\thumb
\begin{qcm}{Testez vos connaissances}{20}
\begin{questions}

\item À l’échelle microscopique, la pression d’un gaz est due :

\choix Aux chocs des molécules contre les parois du récipient\\
\choix À la masse des molécules\\
\choix À la couleur du gaz\\
\choix Aux chocs des molécules entre elles

%2
\item La température d’un gaz est liée :\resetchoix

\choix À la vitesse moyenne des molécules\\
\choix À la masse des molécules\\
\choix À la couleur du gaz\\
\choix À la pression atmosphérique

%3
\item La loi de Mariotte s’applique :\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix À pression constante &
\choix À température constante\\
\choix À volume constant &
\choix À énergie constante
\end{tabularx}

%4
\item  Sans calcul, identifier la seule pression des quatre ci-dessous
	qui vaut $3$~atm. On rappelle que la pression atmosphérique
        vaut approximativement $10^5$~Pa, ou $760$~millimètres de mercure.

\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $76$~mm~Hg & \choix $760$~mm~Hg &\choix $\numprint{4000}$~hPa & \choix $\numprint{2280}$~mm~Hg 
\end{tabularx}

%5
\item  Lorsque, à température constante, le volume d'un gaz augmente, sa pression:\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix diminue &\choix augmente
\end{tabularx}

% 6
\item  Le protocole expérimental est strictement identique dans
	les expériences schématisées ci-dessous. 
\begin{center}
\includegraphics{066_219_09e_qcmpression}
\end{center}
	Que peut-on en déduire ? \resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $P_1=P_2$ & \choix $P_1<P_2$ & \choix $P_1>P_2$ 
\end{tabularx}

% 7
\item Un gaz occupe un volume de 2 L sous une pression de 1 bar. Si on comprime le gaz à 0,5 L à température constante, sa nouvelle pression est :\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix 0,25 bar & \choix 0,5 bar & \choix 2 bar & \choix 4 bar
\end{tabularx}

% 8
\item La pression au fond d’un lac de 50 m de profondeur ($\rho = \numprint{1000}\text{ kg/m}^3$, $g=10\text{ m/s}^2$, $P_0=1$ bar) est :\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix 1 bar & \choix 5 bar & \choix 6 bar & \choix 10 bar
\end{tabularx}

% 9
\item Un réservoir contient un gaz sous une pression de $5\times10^5$ Pa. La surface interne du couvercle du réservoir est de $0,2$ m$^2$.

 Quelle est la force pressante exercée par le gaz
sur le couvercle ?\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix 100 N & \choix \numprint{1000} N & \choix \numprint{10000} N & \choix \numprint{100000} N
\end{tabularx}

% 10
\item Un tube en U contient du mercure ($\rho=\numprint{13600}$ kg/m$^3$) sur une hauteur de 76 cm.

\Par

\begin{minipage}{35mm}
\includegraphics{067_03_tube-en-U}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-35mm}
Quelle est la pression hydrostatique exercée par le mercure sur l’air ? \resetchoix

%\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix \numprint{10132} Pa \\[0.5em]
\choix \numprint{101325} Pa \\[0.5em]
\choix \numprint{1013250} Pa \\[0.5em]
\choix \numprint{10132500} Pa
%\end{tabularx}

\Par

\textit{Donnée:} $g=9,81$ m/s$^2$

\vspace*{5mm}
\end{minipage}

\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}

\item Réponse \choix[a]. La pression d’un gaz résulte des \textit{chocs des molécules} contre les parois du récipient.

\item Réponse \choix[a]. La température est une mesure de la vitesse d’agitation moyenne des molécules.

\item Réponse \choix[b]. La loi de Mariotte décrit la relation $P \times V = $ constante et se vérifie à température constante.

\item  Réponse \choix[d]. Aucune des trois premières réponses ne peut convenir.

\item  Réponse \choix[a]. Voir le cours.

\item  Réponse \choix[b]. Le dénivelé de liquide est plus important lorsque la pression de l'air est~$P_2$.

\item Réponse \choix[d]. $P_1V_1 = P_2V_2 \Rightarrow 1\times2 = p_2\times0,5 \Rightarrow P_2=4$ bar.

\item Réponse \choix[c]. 1 bar = \numprint{100000} Pa donc:
\[
P=P_0+\rho g h=\numprint{100000}+(\numprint{1000}\times10\times50) = \numprint{600000}\text{ Pa}=6\text{ bar}.
\]

\item Réponse \choix[d]. La force pressante $F$ est donnée par la relation: $F=P \times S$, où:
\begin{itemize}
\item $P=5\times10^5$ Pa
\item $S=0,2$ m$^2$ (surface du couvercle).
\end{itemize}
Donc, 
\[
F=5\times10^5\times0,2=\numprint{100000}\text{ N}.
\]

\item Réponse \choix[b]. La pression hydrostatique $P$ exercée par le mercure sur l’air est donnée par la relation :
\[
P = P_{\text{vide}} + \rho \times g\times h
\]
où
\begin{itemize}
\item $P_{\text{vide}}=0$ Pa,
\item $\rho=\numprint{13600}$ kg/m$^3$ (masse volumique du mercure),
\item $g=9,81$ m/s$^2$,
\item $h=0,76$ m (hauteur de mercure).
\end{itemize}
Donc,
\[
P = 0 + \numprint{13600}\times9,81\times 0,76 \approx \numprint{101325}\text{ Pa}.
\]
\begin{Remarque}
cette pression correspond à \textit{1 atmosphère}, ce qui explique pourquoi le mercure est souvent utilisé dans les baromètres.
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2

\begin{exo}{Pression sur un piston}{Lycée Les Fauvettes, Cannes}{1}{10}
On considère un gaz~G dans une enceinte fermée en haut
par un piston de masse $m=10$~kg et de surface $S=50$~cm$^2$. L'enceinte 
se trouve dans le vide, comme indiqué sur la figure ci-dessous.
\begin{center}
\includegraphics{067_219_09e_gaz02}
\end{center}
\begin{questions}
        \item  Quel est le bilan des forces  exercées sur le piston ?
        \item  En déduire la pression du gaz~G.
\end{questions}

\Par

{\em Donnée :}
intensité de la pesanteur : $g=10$~N.kg$^{-1}$.
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
        \item  Les forces exercées sur le piston sont (voir figure ci-dessous) :

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{079_234_09e_gaz02sol}
\figcaption{Bilan des forces exercées sur le piston.}
\end{center}
}
       

 \begin{itemize}
        \item La force pressante $\gvec F$ exercée par le gaz intérieur à 
        l'enceinte. Elle est dirigée vers le haut et sa valeur est
        $F=p\times S$ où $p$ est la pression du gaz~G.
        \item Le poids $\gvec P$ du \index{Piston}piston, qui est dirigé vers le bas, et
        dont la valeur est $P=m\times g$.
        \end{itemize}

        \item  Le piston est en équilibre donc les forces qui s'exercent
        sur lui se compensent. On peut donc écrire :
\[p\times S=m\times g\mbox{~~~soit :~~~}p=\frac{m\times g}{S}.\]
        L'application numérique donne :
\[p=\frac{10\times 10}{50\times 10^{-4}}=2{,}0\times 10^{4}
        \mbox{~Pa}=20\mbox{~kPa}.\]
%       Il faut faire attention à la conversion des centimètres carré
%       en mètres carré : $1\mbox{~cm}^2=10^{-4}\mbox{~m}^2$ (il y 
%       dix mille centimètres carré dans un mètre carré).
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 3

\begin{exo}{Forces pressantes sur une fenêtre}{Lycée Frédéric Ozanam, Lille}{1}{10}
\begin{questions}
        \item  Quelle est la force exercée sur une fenêtre
        de ${\rm 80,000\;cm\times 100,00\;cm}$ par l'air extérieur, de pression
        $P=\numprint{101325}$~Pa ? 

        \item  Quelle est la force exercée par l'air intérieur, supposé
        à la même pression que l'air extérieur ?

        \item  Pourquoi la fenêtre ne casse-t-elle pas ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\enlargethispage*{3em}
\begin{questions}
        \item  La force s'obtient par application
        de la formule :
\[\mbox{~force~}=\mbox{~pression~}\times\mbox{~surface~}.\]
        Ici, la surface vaut $S=0{,}8\times 1=0{,}8$~m$^2$, donc la
        force vaut :
\[F=P\times S=101\,325\times 0{,}8=81\,060\mbox{~N}.\]
        Notons que cette force correspond au poids d'une masse d'environ huit
        tonnes !

