\thumb

%%% VF

\begin{vf}{Extremum}{10}
  Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
  \begin{questions}
    \item Soit $f$ la fonction définie sur $I = [1~; 2]$ par $f(x) =
      x^2 + 1$. La fonction $f'$ ne s'annule pas sur $I$ donc $f$
      n'admet pas d'extremum sur $I$.
    \item Si deux fonctions ont la même dérivée, alors elles sont égales.
    \item Si $f'(x_0) = 0$, alors la fonction $f$ admet un extremum en $x_0$.
  \end{questions}
\end{vf}


\begin{corrige}
\begin{questions}
  \item \emph{Faux}. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ ; sa dérivée est définie sur $\mathbb{R}$ par $f'(x) = 2x$. On peut donc remarquer que $f'$ ne s'annule pas sur $I$. Cependant, $f$ est
strictement croissante sur $I$. Elle admet donc un minimum en 1 et un maximum en 2.

  \item \emph{Faux}. Considérons, par exemple, les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 13$ et $g(x) = x^2 - 5$.

    Ces deux fonctions sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x$ réel, 
    \[f'(x) = g'(x) = 2x\,.\]
    
  \item \emph{Faux}. La fonction $f : x \mapsto x^3$ a pour dérivée la fonction $f'$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f'(x) = 3x^2$. $f'$ s'annule en 0 mais ne change pas de signe. La fonction $f$ n'admet pas d'extremum en 0.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%% VF

\begin{vf}{Lecture graphique avec la dérivée}{10}
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[-4~;4]$.\\
La courbe ci-dessous représente la fonction $f'$ dérivée de $f$.
\begin{center}
\includegraphics{080_2_fig_4}
\end{center}

Dire si les affirmations ci-dessous sont vraies ou fausses.
Justifier dans chaque cas.

\begin{questions}
\item $f '(-2) = 0$.
\item La fonction $f$ admet un extremum local en $-\frac{1}{2}$.
\item La fonction $f$ est décroissante sur $[1~;4]$.
\item La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 1 a pour coefficient directeur 2.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \emph{Faux}. La dérivée admet une tangente horizontale, donc $f''(-2) = 0$, mais $f'(-2) = -2$.
\item \emph{Vrai}. En effet, pour $x =-\frac{1}{2}$, la dérivée s'annule et change de signe. $f$ admet donc un extremum en cette valeur. Il s'agit d'ailleurs d'un minimum, puisque $f'$ est d'abord négative, puis positive, donc $f$ est d'abord décroissante, puis croissante.
\item \emph{Faux}. Sur cet intervalle, la fonction dérivée est positive, donc $f$ est croissante.
\item \emph{Vrai}. $f '(1) = 2$, donc le coefficient directeur de la tangente sera bien 2.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% NEW 2024

\begin{exo}{Lecture graphique}{Lycée Carnot, Paris}{1}{5}
On a représenté page ci-contre la courbe représentative de deux fonctions $f$ et $g$ , l'une des deux fonctions étant la dérivée de l'autre.

Retrouver celle qui est la dérivée de l'autre.
\newpage
\begin{center}
\includegraphics{081_appderiv_courbfctder}
\end{center}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{methode}
Pour retrouver par lecture graphique la courbe de la fonction et celle de sa dérivée, on regarde les signes d'une fonction pour voir s'ils sont en adéquation avec les variations de l'autre fonction.
\end{methode}

Regardons le signe de la fonction $f$:
\begin{itemize}
\item $f(x) < 0$ pour $x < -1$;
\item $f(x) > 0$ pour $x > -1$;
\end{itemize}

Ces signes ne correspondent pas aux variations de la fonction $g$: en effet, $g$ est strictement décroissante pour $x<1$ (et non uniquement pour $x<-1$).

Il y a donc de fortes chances pour que $g$ soit la dérivée de $f$. Nous nous en assurons en regardant le signe de $g(x)$:
\begin{itemize}
\item pour $x < 0$, $g(x) > 0$ et $f$ est strictement croissante;
\item pour $x > 0$, $g(x) < 0$ et $f$ est strictement décroissante.
\end{itemize}
On peut alors conclure que $f' = g$.
\end{corrige}

%%% NEW 2024

\begin{exo}{\'Etude d'une fonction cubique}{Lycée Clémenceau, Nantes}{1}{10}
\'Etudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\R$ par:
\[
f(x)=\frac{2}{3}x^3+x^2-4x+1.
\]
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{methode}
Pour étudier les variations d'une fonction, vous pouvez suivre les étapes ci-dessous dans cet ordre:
\begin{itemize}
\item on calcule la dérivée;
\item on étudie le signe de la dérivée;
\item si le signe de la dérivée est constant, on conclut sur les variations; sinon, on construit un tableau de signes et de variations.
\end{itemize}
\end{methode}

Nous devons étudier les variations de la fonction $f$ définie par: 
\[
f(x)=\frac{2}{3}x^3+x^2-4x+1.
\]
\begin{itemize}
\item On calcule la dérivée:
\[
f'(x)  = \frac{2}{3}\times3x^2+2x-4 = 2x^2+2x-4 = 2(x^2+x-2).
\]
\begin{Remarque}il n'est pas nécessaire de factoriser, mais nous l'avons fait ici pour réduire les coefficients afin de faciliter les futurs calculs. Faire preuve d'anticipation peut quelquefois aider.
\end{Remarque}

\item On étudie le signe de la dérivée.

