\thumb

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex 1

\begin{vf}{Fonction exponentielle}{10}
Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{questions}
\item Pour tous réels $a$ et $b$, $\nep^{a-b}=\dfrac{\nep^a}{\nep^b}$.

\item Le nombre $-\nep^{-x}$ est toujours strictement positif.

\item La droite d'équation $y=x+1$ est tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 1.
 
\item La tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{1+\nep^x}$ au point d'abscisse 0 est parallèle à la droite d'équation $y=-\dfrac{1}{4}x$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
Vrai. Il s'agit d'une formule du cours.
\item
Faux. D'après les propriétés de la fonction exponentielle le réel $\nep^{-x}$ est toujours strictement positif donc $-\nep^{-x}$ est toujours strictement négatif.
\item
Faux. La droite d'équation $y=x+1$ est tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 0 et non au point d'abscisse 1.
\item
Vrai. Le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe au point d'abscisse 0 est $f'(0)$. Or, la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{-\nep^x}{(1+\nep^x)^2}$ donc $f'(0)=-\dfrac{1}{4}$. La tangente $\mathcal{T}$ et la droite d'équation $y=-\frac{1}{4}$ sont deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées et de même coefficient directeur donc elles sont parallèles.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex 2
\begin{qcm}{Dérivation}{10}
Pour chacune des questions suivantes, une seule des propositions est exacte. Laquelle ?
\begin{questions}
\item La dérivée de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x\nep^x+3x+\nep^{-x}$ est :\par 
	\choix $x \mapsto \nep^x (x+1) +3 + \nep^{-x}$ \\
	\choix $x \mapsto \nep^x+3 - \nep ^{-x}$ \\
	\choix $x \mapsto \nep^x(x+1)+3 - \nep ^{-x}$ \resetchoix

\item La dérivée de la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=(x+1)\nep^{3-5x}$ est:\par 
\choix $x\mapsto -(5x+4)\nep^{3-5x}$\\
\choix $x\mapsto -5\nep^{3-5x}$\\
\choix $x\mapsto (3x+4)\nep^{3-5x}$\resetchoix

\item Soient $f$ et $g$ définies par $f(x) = x^2 \nep^x$ et $g(x)=x\nep^x$. Les courbes représentatives de $f$ et $g$ ont, pour deux valeurs de $x$ : \\
	\choix des tangentes communes \\
	\choix des tangentes parallèles \\
	\choix ni l'un ni l'autre \resetchoix
	
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \nep^{0,5x+2}$. La tangente à sa courbe représentative dans un repère au point d'abscisse $0$ a pour équation :\\
\choix $y=0,5x+5$\\
\choix $y=0,5\nep^2x$\\
\choix $y=0,5\nep^2x+\nep^2$
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. On a : $f'(x)=\nep^x+x\nep^x+3-\nep^{-x}$. 

\item Réponse \choix[a]. $g$ est un produit de la forme $u \times v$ avec $u(x)=x+1$ et $v(x)=\nep^{3-5x}$. Donc $g'=u'v+uv'$.

$u'(x)=1$ et $v'(x)=-5\nep^{3-5x}$ donc :
\begin{align*}
g'(x) & = 1 \times \nep^{3-5x} + (x+1)\times(-5)\nep^{3-5x}\\
& = \big[ 1 - 5(x+1) \big]\nep^{3-5x}\\
& = (1-5x-5)\nep^{3-5x}\\
& = (-5x-4)\nep^{3-5x}\\
& = -(5x+4)\nep^{3-5x}.
\end{align*}

\item  Réponse \choix[b]. On a : 
\begin{align*}
f'(x) & = 2x\nep^x + x^2\nep^x = x(x+2)\nep^x.\\
g'(x) & = 1\nep^x+x\nep^x = (x+1)\nep^x.
\end{align*}
\[ 
\begin{aligned}
f'(x)=g'(x) &\iff  x(x+2)\nep^x=(x+1)\nep^x\\
& \iff x(x+2)=x+1\text{ car }\nep^x\neq0\\
& \iff x^2+x-1=0.
\end{aligned}
\] 
Les solutions de cette dernière équation sont:
\[
x_1=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}.
\]
En $x_1$, l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ est:
\[ y = f'(x_1)(x-x_1)+f(x_1). \]
En $x_1$, l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $g$ est:
\[ y = g'(x_1)(x-x_1)+g(x_1). \]
Après calculs, on voit que les deux équations ne sont pas équivalentes, donc les tangentes sont distinctes, tout en ayant des coefficients directeurs égaux. Elles sont donc strictement parallèles.

Ce raisonnement est aussi valable en $x_2$.


\item Réponse \choix[c]. $f(0)=\nep^2$.\\
$f'(x)=0,5\nep^{0,5x+2}$. Donc $f'(0)=0,5\nep^2$.\\
La tangente a donc pour équation $y=0,5\nep^2(x-0)+\nep^2$, soit\linebreak $y=0,5\nep^2x+\nep^2$. 
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex 3
\newpage
\begin{qcm}{Connaissances générales}{15}
Pour chaque affirmation, une seule réponse est juste. Pour chaque question donner la lettre correspondant à la bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.

\begin{questions}
\item L'expression $g(x)=\dfrac{\nep^x-\nep^{2x}}{x}$ définie sur $\R^*$ est :\par\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{} toujours positive & 
\choix{} toujours négative \\[6pt]
\choix{} du signe de $-x$ & 
\choix{} du signe de $x$
\end{tabularx}

\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{\nep^x-\nep^{-x}}{\nep^x+\nep^{-x}}$.

Parmi les expressions suivantes, la seule qui n'est pas égale à $f(x)$ est :\par\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{} $\dfrac{\nep^{2x}-1}{\nep^{2x}+1}$ & 
\choix{} $1-\dfrac{2}{\nep^{2x}+1}$\\[10pt]
\choix{} $\dfrac{1-\nep^{-2x}}{1+\nep^{-2x}}$ & 
\choix{} $\dfrac{\nep^{2x}-1}{1+\nep^{-2x}}$
\end{tabularx}

\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(x+2)\nep^{-x}$.\par\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}Zl@{\;\,}X@{}}
\choix{} & La représentation graphique de $f$ admet une tangente d'équation  $y=2-x$.\\
\choix{} & $f'(x)=(x+3)\nep^{-x}$.\\
\choix{} & Une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 0 est $y=x+2$.\\
\choix{} & $f'(-1)=2\nep$.
\end{tabularx}

\item L'équation $\nep^{-x}+\nep^{x}=m$, d'inconnue réelle $x$, où $m$ est un nombre réel :\par\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{} a toujours une solution &
\choix{} a au moins deux solutions\\[6pt]
\choix{} n'a jamais de solution &
\choix{} a au plus deux solutions
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. $g(x)=\dfrac{\nep^x-\nep^{2x}}{x}=\dfrac{\nep^x\left(1-\nep^x\right)}{x}$.