        \item  La force se déduit par la même formule ; les valeurs numériques
        étant inchangées, la valeur de la force est la même qu'à
        la question précédente :
\[F=81\,060\mbox{~N}.\]

        \item  La fenêtre ne casse pas parce qu'elle est pressée de la
        même manière sur ses deux faces. Si les pressions ne sont pas
        exactement égales, il y a risque de rupture. Dans ce cas,
        pour qu'elle puisse résister, il faut que la fenêtre soit
        petite (on minimise ainsi $S$) et épaisse. C'est la raison pour
        laquelle les hublots d'avion sont beaucoup plus petits que les
        fenêtres d'un train, par exemple.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 4

\begin{exo}{Ballons de baudruche}{Lycée Sévigné, Marseille}{2}{5}
Deux ballons de baudruche identiques sont gonflés
avec deux gaz différents, respectivement de l'hélium et du
dioxygène, avec des pressions identiques. Les deux ballons ont
donc une forme et un volume identiques au départ. Il sont
soigneusement ficelés, et pourtant il se dégonflent au bout
de quelques jours. On remarque que le ballon gonflé d'hélium
se dégonfle plus rapidement que l'autre.
\begin{questions}
        \item  Quelle est la nature microscopique des forces pressantes agissant à l'intérieur des ballons ?
       \item  Comment interpréter le fait que les ballons se dégonflent ?
       \item  Quel renseignement peut-on en déduire concernant la taille
        relative d'une molécule de dioxygène et d'un atome d'hélium ?
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
        \item  La force pressante à l'intérieur
        du ballon résulte, à l'échelle microscopique, des chocs
        incessants des molécules du gaz contenu dans le ballon sur ses
        parois.

        \item  Les ballons se dégonflent car les molécules du gaz contenu
        à l'intérieur arrivent à s'échapper peu à peu, par {\em porosité}
        à travers ses parois, et également au niveau de l'endroit
        où ils sont ficelés.

        \item  Le ballon gonflé à l'hélium se dégonfle plus vite que le
        ballon gonflé au dioxygène : les atomes d'hélium arrivent
        à sortir du ballon plus facilement. Ils sont donc vraisemblablement
        plus petits que les molécules de dioxygène.
        
        {\em On notera qu'il y a une autre raison à cela (qui est
        toutefois hors-programme) : les atomes d'hélium ont une vitesse
        d'agitation plus grande que les molécules d'air (environ $2{,}7$
        fois plus), et donc heurtent les parois plus fréquemment, ce qui
        les aide à sortir plus vite.
%       Toutefois cette plus grande vitesse
%       ne rend pas compte à elle seule de la plus grande rapidité avec
%       laquelle se dégonfle un ballon gonflé à l'hélium, et la taille
%       relative
%       des particules constitue une raison valable pour
%       rendre compte de cette observation.
        }
\end{questions}
\end{corrige}


%%% 5

\begin{exo}{Pointe de punaise}{Lycée Henri IV, Paris}{2}{10}
On considère une punaise en laiton (représentée ci-dessous), composée d'une pointe dont l'extrémité peut être considérée comme un disque de rayon\linebreak $r=0{,}1$~mm, et d'une tête plate assimilable à un disque de rayon $R=4$~mm.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{068_221_09e_nepunaise}
\figcaption{Schéma de la punaise et agrandissement de la pointe.}
\end{center}
}

On exerce sur la tête de la punaise une force de valeur $F=50$~N, tout
en appliquant la pointe sur un mur.

\begin{questions}
\item Quelle masse aurait un poids de valeur égale à cette force ? 
\item Quelle pression exerce-t-on sur la tête de la punaise ?
\item Quelle pression est exercée sur la pointe ? Que pouvez-vous en conclure ?
\end{questions}


\begin{minipage}[t]{2cm}
{\em Données :}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\dimexpr\linewidth-2cm}
\begin{itemize}
\item La surface d'un disque de rayon $r$ est $\pi r^2$.
\item Intensité de la pesanteur : $g=10$~N.kg$^{-1}$.
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On applique la relation $P=mg$. Cela donne :
\[m=\frac Pg = \frac{50}{10}=5{,}0\mbox{~kg}.\]
Une masse de $5{,}0$~kg aurait un poids égal à la force exercée.
\item La pression est égale à la force pressante divisée par la surface.
La surface de la tête de la punaise est :
\[S=\pi R^2=3{,}14\times (4\times 10^{-3})^2=5\times 10^{-5}\mbox{~m}^2.\]
La pression exercée sur la tête de la punaise est donc :
\[P=\frac{50}{5\times 10^{-5}}=10^6\mbox{~Pa}.\]
\item On considère la punaise en équilibre (ou en mouvement de
  translation rectiligne uniforme si elle s'enfonce dans le
  mur). Les forces qui s'exercent sur elle se compensent
  donc. Ce sont la force exercée par l'opérateur sur la tête de la
  punaise, et la réaction du mur sur la pointe. Il est parfaitement
  justifié de négliger le poids de la punaise, au vu de l'ordre de
  grandeur obtenu à la première question.

La force exercée sur la pointe a donc pour valeur $F=50$~N.

La pression correspondante s'en déduit par :
\[P'=\frac{F}{\pi r^2}.\]
\newpage
{\em Application numérique :}
\par
\[P'=\frac{50}{3{,}14\times (10^{-4})^2}\approx 1{,}6\times 10^9\mbox{~Pa}.\]
Cette pression représente environ $\numprint{16000}$~atmosphères. Elle est considérable. Ceci
permet à la pointe de percer les matériaux dans lesquels on veut enfoncer la punaise.
\par
\textit{Note :} On peut vérifier ce calcul en constatant que le rayon de la pointe
est $40$~fois plus petit que celui de la tête, donc la pression au niveau de la
pointe doit être $40^2=1\,600$~fois plus grande qu'au niveau de la tête.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 6

\begin{exo}{Force pressante}{Lycée Hector Berlioz, Vincennes}{2}{10}
Une masse $m=240$~kg est posée sur une surface d'aire $A_1=3,00$~m$^2$.

\begin{questions}
\item Quelle pression, supposée uniformément répartie, exerce-t-elle sur cette surface ?
\item Cette pression est-elle beaucoup plus grande que la \index{Pression atmosphérique}pression atmosphérique ?
\item Cette masse est à présent posée sur une surface d'aire $A_2=120$~cm$^2$. Quelle
est la pression exercée sur cette surface ? Comment se compare-t-elle à la pression 
atmosphérique ?
\end{questions}

\Par

{\em Donnée :}
$g=10$~N.kg$^{-1}$.
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La force exercée sur la surface est :
\[F=mg=240\times 10=2{,}4\times 10^3\mbox{~N}.\]
La pression s'en déduit par :
\[P=\frac F{A_1}=\frac{2\,400}{3}=800\mbox{~Pa}.\]
\item Cette pression est considérablement plus faible que la pression atmosphérique.
\begin{attention}
La pression est ici obtenue en pascals. Dans cette unité, la pression atmosphérique
vaut environ cent mille.
\end{attention}

\item Convertissons la valeur de cette nouvelle surface dans l'unité du Système International, le mètre carré. On a :
\[1\mbox{~m~}=10^2\mbox{~cm~~~~~donc :~~~~~}1\mbox{~m}^2=10^4\mbox{~cm}^2
\mbox{~~~~~donc :~~~~~1}\mbox{~cm}^2=10^{-4}\mbox{~m}^2.\]
La surface vaut donc :
\[A_2=120\times 10^{-4}=1{,}2\times 10^{-2}\mbox{~m}^2.\]
La pression exercée sur la surface est donc :
\[P'=\frac{F}{A_2}=\frac{2\,400}{1{,}2\times 10^{-2}}=2{,}0\times 10^5\mbox{~Pa}.\]
Cette pression vaut environ deux fois la pression atmosphérique.
\end{questions}
\end{corrige}



%%% 7

\begin{exo}{Mobile autoporteur}{Lycée Madeleine Danielou, Rueil-Malmaison}{2}{10}
\enlargethispage*{3em}
Un \index{Mobile autoporteur}mobile autoporteur cylindrique, de rayon
$R=5$~cm et de masse\linebreak $m=400$~g, se déplace sur un coussin
d'air sur un plan horizontal, et sa trajectoire est rectiligne
et uniforme.
\begin{questions}
        \item Nommer et calculer les forces exercées sur le mobile ?
        (on supposera que, exception faite du coussin d'air sur sa face
        inférieure, il se trouve dans de l'air à la pression standard
        $P_{0}=101\,325$~Pa).
       \item  En déduire la pression du coussin d'air sur la face inférieure.
\end{questions}

\Par

{\em Donnée :} intensité de la pesanteur : $g=10$~N.kg$^{-1}$.

\begin{Remarque}
il faut auparavant avoir étudié le chapitre sur le
  \index{Principe d'inertie}principe d'inertie pour résoudre cet
  exercice.
\end{Remarque}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item  On a représenté sur la figure ci-dessous les forces s'exerçant sur le mobile autoporteur.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{082_239_09e_autoportsol01}
\figcaption{Bilan des forces exercées sur le mobile autoporteur.}
\end{center}
}