$f'(x)$ est du signe de $x^2+x-2$ (car $2>0$ et donc n'influe pas sur le signe de $f'(x)$).

\og $x_1=1$ \fg{} est une racine évidente de $x^2+x-2$ donc l'autre racine vérifie l'égalité:
\[
x_1x_2 = \frac{c}{a} \iff x_2 = -2.
\]
Ainsi, $f'(x)$ est du signe de $a=1$ sur $]-\infty;-2[$ et sur $]1;+\infty[$, et $f'(x)<0$ entre les racines.

\item Tableau de signes et de variation:
\[
\begin{array}{|R|l c c c c c r|}
\hline
\tabulartitle
x & -\infty &  & -2 &  & 1 &  &+\infty\\
\hline
f'(x) &  & + & 0 & - & 0 & + & \\
\hline
        &   &          & \tfrac{23\strut}{3} &          &                    &          & \\
f(x)    &   & \nearrow &                    & \searrow &                    & \nearrow & \\
        &   &          &                    &          & -\tfrac{4}{3\strut} &          & \\
\hline
\end{array}
\]
\end{itemize}
\end{corrige}

%%% NEW 2024

\begin{exo}{\'Etude d'une fonction rationnelle}{Lycée Clémenceau, Nantes}{1}{10}
Après avoir précisé son domaine de définition, étudier les variations de la fonction $f$ définie par:
\[
f(x)=\frac{x^2+1}{2x+3}.
\]
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{itemize}
\item Domaine de définition de $f(x)=\frac{x^2+1}{2x+3}$.

La fonction $f$ est définie pour tous réels $x$ tels que $2x+3 \neq 0$, soit pour $x \neq -\frac{3}{2}$.

\Par

Ainsi, le domaine de définition de $f$ est $\left]-\infty;-\frac{3}{2}\right[ \cup \left]-\frac{3}{2};+\infty\right[$.

\item Variations de $f$.

$f$ est de la forme $\frac{u}{v}$ avec:
\[
\begin{array}{lll}
u(x)=x^2+1 & \qquad & u'(x)=2x\\
v(x)=2x+3 &  & v'(x)=2
\end{array}
\]
Ainsi,
\begin{align*}
f'(x) & = \left(\frac{u'v-v'u}{v^2}\right)(x)\\
      & = \dfrac{2x(2x+3)-2(x^2+1)}{(2x+3)^2}\\
      & = \frac{4x^2+6x-2x^2-2}{(2x+3)^2}\\
      & = \frac{2x^2+6x-2}{(2x+3)^2}.
\end{align*}

Ainsi, $f'(x)$ est du signe de $2x^2+6x-2$ (car $(2x+3)^2 > 0$), polynôme du second degré dont le discriminant est:
\[
\Delta=6^2-4\times2\times(-2)=36+16=52
\]
et dont les racines sont:
\[
x_1 = \frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-6-\sqrt{52}}{4} =  \frac{-3-\sqrt{13}}{2}
\]
% ERREUR %et sa quantité conjugué:
et sa quantité conjuguée:
\[
x_2 = \frac{-3+\sqrt{13}}{2}.
\]
On en déduit alors le tableau suivant:
\[
\begin{array}{|R|l c c c c c c c r|}
\hline
\tabulartitle
x & -\infty &  & x_1 &   & -\frac{3\strut}{2\strut} & &  x_2 &  &+\infty\\
\hline
f'(x) &  & + & 0 & - & \dvline & - & 0 & + & \\
\hline
      &   &          & f(x_1) &          & \dvline &          &         &          & \\
f(x)  &   & \nearrow &        & \searrow & \dvline & \searrow &         & \nearrow & \\
      &   &          &        &          & \dvline &          &  f(x_2) &          & \\
\hline
\end{array}
\]
\end{itemize}
\begin{attention}
Lorsque $f$ admet au moins une valeur interdite, comme ici, pensez à la prendre en compte dans le tableau final. Il faut donc situer les autres valeurs importantes de $x$ par rapport à ces valeurs interdites.
\end{attention}
\end{corrige}






