\chapter{Le second degré}

\begin{exointro}{Lycée Mansart, Saint-Cyr-l'École}
Soit $f(x) = x^2 - x + 1$,
        $g(x) = - 2x^2 + 7x -3$ et 
        $h(x) = 4\sqrt{2} x -x^2 -8$.
Pour chaque trinôme donner :
\begin{itemize}
\item ses racines (éventuelles) ;
\item sa factorisation (s'il est factorisable) ;
\item son signe dans un tableau.
\end{itemize}
\end{exointro}

Il s'agit dans ce chapitre d'apprendre:
\begin{itemize}
 \item à  résoudre une équation
du type $ax^{2}+ bx + c=0$,  ($a \neq 0$) ;
\item à étudier le signe du trinôme du second degré $ax^2+bx+c$ ($a\neq 0$).
\end{itemize}


\section{Polynôme du second degré}

\subsection{Définitions}

\begin{defin}[polynôme du second degré]
Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels, avec $a\neq0$.

On appelle \textit{polynôme du second degré} tout polynôme de la forme:
\[
ax^2+bx+c.
\]
\end{defin}

\begin{Exemples}[de polynômes du second degré]
\begin{itemize}
\item $f(x)=3x^2-5x+2$, avec $a=3$, $b=-5$ et $c=2$.
\item $P(x)=-5x^2+7$, avec $a=-5$, $b=0$ et $c=7$.
\item $g(x)=\frac{1}{2}x^2+8x$, avec $a=\frac{1}{2}$, $b=8$ et $c=0$.
\end{itemize}
\end{Exemples}

\begin{defin}[racine d'un polynôme]
On appelle \textit{racine} d'un polynôme $P$ toute valeur $r$ telle que $P(r)=0$.
\end{defin}

\begin{Exemple}
posons $P(x)=3x^2-5x+2$. Alors, $r=1$ est une racine de $P$ car:
\[
P(1)=3\times1^2-5\times1+2 = 3-5+2=0.
\]
\end{Exemple}

\subsection{Forme canonique d'un polynôme du second degré}

\begin{prop}
Quelles que soient les valeurs des réels $a$, $b$ et $c$, le polynôme $ax^2+bx+c$ peut s'écrire sous la forme:
\[
a(x-\alpha)^{2}+\beta,\qquad\text{ avec }\alpha=-\frac{b}{2a}\text{ et }\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}.\]
Cette écriture est appelée la \textit{forme canonique} du polynôme.
\end{prop}

\begin{Exemple}
soit $P(x)=3x^2-12x+15$. Cherchons sa forme canonique.
\begin{itemize}
\item On calcule:
\[
\alpha = -\frac{b}{2a}=-\frac{-12}{2\times3}=2.
\]
\item On calcule:
\[
\beta = -\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{(-12)^2-4\times3\times15}{4\times3}=3.
\]
\item On conclut:
\[
P(x)=3(x-2)^2+3.
\]
\end{itemize}
\end{Exemple}



\begin{defin}[discriminant d'un polynôme du second degré]
Soit $P(x)=ax^2+bx+c$ un polynôme du second degré.

On appelle \textit{discriminant} de $P$ le nombre noté $\Delta$ (lire \og delta \fg) défini par:
\[
\Delta = b^2-4ac.
\]
\end{defin}

\begin{Remarque}
ce nombre intervient dans le calcul de $\beta$ de la forme canonique.

En effet, $\beta=-\frac{\Delta}{4a}$.
\end{Remarque}

\begin{prop}[représentation graphique]
La représentation graphique d'un polynôme du second degré est une \textit{parabole} dont le sommet a pour coordonnées $(\alpha~;~\beta)$ et dont l'axe de symétrie a pour équation $x=\alpha$, soit $x=-\frac{b}{2a}$.
\end{prop}

\newpage

\section{Racines d'un polynôme du second degré}

\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez cette section de cours en vidéo.]{résolution d'une équation du second degré}{https://media.prepamath.fr/IL1Mch01crs}

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\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1Mch01crs}}}
\vspace*{-30pt}

\begin{defin}
On appelle \textit{équation du second degré} toute équation de la forme $P(x)=0$, où $P$ est un polynôme du second degré.
\end{defin}

\begin{Remarque}
les solutions d'une équation du second degré sont donc les racines du polynôme du second degré associé à cette équation.
\end{Remarque}

\subsection{Recherches des éventuelles racines}

\subsubsection{Généralités}

\begin{prop}
Soit $P(x)=ax^2+bx+c$ un polynôme du second degré. 
\begin{itemize}
\item Si $\Delta < 0$, alors $P$ n'admet aucune racine réelle.

