\chapter{Suites numériques} 

\section{Généralités sur les suites numériques}

% 2024 

\begin{exointro}{Lycée Jules Ferry, Paris}
On considère la suite $w$ définie pour tout entier naturel $n$ par:
\[
w_n = \frac{n^2}{2^n}.
\]
\begin{questions}
\item Calculer les quatre premiers termes de la suite $w$.
\item
\begin{questions}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, 
\[
w_{n+1}-w_n = \frac{-n^2+2n+1}{2^{n+1}}.
\]
\item En déduire que la suite $w$ est décroissante à partir d'un certain rang $N$ que l'on déterminera.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exointro}

\subsection{Définition}

\begin{defin}
On appelle \emph{suite numérique} une fonction à variable entière.
\end{defin}

\textit{Notation :} une suite est représentée, comme une fonction, par une lettre.\\ Supposons que l'on désigne par la lettre $u$ une suite. Alors, la suite pourra être notée, de manière indifférente:
\[
u \quad,\quad (u)\quad,\quad (u_n)\quad,\quad \big(u(n)\big)
\]

\newpage

\begin{defins}
\begin{itemize}
\item On appelle \textit{termes} les nombres qui composent la suite numérique.

\item On appelle \textit{indice du terme $u_n$} le nombre $n$.

\item On appelle \textit{rang du terme $u_n$} sa position dans la suite.
\end{itemize}
\end{defins}

\begin{Exemple}
si $u_0=7$ alors :
\begin{itemize}
\item \og 7 \fg{} est un terme de la suite $(u_n)$,
\item \og 0 \fg{} est l'indice,
\item le rang de 7 est 1 (car c'est le 1\ier{} terme de la suite).
\end{itemize}
\end{Exemple}

\subsection{Suites définies de manière explicite}

\begin{defin}
Une suite est définie de manière explicite si tous ses termes sont exprimés à l'aide d'une fonction dont la variable est leur rang.
\end{defin}
 
\begin{Exemple}
Si $(u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$ par:
\[
u_n=n^2-3
\]
alors elle est définie de manière explicite et:
\[
\begin{cases}
u_0=0^2-3=-3\\
u_1=1^2-3=-2\\
u_2=2^2-3=1\\
u_3=3^2-3=6\\
\vdots
\end{cases}
\]
\end{Exemple}

\subsection{Suites définies par récurrence (d'ordre 1)}

\begin{defin}
Une suite est définie par récurrence (d'ordre 1) si un terme se calcule en fonction de son précédent.
\end{defin}

\begin{Exemple}
Si $(v_n)$ est la suite définie par son premier terme $v_0=5$ et par l'égalité:
\[
v_{n+1}=3v_n-5,
\]
alors $(v_n)$ est une suite récurrente (d'ordre 1). 

Cela signifie ici que pour calculer un terme de cette suite, il faut multiplier son précédent par 3, puis soustraire 5. 

\Break

On a donc :
\[
\begin{cases}
v_0=5\\
v_1=3\times5-5=10\\
v_2=3\times10-5=25\\
v_3=3\times25-5=70\\
\vdots
\end{cases}
\]
\end{Exemple}


\subsection{Variations d'une suite}

On dit que la suite $(u_n)$ est :
 \begin{itemize}
        \item  constante si et seulement si pour tout $n$, on a $u_{n+1}=u_{n}$ ;
 
        \item  croissante si et seulement si, pour tout $n$, $u_{n+1} \geq u_{n}$ ;
 
        \item  strictement croissante si et seulement si, pour tout $n$, $u_{n+1} > u_{n}$ ;
 
        \item  décroissante si et seulement si, pour tout $n$, $u_{n+1} \leq u_{n}$ ;
 
        \item  strictement décroissante si et seulement si, pour tout $n$, $u_{n+1} < u_{n}$.
 \end{itemize}
 
Dans la pratique, pour étudier le sens de variation d'une suite, on utilise principalement l'une des trois méthodes suivantes :

\subsubsection{Sens de variation de la fonction}

Si la suite $(u_n)$ est de la forme $u_n =f(n)$ alors elle a le même sens de variation que la fonction $f$ sur $ \left[ 0~; +\infty \right[$.

\begin{Exemple} soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : 
\[ u_n=n^2\;. \]
La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2$ est croissante sur $\left[ 0, +\infty \right[ $ ;\\ la suite $u$ est donc croissante. 
\end{Exemple}
        