\sectionnn{Optimisation}

%%%

%\begin{exo}{Recherche d'extrema}{Lycée Jean-Baptiste de La Salle, Saint-Denis}{1}{10}
%Trouvez les extrema de la fonction $f$ définie par :
%\[
%f(x)=x^{3}-4x^{2}+x-2 \,.\
%\]
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%La fonction $f$ est une fonction polynôme définie et dérivable sur $\R$.
%\[
%f'(x)=3x^{2}-8x+1\,.
%\]
%
%$f'$ est un polynôme du second degré. On a donc: 
%\[
%\Delta=64-12=52=\left(2 \sqrt{13}\right)^2.
%\]
%Les racines de $f'$ sont : 
%\[
%\left\{\begin{array}{l}
%\displaystyle x_{1}=\frac{8-2\sqrt{13}}{6}=\frac{4-\sqrt{13}}{3} \approx 0{,}131\\
%\\
%\displaystyle x_{2}=\frac{8+2\sqrt{13}}{6}=\frac{4+\sqrt{13}}{3} \approx 2{,}535
%\end{array}\right.
%\]
%d'où le tableau de variation de $f$ :
%
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|R|ccccc|}
%        \hline\tabulartitle
%        $x$ &  &$x_1$&&$x_2$&   \\
%        \hline
%        $f'(x)$ &  $+$ &  $0$ & $-$ &  $0$ & $+$    \\
%        \hline
%        $f(x)$ &   $\nearrow$ &  &   $\searrow$ &    & $\nearrow$   \\
%        \hline
%\end{tabular}
%\end{center}
% et sa courbe représentative est donnée ci-dessous.
%$f'$ s'annule et change de signe en $x_{1}$ et $x_{2}$. $f$ admet donc deux extrema locaux : un en 
%$x_{1}$ et un second en $x_{2}$.
%\par
%$f$ est croissante sur $\left]-\infty~;x_{1}\right]$, décroissante sur $[x_{1}~;x_{2}]$ et croissante sur\linebreak $[x_{2}~;+\infty[$.\\
%$f$ admet donc un maximum local en $x_{1}$ et un minimum local en $x_{2}$.
%
%\begin{center}
%\includegraphics{091_2_fig_11}
%\end{center}
%\end{corrige}
%
%%%%

%%%

\begin{exo}{Optimisation en économie}{Lycée Odilon Redon, Pauillac}{2}{25}
Une entreprise fabrique et vend chaque jour un nombre $x$ d'objets.\\
Les contraintes de fabrication imposent que le nombre $x$ d'objets soit dans\linebreak l'intervalle $I=[1~;100]$.\\
Chaque objet est vendu 100 euros, et on suppose que tous les objets fabriqués sont vendus. Le coût unitaire de production par objet produit est donné par la fonction $U$ définie sur $I$ par: 
\[
U(x)=2x-83-\frac{900}{x}.
\]
\begin{questions}
\item \label{q1}
\begin{questions}
\item \'Ecrire un programme en Python permettant de déterminer le bénéfice maximal que peut réaliser l'entreprise. 
\item Quel est ce bénéfice maximal ? Pour quelle quantité d'objets \linebreak vendus et fabriqués est-il réalisé ?
\end{questions}
\item 
\begin{questions}
\item Déterminer le bénéfice global $B(x)$ réalisé par l'entreprise pour $x$ objets produits et vendus. 
\item Calculer $B'(x)$ et en déduire le sens de variation de la
fonction $B$ sur $I$. 

\item Retrouve-t-on le résultat de la question \ref{q1} ? 
      Expliquer pourquoi.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item  
\begin{questions}
\item Le nombre $x$ d'objets produits et vendus est un nombre entier. 

%\`A l'aide d'un algorithme, on peut calculer toutes les valeurs du bénéfice réalisé $B(x)$ lorsque $x$ parcourt tous les nombres entiers de 1 à 100. 

Pour $x$ objets, $x\in[1~;100]$,  on calcule successivement le coût unitaire \texttt{U} donné par l'expression de $U(x)$, le coût total \texttt{C=x*U}, la recette réalisée par leur vente \texttt{R=100*x}, et enfin le bénéfice \texttt{B=R-C}. 

Pour chaque valeur de \texttt{x}, on teste la valeur trouvée pour \texttt{B} et on la conserve dans une variable \texttt{M} si elle est plus grande que celle qui y est déjà présente.


On pense aussi à garder de la même façon la valeur de \texttt{x} correspondante.  \enlargethispage*{5em}


\begin{algorithme}{Algorithme}
M $\leftarrow$ 0
S $\leftarrow$ 1
Pour x de 1 à 100
\qquad U $\leftarrow$ 2x-83-900/x
\qquad C $\leftarrow$ x*U
\qquad R $\leftarrow$ 100*x
\qquad B $\leftarrow$ R-C
\qquad Si M$<$B
\qquad\qquad M $\leftarrow$ B
\qquad\qquad S $\leftarrow$ x
\qquad Fin Si
Fin Pour
Afficher S
Afficher M
\end{algorithme}

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.5){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL1M/03-optimEco.py}}}
\vspace*{-5mm}
\begin{listing}{En Python}{03-optimEco.py}\end{listing}

\Par

\item En exécutant l'algorithme précédent, on trouve un bénéfice\linebreak maximal de \numprint{5086}~\euro, obtenu pour $x=46$ objets fabriqués. 
\end{questions}
\item 
\begin{questions}
\item La recette réalisée pour $x$ objets vendus est $R(x)=100x$, et donc, le bénéfice global $B(x)$ réalisé par l'entreprise est donné par: 
\begin{align*}
B(x) & =R(x)-xU(x)\\
&=100x-x\left(2x-83-\frac{900}{x}\right)\\
&=-2x^2+183x+900.\\
\end{align*}


\item Pour tout réel $x\in I$, $B'(x)=-4x+183$. On peut alors dresser le tableau de variation de $B$: 

\[
\begin{array}{|C|ccccc|}
\hline\tabulartitle
x&1&&\frac{183\strut}{4\strut}&&100\\\hline
B'(x)&&+&0&-&\\\hline
&&&5086,125&&\\
B(x)&&\nearrow&&\searrow&\\
\hline
\end{array}
\]

\Par

\item D'après les variations de $B$, on trouve un bénéfice maximum de \numprint{5086,125}~\euro{} pour $x=45,75$ objets vendus et fabriqués. 

