\chapter{Dérivation}

\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez l'essentiel de ce cours en vidéo.]{l'essentiel sur la dérivation}{https://media.prepamath.fr/IL1Mch02crs}

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\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1Mch02crs}}}
\vspace*{-30pt}


\section{Nombre dérivé}

\begin{exointro}{Lycée Marseilleveyre, Marseille}
Soit $f$ la fonction définie sur $ \R\setminus \{0\}$ par :
\[
f(x) = \dfrac{x^2 + x + 2}{x}.
\]
\`A l'aide de la définition, déterminer le nombre dérivé de $f$ en $1$.
\end{exointro}



\begin{defin}[taux d'accroissement]
Soit $f$ une fonction dont le domaine de définition est $\mathcal{D}_f$. Soient $a\in\mathcal{D}_f$ et $h\in\R$ tel que $a+h\in\mathcal{D}_f $.

Le \textit{taux d'accroissement} de $f$ en $a$ est le nombre :
\[
\tau(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\quad,\quad h\neq0.
\]
\end{defin}

\begin{Exemple}
$f(x)=x^2$. Pour tout $a\in\R$ et pour $h\neq0$,
\[
\tau(h)=\dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}=\dfrac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}=\dfrac{h(2a+h)}{h}=2a+h.\]
\end{Exemple}

\begin{defin}[nombre dérivé]
Soit $f$ une fonction, dont le domaine de définition est $\mathcal{D}_f$. Soit $a\in\mathcal{D}_f$.

Le \textit{nombre dérivé} de $f$ en $a$ est, quand il existe, le taux d'accroissement en $a$ quand $h$ se rapproche de 0. On note alors :
\[
\lim_{h \to 0} \tau(h) = f'(a).
\]
\end{defin}

\begin{Exemple}
$f(x)=x^2$, $a\in\R$ et $\tau(h)=2a+h$. 

Quand $h$ se rapproche de 0, $\tau(h)$ se rapproche de $2a$ donc:
\[
f'(a)=\lim_{h\to0}\tau(h)=2a.
\]
\end{Exemple}

\begin{defin}[fonction dérivable]
On dit qu'une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ quand, pour tout $a\in I$, $f'(a)$ est un nombre fini.
\end{defin}

\begin{Exemple}
$f(x)=x^2$ et $f'(a)=2a$ pour tout réel $a$. $f'(a)$ est toujours un nombre fini donc $f$ est dérivable sur $\R$.
\end{Exemple}

\begin{solintro}
Soit $h$ un réel non nul. 

On pose :
\[
t(h) = \dfrac{f(1+h) - f(1) }{h}.
\]
Comme $f(x) = \dfrac{x^2 + x + 2}{x}$, alors :
\[f(1) = 4\quad \text{et}\quad f(1+h) =\frac{(1+h)^2 + (1+h) + 2}{1+h}\;,\] 
soit : $f(1+h) = \dfrac{h^2 +3  h + 4}{1+h}$.\\
On a alors  :
\begin{align*}
t(h) & = \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\
& = \frac{\tfrac{h^2+3h+4}{1+h}-4}{h}\\
 & = \frac{\tfrac{h^2+3h+4-4(1+h)}{1+h}}{h}\\
 & = \frac{h^2-h}{h(1+h)}\\
 & =\dfrac{h-1}{h+1}.
\end{align*}
Quand $h$ tend vers $0$, $t(h)$ tend vers $-1$.
On en déduit que $f$ est dérivable en $1$ et que $f'(1) = -1$.
\end{solintro}



\section{Tangente à une courbe}

\begin{exointro}{Lycée Marseilleveyre, Marseille}
Soit $f$ la fonction définie sur $ \R\setminus \{0\}$ par :
\[
f(x) = \dfrac{x^2 + x + 2}{x}.
\]
\'Ecrire une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $1$, sachant que $f'(1)=-1$.
\end{exointro}


\begin{defin}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, et soit $\cal C$ sa courbe représentative sur $I$. Soit $a\in I$.

