\chapter{Ondes mécaniques}
\section{Introduction}
\begin{exointro}{Lycée Hector Berlioz, Vincennes}
On considère la corde tendue ci-dessous. À chacune de ses extrémités se trouve un opérateur,
qui vient de secouer la corde. La tension de la corde est $T=50$~N, et sa masse est $m=10$~kg. La
corde est homogène. Représenter l'aspect de la corde une seconde plus tard.

\Par

\begin{center}
\includegraphics{151_01c_neexotypecorde}
\end{center}

\Par

\textit{Indication} : la célérité des ondes se propageant le long d'une corde tendue de tension $T$ et de masse linéique $\mu$ est :
\[v=\sqrt\frac T\mu.\]
%
\end{exointro}

Le but de ce chapitre est d'étudier les ondes mécanique et leurs propriétés.

\section{Notion d'onde mécanique}
Considérons l'expérience ci-dessous, où un opérateur agite une corde tendue (sa tension
est réalisée par le poids~$P=mg$ de la masse~$m$ accrochée à la corde de l'autre côté de la poulie).

\newpage

\begin{center}
\includegraphics{152_01c_necoursonde01}
\end{center}

\Par

Les déformations, ou {\em perturbations}, par rapport à l'état d'équilibre
(quasiment rectiligne) de la corde tendue, se {\em propagent} le long de celle-ci.

\begin{itemize}
\item Cette propagation induit un transport d'énergie le long de la corde. En effet,
on peut très bien imaginer, si le système qui retient la poulie est \og fragile\fg et/ou
si les perturbations imposées à la corde sont importantes, que ces perturbations arrivent
à rompre le système d'accrochage de la poulie. Ceci ne peut se faire sans dépenser de
l'énergie, qui est celle fournie par l'opérateur, et qui s'est propagée le long de la corde.
\item Cette propagation, en revanche, se fait sans transport de matière. En effet, si l'on
repère avec un ruban adhésif de couleur vive une partie de la corde, on
verra celui-ci osciller verticalement, mais il ne se déplacera pas avec la perturbation.
\end{itemize}

Ces perturbations correspondent à ce que l'on appelle de manière plus générale des
ondes mécaniques. 

\begin{defin}
On appelle onde mécanique le phénomène de propagation d'une perturbation dans
un milieu sans transport de matière.
Cette propagation s'accompagne toujours en revanche d'un transport d'énergie.
\end{defin}

\section{Propriétés générales des ondes}

\begin{defin}
La vitesse à laquelle se propage le profil de perturbation associé à une onde
est appelée sa célérité.
\end{defin}
\begin{Exemple}
Les ondes sonores dans l'air se propagent avec une célérité :
\[c_s = 20{,}05\sqrt{T},\]
où $c_s$ est en m.s$^{-1}$, et $T$ est la température absolue (en kelvin). La température
absolue se déduit de la température $\vartheta$ mesurée en degrés Celsius par la
relation :
\[T = 273{,}15+\vartheta.\]
Ainsi, à $20\;^\circ$C, la vitesse du son dans l'air vaut :
\[c_s=20{,}05\times\sqrt{273{,}15+20}\approx 343\mbox{~m.s}^{-1}.\]
\end{Exemple}

\newpage



Une onde se propage dans toutes les directions qui lui sont offertes.

\begin{itemize}
\item Ainsi, une pierre qui tombe dans l'eau excite des ondes de surfaces qui se propagent
dans toutes les directions offertes, à savoir ici sur toute la surface de l'eau :
les lignes d'égale perturbation (crête ou creux, par exemple) sont des cercles centrés
sur l'endroit où est tombée la pierre.
\item
Dans le cas de la corde, la seule direction offerte est vers la droite. En revanche,
si on modifie l'expérience, en tendant la corde à ses deux extrémités et en plaçant
l'opérateur au milieu, il excite des ondes qui se propagent à la fois vers la
droite et vers la gauche.