On ne retrouve pas exactement le même résultat que précédemment car l'étude des variations de $B$ donne un maximum pour un $x$ réel, et non entier comme dans l'algorithme.

Comme ici le nombre d'objets $x$ est un nombre entier, et que \linebreak  $B(45)=\numprint{5085}$ et $B(46)=\numprint{5086}$, on en déduit que le maximum de \numprint{5086}~\euro{} est obtenu pour $x=46$ objets vendus. 
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


%%%


\begin{exo}{Optimisation dans le plan}{Lycée Pablo Picasso, Fontenay-sous-Bois}{2}{25}
\`A l'intérieur de la feuille de papier rectangulaire $ABCD$ représentée ci-dessous, on dispose d'une zone rectangulaire imprimable $EFGH$ d'aire $150~\text{cm}^2$.

On note $x = DC$ et $y = AD$. Les longueurs sont exprimées en cm et on suppose que $x\in[5~;22]$  et $y>3$.
\begin{center}
\includegraphics{082_2_fig_5}
\end{center}
\begin{questions}
\item Justifier que pour tout $x$ de $[5~;22]$, $y=3+\frac{150}{x-2}$.
\item Cas d'une feuille carrée :
\begin{questions}
\item Démontrer que la feuille est carrée si et seulement si :\[ x^2-5x-144 = 0.\]
\item Existe-t-il des valeurs de $x$ pour lesquelles la feuille est carrée ?\\ Si oui, lesquelles ?
\end{questions}
\item Soit $g$ la fonction qui à tout réel $x$ de $[5~;22]$ associe l'aire, en cm$^2$, de la feuille.
\begin{questions}
\item Démontrer que $g(x)= \frac{3x^2+144x}{x-2}$.
\item Calculer $g'(x)$, étudier son signe et en déduire le tableau de variation de $g$.
\item Pour quelle valeur de $x$ l'aire est-elle minimale ? Quelle est cette aire minimale ?
\end{questions}
\item Pour quelles valeurs de $x$ l'aire est-elle supérieure ou égale à $224~\text{cm}^2$ ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item D'après l'énoncé, l'aire du rectangle $EFGH$ est : $(x-2)(y-3)=150$, soit $y-3=\frac{150}{x-2}$.\\
On a donc bien $y = 3 + \frac{150}{x-2}$.
\item
\begin{questions}
\item Pour que la feuille soit carrée, il faut et il suffit que $x = y$, donc il faut et il suffit que $x = \frac{3x+144}{x-2}$.

On doit donc avoir $x^2 - 2x = 3x + 144$, donc $x^2 - 5x-144 = 0$, ce qui est l'équation proposée.
\item Pour cette équation du second degré, $\Delta = 25 + 4 \times  144 = 601$.\\
Donc il existe a priori deux valeurs de $x$ telles que la feuille soit carrée : $x'=\frac{5-\sqrt{601}}{2}$ et $x''=\frac{5+\sqrt{601}}{2}$.\\
Cependant seule $x"$ est acceptable puisque c'est la seule solution positive de l'équation appartenant à l'intervalle $[5~;22]$.\\
Donc la seule valeur de $x$ pour laquelle la feuille est carrée est $\frac{5+\sqrt{601}}{2}$.
\end{questions}
\item
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
g(x) & = xy\\
&  = x\left(3 + \frac{150}{x-2}\right)\\
& =x\left(\frac{3(x-2)+150}{x-2}\right)\\
& = \frac{3x^2+144x}{x-2}.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
g'(x) & = \frac{(6x+144)(x-2)-(3x^2+144x)}{(x-2)^2}\\
& = \frac{6x^2-12x+144x-288-3x^2-144x}{(x-2)^2}\\
& = \frac{3x^2-12x-288}{(x-2)^2}.
\end{aligned}$

$g'(x)$ s'annule si $3x^2-12x-288=0$.\\
$\Delta=\numprint{3600}$. Le trinôme admet donc deux racines : \[ x'=\frac{12-60}{6}=-8 \text{ et } x''=\frac{12+60}{6}=12.\]
Le trinôme est du signe de $a$, donc positif à l'extérieur des racines, et négatif à l'intérieur des racines.
Le dénominateur est toujours positif.
\[ g(5) = 265 \quad;\quad g(12) = 216\quad ;\quad g(22) = 231. \]
On obtient donc le tableau de variation suivant :

\[
\begin{array}{|C|lcccr|}
\hline\tabulartitle
x & 5 & & 12 & & 22\\
\hline
g'(x) &  & - & 0 & + & \\
\hline
 & 265 &  &  & & 231\\
g(x) &  & \searrow &                 & \nearrow  & \\
     &           & &  216        & &          \\
\hline
\end{array}
\]

\begin{methode}
On ne développe jamais le dénominateur d'une fonction dérivée car son écriture sous la forme d'un carré nous permet d'affirmer qu'il est positif.
\end{methode}
\item D'après le tableau de variation, l'aire est minimale pour $x = 12$, et elle est alors égale à $216~\text{cm}^2$.\\
\end{questions}