\item Si $\Delta = 0$, alors $P$ admet une racine réelle:
\[
x_0 = -\frac{b}{2a}.
\]

\item Si $\Delta > 0$, alors $P$ admet deux racines réelles:
\[
x_1 = \frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\qquad\text{ et }\qquad x_2 = \frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}.
\]
\end{itemize}
\end{prop}

\subsubsection{Racine évidente}

\begin{defin}[racine évidente]
Soit $P(x)=ax^2+bx+c$. On dit que $x_1$ est une \textit{racine évidente} s'il est facile de voir que $P(x_1)=0$.
\end{defin}

\begin{Remarques}
Dans la pratique, les racines évidentes prennent généralement leurs valeurs dans l'ensemble $\{-2;-1;0;1;2\}$.
\begin{itemize}
\item Si la somme des coefficients du polynôme vaut 0, alors 1 est une racine évidente.
\item Si $a-b+c=0$ alors $-1$ est une racine évidente.
\item Pour les autres valeurs, il faudra être à l'aise avec le calcul mental.
\end{itemize}
\end{Remarques}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item $P_1(x)=7x^2-5x-2$. 

$a+b+c=7-5-2=0$ donc 1 est une racine évidente de $P_1$.

\item $P_2(x)=8x^2+5x-3$. 

$a-b+c=8-5-3=0$ donc $-1$ est une racine évidente de $P_2$. 
\end{itemize}
\end{Exemples}

\subsubsection{Somme et produit des racines}

\begin{prop}
Soit $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $\Delta>0$. 

Si $x_1$ et $x_2$ sont les deux racines de $P$ alors :
\[
x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\qquad\text{et}\qquad x_1x_2=\dfrac{c}{a}.
\]
\end{prop}

Cette propriété est très utile quand $P$ admet une racine évidente pour trouver la seconde racine.

\begin{Exemple}
soit $f(x)=5x^2+9x-14$. 

$a+b+c=5+9-14=0$ donc $x_1=1$ est une racine évidente.

D'après la propriété précédente, on déduit que la seconde racine $x_2$ est telle que:
\[
x_1x_2=\dfrac{-14}{5}\qquad\text{soit}\qquad x_2=-\dfrac{14}{5}.
\]
\end{Exemple}

\begin{prop}\label{somme-produit-racines}
Soit $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $\Delta>0$, où $x_1$ et $x_2$ sont les deux racines de $f$. Posons :
\[
S = x_1+x_2\qquad\text{et}\qquad P=x_1x_2.
\]
Alors, $x_1$ et $x_2$ sont aussi les racines du polynôme $x^2-Sx+P$.
\end{prop}

\begin{Exemple}
trouvez deux nombres $x$ et $y$ tels que $x+y=\numprint{2019}$ et $xy=\numprint{778500}$.

\Par

D'après la propriété précédente, $x$ et $y$ sont les racines du polynôme:
\[
x^2-Sx+P = x^2-\numprint{2019}x+\numprint{778500},
\]
dont le discriminant est :
\[
\Delta=\numprint{962361}=981^2.
\]
On en déduit alors que :
\[
x_1=\dfrac{\numprint{2019}-981}{2}=519
\]
et
\[
x_2=\dfrac{\numprint{2019}+981}{2}=\numprint{1500}.
\]
Les deux nombres sont donc 519 et \numprint{1500}.
\end{Exemple}

\subsection{Interprétations graphiques}

\begin{itemize}
\item Si $\Delta<0$.