\Par

\begin{center}
\includegraphics{153_01c_neoperamilieu}
\end{center}

\item Si on place un haut-parleur dans l'air, on peut entendre le son où que l'on
soit (au-dessus, à \og droite\fg, devant ou derrière le haut-parleur, etc.) pourvu
que l'on en soit suffisamment proche, bien évidemment.
\end{itemize}

La célérité des ondes dans un milieu est une caractéristique du milieu.
Elle ne dépend pas de l'amplitude des ondes qui s'y propagent.


\begin{Exemple}
lorsqu'on compte le délai qui sépare l'éclair du bruit du tonnerre pour déterminer
la distance à laquelle est tombée la foudre, on multiplie toujours le délai (exprimé
en secondes) par $340$~m.s$^{-1}$, qui est la célérité du son dans l'air. Le résultat est
la distance recherchée en mètres. On ne se soucie pas de savoir s'il s'agissait
d'un très fort coup de tonnerre ou au contraire d'un coup de tonnerre plus faible : le résultat
n'en dépend pas, la célérité du son est toujours la même.
\end{Exemple}

Deux ondes peuvent se croiser sans se perturber.

\begin{Exemple}
c'est le cas de la situation présentée à l'exercice type, que nous reverrons
lors de sa correction.
\end{Exemple}



\section{Ondes progressives à une dimension}

Une onde à une dimension est une onde où la perturbation à un instant donné ne dépend
que d'une variable. 

Lorsque l'on connaît la forme de la perturbation associée à une onde
à une dimension dans un milieu matériel à un
instant donné, il est possible de la prévoir à tout instant ultérieur.
Cela est assez intuitif : le \og profil perturbé\fg se propage
sans \og déformation\fg avec la célérité de l'onde, dans la direction de sa
propagation. 


De manière plus formelle, on fait appel à la notion de
{\em retard}.

\begin{aretenir}
La perturbation au point~$M$ à l'instant~$t$ est celle qui existait
auparavant en un point~$M'$, à l'instant $t'=t-\tau$, où $\tau$ est
le retard et vaut $MM'/v$, $v$ étant la célérité de l'onde.
\end{aretenir}

Ce résultat appelle plusieurs remarques :
\begin{itemize}
\item cela permet simplement de \og remonter\fg la propagation du profil perturbé et d'identifier sans autre
calcul l'amplitude de la perturbation, car on sait que le profil perturbé ne
se déforme pas;

\item il existe une ambiguïté sur la position du point~$M'$ : celle-ci doit bien
évidemment être prise \og en amont\fg du point~$M$ (au sens de la propagation de l'onde).
Ainsi, si l'onde se propage vers la gauche, le point~$M'$ doit être le point situé
à droite de~$M$ qui vérifie la relation donnée ci-dessus, et vice-versa.
\end{itemize}

Le résultat énoncé plus haut est très utile pour calculer soit des distances,
soit des célérités, comme nous aurons l'occasion de le revoir en exercice. Il est
particulièrement utile de remarquer l'analogie formelle entre la relation :
\[\mbox{distance} = \mbox{temps}\times\mbox{vitesse}\]
vérifiée par les systèmes matériels en déplacement, et la relation:
\[\mbox{distance} = \mbox{retard}\times\mbox{célérité}.\]

%\section{Quelques exemples d'ondes sismiques}
%\label{sec:quelq-exempl-dond}
%Les ondes sismiques sont des ondes mécaniques pouvant se propager à l'intérieur
%du globe terrestre ou à sa surface.
%Il en existe différents types.
%L'onde sismique dite~P est une onde compressionnelle longitudinale, rapide.
%
% La déformation associée est schématisée sur la figure ci-après.
%\begin{center}
%\includegraphics{neondesP}
%\end{center}
%L'onde sismique dite~S est en revanche une onde transversale, verticale, plus
%lente que l'onde~P. 
%La déformation de la surface terrestre qui lui est associée
%est représentée schématiquement sur la figure ci-après.
%\begin{center}
%\includegraphics{neondesS}
%\end{center}
%Enfin, on peut citer l'onde de Love, onde également transversale, mais qui engendre
%des oscillations horizontales de la surface terrestre, qui est plus lente que
%les deux précédentes, et qui cause de nombreux dommages aux constructions. Sa
%vitesse de propagation est d'environ $4$~km.s$^{-1}$.
%\begin{center}
%\includegraphics{neondelove}
%\end{center}
\section{Ondes progressives périodiques}

\subsection{Périodicité spatiale et temporelle d'une onde}

\subsubsection{Ondes sinusoïdales}

Une onde sinusoïdale est une oscillation régulière, comme le mouvement d’un ressort ou le
signal électrique d’une prise de courant. Sa forme lisse et répétitive permet de modéliser des
phénomènes variés, des vagues de l’océan aux signaux radio. Les ondes sinusoïdales sont des
ondes périodiques dont la forme rappelle celle d’une fonction mathématique appelée \textit{sinus}.