\item L'aire est supérieure ou égale à 224 si et seulement si :
\begin{align*}
\frac{3x^2+144x}{x-2}\geqslant 224 & \iff 3x^2+144x \geqslant 224(x-2)\\
& \iff 3x^2-80x+448 \geqslant 0.
\end{align*}

$\Delta=\numprint{1024}$. Les racines du trinôme sont donc : $x'=\frac{80-32}{6}=8$ et $x''=\frac{80+32}{6}=\frac{56}{3}$. Le trinôme est du signe de $a$ (donc positif) à l'extérieur des racines.\\
$x$ étant un nombre de l'intervalle $[5~;22]$, l'aire de la feuille est donc supérieure ou égale à 224 si $x$ est supérieur ou égal à $\frac{56}{3}$, ou si $x$ est inférieur ou égal à 8.\\
L'ensemble solution est donc $[5~;8]\cup\left[\frac{56}{3}~;22\right]$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Optimisation et parabole}{Lycée Teilhard de Chardin, Saint-Maur-des-Fossés}{1}{30}
À l'intérieur de la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y = x^2$ et sous la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 5$, on veut inscrire, comme sur la figure ci-dessous, un rectangle de sorte que l'aire soit la plus grande possible. $M$ et $P$ appartiennent à la parabole $\mathcal{P}$ et $N$ et $Q$ appartiennent à la droite $\mathcal{D}$. Le point $A$ est l'intersection de $\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$ d'abscisse positive.
\begin{center}
\includegraphics{083_2_fig_6}
\end{center}
\begin{questions}
\item Soit $x$ l'abscisse du point $M$ de la parabole situé sur l'arc $\arc{OA}$. \\\enlargethispage*{3em}
Exprimer l'aire du rectangle $MPNQ$ en fonction de $x$.
\item Soit la fonction $f$ qui à $x$ associe l'aire du rectangle $MPNQ$.
\begin{questions}
\item  Quel est son ensemble de définition ?
\item \'Etudier les variations de $f$ sur son ensemble de définition.
\end{questions}
\item Donner la valeur exacte des coordonnées du point $M$ qui correspond à l'aire maximale et donner la valeur exacte de cette aire maximale.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'abscisse de $M$ est $x$ donc son ordonnée est $x^2$.

 L'abscisse de $Q$ est la même que celle de $M$, et son ordonnée est 5.

Par symétrie, l'abscisse de $P$ est $-x$, son ordonnée est $x^2$, et l'abscisse de $N$ est $-x$, et son ordonnée 5.

On a donc $PM = x-(-x) = 2x$ et $MQ = 5-x^2$.

L'aire du rectangle  $MPNQ$ est donc $2x(5-x^2) = 10x-2x^3$.

\newpage

\item $f(x)=10x-2x^3$.
\begin{questions}
\item $x$ est positif et est au plus égal à l'abscisse de $A$ (qui est l'antécédent de 5 par la fonction carré).\\
Donc ${\cal D}_f =\left[0~;\sqrt{5}\right]$.

\item $\begin{aligned}[t]
f'(x) & = 10-6x^2 \\
& = -2(3x^2 - 5)\\
& = -2\left(\sqrt{3}x-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{3}x+\sqrt{5}\right).
\end{aligned}$

Le trinôme est du signe du coefficient de $x^2$ (donc négatif) à l'extérieur de ses racines $-\sqrt{\frac{5}{3}}$ et $\sqrt{\frac{5}{3}}$.\\\enlargethispage*{3em}
De plus,
\begin{itemize}
\item $f(0) = 0$ ;
\item $f\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right)=2\sqrt{\frac{5}{3}}\left(5-\frac{5}{3}\right)=\frac{20}{3}\sqrt{\frac{5}{3}}$ ;
\item $f\left(\sqrt{5}\right)=0$.
\end{itemize}
On obtient donc le tableau de variation suivant :
\[
\begin{array}{|C|lcccr|}
\hline\tabulartitle
x & 0 & & \sqrt{\frac{5}{3}}\strut & & \sqrt{5}\\
\hline
f'(x) &  & + & 0 & - & \\
\hline
 &  &  & \frac{20}{3}\sqrt{\frac{5}{3}}\strut & &  \\
f(x) &  & \nearrow &                 & \searrow  & \\
    &  0         & &         & &   0       \\
\hline
\end{array}
\]
\end{questions}