\subsubsection{Différence de deux termes consécutifs}

C'est la méthode générale : on étudie le signe de $u_{n+1}-u_{n}$.
\begin{itemize}
\item  si, pour tout $n$, $u_{n+1}-u_{n} \leqslant 0$ alors la suite $u$ est décroissante;
\item  si, pour tout $n$, $u_{n+1}-u_{n} \geqslant 0$ alors la suite $u$ est croissante.
\end{itemize}

\begin{Exemple}
soit la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0=5$ et par la relation de récurrence $u_{n+1}=u_n+7$. Pour tout entier naturel $n$, on a:
\[
u_{n+1}-u_n=(u_n+7)-u_n=7>0
\]
donc $(u_n)$ est strictement croissante.
\end{Exemple}

\subsubsection{Quotient de deux termes consécutifs} 

Cette méthode n'est à utiliser que si tous les termes sont strictement positifs. Dans ce cas,
\begin{itemize}
\item  si, pour tout $n$, $\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \leqslant 1$
alors la suite est décroissante;
\item  si, pour tout $n$, $\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \geqslant 1$
alors la suite est croissante.
\end{itemize}


\begin{Exemple} soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
 \[u_{n} = \frac{3^n}{2^{n+1}}\;.\]
Cette suite est bien à termes strictement positifs car pour tout
$n\in\mathbb{N}$, $3^n>0$ et $2^{n+1}>0$.

De plus, 
\[
u_{n+1} = \frac{3^{n+1}}{2^{n+2}}
\]
donc :
\[
\frac{u_{n+1}}{u_{n}} = u_{n+1}\times\frac{1}{u_n}= \frac{3^{n+1}}{2^{n+2}}\times\frac{2^{n+1}}{3^n}=\frac{3^{n+1}}{3^n}\times\frac{2^{n+1}}{2^{n+2}}=3\times\frac{1}{2}=\frac{3}{2}>1
\]
donc la suite est croissante.
\end{Exemple}
 
\subsection{Suites majorées, suites minorées}
 
On dit que la suite $(u_n)$ est :
\begin{itemize}
\item  majorée par le réel $A$ si, pour tout $n \in \N$, on a : $u_n \leqslant A$;
\item  minorée par le réel $a$ si, pour tout $n \in \N$, on a : $u_n \geqslant a$;
\item  bornée par les réels $a$ et $A$ si, pour tout $n \in \N$, on a : $a \leqslant u_n \leqslant A$.
\end{itemize}

\begin{Exemple}
soit $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\dfrac{1}{n+1}$.
\begin{itemize}
\item $(u_n)$ est minorée par 0 car pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$;
\item $(u_n)$ est majorée par 1 car pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant1$;
\item $(u_n)$ est bornée car elle est minorée et majorée.
\end{itemize}
\end{Exemple}

\newpage

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item Les quatre premiers termes de la suite $w$ sont $w_0$, $w_1$, $w_2$ et $w_3$.
\begin{itemize}
\item $w_0 = \frac{0^2}{2^0} = 0$ (on remplace $n$ par 0 dans l'expression de $u_n$);
\item $w_1 = \frac{1^2}{2^1} = \frac{1}{2}$ (on remplace $n$ par 1 dans l'expression de $u_n$);
\item $w_2 = \frac{2^2}{2^2} = 1$ (on remplace $n$ par 2 dans l'expression de $u_n$);
\item $w_3 = \frac{3^2}{2^3} = \frac{9}{8}$ (on remplace $n$ par 3 dans l'expression de $u_n$).
\end{itemize}

\item
\begin{questions}
\item Pour tout entier naturel $n$, $w_{n+1}$ s'obtient en remplaçant $n$ par\linebreak $(n+1)$ dans l'expression de $w_n$. Donc,
\begin{align*}
w_{n+1} - w_n & = \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}} - \frac{n^2}{2^n}\\
              & = \frac{n^2+2n+1}{2^{n+1}} - \frac{n^2 \times 2^1}{2^n \times 2^1}\\
              & = \frac{n^2+2n+1-2n^2}{2^{n+1}}\\
              & = \frac{-n^2 +2n + 1}{2^{n+1}}.
\end{align*}

