V$ et la masse volumique $\mu$, on applique la règle :
    \[m=\mu\times V\text{ avec }
    \left\{\begin{array}{l}
    m\text{ en kg}\\
    V\text{ en m}^{3}\\
    \mu\text{ en kg}\cdot\text{m}^{-3}
    \end{array}\right.
    \]
    \end{aretenir}
    
    
    On rappelle quelques volumes élémentaires qu'il faut connaître :\Par
    \begin{center}\begin{tabular}{|c|c|c|}
    \hline\tabulartitle
    Sphère & Parallélépipède rectangle & Cylindre\\
    \hline
    \Formuleex{026_champs_015}{1.79cm}{0} & 
	\Formuleex{026_champs_016}{3cm}{0} & 
	\Formuleex{026_champs_017}{2.68cm}{0}\\
    $V=\dfrac{4}{3\strut}\,\pi r^3$ & $V=a\times b\times c$ & $V=\pi r^2\times L$\\
    \hline
    \end{tabular}\end{center}
	
    \paragraph{Champ de gravitation}
	
    Un point $O$ de masse $M$, crée en un point $P$ de l'espace, tel que :
    \[
    OP=r\text{ et }\gvec{OP}=r\,\vec{u}
    \]
    un champ de gravitation :\par
    \Twopic{7.64}{
    \[
    \gvec{\cal G}=-G\,\frac{M}{r^2}\,\vec{u}\text{ avec }
    \left\{\begin{array}{l}
    \norme{\vec{\mc{G}}}\text{ en N}\cdot\text{kg}^{-1}\\
    M\text{ en kg}\\
    r\text{ en m}
    \end{array}\right.
    \]\par
    }{3.86}{026_champs_018}
    où $G=6,67.10^{-11}\usi$ est la constante de gravitation universelle.\par
    Si le point $P$ possède une masse $m$, il est alors soumis à une force de gravitation :
    \[\vec{F}_g=m\,\vec{\mc{G}}=-G\,\frac{Mm}{r^2}\,\vec{u}.
    \]
    \vspace*{-1.5em}
    \begin{Remarque}
    le signe négatif qui apparaît dans l'expression de $\vec{F}$ rend compte du caractère exclusivement attractif de la force de gravitation.
    \end{Remarque}\par
    \Twopic{7.4}{
    De même, un corps sphérique de masse $M$ (par exemple un astre) et de centre $O$ produit en un point $P$, extérieur à l'astre, le même
    champ de gravitation que si une masse ponctuelle $M$ était placée en $O$ :
    }{4.1}{027_champs_019}
    \[\vec{\mc{G}}=-G\,\frac{M}{r^2}\,\vec{u}.  \]
    À la surface de la Terre, de rayon moyen $R_T$ et de masse $M_T$, un point de masse $m$ est soumis à un poids ${\vec{P}=m\,\vec{g}}$ qui s'identifie presque
    à la force de gravitation (la rotation de la Terre,\ldots génère quelques petites différences entre ces forces) :
    \[\vec{P}\simeq\vec{F}_g\Rightarrow m\,\vec{g}\simeq -G\,\frac{M_Tm}{R_T^2}\,\vec{u}
        \Rightarrow\vec{g}\simeq -G\,\frac{M_T}{R_T^2}\,\vec{u}.
    \]
	