\item D'après le tableau de variation ci-dessus, le point $M$ correspondant à l'aire maximale a pour abscisse $\sqrt{\frac{5}{3}}$, donc son ordonnée est $\frac{5}{3}$.\\
La valeur exacte de l'aire maximale est, toujours d'après le tableau de variation : $\frac{20}{3}\sqrt{\frac{5}{3}}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%

\begin{exo}{Recherche d'une aire minimale}{Lycée Saint-Louis de Gonzague, Paris}{2}{50}
$ABCD$ est un carré du plan tel que $AB = 2$. $I$ est le milieu de $[AB]$.\\
$M$  est un point variable et différent de $I$ sur la demi-droite 
$[Iz)$, perpendiculaire à la droite $(AB)$ et représentée ci-dessous.
\begin{center}
\includegraphics{084_2_fig_12}
\end{center}        
Les droites $(MA)$ et $(MB)$ coupent la droite $(CD)$ en $P$ et $Q$ respectivement. \\
On pose $IM = x$. $f$ est la fonction qui, à $x$, associe l'aire du triangle $MPQ$.
\begin{questions}
\item Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?
\item
\begin{questions}
\item Montrer que $f(x) = \frac{(x + 2) ^2}{x}$.
\item Où faut-il placer $M$ pour que l'aire du triangle $MPQ$ soit\linebreak minimale ?
\end{questions}
\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'ensemble de définition de $f$, 
      \[
      f(x)=x+4+\frac{4}{x}.
      \]
\item Déterminer,  par un calcul mental simple, l'arrondi à l'unité  
de la mesure de l'aire du triangle $MPQ$ lorsque $x = \numprint{1980}$.  Justifier.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Le point $M$ appartient à la demi-droite $[Iz)$ et il est 
différent de $I$, donc $IM > 0$. L'ensemble de définition de la fonction $f$ est $]0~;+\infty[$.
\item 
\begin{questions}
\item Soit $H$ le point d'intersection des droites $(IM)$ et $(DC)$.  Comme $ABCD$ est un carré, les droites $(AB)$ et $(DC)$ sont parallèles donc la droite $(IM)$ qui est perpendiculaire à $(AB)$ est aussi perpendiculaire à $(DC)$.\\
On a donc :\[f(x) = \dfrac{1}{2} PQ \times MH=PH\times MH.\]
Or, le point $I$ appartient au segment $[MH]$ donc :
\[MH = MI + IH = 2 + x. \]
En appliquant le théorème de Thalès au triangle $MPH$, on obtient  :
\[
\frac{MI}{MH} = \frac{AI}{PH},
\]
soit  :
\[
\frac{x}{x+2} = \frac{1}{PH}.
\]
On en déduit que :
\[
PH =\frac{x+2}{x}.
\]
En remplaçant alors dans l'expression de $f(x)$, on obtient :
\[                                           
 f(x) =\frac{ (x + 2) ^2}{ x }.
\]
\item Pour déterminer l'aire minimale du triangle $MPQ$, on étudie les variations de la fonction $f$. La fonction $f$ est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur son ensemble de définition et, pour tout $x > 0$ :
 \[
f'(x) = \frac{2x(x+2) - (x+2)^2 }{x^2},
 \]
soit :
 \[
 f'(x) =\frac{(x-2)(x+2)}{x^2}.
 \]
Comme $x+2$ et $x^2$ sont strictement positifs sur $]0~;+\infty[$, $f '(x)$ est du signe de $x-2$. Il en résulte que $f$ est strictement décroissante sur $]0~;2]$ et strictement croissante sur $]2~;+\infty[$.\\
Donc la fonction $f$ admet un minimum pour $x = 2$.\\
L'aire du triangle $MPQ$ est minimale lorsque $IM = 2$.
\end{questions}

\item Pour tout réel $x$ de $]0~;+\infty[$, on a: 
      \[
      x+4+\frac{4}{x}=\frac{x(x+4)+4}{x}
      =\frac{x^2+4x+4}{x}
      =\frac{(x+2)^2}{x}
      =f(x).
      \]
\item Pour déterminer l'arrondi à l'unité de la mesure de l'aire du triangle $MPQ$ lorsque $x = \numprint{1980}$, on utilise l'écriture :
 \[f(x) = x + 4 + \frac{4}{x}.\]
On a alors  :
\[
f(\numprint{1980}) = \numprint{1984} +\frac{4}{\numprint{1980}}.
\]
On en déduit que l'arrondi cherché est \numprint{1984}.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%

\begin{exo}{Optimisation dans l'espace}{Lycée international Victor Hugo, Colomiers}{3}{25}
$ABCDEFGH$ est un cube d'arête 6 cm.\\
$M$ est un point de $[AB]$ et $I$ un point de $[AE]$ tels que $AM = EI = x$.\\
On construit à l'intérieur du cube le parallélépipède rectangle $AMNPIJKL$ tel que $AMNP$ soit un carré.
\begin{questions}
\item Quelles sont les valeurs possibles de $x$ ?
\item Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle le volume du parallélépipède rectangle $AMNPIJKL$ est maximal, et donner ce volume.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
Voici la figure correspondant à l'énoncé :
\begin{center}
\includegraphics{095_2_fig_7}
\end{center}
\begin{questions}
\item $x$ est une longueur donc $x\geqslant 0$. Par ailleurs, le côté du cube étant 6, $x\leqslant 6$ .\\
Donc $0 \leqslant x\leqslant 6$.