Tableau de signes :

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|Zc>{\centering\arraybackslash}m{1.5cm}Zc>{\centering\arraybackslash}m{1.5cm}Zc|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & $0$ &  & $+\infty$\\
\hline
$\nep^x$ &  & $+$ &  & $+$ & \\
\hline
$1-\nep^x$ &  & $+$ & $0$ & $-$ & \\
\hline
$x$ &  & $-$ & $0$ & $+$ & \\
\hline
$g(x)$ & & $-$ & $\|$ & $-$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On constate que $g(x)$ est toujours négative.

\item Réponse \choix[d]. 
\[
\dfrac{\nep^{2x}-1}{1+\nep^{-2x}}=\dfrac{\nep^{-x}\left(\nep^{3x}-\nep^x\right)}{\nep^{-x}\left(\nep^x+\nep^{-x}\right)}=\dfrac{\nep^{3x}-\nep^x}{\nep^x+\nep^{-x}}.
\]
Cette expression est égale à $f(x)$ si $\nep^x-\nep^{-x}=\nep^{3x}-\nep^x$.

Or, il existe au moins une valeur de $x$ pour laquelle cette égalité n'est pas vérifiée (par exemple pour $x=1$, on vérifie facilement que\linebreak $\nep-\nep^{-1}\neq\nep^3-\nep$). La proposition \choix[d] est donc fausse.

\item Réponse \choix[a]. $f'(x)=\nep^{-x}(1-x-2)=\nep^{-x}(-1-x)$.

On a alors $f(0)=2$ et $f'(0)=-1$. Donc la droite d'équation\linebreak $y=-x+2$ est l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 0.

Si on ne pense pas au point d'abscisse 0, il est facile de montrer, une fois la dérivée calculée, que les 3 autres propositions sont fausses.

\item Réponse \choix[d]. Comme $\nep^x\neq0$, en multipliant les deux termes de\linebreak l'équation par $\nep^x$, on obtient une équation équivalente :
\[ \left(\nep^x\right)^2+1=m\nep^x.\]

Puis en posant $X=\nep^x$, on a une équation du second degré : \[ X^2-mX+1=0.\]
Le discriminant de cette équation vaut $m^2-4=(m-2)(m+2)$. Selon les valeurs de $m$, l'équation en $X$ a donc zéro, une ou deux solutions (cela élimine donc les réponses \choix[a] et \choix[b]). Pour avoir une solution en $x$, il faut de plus que l'équation en $X$ ait une solution positive.

Il est facile de voir que pour $m=2$, l'équation $X^2-2X+1=0$ admet \og 1 \fg{} comme racine, donc au moins dans ce cas, l'équation $\nep^{-x}+\nep^x=m$ admet une solution, ce qui élimine la réponse \choix[c].
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex 4

\begin{qcm}{Propriétés de la fonction exponentielle}{20}
Pour chaque question, une seule réponse est correcte. Laquelle?
\begin{questions}
\item Pour tout nombre réel $x$ non nul, $2-\dfrac{\nep^{-x}-2}{\nep^{-x}-1} $ est égal à :\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $\dfrac{3\nep^{-x}-4}{\nep^{-x}-1}$ &
\choix $\dfrac{1}{1-\nep^x}$
\end{tabularx}

\choix Aucune de ces deux réponses.


\item L'équation $\nep^{2x}-\left(\nep+\dfrac{1}{\nep}\right) \nep^x+1 = 0$ admet dans $\R$ :\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix une solution  &
\choix deux solutions\\
\choix aucune solution &
\end{tabularx}
	
\item L'inéquation $\nep^{2x}-(\nep+1)\nep^x+\nep<0$ admet pour ensemble solution :\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $\varnothing$ & \choix $]0~;1[$ \\
\choix $]1~;\nep[$ & \choix $]-\infty~;0[ \cup ]1~;+\infty[$
\end{tabularx}
	
\item Les nombres $\dfrac{\nep^x-\nep^{-x}}{\nep^x+\nep^{-x}}$ et $\dfrac{\nep^{2x}+1}{\nep^{2x}-1}$ sont, pour tout $x$ réel :\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix égaux & \choix inverses\\
\choix opposés &
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. On a :
\begin{align*}
2- \dfrac{\nep^{-x}-2}{\nep^{-x}-1}& = \dfrac{2\nep^{-x}-2-\nep^{-x}+2}{\nep^{-x}-1}\\
& = \dfrac{\nep^{-x}}{\nep^{-x}-1}\\
& = \dfrac{1}{1-\nep^x}\qquad\text{en multipliant haut et bas par }\nep^x. 
\end{align*}

\item Réponse \choix[b]. On pose $\nep^x = X$.

L'équation devient alors $X^2-\left(\nep + \dfrac{1}{\nep} \right)X+1=0$. On calcule :

\[ \Delta = \left( \nep + \dfrac{1}{\nep} \right)^2-4 = \nep^2+2+\dfrac{1}{\nep^2}-4 = \nep^2-2+\dfrac{1}{\nep^2} = \left( \nep-\dfrac{1}{\nep} \right)^2. \]
Le discriminant est strictement positif et les deux solutions sont :
\[ X_1 = \dfrac{\nep+\dfrac{1}{\nep} -\nep+\dfrac{1}{\nep}}{2} = \dfrac{1}{\nep}  \quad \text{et} \quad X_2 = \dfrac{\nep + \dfrac{1}{\nep} + \nep - \dfrac{1}{\nep}}{2} = \nep. \]

On a donc soit $\nep^x = \nep^{-1} \Leftrightarrow x=-1$, soit $\nep^x=\nep\Leftrightarrow x=1$. 

L'équation admet donc deux solutions, 1 et $-1$.

\item Réponse \choix[b]. Ici aussi, on pose $X=\nep^x$.

On obtient alors l'expression $X^2-(\nep+1)X+\nep$.
\[\Delta = (\nep +1)^2 - 4\nep = \nep^2+2\nep+1-4\nep = \nep^2-2\nep +1 = (\nep-1)^2. \]
Le trinôme en X a deux racines, $\nep$ et $1$.

On peut donc factoriser l'expression de départ :
\[ 
\nep^{2x} -(\nep+1) \nep^x+\nep   = (\nep^x-1)(\nep^x-\nep). \]
On a donc :
\begin{align*} 
\nep ^x-1>0 & \iff \nep^x>1\\
& \iff x > 0
\end{align*}
et
\begin{align*}
\nep^x-\nep>0\\
& \iff \nep^x>\nep\\
& \iff x>1 .
\end{align*}

On obtient donc le tableau de signes suivant :
\[ 
\begin{array}{|C|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
x& -\infty & &0  & & 1 & & +\infty \\\hline
\nep^x-1 & &-&0&+& & + & \\\hline
\nep^x-\nep & &-& &-&0 & + & \\\hline
(\nep^x-1)(\nep^x-\nep) & &+&0 &-&0 & + & \\\hline
\end{array}
\]