    \subsubsection{Champ électrostatique dans un condensateur}
	
    \begin{defin}
    Un \emph{condensateur plan} est constitué de deux armatures planes, conductrice de l'électricité, parallèles, de surface très grande par rapport à la
    distance $d$ qui les sépare.
    \end{defin}
    \Illustration{027_champs_020}
    Un condensateur peut être relié aux bornes d'un générateur électrique ; soit $A$ l'armature du condensateur connectée à la borne positive
    du générateur et soit $C$ celle reliée à la borne négative du générateur.\par
    À l'intérieur d'un condensateur plan ainsi branché, et loin de ses bords, un champ électrique $\vec{E}$ prend naissance. Il est caractérisé par :
    \bi
        \item sa direction : celle des lignes de champ, perpendiculaires aux armatures ;
        \item son sens : de l'armature $A$ vers l'armature $C$ ;
        \item son intensité, inversement proportionnelle à $d$ et proportionnelle à la tension $U_{AC}$ qui règne entre ses bornes :
        \[E=\norme{\vec{E}}=\frac{U_{AC}}{d}\text{ avec }
        \left\{\begin{array}{l}
        E\text{ en V}\cdot\text{m}^{-1}\\
        U_{AC}\text{ en V}\\
        d\text{ en m}
        \end{array}\right.
        \]
    \ei
    Une particule portant la charge $q$, placée entre les armatures du condensateur plan, se trouve soumise à une force électrostatique :
    \[\vec{F}_e=q\,\vec{E}\text{ avec }
    \left\{\begin{array}{l}
    F_e=\norme{\vec{F}_e}\text{ en N}\\
    q\text{ en C}\\
    E=\norme{\vec{E}}\text{ en V}\cdot\text{m}^{-1}
    \end{array}\right.
    \]
    Soient deux charges $q_A$ et $q_B$ placées respectivement aux points $A$ et $B$. La force $\vec{F}_{A/B}$ que $A$ exerce sur $B$ suit la
    \emph{loi de Coulomb} :\par
    \Twopic{7.65}{
    \[\vec{F}_{A/B}=k\times\frac{q_A\,q_B}{AB^2}\,\vec{u}.
    \]
    }{3.35}{028_champs_509} 
    
    
    Elle est caractérisée par :
    \bi
        \item son point d'application : le point $B$ ;
        \item sa direction : la droite $AB$ de vecteur directeur unitaire $\vec{u}$ ;
        \item son sens : de $B$ vers $A$ si les charges sont de signe opposé (attraction) ou de $A$ vers $B$ si les charges sont de même signe
        (répulsion) ;
        \item son intensité :
        \[F_{A/B}=\norme{\vec{F}_{A/B}}=k\times\frac{\module{q_A}\times\module{q_B}}{AB^2}\text{ où }
            k=9.10^{9}\text{ kg}\cdot\text{m}^3\cdot\text{A}^{-2}\cdot\text{s}^{-4}
        \]
        désigne la constante de la loi de Coulomb.
    \ei
    \begin{Remarque}
    réciproquement, le point $B$ exerce sur la charge placée en $A$ la force :
    \[\vec{F}_{B/A}=-k\times\frac{q_A\,q_B}{AB^2}\,\vec{u}=-\vec{F}_{A/B}.
    \]
    \end{Remarque}

\enlargethispage*{3em}

    \begin{solintro}
    \be
        \item
        \be
            \item La distance qui sépare les deux protons de masses ${m_A=m_B=m}$ valant ${AB=2\,r}$, l'intensité de la force gravitationnelle que le proton $A$ exerce sur le proton $B$ vaut :
            \begin{eqnarray}
            F_g
            & = & G\times\frac{m_A\,m_B}{AB^2}=G\times\frac{m^2}{(2\,r)^2}\text{ avec }r=1,2.10^{-15}\text{ m}\notag\\
            & = & 6,67.10^{-11}\times\frac{\paren{1,673.10^{-27}}^2}{\paren{2,4.10^{-15}}^2}=3,2.10^{-35}\text{ N}\label{2410121}
            \end{eqnarray}
            \Break
            \item La force gravitationnelle qui s'exerce entre deux corps est toujours attractive.
            