Le mobile est soumis :
        \begin{itemize}
        \item À son poids $\vec P$, de valeur $P=mg=0{,}4\times 10=4$~N,
        et dirigé vers le bas.
        \item À la force pressante sur sa face supérieure $\vec F_s$,
        dirigée vers le bas. Cette force a pour valeur $F_s=\pi R^2P_{0}$,
        car $\pi R^2$ est la surface de la face supérieure du mobile.
        \item À la force pressante sur sa face inférieure $\vec F_i$,
        dirigée vers le haut. Cette force a pour valeur $F_i=\pi R^2P_c$,
        où $P_c$ est la pression du coussin d'air sur la face inférieure.
        \item Enfin, le mobile est soumis aux forces pressantes sur
        sa face latérale. Deux forces s'exerçant sur les parties
        diamétralement opposées s'annulent deux à deux (comme illustré
        sur la figure par les forces $\vec F_1$ et $\vec F_2$). Ainsi,
        la somme vectorielle des forces pressantes latérales est nulle.
        \end{itemize}

\item  Le mobile a une trajectoire rectiligne uniforme. D'après
        le cours de mécanique, cela signifie qu'il est soumis à des
        forces qui se compensent, ou encore que la somme vectorielle
        des forces qui s'exercent sur lui est nulle.\\  
        On en déduit la relation : $P+F_s=F_i$, c'est-à-dire :
        \[\pi R^2 P_c=\pi R^2 P+mg\;,\]
        soit encore : \hfil $P_c=P+\dfrac{mg}{\pi R^2}$.
        
        L'application numérique donne (on prend soin de convertir $R$
        en mètres au préalable) :\enlargethispage*{\baselineskip}
\[P_c=101\,325+\frac{4}{\pi 0{,}05^2}=101\,834\mbox{~Pa}.\]
        Cette pression est assez peu différente de la pression atmosphérique
        standard. On notera qu'une surpression aussi faible que $0{,}5$~\%
        atmosphère est suffisante pour soulever le mobile autoporteur.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 8

\begin{exo}{Calcul de pression}{Lycée Ampère, Lyon}{2}{10}
\enlargethispage*{5em}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-45mm}
On considère le gaz~G dans l'enceinte de la figure ci-contre. Cette enceinte est fermée par un \index{Piston}piston de masse $m$ et de surface \mbox{$S=100$~cm$^2$}. 
L'ensemble est en équilibre, et se trouve dans l'air ambiant
(${P=\numprint{101325}}$~Pa).
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{40mm}
\includegraphics{069_223_09e_gaz01}
\end{minipage}

\begin{questions}
        \item  Quelles sont les forces exercées sur le piston ?
        Caractériser chacune d'elle.

        \item  Sachant que la pression du gaz~G est ${P_G=1{,}11\times
            10^5}$~Pa, déduire la masse du piston.
\end{questions}

{\em Donnée :}
intensité de la pesanteur : $g=10$~N.kg$^{-1}$.
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
        \item  Les forces exercées sur le
        piston sont (voir la figure ci-dessous) :

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{083_240_09e_gaz01sol}
\figcaption{Bilan des forces exercées sur le piston.}
\end{center}
}

        \begin{itemize}
        \item La force pressante $\vec F_i$ exercée par le gaz intérieur à 
        l'enceinte. Elle est dirigée vers le haut et sa valeur est
        $F_{i}=P_G\times S$ où $P_G$ est la pression du gaz~G.
        \item La force pressante $\vec F_e$ exercée par le gaz extérieur à 
        l'enceinte. Elle est dirigée vers le bas et sa valeur est
        $F_{e}=P\times S$ où $P$ est la pression de l'air ambiant.
        \item Le poids $m\times g$ du piston, qui est dirigé vers le bas.
        \end{itemize}

        \item  Le piston est en équilibre donc les forces qui s'exercent
        sur lui se compensent. On peut donc écrire :
        \[F_i=F_e+mg\;,\]
        soit :
\[P_G\times S=P\times S+m\times g\mbox{~~~soit
    :~~~}m=\frac{(P_G-P)\times S}{g}.\]
        L'application numérique donne :
\[m=\frac{(1{,}11\times 10^5-1{,}01\times 10^5)\times 10^{-2}}{10}=10\mbox{~kg}.\]
Il faut faire attention à la conversion des centimètres carré
en mètres carré : $1\mbox{~cm}^2=10^{-4}\mbox{~m}^2$ (il y 
dix mille centimètres carré dans un mètre carré).
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 9

\begin{exo}{Unité de pression}{Lycée Carnot, Dijon}{2}{10}
Un fabricant automobile désire spécifier la pression nominale des 
pneumatiques d'une automobile. Dans le manuel de celle-ci réservé aux 
pays anglo-saxons, on trouve l'indication, pour les roues avant:
$32$~\index{PSI}PSI. Ce dernier sigle est une unité de pression qui correspond à 
\textit{Pound per Square Inch} (livre par pouce carré). 
\begin{questions}
\item Cette unité de pression utilise un abus de langage très 
  répandu. Lequel ?
\item Quelle est, dans les unités du Système International, la surface 
  $S$ correspondant à un pouce carré ?
\item Quelle est le poids d'une masse d'une livre~?
\item Quelle est, en pascals, la pression correspondant à $1$~PSI~?
\item Quelle indication le fabricant de voitures doit-il donner dans le 
  manuel destiné aux pays où les pressions de pneumatiques s'expriment 
  couramment en bars~?
\end{questions}
\begin{minipage}[t]{2cm}
{\em Données :}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\dimexpr\linewidth-2cm}
\begin{itemize}
\item Une livre vaut $\numprint{0,45359237}$~kg.
\item L'intensité de la pesanteur vaut $g=9{,}81$~N.kg$^{-1}$.
\item Un pouce mesure $25{,}4$~mm.
\item Pression atmosphérique: $P_\mathrm{atm}=\numprint{101325}$~Pa. 
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{exo}


\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item Une pression est une force par unité de surface. Or ici, l'unité 
    de pression fait référence à une masse (la livre) par unité de 
    surface (le pouce carré). Il y a donc confusion entre masse et 
    force (le poids d'une masse donnée). C'est exactement le même type 
    d'abus de langage que dans la formulation \textit{incorrecte} \og 
    tel objet pèse $20$~kg \fg. 
  \item La surface est:
\[S=0{,}0254^2=6{,}45\times 10^{-4}\mbox{~m}^2.\]
\item Le poids est donné par:
\[F=mg=0{,}454\times 9{,}81=4{,}45\mbox{~N}.\]
On note $F$ ce poids (c'est une force) pour ne pas le confondre avec 
la pression $P$ que l'on introduit à la réponse suivante. 
\item On en déduit la pression correspondant à $1$~PSI, qui est égale 
  au \textit{poids} d'une masse de une livre divisé par une surface 
  d'un pouce carré:
\[P=\frac FS=\frac{4{,}45}{6{,}45\times 10^{-4}}=6{,}90\times 10^3\mbox{~Pa}.\]
Nous avons donc la correspondance:
\[1\mbox{~PSI}=6{,}90\times 10^3\mbox{~Pa}.\]
\item La pression des pneumatiques est donnée par:
\[P=32\times 6{,}90\times 10^3=2{,}2\times
10^5\mbox{~Pa}=2{,}2\mbox{~bars}.\]
Le fabricant de voitures doit indiquer une pression nominale de $2{,}2$~bars. 
  \end{questions}
\end{corrige}

%%% 10

\begin{exo}{Plongeur en apnée}{Lycée Pierre de Fermat, Toulouse}{2}{10}
On considère un athlète effectuant une descente en apnée jusqu'à une 
profondeur $h=32$~m. Il prend son inspiration à la surface juste avant 
son plongeon. L'air contenu dans ses poumons occupe alors un volume $v_0=5{,}0$~L. 
\begin{questions}
\item Quelle est la pression de l'eau au point le plus profond de sa descente~?
\item En déduire le volume occupé par l'air dans ses poumons lorsqu'il atteint ce point. 
\end{questions}
\begin{minipage}[t]{2cm}
{\em Données :}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\dimexpr\linewidth-2cm}
\begin{itemize}
\item Masse volumique de l'eau: $\rho=1{,}0$~g.cm$^{-3}$.
\item Intensité de la pesanteur: $g=9{,}8$~N.kg$^{-1}$.
\item Pression atmosphérique: $P_\mathrm{atm}=\numprint{101325}$~Pa. 
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{exo}


\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item Nous écrivons la relation fondamentale de l'hydrostatique 
    entre la surface (où la pression vaut $P_\mathrm{atm}$) et le 
    point le plus profond de la plongée, où la pression vaut $P$. Elle 
    s'écrit donc:
\[P-P_\mathrm{atm}=\rho \times g \times h\;,\]
soit:
\[P=P_\mathrm{atm}+\rho \times g \times h.\]
\textit{Application numérique:}