\item Réponse \choix[b]. En multipliant par $\nep^x$ le numérateur et le dénominateur, et en simplifiant, on a :
\[
\dfrac{\nep^x -\nep^{-x}}{\nep^x+\nep^{-x}} = \dfrac{\nep^x(\nep^x-\nep^{-x})}{\nep^x(\nep^x+\nep^{-x})} = \dfrac{\nep^{2x}-1}{\nep^{2x}+1}.\]
\Par
Ces deux nombres sont donc inverses. 
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Propriétés algébriques, équations et inéquations}

%% ex 5

\begin{exo}{Propriétés algébriques} {Lycée Jules Ferry, Conflans-Sainte-Honorine}{1}{5}
Simplifier et factoriser si possible les expressions suivantes :
\[ A = \frac{\nep^{x +y}}{\nep^{x}}-\nep^{2y} \qquad B = \frac{\nep^{2x +2y}}{\nep^{x}\nep^{2y}}. \]
\end{exo}


\begin{corrige}
On utilise ici les propriétés algébriques de la fonction exponentielle :
\begin{align*}
A& = \nep^{x +y-x}-\nep^{2y}\\
& = \nep^{y}-\nep^{2y}\\
& = \nep^{y}(1-\nep^{y}).\\[8pt]
B & = \nep^{2x +2y-x-2y} = \nep^{x}.
\end{align*}
\end{corrige}


%% ex 6

\begin{exo}{Équation}{Lycée Lacordaire, Marseille}{1}{5}
Résoudre l'équation suivante dans $\R$ :
\[ 
\frac{\nep^{3x}\nep^{x}}{\nep^{2x}}-\nep^{x} = 0. 
\]
\end{exo}

\begin{corrige}
Une simplification est possible en se ramenant à une situation
$ \nep^{U} = \nep^{V}$ :
\begin{align*}
 \nep^{3x +x-2x} - \nep^{x} = 0
 & \iff \nep^{3x +x-2x} = \nep^{x} \\
 & \iff \nep^{2x} = \nep^{x} \\
 & \iff 2x = x \quad \text{ par stricte croissance de } \exp \\
 & \iff x = 0.
\end{align*}
\newpage
\end{corrige}

%%% ex 7

\begin{exo}{Équation}{Lycée Le Corbusier, Poissy}{1}{5}
Résoudre l'équation suivante dans $\R$ :
\[ \nep^{3x-1}\times \nep^{x +2} = 1. \]
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{align*}
\nep^{3x-1}\times \nep^{x +2} = 1 & \iff \nep^{(3x-1) +(x +2)} = 1 \\
        & \iff \nep^{4x +1} = \nep^0 \\
        & \iff 4x +1 = 0 \qquad \text{(par propriété du cours)}\\
        & \iff x = -\frac{1}{4}
\end{align*}
La solution de $(F)$ est donc : $-\dfrac{1}{4}$.
\end{corrige}

%% ex 8

\begin{exo}{Inéquations}{Lycée Camille Jullian, Bordeaux}{2}{15} 
Résoudre les inéquations suivantes :
\begin{questions}
\item $\nep^{3x-5} \leqslant \nep^{-x^2+7}$
\item $\nep^{3x-1} > \nep^{5x-4}$
\item $\nep^{2x}+\nep^{x}-2 < 0$
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
\nep^{3x-5} \leqslant \nep^{-x^2+7} & \iff 3x-5 \leqslant -x^2+7  \text{ (par propriété du cours)}\\
& \iff x^2+3x-12 \leqslant0.
\end{aligned}$

Le discriminant du polynôme $x^2+3x-12$ est $\Delta=9+48=57$ donc ce dernier a deux racines :
\[
x_1=\dfrac{-3-\sqrt{57}}{2}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{-3+\sqrt{57}}{2}.
\]
Il est du signe de $-a$ (donc négatif ici) entre les racines donc l'ensemble solution de l'inéquation est :
\[
S = \left[ \dfrac{-3-\sqrt{57}}{2} ~;~ \dfrac{-3+\sqrt{57}}{2} \right].
\]

\item $\begin{aligned}[t]
\nep^{3x-1} > \nep^{5x-4} & \iff \dfrac{\nep^{3x-1}}{\nep^{5x-4}}>1\\
& \iff \nep^{3x-1-(5x-4)} > \nep^0\\
& \iff \nep^{-2x+3} > \nep^0\\
& \iff -2x+3 > 0\\
& \iff -2x > -3\\
& \iff x < \dfrac{3}{2}.
\end{aligned}$

L'ensemble solution de l'inéquation est donc :
\[
 S = \left]-\infty ~;~\dfrac{3}{2}\right[.
 \]
 
\item $\nep^{2x}+\nep^{x}-2 < 0 \iff \big(\nep^x\big)^2 + \nep^x-2<0$.

Pour résoudre cette inéquation, on pose $X = \nep^x$. Ainsi,
\[
\nep^{2x}+\nep^{x}-2 < 0 \iff X^2+X-2<0.
\]
Le polynôme $X^2+X-2$ admet $X_1=1$ comme racine évidente donc la seconde racine $X_2$ est telle que $X_1X_2=\dfrac{c}{a}$, soit $X_2=-2$. Ainsi,
\[
X^2+X-2=(X-1)(X+2)\quad\text{donc}\quad \nep^{2x}+\nep^x-2=\big(\nep^x-1\big)\big(\nep^x+2\big).
\]
De plus, pour tout réel $x$, 
\[
\nep^x>0\text{ donc } \nep^{x}+2>0.
\]
Ainsi,
\begin{align*}
\nep^{2x}+\nep^x-2 < 0 & \iff \big(\nep^x-1\big)\big(\nep^x+2\big)<0\\
& \iff \nep^x-1<0\\
& \iff \nep^x < 1\\
& \iff \nep^x < \nep^0\\
& \iff x < 0.
\end{align*}

L'ensemble solution de l'inéquation est donc:
\[
S = ]-\infty~;~0[.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{\'Etudes de fonctions}

%%% 2024

\begin{exo}{Dérivée et tangente}{Notre-Dame-de-Boulogne, Boulogne}{1}{10}
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par:
\[
f(x)=(2-x)\nep^x.
\]
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

Montrer que pour tout nombre réel $x$, $f'(x)=(1-x)\nep^x$.
\item En déduire les variations de $f$ sur $\R$.
\end{questions}

\item Déterminer une équation de la tangente  $\mathcal{T}$ à $\mathcal{C}$ au point $A$ d'abscisse 0.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $f$ est de la forme $u \times v$ avec:
\[
\begin{array}{lll}
u(x)=2-x & \qquad & v(x)={\color{DR}\nep^x}\\
u'(x)=-1 &  & v'(x) = {\color{DG}\nep^x}
\end{array}
\]
Ainsi,
\begin{align*}
f'(x) & = (u'v+v'u)(x)\\
      & = -1 \times {\color{DR}\nep^x} + (2-x)\times{\color{DG}\nep^x}\\
      & = \big[-1 + (2-x) \big]{\color{DB}\nep^x}\\
      & = (-1+2-x)\nep^x\\
      & = (1-x)\nep^x.
\end{align*}

\begin{methode}
Quand on dérive une fonction produit dont un des facteurs est une exponentielle, on pourra toujours factoriser par cette exponentielle. Cela nous permet d'obtenir une expression factorisée de la dérivée, qui pourra par la suite nous permettre d'en étudier le signe.
\end{methode}