            
            \item Comme l'indique la figure 1, la force $\vec{F}_g$ est dirigée selon la droite $(AB)$, de $B$ vers $A$ (car la gravitation
            attire $B$ vers $A$) :
            
            \Par
            
            \Illustration{029_champs_524}
        \ee

        
        \item
        \be
            \item La loi de Coulomb fournit la valeur de la force électrostatique que le proton $A$ (de charge ${q_A=e}$) exerce sur le proton
            (de charge ${q_B=e}$) :
            \begin{eqnarray}
            F_e
            & = & k\times\frac{\module{q_A}\times\module{q_B}}{AB^2}=k\times\frac{e^2}{(2\,r)^2}\text{ où }r=1,2.10^{-15}\text{ m}\notag\\
            & = & 9.10^9\times\frac{\paren{1,6.10^{-19}}^2}{\paren{2,4.10^{-15}}^2}=40\text{ N}.\label{2410122}
            \end{eqnarray}
            
            \item Puisque les protons possèdent des charges de même signe (charges positives), la force électrostatique $\vec{F}_e$ subie par
            $B$ le repousse de $A$.
            \item La direction de la force $\vec{F}_e$ se confond avec la droite $(AB)$ et son sens va de $A$ vers $B$ pour rendre compte de la
            nature répulsive de cette interaction (\emph{cf}. figure 2).
        \ee
        \item Les valeurs numériques (\ref{2410121}) et (\ref{2410122}) obtenues pour les interactions gravitationnelle et électrostatique
        conduisent à :   
        \[\frac{F_e}{F_g}=\frac{40}{3,2.10^{-35}}\simeq 1,2.10^{36}\Rightarrow F_e\simeq 1,2.10^{36}\times F_g.
        \]
        
        Cette disproportion entre $F_e$ et $F_g$ justifie que l'on néglige l'interaction gravitationnelle devant l'interaction électrostatique à
        l'échelle nucléaire (la force électrostatique est environ un milliard de milliards de milliards de milliards de fois plus intense que
        la force gravitationnelle).
        \item
        \be
            \item Compte tenu de ce qui précède, l'interaction électrostatique devrait s'imposer entre les deux protons du noyau. Sa nature
            répulsive ne permet alors pas d'expliquer pourquoi les deux protons restent confinés dans le noyau atomique.
            \item Seule l'interaction forte, par sa nature attractive, explique la cohésion du noyau d'hélium.
        \ee
    \ee
    \end{solintro}
	

	
	\section{Mouvement d'un système et vecteur vitesse}


\begin{exointro}{Lycée Honoré de Balzac, Mitry-Mory}
Un mobile, attaché à un fil élastique , dont l'autre extrémité est liée à un point fixe $O$, est lancé sur une table à
coussin d'air horizontale.

Les positions du centre d'inertie $G$ du mobile sont enregistrées à intervalles de temps consécutifs égaux à ${50\:\text{ms}}$.
Sur l'enregistrement est reportée la direction du fil tendu lorsque le centre d'inertie $G$ occupe la position
$A_6$.

\Par

\Illustration{030_newt_013}

\Par

\be
	\item Calculer la valeur de la vitesse de $G$ en $A_5$ et $A_7$.
	\item Représenter, à l'échelle $1\Ucm$ pour $5.10^{-2}\Uvitesse$, les vecteurs vitesse $\vec{v}_5$ et $\vec{v}_7$ en
$A_5$ et $A_7$.
	\item Représenter le vecteur variation de vitesse ${\Delta\vec{v}_6=\vec{v}_7-\vec{v}_5}$ du vecteur vitesse
du centre d'inertie du mobile.
	\item Comparer $\Delta\vec{v}_6$ à la résultante $\vec{F}$ des forces appliquées au mobile, lorsque $G$ se trouve
en $A_6$. Le résultat de cette étude est-il conforme à la deuxième loi de Newton ?
\ee
\end{exointro}

Le but de cette section est de se familiariser avec la notion de vecteur vitesse ainsi que d'avoir une première approche d'une loi fondamentale dans l'étude des mouvements : la deuxième loi de Newton.