\item \begin{methode}
Aucune indication n'est donnée pour traiter cette question, et c'est volontaire. Le mot \emph{maximale} doit faire penser à \emph{optimisation}, et cela doit faire penser à sens de variation.
\end{methode}

On va donc chercher à exprimer en fonction de $x$ le volume du parallélépipède rectangle $AMNPIJKL$, et on étudiera les variations de cette fonction.\\\enlargethispage*{\baselineskip}
La base de ce parallélépipède a pour aire $x^2$, et la hauteur est $6-x$, donc son volume est $V(x) = x^2(6-x) = -x^3 + 6x^2$.\\
$V'(x) = -3x^2 + 12x = -3x(x-4)$.\\
$V'(x)$ est un trinôme du second degré dont on connaît les racines (0 et 4), donc on connaît son signe.\
$V(0) = 0$ ; $V(4) = 32$ ; $V(6) = 0$.\\
On obtient donc le tableau de variation suivant pour la fonction $V(x)$ :

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\[
\begin{array}{|C|lcccr|}
\hline\tabulartitle
x & 0 & & 4 & & 6\\
\hline
V'(x) &  & + & 0 & - & \\
\hline
 & & &32  & & \\
V(x) &  & \nearrow &                 & \searrow  & \\
    &  0         & &         & &     0     \\
\hline
\end{array}
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
D'après ce tableau de variation, la valeur de $x$ pour laquelle le volume est maximal est 4, et le volume maximal est 32 (le tout exprimé en cm et cm$^3$).
\end{minipage}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Recherche des extrema d'une aire}{Lycée Montesquieu, Herblay}{3}{45}
On découpe une ficelle de longueur $l$ en deux morceaux ; avec l'un d'eux, on forme un triangle équilatéral, et avec l'autre, un carré. 
\par
Comment couper la ficelle pour que la somme des aires obtenues soit \linebreak minimale ? maximale ?
\end{exo}

\begin{corrige}
Soit $\ell$ la longueur de la ficelle, $x$ celle du côté du  carré et $y$ celle du côté du triangle équilatéral.
\par
On a les conditions : $x \geq 0$ , $y \geq 0$ et, comme $\ell = 4x + 3y$,  $\frac{\ell}{4} \geq x$.\\
La somme des aires du carré et du triangle est :
\[
S(x) = x^2 + \frac{1}{2}y \left( \frac{y \sqrt{3}}{2} \right)=x^2+\frac{y^2\sqrt{3}}{4}.\]
En effet, on démontre facilement par le théorème de Pythagore ou la trigonométrie que la hauteur d'un triangle équilatéral de côté $y$ mesure $\frac{y\sqrt{3}}{2}$.
\Par
Or $y = \frac{\ell-4x}{3}$, donc : $\begin{aligned}[t]
S(x) &= x^2 + \frac{\sqrt{3}}{4} \left[\frac{\ell - 4x}{3}\right]^2
\\
& = x^2 \left(1 + \frac{4 \sqrt{3} }{9} \right) - 2x\ell \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{ \ell^2 \sqrt{3}}{36}.
\end{aligned}$


Étudions alors les variations de la fonction $S$ définie sur $\left[ 0~;\dfrac{\ell}{4} \right] $ par :
\[
S(x) =  x^2 \left(1 + \frac{4 \sqrt{3} }{9} \right) - 2x\ell \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{ \ell^2 \sqrt{3}}{36}.
\]
$S$ est dérivable sur $\left[ 0~;\dfrac{\ell}{4} \right] $ en tant que fonction polynôme.
Pour tout $x$ de $\left[ 0~; \dfrac{\ell}{4} \right] $, on a : $
S'(x) = 2x \left(1 + \frac{4 \sqrt{3} }{9} \right) - 2\ell \frac{\sqrt{3}}{9}$.

$S'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x \big(9 + 4\sqrt{3}\big)=2\ell\sqrt{3}  \Leftrightarrow x = \dfrac{\ell\sqrt3}{9+4\sqrt{3}}\textcolor{DR}{\times\frac{\sqrt3}{\sqrt3}}=\frac{\ell}{3\sqrt3+4}$.
\par
On vérifie que $\dfrac{\ell}{3\sqrt{3}+4}$ est dans l'intervalle $ \left[ 0~;\dfrac{\ell}{4} \right] $.
\Par
$S '(x) \geq 0$ équivaut à :
\[
2x \left(1 + \frac{4 \sqrt{3} }{9} \right) - 2\ell \frac{\sqrt{3}}{9} \geq 0,\text{ soit : }x \geq \dfrac{\ell}{3\sqrt{3}+4}.
\]
La fonction $S$ est donc décroissante sur $\left[0~;\dfrac{\ell}{3\sqrt{3}+4}\right]$ et croissante sur\linebreak $\left[ \dfrac{\ell}{3\sqrt{3}+4}~; \dfrac{\ell}{4} \right]$.
\par
On en déduit que la fonction $S$ admet un minimum en $\dfrac{\ell}{3\sqrt{3}+4}$.
\par
La somme des aires du carré et du triangle est minimale lorsque $x = \dfrac{\ell}{3\sqrt{3}+4}$.
\Par
Pour savoir pour quelle valeur de $x$  la somme des aires est maximale, il faut comparer les 
valeurs de $S(0)$ et de $S \left( \dfrac{\ell}{4}\right)$.
\par
On a :
\[
S(0) = \frac{\ell^2}{12 \sqrt{3}} \qquad \text{et} \qquad 
S \left(\frac{\ell}{4} \right) =\frac{\ell^2}{16}.
\]
Or $16 < 12\sqrt{3}$  donc :
\[S \left(\frac{\ell}{4} \right)  > S(0). \]