\item $f'(x)$ est du signe de $(1-x)$ car pour tout réel $x$, $\nep^x>0$. Or,
\[
1-x > 0 \iff 1 > x \iff x < 1.
\]
De plus, 
\[
f(1) = (2-1)\nep^1 = \nep.
\]
D'où le tableau suivant:
\[
\begin{array}{|R|lcccr|}
\hline\tabulartitle
x     & -\infty& & 1 &  & +\infty\\
\hline
f'(x) &  & + & 0 & - & \\
\hline
         &  &          & \nep &          & \\
f(x)     &  & \nearrow &  & \searrow & \\
\hline
\end{array}
\]
\end{questions}

\item $\mathcal{T}$ est la tangente à $\mathcal{C}$ au point $A$ d'abscisse 0, donc son équation est de la forme:
\[
y = f'(0)(x-0)+f(0).
\]
D'après les calculs précédents,
\[
f'(0) = (1-0)\nep^0 = 1 \times 1 = 1\qquad\text{et}\qquad f(0)=(2-0)\nep^0=2.
\]
Ainsi,
\begin{align*}
\mathcal{T}\qquad:\qquad & y = 1(x-0)+ 2\\
					\iff & y = x+2
\end{align*}
\end{questions}
\end{corrige}


%%% 2024

\begin{exo}{Extremum et position relative}{Le Chartreux, Lyon}{1}{15}
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par:
\[
g(x)=1-2x+\nep^{2x}.
\]
\begin{questions}
\item \'Etudier le sens de variation de $g$ sur $\R$.
\item Préciser la nature et la valeur de l'extremum de la fonction $g$ sur $\R$, et en quelle valeur il est atteint.
\item En déduire que pour tout réel $x$, $g(x)>0$.
\item En déduire alors la position relative de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=2x-1$ et de la courbe $\Gamma$ d'équation $y=\nep^{2x}$ sur $\R$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Pour tout réel $x$, la dérivée de $g$ est:
\[
g'(x)=-2+2\nep^{2x}=2\big( \nep^{2x} - 1\big).
\]
Or, $2>0$. Donc,
\begin{align*}
g'(x) \geqslant 0 & \iff \nep^{2x} - 1 \geqslant 0\\
				  & \iff \nep^{2x} \geqslant 1\\
				  & \iff 2x \geqslant 0\\
				  & \iff x \geqslant 0.
\end{align*}
\begin{Remarque}nous avons ici utilisé l'équivalence 
\begin{center}
\og $\nep^X \geqslant 1 \iff X \geqslant0$ \fg{} en posant $X=2x$.
\end{center}
\end{Remarque}
De plus, 
\[
g(0) = 1 - 2\times0 + \nep^{2\times0} = 1 + 1 = 2.
\]
On en déduit alors le tableau suivant:
\[
\begin{array}{|R|lcccr|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty &  & 0 &  & +\infty\\
\hline
g'(x) &  & - & 0 & + & \\
\hline
g(x) &  & \searrow &  & \nearrow & \\
     &  &          & 2 &         & \\
\hline
\end{array}
\]

\item Du tableau précédent, on peut conclure que $g$ atteint son minimum pour $x=0$, et ce minimum vaut 2.

\item De la question précédente, on déduit que pour tout réel $x$, $g(x) \geqslant 2$.

Or, $2 > 0 $; par conséquent, pour tout réel $x$,
\[
g(x) > 0.
\]

\item De la question précédente, on peut écrire:
\begin{align*}
\forall x \in\R,\quad &  g(x) > 0\\
\iff & 1-2x + \nep^{2x} > 0\\
\iff & \nep^{2x} > 2x-1.
\end{align*}

Ainsi, sur $\R$, la courbe $\Gamma$ d'équation $y=\nep^{2x}$ se situe toujours au-dessus de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=2x-1$.

\begin{Remarque} la lettre grecque \og $\Gamma$ \fg{} se lit \og Gamma \fg.
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{corrige}


%%% ex11

\begin{exo}{Positivité d'une fonction}{Lycée Descartes, Cournon}{1}{20}
Soit $a$ un nombre réel. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x \nep^x + a$.
\begin{questions}
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item Déterminer les valeurs de $a$ telles que, pour tout $x$, $f(x) \geqslant 0$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Pour tout réel $x$, $f'(x) = \nep^x + x \nep^x = (1 + x) \nep^x$. Comme $\nep^x$ est strictement positif, $f'(x)$ est du signe de $1+x$, donc positif pour $x> - 1$ et négatif sinon. Sachant que $f(-1) = a - \nep^{-1}$, on peut établir le tableau de variations suivant :
\[ 
\begin{array}{|R|lcccr|}\hline\tabulartitle
x & -\infty & & -1 & & +\infty \\\hline
f'(x) &  & - & 0 & + & \\\hline
& & & & & \\
f(x) &  & \searrow &  & \nearrow & \\
  &  &          & a-\frac{1}{\nep\strut} & & \\
\hline
\end{array}
\]
\item D'après le tableau de variations, le minimum de $f$ est atteint en $-1$ et vaut $a-\dfrac{1}{\nep}$.

On a alors $f(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ si et seulement si  $a - \dfrac{1}{\nep} \geqslant 0$, c'est-à-dire $a \geqslant \dfrac{1}{\nep}$.
\end{questions}
\end{corrige}


%%% ex12

\begin{exo}{Conjecture et preuve}{Lycée Blaise Pascal, Clermont-Ferrand}{1}{25}
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{conjecture et preuve}{https://media.prepamath.fr/IL1Mch04exo12}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.6){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1Mch04exo12}}}
\vspace*{-5mm}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x) = \dfrac{\nep^{2x}-1}{\nep^{2x\strut}+1}$. 
\begin{questions}
\item Tracer la fonction sur la calculatrice et faire une conjecture concernant un encadrement possible de $f(x)$ pour tout $x$.
\item Prouver que, pour tout $x$, $-1 < f(x) < 1$.
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\item Donner, à $10^{-2}$ près, en expliquant votre méthode, la plus petite valeur de $x$ telle que $1-f(x) < 0,001$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.3){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1Mch04exo12}}}
\vspace*{-5mm}
\begin{questions}
\item \`A la calculatrice, il semble que pour tout $x$, $f(x)$ soit compris entre $-1$ et 1.

