\thumb

\sectionnn{Généralités}

%%%%%%%%%% QCM

\begin{qcm}{Exprimer le terme suivant}{5}
Indiquer la bonne réponse parmi les propositions \choix[a], \choix[b], \choix[c].
\begin{questions}
\item Si $u_n = n^2 + n - 1$, alors $u_{n + 1} = $\par\resetchoix\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\choix{} $n^2 + n$ &
\choix{} $n^2 + 3n$ &
\choix{} $n^2 + 3n + 1$
\end{tabularx}

\item Si $v_n=(2n-1)^2$ alors $v_{n+1}=$\par\resetchoix\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\choix{} $n^2$ &
\choix{} $(2n+1)^2$ &
\choix{} $4n^2-4n+1$
\end{tabularx}

\item Si $w_n = \frac{5n-1}{5n+1}$ alors $w_{n+1}=$\par\resetchoix\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\choix{} $\frac{5n+4}{5n+6}$ &
\choix{} $\frac{5n-6}{5n+6}$ &
\choix{} $\frac{5n-6}{5n+1}$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. 

En effet, 
\[
u_{n + 1} = (n + 1)^2 + (n + 1) - 1 = n^2 + 3n + 1.
\]

\item Réponse \choix[b]. 

En effet, 
\[
v_{n+1} = \big( 2(n+1) - 1 \big)^2 = (2n+2-1)^2 = (2n+1)^2.
\]

\item Réponse \choix[a]. 

En effet, 
\[
w_{n+1} = \frac{5(n+1)-1}{5(n+1)+1} = \frac{5n+5-1}{5n+5+1} = \frac{5n+4}{5n+6}.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%% VF 2

\begin{vf}{Vérifiez vos connaissances}{10}
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
\begin{questions}
\item Si on pose pour tout $n\in \N$:
  \[
  \left\{%
    \begin{aligned} 
     u_0 & = 2\\
      u_{n+1} & =\frac{1}{u_n - 1}\;,
    \end{aligned}
  \right.
  \]
  la suite $(u_n)$ est bien définie.
  
\item Si, pour tout entier naturel $n$, $v_n=5n^2-10n+7$, alors $v_9$ est le neuvième terme de la suite $(v_n)$.

\item On pose $t_n=n^2+n+1$ pour tout entier naturel $n$. Alors, $(t_n)$ est une suite croissante.
\end{questions}
\end{vf}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \textit{Faux}. $u_0 = 2$ ; $u_1 = \frac{1}{2-1} = 1$. Il est alors impossible de calculer $u_2$.

\Par

\item \textit{Faux.} Le premier terme de la suite $(v_n)$ est $v_0$. Il y a un décalage entre les indices et les rangs: $v_9$ est le dixième terme.

\Par

\item \textit{Vrai}. En effet, pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
t_{n+1} - t_n & = (n+1)^2 + (n+1) + 1 - (n^2+n+1)\\
              & = n^2 + 2n + 1 + n + 1 + 1 - n^2 - n - 1\\
              & = 2n + 2.
\end{align*}
De plus, $2n+2 > 0$, donc $t_{n+1} - t_n > 0$.

La suite $(t_n)$ est donc strictement croissante.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%% VF 3

\begin{vf}{Suites croissantes}{15}
  Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
  \begin{questions}
   \item Si $u_n = f(n)$ et $(u_n)$ est croissante, alors $f$ est
      croissante.

    \item Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$ alors $(u_n)$ est croissante.

    \item La somme de deux suites croissantes est croissante.
  \end{questions}
\end{vf}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \emph{Faux}. Pour tout $n \geq 1$, on pose $u_n = n^2 - 3n$.