\begin{center}
\includegraphics{154_02c_necoursperi00}
\end{center}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.7){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL1PC/sinusoidale.py}}}
\vspace*{-10pt}
\begin{listing}{simuler la propagation d’une onde sinuïdale}{sinusoidale.py}\end{listing}



\subsubsection{Périodicité spatiale et longueur d'onde}

On envisage une onde mécanique qui à un instant~$t$ se traduit
par le profil de perturbation ci-après.

%
\begin{center}
\includegraphics{156_02c_necoursperi01}
\end{center}

La perturbation~$y(x)$ est une fonction périodique de $x$.
On appelle longueur d'onde, et on note $\lambda$, la période de cette fonction.
On a, à un instant~$t$ donné :
\[\forall x, y(x+\lambda, t)=y(x,t).\]

La longueur d'onde est homogène à une longueur.

\subsubsection{Périodicité temporelle, période et fréquence}

Supposons à présent que la célérité de cette onde est~$v$, et qu'elle se propage vers
la droite. 

%
\begin{center}
\includegraphics{156_02c_necoursperi02}
\end{center}

Le point~$M$ va par conséquent descendre, arriver à un minimum, puis
remonter, passer par zéro, atteindre un maximum, et revenir à zéro. Il
aura exécuté ceci quand la perturbation, qui est actuellement au point~$M'$,
aura atteint le point~$M$. Le {\em retard} du point~$M$ sur le point~$M'$ est :
\[\tau = \frac{MM'}{v}=\frac{\lambda}{v}.\]
Ce retard est aussi, comme on vient de le voir, la période temporelle
des oscillations du point~$M$, puisqu'ensuite il recommencera la même
oscillation.

Par conséquent, entre la période temporelle~$T$ de l'onde (qui est la période 
des oscillations d'un objet matériel soumis au passage de l'onde)
et la longueur d'onde~$\lambda$, la relation est :
\[T=\frac{\lambda}{v}.\]

On peut également utiliser la fréquence $\nu$ de l'onde au lieu de sa période
temporelle, les deux étant liées par :
\[\nu = \frac 1T.\]

On a, en un point~$x$ donné :
\[\forall t, y(x,t+T)=y(x,t).\]

\enlargethispage*{3em}

\begin{aretenir}
Les égalités ci-dessous entre longueur d'onde $\lambda$, célérité~$v$, fréquence~$\nu$ et période~$T$ sont toujours vérifiées, quel que soit le type d'onde :
\[v=\lambda\nu\qquad,\qquad
T=\frac{\lambda}{v}\qquad,\qquad
\lambda = vT\qquad\text{et}\qquad
\lambda =\frac v\nu.
\]
La longueur d'onde est homogène à une longueur et donc s'exprime
en mètres (m) et ses multiples ou sous-multiples, la période est homogène
à un temps et donc s'exprime en secondes (s) ou ses multiples ou sous-multiples,
et la fréquence s'exprime en hertz (Hz), ou ses multiples ou
sous-multiples. On a $1$~Hz~$=1$~s$^{-1}$.
\end{aretenir}

On pourra, lorsque l'on n'est pas sûr de la relation, utiliser l'analyse
dimensionnelle pour s'assurer qu'elle est correcte. 
















\begin{solintro}

On a :
\[v=\sqrt\frac T\mu=\sqrt\frac{50}{1}\approx 7{,}1\mbox{~m.s}^{-1},\]
car la masse linéique de la corde est $\mu=m/l=10/10=1$~kg.m$^{-1}$.

La distance sur laquelle les profils se propagent pendant une seconde est donc de~$7$~m.

Le profil perturbé de droite, excité par l'opérateur de droite, se propage vers la gauche,
alors que le profil perturbé de gauche, excité par l'opérateur de gauche, se propage vers la droite.

Cela nous permet de donner l'allure de la corde à l'instant demandé. On a représenté en pointillés
l'aspect initial. On a utilisé le fait que deux ondes peuvent se croiser sans se perturber.

%
\begin{center}
\includegraphics{157_01c_netypesolmecaprog}
\end{center}

 \end{solintro}