\item Pour tout $x$, $\nep^{2x} - 1 < \nep^{2x} + 1$ et comme $\nep^{2x} > 0$, on a aussi : 
\[
- \nep^{2x} - 1 < \nep^{2x} - 1\;,
\]
ce qui donne la double inégalité :
\[
-(\nep^{2x}+1) < \nep^{2x} -1 < \nep^{2x}+1.
\]
En divisant chaque membre par $\nep^{2x} + 1$ qui est strictement positif on trouve l'inégalité cherchée : 
\[
-1 < f(x) < 1.
\]

\item On calcule la dérivée de $f$ :
\[
\begin{aligned}
f'(x) &= \dfrac{2\nep^{2x}(\nep^{2x}+1)-2\nep^{2x}(\nep^{2x}-1) }{(\nep^{2x}+1)^2} \\
 &= \dfrac{4\nep^{2x} }{\big(\nep^{2x}+1\big)^2}.
\end{aligned}
\]
On constate que  $f'(x) > 0 $ pour tout $x$, donc $f$ est strictement croissante sur $\R$.
\[ 
\begin{array}{|R|l>{\centering\arraybackslash}p{1cm}r|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty & & +\infty \\
\hline
f'(x) &  & + & \\
\hline
f(x) &   & $\nearrow$ & \\
\hline
\end{array}
\]
\enlargethispage*{\baselineskip}
\item On cherche la plus petite valeur de $x$ telle que $1 - f(x) < 0,001$, c'est-à-dire telle que $f(x) > 0,999$. Notons $a$ cette valeur.

On programme la fonction $f$ à la calculatrice, puis on affiche un premier tableau de valeurs par pas de 1 à partir de 0.

Comme $f(3) < 0,999 < f(4)$, on en déduit que $a$ est compris entre 3 et 4.

On tabule à nouveau la fonction à partir de 3 par pas de $0,1$. On trouve $f(3,8)<0,999<f(3,9)$.

On recommence à tabuler à partir de $3,8$ par pas de $0,01$ et on trouve finalement $f(3,8)<0,999<f(3,81)$. La valeur cherchée est donc $a = 3,81$.
\end{questions}
\end{corrige}


%%% ex13

\begin{exo}{Cosinus et sinus hyperboliques}{Lycée Jacques Prévert, Boulogne}{1}{45}
Les fonctions $\ch$ et $\sh$ sont définies sur $\R$ par :
\[
\begin{aligned}
\ch x&=\dfrac{\nep^x+\nep^{-x}}{2} 
\quad
\text{et}
\quad 
\sh x&=\dfrac{\nep^x-\nep^{-x}}{2}.
\end{aligned}
\]
\begin{questions}
\item Dresser le tableau des signes de ces fonctions.
\item Calculer $\ch'$ et $\sh'$.
\par
Quel lien y a-t-il entre $\ch'$ et $\sh$ ? Entre $\sh'$ et $\ch$ ?
\item Dresser les tableaux de variations de $\ch$ et
$\sh$.
\item Montrer que pour tout $x\in \R$,  
$ \ch^2 x-\sh^2 x=1 $
\begin{questions}
\item\label{chap6ex8_4a} En dérivant
$f(x)=\ch^2 x-\sh^2 x$.
\item \label{chap6ex8_4b} Par un calcul algébrique.
\end{questions}
\item Montrer comme en \ref{chap6ex8_4a} ou \ref{chap6ex8_4b} (au choix) que:
\begin{questions}
\item $ \sh(2x)=2\ch x\times\sh x $ 
\item $ \ch(2x)=\ch^2 x+\sh^2 x$ 
\end{questions}
\item Donner une représentation graphique de $\ch$ et de $\sh$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Pour tout $x\in \R$, 
$\nep^x >0$
et
$\nep^{-x}>0$,
donc $\ch
x>0$.
\Par
Pour tout $x \in \R^+$, 
$\nep^x \geq1$ et $\nep^{-x}\leq1$, donc 
$
\sh
x=\dfrac{1}{2}(\nep^x-\nep^{-x})\geq0
$.
\Par
Comme $\sh$ est impaire, on en déduit
pour tout
$x\in \R^-$, $ \sh x \leq0$.
\par
D'où les tableaux de signes :
\[
\begin{array}{| C | c c c c c|}
\hline\tabulartitle
 x & -\infty & & 0 & & +\infty  \\
\hline
\sh x & & - & 0 & + &  \\
\hline
\ch x & & + & 1 & + &  \\
\hline
\end{array}
\]
\item Les fonctions $\ch$ et $\sh$ sont toutes deux dérivables en tant que sommes de
fonctions dérivables et pour tout $x \in \R$,
\[
\ch' x=\dfrac{{\nep^{x}-\nep^{-x} }}{2}=\sh x
\quad\text{et}\quad
\sh' x=\dfrac{{\nep^{x}-(-\nep^{-x}) }}{2}=\ch x.
\]
\item Le tableau de variation de $\ch$ est alors :
\[
\begin{array}{| C | c c c c c|}
\hline\tabulartitle
 x & -\infty & & 0 & & +\infty  \\
\hline
\sh x & & - & 0 & + &  \\
\hline
 & +\infty & & & & +\infty  \\
\ch x & &\searrow & & \nearrow & \\
 & & &1 & & \\
\hline
\end{array}
\]
et celui de $\sh$ est :
\[
\begin{array}{| C | c c c c c|}
\hline\tabulartitle
 x & -\infty & & 0 & & +\infty  \\
\hline
\ch x & & + & 1 & + &  \\
\hline
 & & &  &  & +\infty \\
   & &  &  & \nearrow & \\
 \sh x & &  & 0 &  & \\
  & & \nearrow &  &  & \\
 & - \infty & & & & \\
\hline
\end{array}
\]

\item
\begin{questions}
\item Pour tout $x \in \R$,
\[
\begin{aligned}
f'(x)&=(\ch^2)'(x)-(\sh^2)'(x) \\
&=2\ch x\ch' x -2\sh x\sh' x \\
&=2\ch x\sh x-2\sh x\ch x =0. \\
\end{aligned}
\]
Donc $f$ est constante sur $\R$ et pour tout $x \in \R$,
\[
\begin{aligned}
f(x)&=\left(\ch x \right)^2-\left(\sh x \right)^2 \\
&=f(0) \\
&=1-0\\
&=1.
\end{aligned}
\]
\item Pour tout $x \in \R$,\\
\[
f(x)=\left(\ch x\right)^2-\left(\sh x \right)^2
=\left(\dfrac{\nep^x+\nep^{-x}}{2} \right) ^2
-\left(\dfrac{\nep^x-\nep^{-x}}{2}\right) ^2.
\]
Ou encore, 
\[
f(x)=\dfrac{1}{4}\left((\nep^{2x}+2+\nep^{-2x})-(\nep^{2x}-2+\nep^{-2x})\right) =\dfrac{4}{4}=1.
\]
\end{questions}

\newpage

\item 
\begin{questions}
\item Pour tout $x \in \R$,
\[
\begin{aligned}
2\ch x\sh x&=2\left(\dfrac{\nep^x+\nep^{-x}}{2}
\right)\left(\dfrac{\nep^x-\nep^{-x}}{2}\right) \\
&=\dfrac{2}{4}\left(
(\nep^x)^2-(\nep^{-x})^2
 \right) \\
&=\sh(2x).
\end{aligned} \]

\item Posons :
\[
g(x)=2\ch x\sh x-\sh(2x).
\]
Pour tout $x \in \R$,
\[
g'(x)=2\sh x\sh x+2\ch x\ch x-2\ch(2x).
\]
Or, $g$ est constante donc $g'$ est nulle. 
\par
Donc, pour tout $x\in \R$, 
\[
\ch(2x)=\left(\ch x\right)^2+\left(\sh
x\right)^2.
\]
\end{questions}

\item Les fonctions $\ch$ et $\sh$ ont pour représentations graphiques :
\begin{center}
\includegraphics{122_4_fig_4}
\end{center}
On appelle la fonction $\ch$ \og cosinus hyperbolique\fg{}  et la fonction $\sh$ \linebreak \og sinus hyperbolique\fg.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% ex14 (2019)

\begin{exo}{Décroissance radioactive}{Lycée Camille Jullian, Bordeaux}{2}{10} 
Le taux d'un élément radioactif diminue de 30 \% en \numprint{1500} ans.