Il faut convertir au préalable $\rho$ dans les unités du Système 
International:
$\rho = 1{,}0\times 10^3$~kg.m$^{-3}$. En définitive, nous avons:
\[P=\numprint{101325}+9{,}8\times 1{,}0\times 10^3\times 32=4{,}1\times10^5\mbox{~Pa}.\]
Nous gardons deux chiffres significatifs puisque c'est la précision 
avec laquelle sont données les indications de l'énoncé. 
\item La température corporelle du plongeur est constante, et la 
  température de l'air contenu dans ses poumons l'est par 
  conséquent. Nous pouvons donc lui appliquer la loi de 
  Boyle-Mariotte. 
Si on appelle $V$ le volume recherché, elle s'écrit:
\[P\times V=P_\mathrm{atm}\times V_0\;,\]
soit:
\[V=V_0\times \frac{P_\mathrm{atm}}{P}.\]
\textit{Application numérique:}
\[V=5{,}0\times\frac{\numprint{101325}}{\numprint{410000}}=1{,}2\mbox{~L}.\]
Là encore nous gardons deux chiffres significatifs. Nous constatons 
que l'air contenu dans les poumons du plongeur a considérablement 
réduit son volume. Les poumons du plongeur sont \og écrasés \fg par la pression de l'eau. 
  \end{questions}
\end{corrige}

%%% 11

\begin{exo}{Étude d'une seringue}{Lycée Ampère, Lyon}{2}{10}
On souhaite comprimer une seringue dont on bouche l'extrémité avec le doigt.
Initialement, le piston est à $l=10$~cm du fond. On souhaite l'amener à $l'=2$~cm du fond.
Pour ce faire, on pousse lentement sur le piston. La seringue et l'air qu'elle contient peuvent
donc être considérés comme étant à tout instant en équilibre thermique (voir illustration page suivante).

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{071_224_09e_neseringue}
\figcaption{Compression de l'air emprisonné dans la seringue.}
\end{center}
}


Quelle force $F_0$ l'opérateur doit-il exercer sur le piston ?

\Par

{\em Donnée :}
le rayon de la seringue est $r=5$~mm.
\end{exo}


\begin{corrige}
Puisque la température de l'air dans la seringue est constante, on
peut utiliser la loi de Boyle-Mariotte et écrire que
$P\times V=P'\times V'$, où $P$ est la pression initiale (qui est aussi la pression atmosphérique),
$V$ le volume initial de l'air emprisonné dans la seringue, et $P'$ et $V'$ les
valeurs finales de ces deux grandeurs.
En outre, entre la distance $l$ du piston au fond de la seringue et le volume $V$,
on a la relation suivante :
\[V=l\times S\;,\]
où $S$ est la surface du piston, si on néglige le volume du bout de la seringue.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{085_243_09e_neseringuesol}
\figcaption{Volume de l'air emprisonné dans la seringue.}
\end{center}
}

On peut donc écrire :
\[P'=\frac{P\times V}{V'}=P\times \frac{S\times l}{S\times l'}=P\times
  \frac{l}{l'}.\]
{\em Application numérique :}

On suppose que la pression atmosphérique est $P=1$~bar (compte-tenu
de la précision des données de l'énoncé, ce degré de précision est bien suffisant).
Nous avons donc :
\[P'=1\times \frac{10}{2}=5\mbox{~bars}=5\times  10^5\mbox{~Pa}.\]
La force pressante à appliquer sur le piston s'en déduit par :
\[F_0=P'\times S=P'\times \pi r^2=5\times 10^5\times 3{,}14\times (5\times 10^{-3})^2\approx 4\cdot10^1\mbox{~N}.\]
Notons qu'il s'agit d'une force qui correspond au poids d'un objet dont la masse est environ $4$~kg.
\end{corrige}

%%% 12

\begin{exo}{Bouteille d'oxygène}{Lycée Carnot, Dijon}{2}{15}
On considère une bouteille d'oxygène destinée à la plongée. Elle contient
de l'oxygène sous une pression de $6,00$~bars. Le rayon de cette bouteille est $r=5,00$~cm.
\begin{questions}
\item La bouteille est hors de l'eau. 
Calculer la \index{Force pressante}force pressante due à l'air ambiant sur le fond de la bouteille.
\item Calculer la force pressante due à l'oxygène contenu dans la bouteille, sur le
fond de celle-ci.
\item En déduire le bilan des forces pressantes sur le fond de la bouteille lorsqu'elle
est hors de l'eau.
\item Quelle est la force pressante due à l'eau, sur le fond de la bouteille, lorsque 
celle-ci se trouve à $50$~mètres de profondeur ?
\item En déduire le bilan des forces pressantes sur le fond de la bouteille, à cette profondeur.
\item Même chose à $100$~mètres de profondeur.


\begin{minipage}[t]{2cm}
{\em Données :}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\dimexpr\linewidth-2cm}
\begin{itemize} 
\item Intensité de la pesanteur : $g=10$~N.kg$^{-1}$.
\item Pression de l'air ambiant : $1\text{ bar}=10^5\text{ Pa}$.
\item Masse volumique de l'eau : $\rho=10^3$~kg.m$^{-3}$.
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
La force pressante exercée par l'air ambiant sur le fond de la bouteille est égale
à la pression ambiante multipliée par la surface du fond, soit :

\[F_{\rm amb}=P_{\rm amb}\times \pi r^2.\]
L'application numérique donne :
\[F_{\rm amb}=10^5\times 3{,}14\times (5\times 10^{-2})^2\approx 790\mbox{~N}.\]
Notons que nous avons tout d'abord converti la valeur de la pression en pascals.

\item La force pressante due à l'oxygène de la bouteille s'évalue par une expression
analogue. On obtient :
\[F_{\rm oxy}=6\times 10^5\times 3{,}14\times (5\times 10^{-2})^2\approx 4{,}71\times 10^3\mbox{~N}.\]
\item
Le bilan des  forces pressantes sur  le  fond de la bouteille  lorsque
celle-ci  est hors   de l'eau peut   s'obtenir à  partir  de la figure
suivante :

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{086_235_09e_neplongeesolun}
\figcaption{Bilan des forces pressantes sur le fond de la bouteille.}
\end{center}
}

La force résultante des forces pressantes est dirigée vers l'extérieur de la bouteille
et a pour valeur : 
$F=F_{\rm oxy}-F_{\rm amb}=4\,700-790\approx 3,9\cdot10^3$~N.

\item
Calculons    la   pression  $p'$    de  l'eau   à  la   profondeur 
$h=50$~mètres. 

En utilisant la relation fondamentale de l'hydrostatique,
nous avons :
\[p'-p=\rho\times g\times h\;,\]
ce qui nous donne :
\[p'=p+\rho\times g\times h=10^5+10^3\times 50\times 10=6\times 10^5\mbox{~Pa}=6,0\mbox{~bar}.\]

\begin{Remarque}
  il peut être utile de savoir que la pression de l'eau augmente d'un bar chaque fois que l'on descend de $10$~m. Ici elle augmente donc de $5$~bar et passe de $1$ à $6$~bar.
\end{Remarque}

La force pressante $F'$  due à l'eau sur le  fond de la bouteille  s'évalue comme précédemment.   

Puisque la   pression  est  de $6\times 10^5$~Pa,  nous
retrouvons le résultat de la deuxième question, soit :
\[F'=6\times 10^5\times 3{,}14\times (5\times 10^{-2})^2\approx 4{,}71\times 10^3\mbox{~N}.\]
\item
On voit que cette force pressante et celle de l'oxygène contenu dans la
bouteille s'annulent. La force résultante est donc de valeur nulle.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{087_236_09e_neplongeesoldeux}
\figcaption{Les forces pressantes sur le fond de la bouteille s'annulent.}
\end{center}
}
\item Un calcul similaire à celui de la question précédente indique
  que la  pression de l'eau vaut $p''=1{,}1\times 10^6\mbox{~Pa}=11\mbox{~bar}$. La force
pressante de l'eau est donc :
\[F''=1{,}1\times 10^6\times 3{,}14\times (5\times 10^{-2})^2\approx 8{,}64\times 10^3\mbox{~N}.\]
Le bilan des forces pressantes est cette fois dirigé vers l'intérieur de la bouteille
et vaut : $8\,600-4\,700=3\,900$~N.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{087_236_09e_neplongeesoltrois}
\figcaption{La force pressante exercée par l'eau est supérieure à la force pressante exercée par l'oxygène 
contenu dans la bouteille.}
\end{center}
}
\end{questions}
\end{corrige}


%%% 13

\begin{exo}{Profil de plongée}{Lycée Notre-Dame de Sion, Paris}{2}{15}
Un \index{Plongeur}plongeur prépare son immersion par l'étude du profil de plongée 
représentée page suivante (en fin d'énoncé).