  On a : 
  \[
  \begin{aligned}
    u_{n + 1} - u_n & = (n + 1)^2 - 3(n + 1) - n^2 + 3n\\
    u_{n + 1} - u_n & = 2n - 2
  \end{aligned}
  \]
  
  Si $n\geq 1$, $2n - 2 \geq 0$. Donc la suite $(u_n)$ est
  croissante. Or la fonction $f$ définie sur $[1~; +\infty[$ par $f(x)
  = x^2 - 3x$ est décroissante sur $\left[1~; \frac{3}{2}\right]$.

\newpage

\item \emph{Faux}. Soit $u_n = -2^n$.

  On a : 
  \[
  \frac{u_{n + 1}}{u_n} = \frac{-2^{n + 1}}{-2^n} = 2\quad
  \text{donc}\quad \frac{u_{n + 1}}{u_n} > 1.
  \]

  Cependant, la suite $(u_n)$ est décroissante : pour tout $n\in
  \mathbb{N}$, \[ u_{n + 1} - u_n = -2^{n + 1} + 2^{n} = -2^n\] donc
  $u_{n + 1} - u_n < 0$.

  Il manquait la condition : $u_n > 0$.

  \item \emph{Vrai}. Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites croissantes. On pose  $w_n = u_n + v_n$. Pour tout entier naturel $n$,
    \[
    \begin{aligned}
     & u_n < u_{n + 1} \quad \text{et} \quad v_n < v_{n + 1}\\
      \text{donc} & \quad u_n + v_n < u_{n + 1} + v_{n + 1}\\
      \text{soit} & \quad w_n < w_{n + 1}
    \end{aligned}
    \]
    La suite $(w_n)$ est donc croissante.
\end{questions}
\end{corrige}



%%%%%%%%%%%% Modif 2024

\begin{exo}{Définition explicite d'une suite}{Lycée Saint-Benoît, Grenoble}{1}{10}

Soit $(u_n)$ la suite définie par  :
\[
u_n = \sqrt{2n+4} \;.
\]
\begin{questions}
\item  Compléter le programme suivant, écrit en langage Python, afin que l'appel à la fonction \texttt{u(n)} affiche une valeur approchée des termes de la suite $(u_n)$ de $u_0$ et $u_n$, pour $n$ entier naturel quelconque.

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.7){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL1M/05-prog-a-completer-enonce.py}}}
\vspace*{-10pt}

\begin{listing}{En Python}{05-prog-a-completer-enonce.py}\end{listing}

\item  Calculer le vingtième et le centième terme de la suite.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Le programme complété est le suivant:

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.7){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL1M/05-prog-a-completer-solution.py}}}
\vspace*{-10pt}

\begin{listing}{En Python}{05-prog-a-completer-solution.py}\end{listing}
\Par

Dans cette fonction, la variable entière \texttt{k} parcourt les valeurs de 0 à $n$ (la fonction \og \texttt{range} \fg{} compte $n+1$ valeurs, de 0 à $n$).

Il est à noter ici la présence de la fonction \texttt{sqrt}, permettant de calculer une racine carrée.

\item  Le vingtième terme correspond à $u_{19}$ :
\[
u_{19} = \sqrt{2\times 19 + 4} = \sqrt{42}.
\]
Le centième terme correspond à $u_{99}$ :
\[
u_{99} = \sqrt{2\times 99 + 4} = \sqrt{202}.
\]
\end{questions}  
\end{corrige}

%%%% modif à 100% en 2024

\begin{exo}{Étude de la monotonie de deux suites}{Lycée Clémenceau, Nantes}{1}{15}

Étudier la monotonie des suites définies sur $\N$ par :
\begin{questions}
\item  $u_{n}=n-n^{3}$
\item  $v_{n}={\displaystyle \frac{2n+1}{n+2}}$
\end{questions}
\end{exo}

%%%

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Pour tout entier naturel $n$,
\[
u_{n}=n-n^{3} = n(1-n^2) = n(1-n)(1+n) = -n(n+1)(n-1). 
\]
Ainsi,
\[
u_{n+1} = (n+1)(1-n-1)(1+n+1) = -n(n+1)(n+2).
\]
Par conséquent,
\begin{align*}
u_{n+1}-u_n & = -n(n+1)(n+2) + n(n+1)(n-1)\\
            & = n(n+1)(-n-2+n-1)\\
            & = -3n(n+1).
\end{align*}
Ainsi, $u_{n+1}-u_n \leqslant 0$ sur $\N$; $(u_n)$ est donc décroissante sur \N.