\subsection{Définition du vecteur vitesse}
La vitesse d'un corps peut être représentée par un vecteur $\vec{v}$ : la norme $\left \|\vec{v} \right \|$ du vecteur correspond à la valeur de la vitesse  (en $\Uvitesse$ par exemple) et la flèche indique la direction de la vitesse. 

\newpage

Dans le cas général, ce vecteur n'est pas constant au cours du temps : il peut changer de norme et/ou de direction. 

À deux dimensions, on peut écrire $\vec{v}$ sous la forme de ses deux composantes avec les notations suivantes:
\[
\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}\text{ ou }\vec{v} = v_x \vec{u_x} + v_y \vec{u_y}
\]
où $\vec{u_x}$ et $\vec{u_y}$ sont deux vecteurs unitaires selon l'axe des $x$ et l'axe des $y$.

\subsection{Détermination graphique d'un vecteur vitesse}

Supposons que l'on souhaite déterminer la vitesse d'un corps à partir de sa trajectoire :

\Illustration{031_Trajec1}

Cette trajectoire représente la position du point au cours du temps. Deux points successifs correspondent toujours au même intervalle de temps $\Delta t$ (ici 40 ms).


Pour évaluer la vitesse en un point donné M (on choisira pour notre exemple le point $\rm M_3$), on procède de la manière suivante : 
\bi
\item le vecteur  cherché est sur la parallèle à $\rm M_2M_4$ passant par $\rm M_3$.
\item sa norme est égale à $\dfrac{{M_2M_3} + {M_3M_4}}{2 \cdot \Delta t}$.
\ei


\begin{attention}
Les valeurs retenues pour $\rm M_2M_3$ et $\rm M_3M_4$ doivent correspondre au déplacement réel de l'objet et non à la distance directement mesurée avec la règle.\\
Il ne faut pas oublier de prendre en compte le facteur d'échelle.
\end{attention}

Dans notre cas, en prenant en compte l'échelle,  on trouve : $\rm M_2M_3 = 2,2$ cm et $\rm M_3M_4 = 1,9$ cm.

 La valeur de la vitesse est donc $v = \dfrac{(2,2+1,9).10^{-2}}{2\times 40. 10^{-3}} = 0,51\Uvitesse$.

\Par

\Illustration{031_Trajec2}

\Par

\begin{attention}
Cette détermination permet d'avoir une valeur approchée du vecteur vitesse qui sera d'autant meilleure que l'intervalle de temps entre deux points sera court. Une manière exacte de procéder, utilisant la notion de dérivée, sera vue en classe de Terminale.
\end{attention}

\subsection{Détermination du vecteur variation de vitesse}

\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez en vidéo le tracé des vecteurs vitesse et accélération.]{tracé des vecteurs vitesse et accélération}{https://media.prepamath.fr/IL1PCch02CrsTraceVect}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.4){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1PCch02CrsTraceVect}}}
\vspace*{-15pt}

Il est utile de savoir déterminer le vecteur variation de vitesse au point $\rm M_3$.
Pour cela on détermine tout d'abord $\vec{v_2}$ et $\vec{v_4}$ comme précédemment. Le vecteur variation de vitesse $\vec{\Delta v}$ correspond à $\vec{\Delta v} = \vec{v_4} - \vec{v_2}$.

Graphiquement, il faut donc tracer $\vec{v_4}$ à partir du point $\rm M_3$, puis le vecteur $-\vec{v_2}$ au bout du vecteur précédemment tracé. Le vecteur $\vec{\Delta v}$ correspond au vecteur issu de $\rm M_3$ qui aboutit au bout du dernier vecteur tracé:

\Illustration{032_Trajec3}


Si on connaît les composantes de $\vec{v_2}$ et $\vec{v_4}$  on peut également obtenir $\vec{ \Delta v}$ par le calcul :
\[
\vec{ \Delta v} = \begin{pmatrix} \Delta v_x \\ \Delta vy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_{4x}-v_{2x} \\ v_{4y}-v_{2y} \end{pmatrix}.
\]



\subsection{Lien entre la résultante des forces appliquées et la variation du vecteur vitesse}

Tout d'abord, rappelons que l'on appelle résultante des forces la somme vectorielle de l'ensemble des forces qui s'exercent sur un corps.