{\em On suppose que la température est constante au cours de la plongée.}

\begin{questions}
\item Quelle est la durée totale $\Delta t$ de la plongée, incluant la 
  remontée~?
\item Quelle est la pression $P_A$ au point~A~? Justifier. 
\item La différence de pression $\Delta P$ entre deux points d'un 
  liquide est proportionnelle à la différence de profondeur $\Delta h$
  entre ces deux points. Le coefficient de proportionnalité est 
  $k=1{,}0\times 10^4$~Pa.m$^{-1}$. 
  \begin{questions}
  \item Quelle est la pression $P_B$ exercée sur le plongeur 
    lorsqu'il se trouve à la profondeur maximale~?
  \item La paume du plongeur a une surface 
    $S=30$~cm$^2$. Quelle est la valeur $F$ de la force pressante 
    $\vec F$ subie par la paume du plongeur à cette profondeur~?
  \item En admettant que la quantité d'air contenue dans les poumons 
    ne varie pas, quel est le volume de l'air contenu dans ses poumons 
    à cette profondeur sachant qu'en surface il occupe $V_A=7{,}5$~L~?
  \end{questions}

{\em Donnée :}
la pression atmosphérique vaut 
$P_{\rm atm}=1{,}0\times 10^5$~Pa. 

\begin{center}
\includegraphics{072_225_09e_2013-plongeur1}
\end{center}
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item La durée totale de la plongée est l'intervalle de temps qui 
    sépare l'immersion du plongeur et son retour à la surface, soit 
    $40$~minutes ($36$ minutes de plongée et $4$ minutes de remontée). 
  \item La pression au point~A est la pression atmosphérique, puisque 
    ce point se trouve à la surface de la mer. 
  \item 
\begin{questions}  
\item   On écrit:
\[\Delta P = k\Delta h\mbox{~~~soit~~~}P_B-P_A=k\Delta h,\]
où $\Delta h$ vaut ici $25$~m. 
On en déduit:
\[P_B=P_A+k\Delta h = 1{,}0\times 10^5+1{,}0\times 10^4\times 25=3{,}5\times 10^5\mbox{~Pa}.\]
\item On utilise la relation:
\[F = P\times S.\]
On convertit au préalable $S$ dans les unités du Système 
International:
\[S=30\mbox{~cm}^2 = 30\times (10^{-2})^2\mbox{~m}^2=3{,}0\times 10^{-3}\mbox{~m}^2.\]
On en déduit:
\[F = 3{,}5\times 10^5\times 3{,}0\times10^{-3}=1,1\times 10^3\mbox{~N}.\]
\item On utilise la loi de Boyle-Mariotte, qui dit que le produit $PV$
  (où $P$ est la pression du gaz et $V$ son volume) est constant à 
  température constante. On peut l'appliquer puisque l'on suppose ici 
  que la température est constante au cours de la plongée. On peut 
  donc écrire:
\[P_A\times V_A=P_B\times V_B\;,\]
où $V_A=7{,}5$~L est le volume  de l'air contenu dans les poumons du 
plongeur en surface, et où $V_B$ est le volume recherché. On a ainsi:
\[V_A=\frac{P_B}{P_A}V_B=\frac{1{,}0\times 10^5}{3{,}5\times 10^5}\times 7{,}5=2{,}1\mbox{~L}.\]
L'air contenu dans les poumons du plongeur n'occupe qu'un volume de 
$2{,}1$~L à la profondeur maximale. 
  \end{questions}
  \end{questions}
\end{corrige}

%%% 14

\begin{exo}{Lunettes de plongée}{Lycée Pierre de Fermat, Toulouse}{2}{15}
On considère des lunettes de plongée constituées d'un joint en 
caoutchouc, de deux verres circulaires de diamètre $5,0$~cm, et d'une 
attache. 

\begin{center}
\includegraphics{072_226_09e_2013-lunettep1}
\end{center}

\begin{questions}
\item Quelle est l'aire totale des verres de ces lunettes~?
\item Quelle est la force pressante totale exercée par l'air sur le côté 
  externe des verres, au niveau de la mer, avant la plongée~?
\item Quelle est la force pressante totale exercée par l'air sur le côté 
  interne des verres, au niveau de la mer, avant la plongée~?
\item Quelle est la force pressante exercée par l'eau sur le côté 
  externe des verres, à la profondeur $d=5$~m~?
\end{questions}
\begin{minipage}[t]{2cm}
{\em Données :}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\dimexpr\linewidth-2cm}
\begin{itemize}
\item Pression atmosphérique: $P_\text{atm}=1{,}0\times 10^5\mbox{~Pa}$.
\item Valeur du champ de pesanteur terrestre: $g=10$~N.kg$^{-1}$.
\item Masse volumique de l'eau: $\rho=1,0\cdot10^3$~kg.m$^{-3}$.
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{exo}


\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item Chaque verre a une aire donnée par:
    \[A=\pi\times r^2,\]
    où $r=5/2=2{,}5$~cm est le rayon du verre. L'application numérique 
    donne:
    \[A=\pi\times (2{,}5\times 10^{-2})^2=2{,}0\times 
    10^{-3}\mbox{~m}^2,\]
    donc l'aire totale des verres des lunettes vaut \mbox{$A'=2\times A=4{,}0\times 10^{-3}\mbox{~m}^2$}. 
  \item La force pressante totale exercée par l'air sur le côté 
    externe des verres, au niveau de la mer, avant la plongée, est 
    donnée par le produit de l'aire et de la pression atmosphérique:
    \[F=P_\text{atm}\times A'=1{,}0\times10^5\times 4{,}0\times 10^{-3}=4,0\cdot10^2\mbox{~N}.\]
  \item La force pressante exercée sur le côté interne des verres a 
    exactement même valeur ($400$~N) et direction que la force pressante exercée 
    sur le côté externe des verres, et un sens opposé. Les forces 
    pressantes interne et externe s'annulent par conséquent. 
  \item On utilise la loi de l'hydrostatique pour déterminer la 
    pression en un point~B situé à une profondeur $d$. Si on considère 
    un point~A situé à la surface de la mer (à la pression $P_A=P_\text{atm}$), nous avons:
\[P_B-P_A=\rho\times g\times d\;,\]
soit:
\[P_B=P_\text{atm}+\rho \times g 
\times d=1{,}0\times 10^5+10^3\times 5\times 10=1{,}5\times 10^4\mbox{~Pa}.\]
La force pressante totale exercée par l'eau sur le côté externe des 
verres est donc:
\[F'=P_B\times A'=1{,}5\times10^5\times 4{,}0\times 10^{-3}=6,0\cdot10^2\mbox{~N}.\]
  \end{questions}
\end{corrige}

%%% 15

\begin{exo}{Calcul de pression}{Lycée de la Providence, La Rochelle}{2}{15}
Deux enceintes indéformables (1) et (2) sont maintenues
à la température $\theta=100\;^\circ$C en permanence. À l'instant initial, l'enceinte~(1) contient un  gaz sous une
pression $p_1=3{,}0$~atm ; le volume de cette enceinte est $V_1=1{,}0$~m$^3$.
L'enceinte~(2), quant à elle, est vide, et son volume est $V_2=2{,}0$~m$^3$.

\Par
\captionsetup{width=85mm}

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{073_228_09e_enceintes01}
\figcaption{Représentation schématiques des enceintes}
\end{center}
}

\captionsetup{width=75mm}

\Par

On ouvre le robinet~R et les molécules du gaz peuvent librement
circuler entre les enceintes (1) et (2) : la pression est alors la
même dans les deux enceintes. Que vaut cette pression ?
\end{exo}


\begin{corrige}
La température du système étant maintenue constante, nous pouvons
appliquer la loi de Boyle-Mariotte. Le volume final occupé par le gaz
est\linebreak $v'=v_1+v_2$. Nous notons $p'$ la pression finale recherchée.
La loi de Boyle-Mariotte s'écrit ici:
\[p'\times v'=p_1\times v_1\;,\]
soit:
\[p'=\frac{p_1\times v_1}{v_1+v_2}=3\times\frac13=1{,}0\mbox{~atm}.\]
Nous gardons ici deux chiffres significatifs compte-tenu de la
précision des données de l'énoncé.
\end{corrige}

%%% 16

\begin{exo}{Planète océan}{Lycée du Parc, Lyon}{2}{20}
\enlargethispage*{5em}
\textit{Il faut avoir préalablement étudié le chapitre sur la gravitation pour faire cet exercice.}


  Au cours des années 2000, il a été proposé le concept de \og planète 
  océan\fg. Il s'agirait de grosses planètes telluriques entièrement 
  recouvertes d'une couche d'eau liquide pouvant aller jusqu'à 
  plusieurs centaines de kilomètres de profondeur. On considère une 
  telle planète, ayant une masse égale à $10$~fois celle de la Terre, et 
  un rayon égal à $2{,}0$~fois celui de la Terre. 
  
