\chapter{Applications\\de la dérivation}


\begin{exointro}{Lycée Montaigne, Bordeaux}
\'Etudier la fonction $f$ définie sur $\R\setminus\{-2\}$ par : $f(x)=\frac{x^2}{x+2}$.
\end{exointro}

\vspace*{-1em}
\section{Signe de la dérivée et sens de variation}

\begin{thm}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ :
\[
\begin{aligned}
f'(x) \geqslant 0 \quad \text{sur } I & \iff f  \text{ est croissante sur }
I. \\ 
f'(x) \leqslant 0 \quad \text{sur } I & \iff f  \text{ est décroissante sur } I. \\
f'(x) = 0 \quad \text{sur } I & \iff f  \text{ constante sur
} I.
\end{aligned}
\]
\end{thm}
\enlargethispage*{5em}

\begin{center}
\includegraphics{077_2_fig_19}\qquad
\includegraphics{077_2_fig_20}
\includegraphics{077_2_fig_21}
\end{center}

\newpage

\textit{Conséquences :} pour connaître le sens de variation d'une fonction, il faut déterminer le ou les signes de sa dérivée:
\begin{itemize}
\item sur les intervalles où $f'(x)<0$, $f$ est strictement décroissante;
\item sur les intervalles où $f'(x)>0$, $f$ est strictement croissante.
\end{itemize}

\section{Extrema d'une fonction}

Soit $f$ une fonction définie sur $[a~;b]$ et dérivable sur $]a~;b[$ (noter que l'on exclut  les bornes). Soit $x_{0} \in [a~;b]$.
\begin{itemize}
\item  Si $x_{0} \in ]a~;b[$, $f$ admet un extremum local en $x_{0}$ si et seulement si $f'$ s'annule et change de signe en $x_{0}$.
\Par
\begin{center}
\includegraphics{078_2_fig_22}
\end{center}

\Par
\begin{center}
\includegraphics{078_2_fig_23}
\end{center}

\item  Si $x_{0}=a$ ou $x_{0}=b$, il faut regarder le tableau de variation de $f$ pour savoir si elle admet un extremum local en l'un de ces points.
\end{itemize}


\begin{solintro}
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
f'(x) & = \dfrac{2x(x+2)-x^2 \times 1}{(x+2)^2}\\
& = \dfrac{2x^2+4x-x^2}{(x+2)^2}\\
& = \frac{x^2+4x}{(x+2)^2}\\
& = \frac{x(x+4)}{(x+2)^2}.
\end{aligned}$

\item On dresse ensuite un tableau de signes de $f'(x)$.
 \[
  \begin{array}{|C|ccccccccc|}
    \tabulartitle\hline
    x & -\infty &&-4&&-2&&0& &  +\infty\\
    \hline
    x &  & - & & - & & - & 0 & + & \\
    \hline
    x+4 & & - & 0 & +& & +& & +&\\
    \hline
    (x+2)^2 &  & + &  & + & 0 & + &  & + & \\
    \hline
    f'(x) & & + &0&-&\dvline&-&0&+& \\
    \hline
  \end{array}
  \]

\item On dresse alors le tableau de variation de $f$.
 \[
  \begin{array}{|C|ccccccccccc|}
    \hline\tabulartitle
    x & -\infty &&-4&&&-2&&&0& &  +\infty\\
    \hline
    f'(x) & & + &0&-&&\dvline&&-&0&+& \\
    \hline
    &&&-8&&&\dvline&&&&&\\
    f&&\nearrow&&\searrow&&\dvline&&\searrow&&\nearrow&\\
    &&&&&&\dvline&&&0&&\\
    \hline
  \end{array}
  \]
\[ f(-4)=\frac{16}{-2}=-8 \qquad\text{et}\qquad f(0)=0. \]
  \end{itemize}
Par curiosité, on peut tracer la courbe représentative de $f$ sur la calculatrice et vérifier que les variations trouvées sont cohérentes.

\Par

 \begin{center}
    \includegraphics{079_2_fig_1}
  \end{center}
\end{solintro}