La \textit{tangente} à $\cal C$ au point d'abscisse $a$ est la droite passant par le point de\linebreak coordonnées $\big(a~;~f(a)\big)$ et de coefficient directeur $f'(a)$.
\end{defin}

\begin{prop}
L'équation réduite de la tangente $\cal T$ à $\cal C$ au point d'abscisse $a$ est:
\[
y = f'(a)(x-a) + f(a).
\] 
\end{prop}

\begin{center}
\includegraphics{047_2_fig_17}
\end{center}

\enlargethispage*{\baselineskip}

\begin{solintro}
Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $1$ est :
\[
y = f'(1) (x-1) + f(1).
\]
Comme $f'(1) = -1$ et $f(1) = 4$, la tangente admet comme équation :
\[
y = - (x-1) + 4\qquad\text{soit :}\qquad y = -x + 5.
\]
\end{solintro}

\section{Fonction dérivée} 

\begin{exointro}{Lycée Marseilleveyre, Marseille}
Soit $f$ la fonction définie sur $ \R\setminus \{0\}$ par :
\[
f(x) = \dfrac{x^2 + x + 2}{x}.
\]
\begin{questions} 
\item Déterminer, avec les formules de cours, la fonction dérivée de la\linebreak fonction $f$.

\item Existe-t-il des tangentes à la courbe parallèles à la droite d'équation  $y = -7x - 5$ ?

Si oui, préciser les points de la courbe qui correspondent à ces tangentes.
\end{questions}
\end{exointro}

\subsection{Définition}

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. La fonction qui à tout réel $x$ de $I$ associe son nombre dérivé $f'(x)$ est appelée \emph{fonction dérivée de $f$}. On la note $f'$.
\end{defin}

Les formules importantes à retenir sont les suivantes:
\[
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline\tabulartitle
f(x) & f'(x) & \text{Intervalle de dérivabilité} & \text{Intervalle de définition} \\
\hline
k \in \R & 0 & \R & \R \\
\hline
x & 1 & \R & \R \\
\hline
x^n,\ n\in\N & nx^{n-1} & \R\ (\R^*\text{ si }n<0) & \R\ (\R^*\text{ si }n<0) \\
\hline
\rule [-2.3ex]{0mm}{6ex}
\dfrac{1}{x} & -\dfrac{1}{x^2} & \left] -\infty~;0 \right[ \text{ et } \left] 0~; +\infty \right[ & \left] -\infty~;0 \right[ \text{ et } \left] 0~; +\infty \right[ \\
\hline
\rule [-2.3ex]{0mm}{6ex}
\sqrt{x} & \dfrac{1}{2\sqrt{x}} & \quad \left] 0~; +\infty \right[ & \left[ 0~; +\infty \right[ \\
\hline
%\sin x & \cos x & \R & \R \\
%\hline
%\cos x & -\sin x & \R & \R \\
%\hline
\end{array}
\]

\begin{Remarque}
la fonction $x\mapsto\sqrt{x}$ est définie sur $[0~;~+\infty[$, mais elle est dérivable sur $]0~;~+\infty[$.
\end{Remarque}

\newpage


\subsection{Opérations sur les dérivées}

\[
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{array}{|c|c|}
\hline\tabulartitle
\text{Fonction} & \text{Dérivée} \\
\hline
f(x)=u(x)+v(x) & f'(x)=u'(x)+v'(x) \\
\hline
f(x)=u(x) \times v(x) & f'(x)=u'(x) \times v(x)+u(x) \times v'(x) \\
\hline
f(x)=ku(x) \quad (k \in \R) & f'(x)=ku'(x) \\
\hline
\rule [-2,3ex]{0mm}{6ex}
f(x)=\dfrac{1}{u(x)} & f'(x)=-\dfrac{u'(x)}{[u(x)]^2} \\
\hline
\rule [-2.3ex]{0mm}{6ex}
f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} & f'(x)=\dfrac{u'(x) \times v(x)-u(x) \times
v'(x)}{[v(x)]^2} \\
\hline
f(x)=g(ax+b) & f'(x)=a \times g'(ax+b) \\
\hline
\end{array}
\]


\begin{solintro}
\begin{questions}
\item La fonction $f$ est une fonction rationnelle définie et dérivable sur $ \R \setminus \{0\}$.