\Par

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*2{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline\tabulartitle
\multicolumn{2}{|c|}{Le trin\^ome $P$ n'a pas de racines}\\
\hline
$a>0$&$a<0$\\
\hline
\includegraphics{005_1_fig_1}
&
\includegraphics{005_1_fig_4}\\
\hline
{\morestretch\setlength{\arraycolsep}{2pt}
$\begin{array}{c|ccc}
x&-\infty&&+\infty\\
\hline
P(x)&&+&
\end{array}$}&
{\morestretch\setlength{\arraycolsep}{2pt}
$\begin{array}{c|ccc}
x&-\infty&&+\infty\\
\hline
P(x)&&-&
\end{array}$}\\
\hline
\end{tabularx}

\Par

\item Si $\Delta=0$.
\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*2{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline\tabulartitle
\multicolumn{2}{|c|}{Le trin\^ome $P$ a une racine double $x_0$}\\
\hline
$a>0$&$a<0$\\
\hline
\includegraphics{005_1_fig_2}
&
\includegraphics{005_1_fig_5}\\
\hline
{\morestretch\setlength{\arraycolsep}{2pt}
$\begin{array}{c|ccccc}
x&-\infty&&x_0&&+\infty\\
\hline
P(x)&&+&0&+&
\end{array}$}&
{\morestretch\setlength{\arraycolsep}{2pt}
$\begin{array}{c|ccccc}
x&-\infty&&x_0&&+\infty\\
\hline
P(x)&&-&0&-&
\end{array}$}\\
\hline
\end{tabularx}

\Par
 
\item Si $\Delta>0$.
\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*2{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline\tabulartitle
\multicolumn{2}{|c|}{Le trin\^ome $P$ a deux racines $x_{1}$ et $x_{2}$}\\
\hline
$a>0$&$a<0$\\
\hline
\includegraphics{005_1_fig_3}
&
\includegraphics{005_1_fig_6}\\
\hline
{\morestretch\setlength{\arraycolsep}{2pt}
$\begin{array}{c|ccccccc}
x&-\infty&&x_1&&x_2&&+\infty\\
\hline
P(x)&&+&0&-&0&+&
\end{array}$}&
{\morestretch\setlength{\arraycolsep}{2pt}
$\begin{array}{c|ccccccc}
x&-\infty&&x_1&&x_2&&+\infty\\
\hline
P(x)&&-&0&+&0&-&
\end{array}$}\\
\hline
\end{tabularx}
\end{itemize}



\section{Factorisation}


\begin{prop}
Soit $P(x)=ax^2+bx+c$ un polynôme du second degré.
\begin{itemize}
\item Si $\Delta < 0$, alors $P(x)$ ne se factorise pas sur $\R$.
\item Si $\Delta = 0$, alors:
\[
P(x) = a(x-x_0)^2.
\]
\item Si $\Delta > 0$, alors:
\[
P(x)=a(x-x_1)(x-x_2).
\]
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{solintro}
\begin{itemize}
\item  $f(x) = x^2 -x + 1$. Son discriminant est:  $\Delta = 1 -4 = -3 < 0$,  donc $f$ n'admet pas de racines réelles. Il n'est donc pas factorisable dans $\R$.
De plus, $f(x)$ est toujours du signe de $a$ donc $f(x) > 0$ sur \R.

\item $g(x ) = - 2x^2 + 7x -3$. Son discriminant est: $\Delta = 7^2 -24 = 25 > 0$ donc $g$ admet deux racines réelles distinctes :
\[        
x_1 = \frac{-7 -5}{-4}=3 \quad\text{et}\quad  x_2 = \frac{-7 + 5}{-4}=\frac{1}{2}.
\]              
On en déduit que $g(x)$ est factorisable sous la forme :
      \[ g(x) = - 2 (x -3) \left(x -\frac{1}{2}\right)=(x-3)(1-2x)\]
et:
\[\morestretch
\begin{array}{|C|ccccccc|} %\begin{array}{|C|ccccccc|} %%% MODIF CLASSE
\hline\tabulartitle
x&-\infty&&\tfrac{1\strut}{2\strut}&&3&&+\infty\\
\hline
g(x)&&-&0&+&0&-&\\
\hline
\end{array}
\]

\item $h(x) =  -x^2 + 4\sqrt2 x -8$. Son discriminant est: $\Delta = \left(4\sqrt2\right)^ 2 - 32 = 0$.

Le trinôme admet donc une racine double :
\[ 
x_0 = \frac{- 4\sqrt2}{- 2} = 2\sqrt 2.
\]
On en déduit que $h(x)$ est factorisable sous la forme :
\[
h(x) =  - {\left( x -2\sqrt2\right)}^2
\]
et:
\[\morestretch
\begin{array}{|C|ccccc|} %%% MODIF CLASSE
\hline\tabulartitle
x&-\infty&&2\sqrt2&&+\infty\\
\hline
h(x)&&-&0&-&\\
\hline
\end{array}
\]
\end{itemize}
\end{solintro}