On sait de plus que ce taux est égal à $\nep^{-\lambda t}$ après $t$ années, où $\lambda\in\R$.

\medskip

À l'aide d'une calculatrice, déterminer une valeur approchée  à $10^{-4}$ près de la valeur $\lambda$.
\end{exo}

\begin{corrige}
Le taux d'un élément radioactif diminue de {30\%} en \numprint{1500} ans. Donc :
\[
\nep^{-\lambda\times\numprint{1500}}=0,7.
\]
Un algorithme nous permettant de trouver un encadrement de $\lambda$ est:
\begin{algorithme}{Algorithme}
L $\leftarrow$ 0
Pour i allant de 1 à 40:
\quad L $\leftarrow$ i/100000
\quad f $\leftarrow$ exp(-1500*L)
\quad Si |f-0.7| $\leqslant$ 0.01 alors
\qquad Afficher L et f
\quad Fin du Si
Fin du Pour
\end{algorithme}

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.7){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL1M/04-decroissance-radioactive.py}}}
\vspace*{-10pt}

\begin{listing}{En Python}{04-decroissance-radioactive.py}\end{listing}

On trouve alors:
\[
0,00023 \leqslant \lambda \leqslant 0,00024.
\]
Ainsi, une valeur approchée de $\lambda$ à $10^{-4}$ est \underline{$\lambda\approx0,0002$}.
\end{corrige}

%%% ex15
 
\newpage

\begin{exo}{Algorithme}{Lycée Buffon, Paris}{2}{20}
On considère l'algorithme ci-dessous :
\begin{algorithme}{}
Entrée
\qquad a et n sont des nombres
\qquad Saisir a
\qquad n $\leftarrow$ 0
Traitement
\qquad Tant que exp(-n) $\geqslant$ a
\qquad\qquad n $\leftarrow$ n+1
\qquad Fin du Tant que
Sortie
\qquad Afficher n
\end{algorithme}

\begin{questions}
\item Qu'affiche cet algorithme si on entre $a = 0,3$ ?
\item Donner si possible une valeur de $a$ pour laquelle l'algorithme affiche 0.
\item Qu'affiche l'algorithme si on entre $a = 10^{-20}$ ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Lorsque l'on applique cet algorithme en donnant à $a$ la valeur 0,3, on obtient les résultats successifs suivants :

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|Zc|Zc|}
\hline\tabulartitle
$n$ & $\exp(-n)$ & test : $\exp(-n)\geqslant0,3$\\
\hline
0 & $\nep^0=1$ & $1\geqslant0,3$ : vrai\\
\hline
1 & $\nep^{-1}\approx0,37$ & $0,37\geqslant0,3$ : vrai\\\hline
2 & $\nep^{-2}\approx0,14$ & $0,14\geqslant0,3$ : faux\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

La boucle s'achève pour $n=2$ et la valeur affichée est donc 2.

\item L'algorithme affiche le premier entier tel que le test \og $\nep^{-n}\geqslant a$ \fg{} soit faux.

Pour afficher 0, il faut donc que $\nep^{-0}\geqslant a$ soit faux, donc que $1 < a$.

On constate que pour $a = 2$,  on obtient bien $n = 0$.

\item Si  $a = 10^{-20}$, le test devient faux dès que $\nep^{-n}<10^{-20}$, avec $n$ entier, c'est-à-dire dès que $\nep^{n}>10^{20}$.

\`A la calculatrice, on trouve $\nep^{46}\approx9,5\times10^{19}$ et $\nep^{47}\approx2,6\times10^{20}$. Comme la fonction exponentielle est croissante, cela permet de trouver que si $a = 10^{-20}$, la valeur affichée est 47.
\end{questions}
\end{corrige}


%%% ex16

\begin{exo}{Fonction exponentielle et algorithme}{Cité scolaire internationale, Grenoble}{2}{30}
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
\[
f(x)=4\nep^{0,25x}-5\;,
\]
et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item \'Etudier les variations de $f$ sur $\R$.
\item Existe-t-il un point de $\mathcal{C}_f$ en lequel la tangente est parallèle à l'axe des abscisses ?
\end{questions}
\item On considère l'algorithme suivant :
\begin{algorithme}{}
Entrée
\qquad P est un réel strictement positif
Initialisation
\qquad X $\leftarrow$ 0 et Y $\leftarrow$ -1
Traitement
\qquad Tant que Y $<$ 0
\qquad\qquad X $\leftarrow$ X + P
\qquad\qquad Y $\leftarrow$ f(X) 
\qquad\qquad (f étant la fonction définie précédemment)
\qquad Fin de Tant que
Sortie
\qquad Afficher X-P et X
\end{algorithme}
\begin{questions}
\item On entre $P = 0,1$. Quelles sont les valeurs affichées en sortie ?

\item Que fait cet algorithme ?

\item On fait fonctionner l'algorithme avec une certaine valeur de $P$ et on obtient en sortie les valeurs 0,892 et 0,893.

Quelle valeur de $P$ avait-on choisi en entrée ?

\item On entre une valeur de $P$ égale à \numprint{0,0001}. Quelles sont les valeurs affichées en sortie ?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $f'(x) = 4 \times 0,25\nep^{0,25x} = \nep^{0,25x}$.

$f'(x)$ est positif pour tout $x$, donc $f$ est strictement croissante sur~$\R$.

\item 
La dérivée ne s'annule jamais donc il n'y a aucun point où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Le tableau ci-dessous donne les valeurs successives de $X$ et $Y$, $Y$ étant arrondi au \numprint{1000}\ieme{} inférieur.

\Par


\begin{tabularx}{\linewidth}{|R|*{5}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
$X$ & 0 & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4 \\
\hline
$Y$ & $-1$ & $-0,899$ & $-0,795$ & $-0,689$ & $-0,580$ \\
\hline
\end{tabularx}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|R|*{5}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
$X$ &  0,5 & 0,6 & 0,7 & 0,8 & 0,9\\
\hline
$Y$ & $-0,468$ & $-0,353$ & $-0,235$ & $-0,115$ & 0,010\\
\hline
\end{tabularx}

\Par

Dans la dernière colonne, $Y$ est positif. Donc les valeurs affichées seront 0,8 et 0,9.