Pour tout réel $x$, on a :
\begin{align*}f '(x) &= \dfrac{x(2x+1) - (x^2+x+2)}{x^2} = \dfrac{x^2 - 2}{x^2}.
\end{align*}

\item Soit $a$ un réel non nul.

D'après le cours, la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $a$,  admet comme coefficient directeur $f'(a)$.

La droite $\mathcal{T}$ est parallèle à la droite d'équation:
\[
y = -7x -5
\]
si et seulement si ces deux droites ont même coefficient directeur,\linebreak c'est-à-dire si et seulement si $f '(a) = -7$, soit : 
\begin{align*}
\dfrac{a^2 - 2}{a^2} = -7 & \iff a^2 - 2 = -7a^2\\
					      & \iff 8a^2 = 2\\
					      & \iff a^2 = \frac{1}{4}.
\end{align*}

Cela signifie que :
\[
a=\dfrac{1}{2}\quad\text{ou}\quad a= - \dfrac{1}{2}.
\]

\BreakWithoutItem

On en déduit qu'il existe deux points de la courbe tels que la tangente à la courbe en ces points soit parallèle à la droite d'équation  $y = -7x - 5$. 

\Par

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{align*}
f\left(-\frac{1}{2}\right) 
% & = \frac{\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2-\tfrac{1}{2}+2}{-\tfrac{1}{2}}\\[12pt]
%& = \frac{\tfrac{1}{4}-\tfrac{2}{4}+\tfrac{8}{4}}{-\tfrac{1}{2}}\\[8pt]
%& = \frac{7}{4}\times(-2)\\[8pt]
& = -\dfrac{7}{2}.
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{align*}
f\left(\frac{1}{2}\right) 
%& = \frac{\left(\tfrac{1}{2}\right)^2+\tfrac{1}{2}+2}{\tfrac{1}{2}}\\[12pt]
%& = \frac{\tfrac{1}{4}+\tfrac{2}{4}+\tfrac{8}{4}}{\tfrac{1}{2}}\\[8pt]
%& = \frac{11}{4}\times 2\\[8pt]
& = \dfrac{11}{2}.
\end{align*}
\end{minipage}

\Par\Par

Ce sont les points de coordonnées :

\[
\left( \dfrac{1}{2}~;\dfrac{11}{2} \right)\text{ et }\left( -\dfrac{1}{2}~;-\dfrac{7}{2} \right).
\]
\end{questions}
\end{solintro}

\section{Fonction \og valeur absolue \fg{}  }


\begin{defin}
La fonction \textit{valeur absolue} est la fonction $g$ définie sur $\R$ par l'expression 
\[ 
g(x)=|x|=
\left\{
\begin{array}{rcl}
  x  &\mbox{ si } &x\geqslant 0 \\
  -x &\mbox{ si } &x< 0
\end{array}\right.
\]
\end{defin}

La courbe représentative de la fonction valeur absolue est la suivante:
\begin{center}
\includegraphics{050_2_fig_16}
\end{center}

\begin{prop}[non dérivabilité de la valeur absolue en 0]
La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0.
\end{prop}

\begin{prop}
Pour tout réel $x\neq0$, la dérivée de la fonction $f(x)=|x|$ est:
\[
f'(x) = \frac{|x|}{x}.
\]
\end{prop}

%En effet, 
%\begin{itemize}
%\item pour $x<0$, $f(x)=|x|=-x$ et $\tau(h)=\dfrac{-(a+h)-(-a)}{h}=-1$, donc $f'(0)=-1$;
%\item pour $x>0$, $f(x)=|x|=x$ et $\tau(h)=\dfrac{(a+h)-a}{h}=1$, donc $f'(0)=1$.
%\end{itemize}
%Les deux nombres obtenus étant différents, la fonction n'est pas dérivable en 0.



\newpage