\item Pour tout entier naturel $n$, $2^{n+1} > 0$ donc $w_{n+1}-w_n$ est du signe de $-n^2+2n+1$; le trinôme $-x^2+2x+1$ a pour discriminant:
\[
\Delta = 2^2-4\times(-1)\times1 = 8.
\]
Ses racines sont donc:
\[
\frac{-2-\sqrt8}{-2}=1+\sqrt2>0\qquad\text{ et }\qquad 1-\sqrt2<0.
\]
On en déduit donc le tableau de signes suivant:
\[
\morestretch[1.2]
\begin{array}{|R|lcccr|}
\hline\tabulartitle
x & 0 &  & 1+\sqrt2 &  & +\infty\\
\hline
-x^2+2x+1 & & + & 0 & -  &\\
\hline
\end{array}
\]
On en déduit alors que $-n^2+2n+1 < 0$ pour $n > 1+\sqrt2$, soit pour $n \geqslant3$.

Ainsi, la suite $(w)$ est strictement décroissante à partir du rang\linebreak $N=3$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{solintro}

\newpage

\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez les suites arithmétiques et géométriques en vidéo.]{suites arithmétiques et géométriques}{https://media.prepamath.fr/IL1Mch05crs}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.8){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1Mch05crs}}}
\vspace*{-1cm}

\section{Suites arithmétiques}

% 2024

\begin{exointro}{Lycée Pierre Caraminot, \'Egletons}
\begin{questions}
\item $(a_n)$ est la suite définie pour tout $n \in \N$ par:
\[
a_n = 5n-8.
\]

Montrer que $(a_n)$ est une suite arithmétique, dont on précisera la raison $r$ et le premier terme $a_0$.

\item $(c_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$ par:
\[
\begin{cases}
c_0 = 10\\
c_{n+1}= \frac{1}{2}c_n+n.
\end{cases}
\]
Cette suite est-elle arithmétique ? Justifier.
\end{questions}
\end{exointro}


\subsection{Définition}

\begin{defin}
On dit que la suite $(u_n)$ est \textit{arithmétique} s'il existe un réel $r$  tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_{n}+r$.\\
$r$ est appelé la \textit{raison} de la suite arithmétique.
\end{defin}

\begin{Exemple}
la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=u_n+5$ est arithmétique de raison 5.
\end{Exemple}


\subsection{Formule explicite du terme général}

\begin{thm}
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$. 

Alors, pour tous entiers naturels $n$ et $p$,
\[ 
u_n=u_p+(n-p)r.
\]
En particulier, si $p=0$, 
\[
u_n=u_0+nr.
\]
\end{thm}

\newpage

\begin{Exemple}
soit $(u_n)$ la suite arithmétique définie pour $n\in\N$ telle que $u_5=10$ et $r=3$. Alors, pour tout $n\in\N$,
\[
u_n=u_5+(n-5)r=10+(n-5)\times3=3n-5.
\]
\end{Exemple}

\subsection{Sens de variation}

\begin{prop}
\begin{itemize}
\item Si $r>0$ alors $(u_n)$ est strictement croissante. 
\item Si $r<0$ alors $(u_n)$ est strictement décroissante.
\item Si $r=0$ alors $(u_n)$ est constante.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item La suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=u_n+7$ est strictement croissante car sa raison ($r=7$) est strictement positive.
\item La suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=u_n-4$ est strictement décroissante car sa raison ($r=-4$) est strictement négative.
\end{itemize}
\end{Exemples}

\subsection{Somme des premiers termes} % VIDEO : histoire de Gauss

\begin{prop}[somme des premiers entiers]
Pour tout entier naturel $n$,
\[
1+2+3+\cdots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}.
\]
\end{prop}

\begin{Remarque}
cette propriété s'écrit aussi $\displaystyle\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}$.
\end{Remarque}
Cette égalité est à connaître par c\oe ur.

\begin{prop}[somme des premiers termes]
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$. Alors,
\[
u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n=(n+1)\times\dfrac{u_0+u_n}{2}.
\]
\end{prop}
\begin{Remarque}
on peut aussi retenir cette formule ainsi:
\[
(\text{nombre de termes dans la somme})\times(\text{moyenne des termes extrêmes}).
\]
\end{Remarque}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
a_{n+1}-a_n & = \big[ 5(n+1)-8 \big] - \big[ 5n-8 \big]\\
            & = 5n + 5 - 8 - 5n + 8\\
            & = 5.
\end{align*}
Le résultat ne dépend pas de $n$: la différence entre deux termes consécutifs quelconques de cette suite est donc constante. La suite est donc arithmétique.