\item Cet algorithme donne un encadrement d'amplitude $P$ de la solution de l'équation $f(x) = 0$. On démarre à $Y = -1$ car c'est la valeur de $f(0)$.

\item Ici, l'encadrement a pour amplitude 0,001 donc $P = 0,001$.

\item On peut programmer l'algorithme, mais aussi utiliser la fonction table de la calculatrice, ce qui est plus rapide puisqu'on a déjà un encadrement d'amplitude 0,01.

On obtient en sortie \numprint{0,8925} et \numprint{0,8926}.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% ex17

\begin{exo}{À l'aide du graphique}{Lycée Corneille, La-Celle-Saint-Cloud}{3}{40}
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{\imath}, \vec{\jmath})$.

La courbe $\mathcal{C}$ page ci-contre représente la fonction $ f $ définie sur $ \R $ par :
    \[ f(x) = (ax + b)\nep^{x}, \]
où $a$ et $b$ sont deux nombres que l'on se propose de déterminer.

La courbe $ \mathcal{C} $ passe par le point $A(0\,; 1)$ et elle admet une tangente horizontale au point d'abscisse $-2$.
\begin{center}
\includegraphics{110_4_fig_2}
\end{center}

\begin{questions}
\item Exprimer $ f'(x) $ en fonction de $x$, $a$ et $b$.

\item À l'aide des informations de l'énoncé, déterminer les valeurs de $a$ et $b$.

\item Étudier les variations de la fonction $f$. Dresser son tableau de variations sur l'intervalle $[-3\,;1]$.

\item Discuter, suivant les valeurs du réel $ m $, le nombre de solutions de\linebreak l'équation sur l'intervalle $[-3\,;1]$ :
\[ (x +1)\nep^{x} = m. \]
\textit{Aide}: on raisonnera graphiquement.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La fonction $f$ est le produit $u v$, avec :
\[ u(x) = (ax +b) \text{ et } v(x) = \nep^{x}. \]
Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur $\R$, donc $f$ l'est aussi par produit.
\[ 
f' = u'v + uv' \Rightarrow f'(x) = a \nep^{x} +(ax +b)\nep^{x} = (ax +a +b)\nep^{x}.
\]

\item D'après ce qui précède, on sait que $ f'(-2) = (-2a+a +b)\nep^{-2} $.

D'après l'énoncé, la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $-2$ est\linebreak horizontale, donc son coefficient directeur est nul, c'est-à-dire \mbox{$f'(-2) = 0$}:
\begin{align*}
f'(-2) = 0 & \iff (-2a +a +b)\nep^{-2} = (b-a)\smash[b]{\underbrace{\nep^{-2}}_{\neq\:0}} = 0 \\
        & \iff b-a = 0\\
        & \iff a = b.
\end{align*}
Par ailleurs, $A \in \mathcal{C}$ donc $ f(0) = 1 $ (1 unité en ordonnées prend deux graduations).
\[ 
f(0) = 1 \iff b\underbrace{\nep^{0}}_{ = \:1} = 1 \iff b = 1.
\]
Finalement, on obtient $ a = b = 1 $ et $f(x) = (x +1)\nep^{x}$.


\item En substituant les valeurs de $a$ et $b$ dans le calcul précédent de $f'(x)$ :
\[ 
f'(x) = (x +2)\underbrace{\nep^{x}}_{\text{positif}} \ \text{ et } \ f'(x)>0 \iff x +2 > 0 \iff x > -2.
\]
\[
\begin{array}{|C|*5{c}|}
\hline\tabulartitle
 x & -3 & & -2 & & 1 \\
\hline
f'(x) & & - & 0 & + & \\
\hline
 & -2\nep^{-3\strut}& & & & 2\nep\\
f(x) &  &  \searrow &  & \nearrow &  \\
 & & & -\frac{1}{\nep^{2}}\raisebox{-7pt}{\rule{0pt}{15pt}} & & \\
 \hline
\end{array}
\]       
$f(-2) = (-2 +1)\nep^{-2} = -\dfrac{1}{\nep^2} $ ; $f(-2) \approx -0,14 $ à $10^{-2} $ près.


\item Il s'agit de résoudre $f(x) = m$, autrement dit, de discuter du nombre d'antécédents de $m$ par $f$. On peut s'aider ici d'un graphique.

\begin{center}
\includegraphics{125_4_fig_3}
\end{center}

\begin{itemize}
\item Si $m <-\dfrac{1}{\nep^2}$, l'équation \mbox{$f(x) = m$} n'a aucune solution car $f$ admet pour minimum $-\dfrac{1}{\nep^2}$. 

\item Si $m = -\dfrac{1}{\nep^2} $, l'équation $ f(x) = m$ admet une unique solution: $-2$.

\item Si $-\dfrac{1}{\nep^2} < m \leqslant -2\nep^{-3}$, l'équation $f(x) = m$ admet deux solutions, une dans $[-3\,;-2[$ et l'autre dans $]-2\,;1[$.

\item Si $-2\nep^{-3} < m  \leqslant 2\nep$, l'équation $f(x) = m$ admet une unique solution dans l'intervalle $]-2\,;1]$, et elle n'en admet pas ailleurs car sur l'intervalle $[-3\,;-2]$, $f(x) < -2\nep^{-3}.$

\item Si $m > 2\nep$, l'équation n'admet aucune solution car $2\nep$ est le maximum absolu de la fonction sur $[-3\,;1]$.
\end{itemize}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% ex18

\begin{exo}{Coût moyen minimal}{Lycée Chaptal, Paris}{3}{80} 
Une entreprise achète une machine $\nombre{30000}$ euros. Elle peut la revendre au bout de $ t $ années au prix de :
\[
v(t) = \frac{30}{0,5 t +1}\quad \text{pour}\enspace 0\leqslant t\leqslant 8\;,
\]
où $ t $ est exprimé en années et $ v(t) $ en milliers d'euros (k\euro).
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Au bout de combien d'années la machine aura-t-elle perdu $50\,\% $ de sa valeur d'achat ?
\item Quelle est sa valeur de revente au bout de 4 ans ?
\item La différence, exprimée en k\euro{}, entre le prix d'achat de la machine et son prix de revente au bout de $ t $ années est : $ D(t) = 30-v(t) $.

Montrer que $D$ est une fonction croissante sur l'intervalle $\left[0\,;\,8\right]$.
\end{questions}

\item On peut exprimer le coût total d'entretien de la machine en k\euro, pour une durée de $ t $ années d'utilisation, par :
\[ 
E(t) = 2,5\,\nep^{0,4\, t}-t-2,5.
\]
\begin{questions}
\item Calculer $E'(t)$, où $E'$ désigne la fonction dérivée de $E$.
\item Montrer que $E$ est une fonction croissante sur l'intervalle $\left[0\,; 8\right]$.
\end{questions}
\item
\begin{questions}
\item Vérifier que le coût d'usage total, en k\euro, de cette machine est :
\[ 
C(t) = D(t) +E(t) = 27,5-\frac{30}{0,5t +1} +2,5\nep^{0,4t}-t.
\]
\item Déduire des questions précédentes le sens de variation de $C$ sur $\left[0 \,; 8\right]$.
\item Tracer la courbe représentative $\Gamma$ de $C$, dans un plan muni d'un repère orthogonal, avec pour unités : 2\,cm pour une année sur l'axe des abscisses, 1\,cm pour 8\,k\euro{} sur l'axe des ordonnées.