On en déduit que la somme des aires est maximale lorsque $x = \dfrac{\ell}{4}$, c'est-à-dire lorsque l'on garde toute la ficelle pour faire le carré.
\end{corrige}


%%%

\begin{exo}{Un problème de minimisation d'aire}{Lycée Riquet, Saint-Orens}{3}{45}
\begin{questions}
\item Déterminer suivant les valeurs de $x$, le signe de $x^3 - 216$.\\
On pourra remarquer que $216 = 6^3$.
\item Un laboratoire pharmaceutique fabrique un produit solide conditionné  sous la forme d'un petit parallélépipède rectangle dont le volume est  égal à $576~\text{mm}^3$.
\par
On note $y$ la hauteur ; ses autres dimensions sont $x$ et $2x$ ( $x$ et $y$ sont en mm).
\begin{questions}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-55mm}
\item Calculer $y$ en fonction de $x$.
\item Démontrer que la surface totale, en mm$^2$, de ce solide est donnée par la fonction $S$ définie pour $x \not= 0$ par :
\[
S(x) = 4 \left( x^2 + \frac{432}{x} \right).
\]
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{50mm}
\includegraphics{085_2_fig_13}
\end{minipage}
\item Les conditions d'emballage imposent que $x$ soit compris entre 3 et 12 mm. \'Etudier le sens de variation de $S$ sur l'intervalle $[3~;12]$ et en déduire les dimensions du parallélépipède rectangle pour que la surface totale soit minimale.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f\;:\;x\mapsto x^3$ est croissante sur $\R$. \\
Donc pour tout $x > 6$, $x^3 > 6^3$ soit $x^3 > 216$. 
On en déduit alors que $x^3 -216 > 0$ pour $x>6$.
\par
Pour tout $x < 6$, $x^3 < 6^3$ soit $x^3 < 216$. On en déduit alors que\linebreak $x^3 -216 < 0$.

\begin{center}\morestretch
        \begin{tabular}{|C|ccccc|}
                \hline\tabulartitle
                $x$ & $-\infty$ && $6$ && $+\infty$  \\
                \hline
                 &  &  && $\nearrow$&   \\
                $f(x)=x^3$ &&& $6^3=216$ &&  \\
                 && $\nearrow$ && &   \\
                \hline
                $x^3-216$ && $-$ &$0$& $+$& \\\hline
        \end{tabular}
\end{center}

\item
\begin{questions}
\item Le volume du parallélépipède est $x \times 2x \times y$. \\
On a donc $2x^2y = 576$. On en déduit que $y = \dfrac{288}{x^2}$.
\item La surface totale de ce solide est $S(x) = 2xy + 2y (2x) + 2 (2x) x$  soit $S(x) = 6xy + 4x^2$.\\
On remplace alors $y$ par la valeur trouvée à la question précédente.
\[
S(x) = 4x^2 + 6x \left( \frac{288}{x^2} \right) = 4 \left(x^2 + \frac{432}{x} \right).
\]
\item La fonction $S$ est une fonction rationnelle donc elle est 
dérivable sur $[3~;12]$.
\par
Pour tout $x$ de $[3~;12]$ :
\[
S'(x) = 4 \left(  2x - \frac{432}{x^2} \right).
\]
Soit après réduction au même dénominateur et factorisation :
\[
S'(x) = 8 \left( \frac{x ^3 - 216}{x^2} \right).
\]
Sur l'intervalle $[3~;12]$, $\dfrac{8}{x^2}$ est strictement positif donc $S'(x)$ est du signe de $x^3- 216$, qui a été étudié dans la question 1.
\par
Il en résulte que $S'(x) > 0$ sur $\left]6~;12\right]$, donc $S$ est strictement\linebreak croissante sur $\left]6~;12 \right]$ et
$S'(x) <  0$ sur $\left[3~;6 \right[$. Ainsi, $S$ est strictement décroissante sur $\left[3~;6 \right[$.
\par
$S$ admet donc un minimum en $x = 6$.
\par
On en déduit que les dimensions du parallélépipède pour que la 
surface totale soit minimale sont  6 mm, 12 mm et $\dfrac{288}{36}$ 
soit 8 mm.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

\thumb
\AfficheCorrige