Sa raison vaut 5 (la différence entre deux termes consécutifs) et son premier terme $a_0$ se trouve en remplaçant $n$ par 0 dans l'expression de $a_n$:
\[
a_0 = 5\times0-8 = -8.
\]

\item On a:
\begin{itemize}
\item $c_0 = 10$;
\item $c_{0+1}=\frac{1}{2}\times c_0 + 0$, soit $c_1=\frac{1}{2}\times10+0=5$;
\item $c_{1+1}=\frac{1}{2}c_1+1$, soit $c_2=\frac{1}{2}\times5+1=\frac{7}{2}$.
\end{itemize}
Ainsi,
\[
c_1-c_0=5-10=-5\qquad\text{et}\qquad c_2-c_1=\frac{7}{2}-5=-\frac{3}{2}.
\]
Par conséquent, $c_1-c_0 \neq c_2-c_1$; la suite $(c_n)$ n'est donc pas arithmétique.
\end{questions}
\end{solintro}

\section{Suites géométriques}
\enlargethispage*{5em}

% 2024

\begin{exointro}{Lycée Pierre Caraminot, Egletons}
\begin{questions}
\item $(b_n)$ est la suite définie pour tout $n \in \N$ par: $b_n = \frac{3\times12^n}{4^n}$.

Montrer que $(b_n)$ est une suite géométrique, dont on précisera la raison $q$ et le premier terme $b_0$.

\item $(c_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$ par:
\[
\begin{cases}
c_0 = 10\\
c_{n+1}= \frac{1}{2}c_n+n.
\end{cases}
\]
Cette suite est-elle géométrique ? Justifier.
\end{questions}
\end{exointro}



\subsection{Définition}

\begin{defin}
On dit que la suite $(u_n)$ est \textit{géométrique} s'il existe un réel $q$ tel que, pour tout entier naturel $n$,
\[
u_{n+1} = q u_n\,.
\]
$q$ est alors appelé la \textit{raison} de la suite géométrique.
\end{defin}

\begin{Exemple}
soit $(u_n)$ la suite définie par son premier terme $u_0=7$ et par la relation de récurrence $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n$.

Alors, $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$.
\end{Exemple}

\subsection{Formule explicite du terme général}

\begin{thm}
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$. 

Alors, pour tous entiers naturels $n$ et $p$,
\[
u_n=u_p \times q^{n-p}.
\]
En particulier, si $p=0$,
\[
u_n= u_0 \times q^n.
\]
\end{thm}

\begin{Exemple}
soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=7$ et de raison $q=\dfrac{1}{3}$. Alors, pour tout entier naturel $n$,
\[
u_n=7 \times\left(\dfrac{1}{3}\right)^n=\dfrac{7}{3^n}.
\]
\end{Exemple} 

\subsection{Somme des premiers termes} % VIDEO démo.

\begin{prop}
Soit $q\neq1$. Alors,  pour tout entier naturel $n$,
\[ 1+q+q^2+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.\]
\end{prop}

\begin{prop}
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q\neq1$. Alors, pour tout entier naturel $n$,
\[
u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n=u_0 \times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.
\]
\end{prop}

\Par


\begin{solintro}
\begin{questions}
\item Pour tout entier naturel $n$, 
\[
b_{n+1} = \frac{3\times12^{n+1}}{4^{n+1}} = \frac{3\times12^{n}\times12^1}{4^n\times4^1} = \frac{3\times12^{n}}{4^n} \times\frac{12}{4} =  b_n \times 3.
\]
Ainsi, $(b_n)$ est une suite géométrique de raison $q=3$ et de premier terme:
\[
b_0=\frac{3\times12^{0}}{4^0}=3.
\]

\item On a:
\begin{itemize}
\item $c_0 = 10$;
\item $c_{0+1}=\frac{1}{2}\times c_0 + 0$, soit $c_1=\frac{1}{2}\times10+0=5$;
\item $c_{1+1}=\frac{1}{2}c_1+1$, soit $c_2=\frac{1}{2}\times5+1=\frac{7}{2}$.
\end{itemize}
Ainsi,
\[
\frac{c_1}{c_0}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\qquad\text{et}\qquad \frac{c_2}{c_1}=\frac{7}{10} \neq \frac{c_1}{c_0}.
\]
La suite $(c_n)$ n'est donc pas géométrique.
\end{questions}
\end{solintro}