  \begin{questions}
  \item Quelle est la valeur du champ de pesanteur à la surface de 
    cette planète~?
  \item Quelle est la pression à $70$~km de profondeur dans l'océan 
    qui recouvre cette planète~? On supposera négligeable la pression 
    à la base d'une éventuelle atmosphère qui recouvre la planète. 
  \end{questions}
  

  
\begin{minipage}[t]{2cm}
{\em Données :}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\dimexpr\linewidth-2cm}
\begin{itemize}
\item Masse de la Terre: $5{,}98\times 10^{24}$~kg.
\item Rayon de la Terre: $6378$~km.
\item Masse volumique de l'eau liquide: $10^3$~kg.m$^{-3}$. \item Constante de la gravitation: 
${\cal G}=6{,}67\times 10^{-11}$~N.kg$^{-2}$.m$^{2}$.
\end{itemize}
\end{minipage}

\end{exo}

\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item La valeur du champ de pesanteur à la surface de cette planète 
    est donnée par:
    \[g = \frac{{\cal G}\times M}{R^2},\]
    où $M$ est la masse de la planète et $R$ son rayon. L'application 
    numérique donne:
    \[g = \frac{6{,}67\times 10^{-11}\times 10\times 5{,}98\times 10^{24}}{(2{,}0\times 6378\times 10^3)^2}=25\mbox{~N.kg}^{-1}.\]
      On garde deux chiffres significatifs car c'est la précision avec 
      laquelle sont donnés le rayon et la masse de la planète. 
    \item On applique la loi de l'hydrostatique entre un point~A situé 
      à la surface de l'océan et un point~B situé à une profondeur 
      $d=70$~km. Elle s'écrit:
      \[P_B-P_A=\rho g d\mbox{~~~donc~~~}P_B=P_A+\rho g d\approx \rho 
      g d,\]
      où $P_B$ est la pression recherchée, $P_A$ est la 
      pression à la surface de l'océan ($P_A\approx 0$ d'après 
      l'énoncé), $\rho$ est la masse volumique de l'eau liquide et $g$
      la valeur du champ de pesanteur à la surface de cette 
      planète. L'application numérique donne:
      \[P_B = 10^3\times 25 \times 70\times 10^3=1{,}75\times 10^9\mbox{~Pa}.\]
      La valeur du champ de pesanteur étant connue avec deux chiffres 
      significatifs, ce résultat doit également être donné avec deux 
      chiffres significatifs. Toutefois, le dernier chiffre étant un 
      cinq, on garde trois chiffres dans l'expression finale du résultat. 
  \end{questions}
\end{corrige}


%%% 17

\begin{exo}{Densité d'une huile}{Lycée Condorcet, Paris}{2}{25}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-65mm}
On souhaite mesurer la \index{Densite}densité par rapport à l'eau d'une huile de 
cuisine. Pour ce faire, on introduit de l'eau dans un tube en U, puis,
d'un seul côté, l'huile dont on souhaite mesurer la densité~$d$. Une fois 
l'équilibre atteint, on observe la situation représentée ci-contre. 
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{60mm}
\includegraphics{074_227_09e_2013_uhuile1}
\end{minipage}
\enlargethispage*{3em}
\begin{questions}
\item \mbox{Quelle propriété de l'huile et de l'eau permet d'expliquer leur
  séparation~?}
\item Justifier qualitativement pourquoi la densité de l'huile par 
  rapport à l'eau est inférieure à un. 
\item En utilisant la relation fondamentale de l'hydrostatique,
  exprimer la densité $d$ en fonction de la hauteur de $H$ de l'huile
  dans la partie droite et du dénivelé $D$ entre le ménisque d'eau et
  celui d'huile. Faire l'application numérique.
\item Si l'on introduit à présent une huile plus dense que l'eau,
  quelle(s) configuration(s) peut-on obtenir parmi les trois 
  représentées page suivante, une fois l'équilibre atteint~? 
\begin{center}
\includegraphics{074_227_09e_2013_uhuile3}
\end{center}
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item L'huile et l'eau sont deux liquides non miscibles. C'est la 
    raison pour laquelle ils se séparent. 
  \item Lorsque deux liquides non miscibles se séparent, le liquide le 
    moins dense (celui qui a la plus petite masse volumique) se trouve 
    au-dessus de l'autre. L'huile se retrouvant en haut, on en déduit 
    que sa densité par rapport à l'eau est inférieure à un. 
  \item Nous considérons les points B, A et A' qui représentés sur la 
    figure ci-dessous. 
\begin{center}
\includegraphics{090_247_09e_2013_uhuile2}
\end{center}
 Nous pouvons écrire la relation fondamentale de 
    l'hydrostatique entre les points~A et~B d'une part, et entre les 
    points~A' et B d'autre part. Cela donne:
\[P_B-P_{A'}=\rho_\mathrm{huile}\times g\times H\]
et 
\[P_B-P_A=\rho_\mathrm{eau}\times g\times (H-D).\]
En outre, les points A et A' sont au contact de l'atmosphère, donc les 
pressions $P_A$ et $P_{A'}$ sont toutes deux égales à la pression 
atmosphérique $P_\mathrm{atm}$. Nous pouvons donc écrire:
\[P_B-P_\mathrm{atm} = \rho_\mathrm{huile}\times g\times
  H=\rho_\mathrm{eau}\times g\times (H-D).\]
En transformant cette dernière égalité, nous obtenons:
\[d=\frac{\rho_\mathrm{huile}}{\rho_\mathrm{eau}}=\frac{H-D}{H}.\]

\textit{Application numérique:}

Nous avons:
\[d=\frac{25-5}{25}=\frac{20}{25}=0{,}80.\]
Nous gardons deux chiffres significatifs car c'est la précision avec 
laquelle on connaît $H$ et $H-D$. Nous voyons, comme attendu, que 
cette densité est inférieure à un. 
\item Les seules configurations possibles sont celles où l'huile 
  occupe la partie inférieure du tube, puisque l'huile considérée dans 
  cette dernière question est d'une densité supérieure à l'eau. Il 
  s'agit des situations B et C. On constate en particulier que la 
  situation C correspond à la situation des questions antérieures, où 
  les rôles de l'huile et de l'eau sont inversés. Si le ménisque 
  d'eau 
  n'avait pas été au-dessus du ménisque d'huile du tube de gauche,
  cette situation aurait été impossible et aurait dû être éliminée. 
  \end{questions}
\end{corrige}


%%% 18

\begin{exo}{Amortisseur}{Lycée Blomet, Paris}{3}{10}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\includegraphics{074_233_09e_amortisseur01}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-5cm}
Un amortisseur de véhicule contient un gaz 
comprimé, comme indiqué sur la figure ci-contre. La section $S$
de chaque amortisseur est $S=5,0$~cm$^2$. La masse du véhicule 
est $m=500$~kg. Il comporte quatre roues, sur lesquelles son poids 
est également réparti. 
Quelle est la pression du gaz dans chaque amortisseur ?
\end{minipage}
\Par
\begin{minipage}[t]{2cm}
{\em Données :}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\dimexpr\linewidth-2cm}
\begin{itemize}
\item Intensité de la pesanteur : $g=10$~N.kg$^{-1}$. 
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{exo}


\begin{corrige}
La force pressante dans chaque 
amortisseur doit être égale au {\em quart} du poids du 
véhicule, puisque celui-ci a quatre roues, et que son poids 
est également réparti sur les quatre roues. En 
outre, la force pressante $F$ dans un amortisseur s'écrit :
\[F=P\times S\;,\]
où $P$ est la pression du gaz dans l'amortisseur.

On en déduit :
\[P\times S=\frac{m\times g}{4}\mbox{~~~soit :~~~}P=\frac{m\times
    g}{4\times S}.\]
L'application numérique donne :
\[P=\frac{500\times 10}{4\times 5\times 10^{-4}}=2{,}5\times 
10^{6}\mbox{~Pa}\approx 25\mbox{~atm}.\]

Il faut faire attention à la conversion des centimètres carré 
en mètres carré : ${1\mbox{~cm}^2=10^{-4}\mbox{~m}^2}$ (il y 
dix mille centimètres carré dans un mètre carré). 
\end{corrige}

%%% 19

\begin{exo}{Enceinte indilatable}{Lycée Sainte-Geneviève, Versailles}{3}{10}
On enferme une certaine quantité de gaz dans un
réservoir de volume fixé, invariable. On porte les parois du réservoir
à une température~$\theta$, on attend l'équilibre thermique, puis on
mesure la pression du gaz dans le réservoir. Les résultats des mesures
sont reportés dans le tableau ci-dessous.

        \begin{center}
        \begin{tabular}{|M{4.3cm}|>{\centering\arraybackslash}m{1cm}|>{\centering\arraybackslash}m{1cm}|>{\centering\arraybackslash}m{1cm}|>{\centering\arraybackslash}m{1cm}|}
        \hline
        $\pmb{\theta}$\bfseries~(en $\pmb{^{\rm{o}}}$C) & 0  & $100$ & $-40$ & $150$ \\ \hline
       \bfseries Pression~$\pmb{P}$ du gaz (en bars) & $0{,}92$ &  $1{,}25$ & $0{,}78$ & $1{,}42$   \\ \hline
        \end{tabular}
        \end{center}

\begin{questions}
\item Pour une température donnée~$\theta$ des parois, quelle est la
  température~$T$ du gaz à l'\index{Equilibre thermique}équilibre thermique ?
\item Lorsque la température du réservoir augmente, que fait la pression ?
\item Ajouter une ligne au tableau de l'énoncé. 