On pourra utiliser le tableau de valeurs suivant :
\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{|R|*{5}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
$t$ & 
0 & 
1 & 
2 & 
3 & 
4 \\
\hline
$C(t)$ & 
0 & 
10,23 & 
16,06 & 
20,80 & 
25,88\\
\hline
\end{tabularx}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|R|*{5}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
$t$ & 
4,5 & 
5 & 
6 & 
7 & 
8\\
\hline
$C(t)$ & 
28,90 & 
32,40 & 
41,56 & 
54,94 & 
74,83\\
\hline
\end{tabularx}
\end{questions}

\item Le coût moyen d'utilisation, en k\euro{} et au bout de $ t $ années, est égal à :
\[ 
U(t) = \frac{C(t)}{t} \text{ avec } 1\leqslant t\le 8.
\]
\begin{questions}
\item Soit $M$ le point d'abscisse $t$ de la courbe $\Gamma$. Montrer que $U(t)$ est le coefficient directeur de la droite $(OM)$.
\item Déterminer graphiquement la valeur de $ t $ pour laquelle $ U(t) $ est minimal.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $v(t) = \dfrac{30}{0,5t +1} \Rightarrow v(0) = \dfrac{30}{0,5 \times 0 +1} = 30 = v_{0}$.

On retrouve bien la valeur d'achat annoncée.

On cherche $ t_{0} $ tel que $ v(t_{0}) \leqslant 0,5\,v_{0} $, soit :
\begin{align*}
& \frac{30}{0,5t_{0} +1}\leqslant \frac{1}{2}\times 30 \\
\iff\ & \frac{1}{0,5t_{0} +1}\leqslant \frac{1}{2} \\
\iff\ & 0,5t_{0} +1 \geqslant 2\\
\iff\ & t_{0} \geqslant 2. 
\end{align*}

La machine aura perdu la moitié de sa valeur initiale au bout de 2~ans.

\item Au bout de 4 ans, l'entreprise pourra revendre la machine au prix de $ v(4) $ :
\[ 
v(4) = \frac{30}{0,5 \times 4 +1} = \frac{30}{3} = 10.
\]
La valeur de revente de la machine au bout de 4 ans est de $\nombre{10000}$~\euro.

\item $\begin{aligned}[t]
D(t) & = 30-v(t)\\
     & = 30-\dfrac{30}{0,5t +1} \\[6pt]
         & = 30\left(1-\dfrac{1}{0,5t +1}\right) \\[6pt]
         & = 30\times\dfrac{0,5t +1-1}{0,5t +1}\\
         & = \dfrac{15t}{0,5t +1}.
\end{aligned}$

\newpage

On calcule la dérivée de $D$ par la formule du quotient :

\begin{align*}
D'(t)&  = \frac{15(0,5t +1)-15t\times(0,5)}{(0,5t +1)^2}\\
D'(t) & = \frac{15}{(0,5t +1)^2}.
\end{align*} 

On observe que $ D'(t)>0 $ (le dénominateur est un carré); donc $ D $ est une fonction strictement croissante sur son ensemble de définition $ \left[0\,;8\right] $.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item $ E(t) = 2,5\nep^{0,4t}-t-2,5$ est dérivable en tant que somme d'une exponentielle et d'une fonction affine (sur tout $\R$ donc \emph{a fortiori} sur $ \left[0\,;8\right] $) :
\[ 
E'(t) = 2,5\times 0,4 \times \nep^{0,4t}-1 = \nep^{0,4t}-1.
\]

\item On sait, d'après l'ensemble de définition, que $ t\ge 0$. Cherchons le signe de $ E'(t)$.
\begin{align*}
E'(t) = 0 & \iff \nep^{0,4t}-1 = 0 \\
          & \iff \nep^{0,4t} = 1 \\
          & \iff \nep^{0,4t} = \nep^0 \\
          & \iff t = 0.
\end{align*}

\begin{align*}
E'(t) > 0 & \iff \nep^{0,4t}-1 > 0\\
          & \iff \nep^{0,4t} > 1 \\
          & \iff 0,4t > 0 \\
          & \iff t >0.
\end{align*}


Autrement dit, $E'$ est strictement positive sur $\left]0\,;8\right]$ et nulle en\\ $t = 0$. $E$ est donc une fonction strictement croissante sur $ \left[0\,;8\right] $.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Le coût total de la machine est composé de la partie d'investissement «~utilisée~» depuis son achat, à laquelle il faut rajouter le prix de son entretien.
\begin{align*}
C(t) & = D(t) +E(t)\\
     & = \underbrace{30-\frac{30}{0,5t +1}}_{D(t)=30-v(t)} +~2,5\nep^{0,4\times t} - t - 2,5 \\
     & = 27,5 - \frac{30}{0,5t +1} + 2,5\nep^{0,4 \times t} - t.
\end{align*}

\newpage

\item On a $C(t) = D(t) +E(t)$. Or, d'après les questions précédentes, $D$ et $E$ sont des fonctions strictement croissantes sur $ \left[0\, ; 8\right] $. Leur somme $C$ est donc elle aussi strictement croissante sur $ \left[0\, ; 8\right] $. Il est inutile d'étudier de signe de la dérivée.

\item On a tracé la courbe en fin de corrigé. Nous avons respecté les proportions données par l'énoncé (1 unité en abscisses pour 1 année, 1 unité en ordonnées pour 8 k\euro).
\end{questions}

\item
    \begin{questions}
    \item Le point $M$ d'abscisse $x_{M} = t$ appartient à $\Gamma$ si et seulement ses coordonnées vérifient l'équation de $\Gamma$ : $y = C(t)$.

    Donc $y_{M} = C(t)$. Le coefficient directeur $a$ de la droite $(OM)$ vaut donc :
        \[ a = \frac{y_{M}}{x_{M}} = \frac{C(t)}{t} = U(t). \]

    \item Faire varier le point $M$ sur la courbe $\Gamma$, c'est faire varier la droite $(OM)$. Plusieurs positions de $(OM)$ sont indiquées en pointillés sur le graphique.

    Comme $(OM)$ passe par l'origine, elle a pour équation $y = ax$. En diminuant son coefficient directeur $a$, $(OM)$ se rapproche de l'horizontale. Or diminuer $a $, c'est diminuer $U(t)$. Le coefficient directeur minimal de $ (OM) $ est obtenu quand $ (OM) $ est tangente à $\Gamma$ et sous $\Gamma$. Cela correspond à une abscisse d'environ $ 4,5 $.

Donc, le coût minimum est atteint pour $ 4$ années et demie, environ.
\begin{center}
\includegraphics{128_4_fig_6} 
\end{center}
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


\thumb
\AfficheCorrige