Si l'on procède avec soin lorsque l'on construit le vecteur variation de vitesse et que les points de la trajectoire sont suffisamment proches, on s'aperçoit qu'il existe une relation entre ce vecteur et la résultante $\vec{F}$ des forces qui s'appliquent sur le corps considéré :
\bi
 \item ces deux vecteurs sont colinéaires 
 \item leurs normes sont proportionnelles et le coefficient de proportionnalité est lié à la masse de l'objet considéré.
\ei
 
 
On peut résumer ces deux points en une égalité vectorielle:
$$\vec{F} = m \cdot \frac{\vec{\Delta v}}{\Delta t}$$
 
Ce résultat constitue une première approche de la deuxième loi de Newton qui sera vue en détail en classe de Terminale. 


\begin{solintro}
\be
        \item Si ${\tau =50\text{ ms}=0,05\Us}$ désigne le temps séparant l'enregistrement de deux positions successives,
les vitesses en $A_5$ et $A_7$ sont définies par :
\[v_5=\frac{A_4A_5+A_5A_6}{2\tau}\text{ et }v_7=\frac{A_6A_7+A_7A_8}{2\tau}.\]
Or, on constate que 
\[A_4A_6=A_6A_8=1,5\text{ cm}=1,5.10^{-2}\Um\]
 en raison de quoi :
\[ v_5=v_7=\frac{1,5.10^{-2}}{2\times 0,05}=0,15\Uvitesse. \]

        \item \`A l'échelle ${1\;\text{cm}\;\leftrightarrow\; 5.10^{-2}\Uvitesse}$, une vitesse de $1\Uvitesse$ serait représentée
par une flèche de longueur : \[\dfrac{1}{5.10^{-2}}=20\text{ cm}.\]
 C'est pourquoi les vecteurs $\vec{v}_5$ et $\vec{v}_7$
sont figurés par des flèches de longueur ${0,15\times 20=3\text{ cm}}$.\par
En outre, ces vecteurs s'appliquent aux points $A_5$ pour $\vec{v}_5$ et $A_7$ pour $\vec{v}_7$ et leurs directions sont
respectivement celles de $\gvec{A_4A_6}$ et $\gvec{A_6A_8}$ :
\Par
\Illustration{033_newt_014}
\Break
        \item Le vecteur $\Delta\vec{v}_6=\vec{v}_7-\vec{v}_5=\vec{v}_7+\left( -\vec{v}_5\right)$ s'obtient en effectuant la somme
vectorielle de $\vec{v}_7$ et du vecteur ${\vec{v}'_5=-\vec{v}_5}$ opposé à $\vec{v}_5$ :
\Par
\Illustration{034_newt_015}


        \item Le mobile est soumis à son poids $\vec{P}$, la réaction $\vec{R}$ de la table et la tension $\vec{T}$ du fil. Or, le
mouvement se produit dans le plan de la table, ce qui signifie aussi que ${\vec{P}+\vec{R}=\vec{0}}$, et la résultante des
forces vaut alors :
\[\vec{F}=\underbrace{\vec{P}+\vec{R}}_{\vec{0}}+\vec{T}=\vec{T}.\]
Donc $\vec{F}$ est colinéaire à $\gvec{A_6O}$ comme l'est $\vec{T}$. Or, la construction géométrique précédente a révélé
que $\Delta\vec{v}_6$ et $\gvec{A_6O}$ étaient aussi colinéaires, ce qui confirme la deuxième loi de Newton : $\Delta\vec{v}_6$
a la même direction et le même sens que la résultante $\vec{F}$ des forces qui s'exercent sur le mobile.
\ee
\end{solintro}