On y portera le quotient\, $\dfrac {T+273{,}15}{P}$. 
  
  Que constatez-vous ?
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item À l'équilibre thermique, la température de tout le système
est uniforme, donc la température du gaz dans le réservoir est égale
à la température des parois du réservoir, donc $T=\theta$.
\item On lit dans le tableau que plus la température est élevée, plus 
la pression est grande.
\item On reporte ci-dessous le tableau et les résultats. 

	\begin{center}
	\begin{tabular}{|M{4.3cm}|>{\centering\arraybackslash}m{9mm}|>{\centering\arraybackslash}m{9mm}|>{\centering\arraybackslash}m{9mm}|>{\centering\arraybackslash}m{9mm}|}
	\hline
	$\theta$(en $^{\rm{o}}$C) & $0$  & $100$ & $-40$ & $150$ \\ \hline
Pression~$P$ du gaz (en bars) & $0{,}92$ &  $1{,}25$ & $0{,}78$ & $1{,}42$   \\ \hline
	$\dfrac{T+273{,}15\strut}{P\strut}$ & $297$ & $298$ & $299$ & $298$ \\ \hline
	\end{tabular}
	\end{center}

\item On constate que le quotient $\dfrac{T+273{,}15}{P}$ est indépendant (aux erreurs de mesure
près) de la température et de la pression.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 20

\begin{exo}{Éclatement d'un ballon de baudruche}{Lycée du Parc, Lyon}{3}{15}
\enlargethispage*{\baselineskip}
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{ballon de baudruche}{https://media.prepamath.fr/IL1PCch03exoBallonBaudruche}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.2){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1PCch03exoBallonBaudruche}}}
\vspace*{-10pt}

On considère un ballon de baudruche, que l'on assimilera à une sphère
de rayon variable $r$.  On sait que ce ballon éclate lorsque son rayon
atteint un rayon critique $r_c=17,0$~cm. Au niveau de la mer, on gonfle
ce ballon avec de l'hélium, de façon à lui donner un rayon $r_0=10,0$~cm,
puis on le lâche.

Le graphique suivant représente la pression de l'air dans l'atmosphère
terrestre en fonction de l'altitude.

\begin{center}
\includegraphics{075_230_09e_2013_patmz}
\end{center}
\begin{questions}
\item En supposant constante la température de l'atmosphère terrestre
  en fonction de l'altitude, déterminer à quelle altitude $z_c$ le
  ballon va éclater.
\item En fait, la température décroît dans l'atmosphère terrestre au
  fur et à mesure que l'on s'élève. L'altitude réelle $z_c'$ à
  laquelle le ballon va éclater est-elle inférieure ou supérieure à $z_c$~?
\end{questions}
\textit{Indications:} le volume d'une sphère de rayon $r$ est donné par $V=\dfrac 43\pi r^3$.

\Par

La pression $P$ à l'intérieur d'un ballon de baudruche est légèrement
supérieure à la pression de l'air environnant. Toutefois, on fera
l'hypothèse simplificatrice que ces pressions sont égales.

Le produit $P\times V$ augmente lorsque la température augmente. 
\end{exo}


\begin{corrige}
\enlargethispage*{\baselineskip}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.4){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1PCch03exoBallonBaudruche}}}
\vspace*{-10pt}
\begin{questions}
\item Il s'agit de déterminer la pression à laquelle le ballon va
  éclater. En utilisant le graphe donné dans l'énoncé, cela nous
  fournira l'altitude correspondante.

Puisque l'on suppose la température constante, on peut utiliser
  la loi de Boyle-Mariotte, qui relie la pression $P$ et le volume $V$
  du ballon. Le produit $P\times V$ est constant, donc:
  \[\frac 43\pi r^3\times P=\mbox{~constante}.\]
  
Par conséquent, puisque $\dfrac43\pi$ est une constante, nous pouvons
également écrire:
\[r^3\times P=\mbox{~constante}.\]
La valeur de la constante est déterminée par le rayon initial $r_0$
du ballon, et par la pression au niveau de la mer, que l'on peut lire
sur le graphe, et qui vaut $P_\mathrm{atm}=1{,}01\times 10^5$~Pa.

Nous avons ainsi:
\[r^3\times P=r_0^3\times P_\mathrm{atm}\;,\]
donc la pression critique $P_c$ pour laquelle le ballon éclate (quand $r=r_c$) est donnée par:
\[P_c=P_\mathrm{atm}\left(\frac{r_0}{r_c}\right)^3.\]

L'application numérique donne:
\[P_c=1{,}01\times 10^5\times\left(\frac{10}{17}\right)^3=2{,}1\times
10^4\mbox{~Pa}.\]
On garde deux chiffres significatifs dans ce résultat.
On lit sur le graphe que cette pression critique est atteinte à
l'altitude $z_c=10{,}7$~km.

\Par

\begin{center}
\includegraphics{093_253_09e_2013_patmz2}
\end{center}

\item Nous savons que le produit $P\times V$ croît lorsque la
  température croît.  Puisque la température décroît au fur et à
  mesure que l'on s'élève dans l'atmosphère, à l'altitude $z_c$, le
  produit $PV$ est inférieur à la valeur qu'on lui a supposée à la
  question précédente. La pression $P$ étant fixée, pour une altitude
  donnée, et donnée par la lecture du graphe, on en déduit que le
  ballon a un volume \textit{inférieur} à celui inféré à la question
  précédente, donc un rayon inférieur au rayon critique: à l'altitude
  $z_c$ il n'a pas encore éclaté, et il éclatera à une altitude
  \textit{supérieure} à $z_c$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 21

\begin{exo}{Autonomie d'un plongeur}{Lycée Michel Montaigne, Bordeaux}{3}{20}
On considère un \index{Plongeur}plongeur muni d'une bouteille de volume $V_0=10$~L d'air comprimé à la pression $P_0=200$~bars. Ce plongeur se trouve à la profondeur
$h=15$~m. L'air que lui fournit son détendeur est à la même pression $P$ que l'eau qui l'entoure. 

À chacune de ses inspirations, il inspire un volume \linebreak$V=1,0$~L
d'air. Sa respiration est périodique de période $T=2,0$~s,
indépendamment de la profondeur.
\begin{questions}
\item Donner l'expression littérale de la pression $P$ de l'eau autour
  du plongeur, en utilisant la relation fondamentale de l'hydrostatique.
\item En utilisant la loi de Boyle-Mariotte, indiquer quel est le volume $V_1$ occupé par le gaz correspondant à une inspiration du
  plongeur, lorsque ce gaz se trouve encore dans la bouteille.
\item En déduire le nombre d'inspirations que le plongeur peut réaliser.
\item En déduire l'autonomie maximale du plongeur, c.-à-d. le temps qu'il peut
  passer à la profondeur $h$.
\item Quelle serait l'autonomie du plongeur à la profondeur $h'=30$~m ?
\end{questions}

\Par

\begin{minipage}[t]{2cm}
{\em Données :}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\dimexpr\linewidth-2cm}
\begin{itemize}
\item Intensité de la pesanteur: $g=9{,}8$~N.kg$^{-1}$.
\item Masse volumique de l'eau: $\rho = 1{,}0\times 10^3$~kg.m$^{-3}$.
\item Pression atmosphérique: $P_\mathrm{atm}=101325$~Pa.
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{exo}


\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item On écrit la relation fondamentale de l'hydrostatique entre le
    point~A (à la surface) et le point~B (au niveau du plongeur).
Elle s'écrit:
\[P_B-P_A=\rho\times g \times h.\]
Or $P_B=P$ est la pression recherchée, et le point A est au contact de
l'atmosphère, donc $P_A=P_\mathrm{atm}$. Nous pouvons ainsi écrire:
\[P=P_\mathrm{atm}+\rho \times g \times h.\]

\begin{center}
\includegraphics{094_257_09e_2013_autonomie}
\end{center}

\Par

\textit{Application numérique:}

\[P=101325+1{,}0\times 10^3 \times 9{,}8 \times 15=2{,}5\times 10^5\mbox{~Pa}.\]

On garde deux chiffres significatifs dans ce résultat.


\item On néglige la variation de température du gaz entre la bouteille
  et les poumons du plongeur. On applique donc la loi de
  Boyle-Mariotte qui s'écrit ici:
\[P_0\times V_1=P\times V\]
car lorsque le gaz est dans la bouteille où il occupe le volume $V_1$
(recherché), il est à la pression $P_0$, et lorsqu'il se trouve dans
les poumons du plongeur, où il occupe un volume $V$, il se trouve en
équilibre de pression avec l'eau environnante, à la pression $P$. Nous
avons donc:
\[V_1=\frac{P\times V}{P_0}.\]

\textit{Application numérique:}
\[V_1=\frac{2{,}5\times 10^5\times 1}{200\times 10^5}=1{,}25\times 10^{-2}~\mbox{~L}.\]
Étant donné que nous avons gardé le volume $v$ en litres, nous obtenons le volume $v_1$ également en litres.
\item Le nombre total d'inspirations que le plongeur peut réaliser est
  donné par:
\[n=\frac{v_0}{v_1}=\frac{10}{1{,}25\times
  10^{-2}}=800\mbox{~inspirations}.\]
\item La durée totale que peut passer le plongeur sous l'eau est donc:
\[T_\mathrm{tot}=n\times T = \numprint{1600}\mbox{~s}\approx 26\mbox{~min}.\]
On notera que le résultat devrait être arrondi à $27$ et non $26$
minutes. Toutefois, comme on cherche à donner une valeur maximale, il
convient exceptionnellement de donner la valeur à deux chiffres
significatifs immédiatement inférieure. Compter sur $27$ minutes
d'autonomie pourrait se révéler dangereux pour le plongeur.
\item Il suffit de répéter les applications numériques de chacune des
  questions, en utilisant la pression $P'$ qui règne à la profondeur
  $h'=30$~m. Nous avons, en rassemblant les résultats des questions
  précédentes:
\[T'_\mathrm{tot}=T\frac{P_0\times v_0}{P'\times v}.\]
La nouvelle pression est:
\[P'=101325+1{,}0\times 10^3 \times 9{,}8 \times 30=4{,}0\times 10^5\mbox{~Pa}\]
et l'autonomie vaut donc:
\[T'_\mathrm{tot}=2\times\frac{2{,}0\times 10^7\times 10 }{4{,}0\times  10^5\times 1}=\numprint{1000}\mbox{~s}\approx 16\mbox{~min}.\]
L'autonomie décroît lorsque la profondeur de la plongée augmente.
  \end{questions}
\end{corrige}


%%% 22

\begin{exo}{Force sur une éprouvette}{Lycée Louis Le Grand, Paris}{3}{30}
  On considère une éprouvette renversée sur une cuve contenant de
  l'eau. De l'air est emprisonné au sommet de l'éprouvette, à une
  pression $P$ différente de la pression atmosphérique. 
  
  On observe un
  dénivelé $h=15$~cm entre la hauteur de l'eau dans la cuve et celle
  de la surface dans l'éprouvette. On suppose qu'un expérimentateur
  maintient l'éprouvette de telle manière qu'elle affleure juste sous
  la surface de la cuve, comme représenté sur la figure ci-dessous. On
  se pose la question de savoir quelle force l'expérimentateur doit
  exercer sur l'éprouvette.
  
  \begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-40mm}
  \begin{questions}
\item Quelle est la pression de l'air emprisonné dans l'éprouvette~?
\item On considère le système composé seulement de l'éprouvette, à l'exclusion
  de son contenu. Quelles sont les forces s'exerçant sur lui~?
  Lesquelles se compensent~?
\item Le système considéré étant au repos, en déduire la force que
  l'expérimentateur exerce sur l'éprouvette.
\end{questions}
  \end{minipage}
  \hfill
  \begin{minipage}{35mm}
  \includegraphics{077_231_09e_2013_forcetube}
  \end{minipage}
 
 \Par
 
\begin{minipage}[t]{2cm}
{\em Données :}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\dimexpr\linewidth-2cm}
\begin{itemize}
\item Intensité de la pesanteur: $g=9{,}8$~N.kg$^{-1}$.
\item Masse volumique de l'eau: $\rho = 1{,}0\times 10^3$~kg.m$^{-3}$.
\item Rayon de l'éprouvette: $r=8{,}0$~mm.
\item Masse de l'éprouvette: $m=120$~g.
\item Pression atmosphérique: $P_\mathrm{atm}=101325$~Pa.
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{exo}


\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item On applique la relation fondamentale de l'hydrostatique entre un
    point~B situé à la surface de l'eau de la cuve, et un point~A à la
    surface de l'eau dans l'éprouvette. On a ainsi:
    \[P_B-P_A=\rho \times g \times h.\]
    
    Le point~A est en contact avec l'air de l'éprouvette. Il se trouve
    donc à la pression $P$ avec $P_A=P$. De la même manière, le point~B est en
    contact avec l'atmosphère et se trouve donc à la pression
    atmosphérique: \[ P_B=P_\mathrm{atm}. \]
    
    Nous avons donc en définitive:
    \[P=P_\mathrm{atm}-\rho \times g \times h.\]
    
    \Par
    
    \textit{Application numérique:}
    \[P=\numprint{101325}-1{,}0\times 10^3\times 9{,}8 \times 0{,}15=9{,}99\times10^4~\mbox{~Pa}.\]
    
    La pression atmosphérique est donnée avec six chiffres significatifs,
    mais on n'a que deux chiffres significatifs pour les autres données de
    l'énoncé,
    donc la différence $\rho \times g \times h$ est précise jusqu'au chiffre des
    centaines. On donne donc un résultat précis à la centaine de pascals
    près, c'est-à-dire avec trois chiffres significatifs.
   
    
  \item Les forces exercées sur le système \og éprouvette \fg sont
    représentées sur la figure ci-dessous.
    
    \Par
    
    \begin{center}
      \includegraphics{096_254_09e_2013_forcetube2}
    \end{center}
   
   \Par
    
    Ces forces sont:
    
    \begin{itemize}
    \item Le poids $\vec P$ de l'éprouvette, vertical et dirigé vers le bas.
    
    \item La force $\vec F$ exercée par l'opérateur, que nous décrirons plus en détail après.
    
    \item La force pressante $\vec F_1$ exercée par l'air du laboratoire sur le fond de l'éprouvette. Celle-ci est verticale et dirigée vers le bas.
    
    \item La force pressante $\vec F_2$ exercée par l'air de l'éprouvette sur le fond de celle-ci. Elle est verticale et dirigée vers le haut.
    
    \item Les forces pressantes exercées sur le corps principale de
      l'éprouvette. Celles-ci ne sont pas représentées sur la figure, et
      elles se compensent par symétrie: leur somme vectorielle est nulle.
    \end{itemize}
   
    
  \item Le système étant au repos, la somme vectorielle des forces qui
    s'exercent sur lui est nulle. Puisque les forces $\vec P$, $\vec F_1$ et $\vec F_2$ sont verticales, $\vec F$ est nécessairement verticale. En outre, puisque $P< P_\mathrm{atm}$, nous voyons que
$\vec F_1+\vec F_2$ est dirigée vers le bas, donc \textit{a fortiori}
$\vec P+\vec F_1+\vec F_2$ est aussi dirigée vers le bas. On en
déduit, ce qui est assez intuitif, que $\vec F$ est dirigée vers le
haut. En projetant sur un axe vertical,
    nous pouvons écrire la relation suivante sur les grandeurs des forces:
\[F+F_2-P-F_1=0\mbox{~~~soit~:~~~}F=P+F_1-F_2.\]

Le poids $P$ de l'éprouvette est donné par $P=mg$. La force pressante $F_1$ est donnée par le produit de la pression atmosphérique et de la surface du fond de l'éprouvette:
\[F_1=P_\mathrm{atm}\times\pi r^2.\]

De la même manière nous avons pour $F_2$:
\[F_2=P\times \pi r^2.\]

En substituant ces valeurs dans l'expression de $F$, nous avons:
\[F=mg+P_\mathrm{atm}\times\pi r^2-P\times \pi r^2=mg+\pi r^2(P_\mathrm{atm}-P).\]

On peut substituer la parenthèse de cette dernière expression parce que nous avons obtenu à la première question:
\[F=mg+\pi r^2\rho \times g \times h=(m+\pi r^2 h \rho) g.\]

Nous notons ici que le deuxième terme de la parenthèse est égal au
volume du cylindre d'eau dans l'éprouvette (base $\pi r^2$ et hauteur
$h$) multiplié par la masse volumique de l'eau: c'est la masse de
l'eau contenue dans l'éprouvette.

\Par

\textit{Application numérique:}
\begin{eqnarray*}
F&=&[0{,}12+\pi\times (8\times 10^{-3})^2\times 0{,}15\times 10^3]\times 9{,}8\\
&=&1{,}5\mbox{~N}.
\end{eqnarray*}
L'opérateur doit exercer une force de $1{,}5$~N sur l'éprouvette.
  \end{questions}
\end{corrige}


\thumb
\AfficheCorrige