\item  Pour tout entier naturel $n$,
\[
v_n = \frac{2n+1}{n+2} = \frac{2(n+2)-3}{n+2} = 2 - \frac{3}{n+2}.
\]
Ainsi,
\begin{align*}
v_{n+1}-v_n & = \left( 2 - \frac{3}{n+3} \right) - \left( 2 - \frac{3}{n+2}\right)\\
            & = \frac{-3(n+2)+3(n+3)}{(n+3)(n+2)}\\
            & = \frac{-3n-6+3n+9}{(n+2)(n+3)}\\
            & = \frac{3}{(n+2)(n+3)}.
\end{align*}
Ainsi, $v_{n+1}-v_n > 0$; la suite $(v_n)$ est donc strictement croissante.
 
\end{questions}
\end{corrige}

%%%  modif 2024

\begin{exo}{Sens de variation d'une suite}{Lycée Saint-Exupéry, Marseille}{1}{20}
On donne la suite $(u_{n})$ définie par :
\[
\forall n \in \N, \qquad u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}}\qquad,\qquad u_{0} = 0.
\]
On suppose que $0 \leqslant u_n \leqslant 2$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{questions}
\item Montrer l'égalité : 
\[
u_{n+1}-u_{n}=\frac{2+u_{n}-u_{n}^2}{\sqrt{2+u_{n}}+u_{n}}.
\]
\item \'Etudier le signe de $2+x-x^{2}$ sur \R.
\item Donner le sens de variation de $(u_{n})$.
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
u_{n+1}-u_{n} & = \sqrt{2+u_{n}}-u_{n}\\
              & = \big( \sqrt{2+u_{n}}-u_{n}) \times {\color{DR}\frac{\sqrt{2+u_{n}}+u_{n}}{\sqrt{2+u_{n}}+u_{n}}}\\
              & = \frac{(\sqrt{2+u_{n}}-u_{n}) (\sqrt{2+u_{n}}+u_{n})}{\sqrt{2+u_{n}}+u_{n}}\\
              & = \frac{2+u_{n}-u_{n}^2}{\sqrt{2+u_{n}}+u_{n}}.
\end{align*}

\newpage

\item En posant $x=u_n$, sachant d'après l'énoncé que $0 \leqslant u_n \leqslant 2$,  on a:
\[
u_{n+1}-u_{n}  = \frac{2+x-x^2}{\sqrt{2+x}+x}.
\]
$\sqrt{2+x} > 0$ et $x \geqslant 0$, donc $\sqrt{2+x}+x > 0$; $u_{n+1}-u_{n}$ est alors du signe de $2+x-x^2$.

Le polynôme $2+x-x^2$ a pour racines $-1$ et $2$ (racines évidentes).
\[
\begin{array}{|R|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty &  & -1 &  & 2 &  & +\infty\\
\hline
2+x-x^2 &  & - & 0 & + & 0 & - & \\
\hline
\end{array}
\]
\item $0 \leqslant x \leqslant 2$. Ainsi, $u_{n+1}-u_n \geqslant 0$.

Ainsi, la suite $(u_n)$ est croissante.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%

\begin{exo}{Suite explicite avec radical}{Lycée Odilon Redon, Pauillac}{2}{20}
Soit $(u_n)_{n \in \N}$ la suite définie par :
\[
u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\,.
\]

\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item Montrer que, pour tout entier $n\geqslant 1$ :
\[
n\geqslant\sqrt{n^2-1}.
\]

\item Montrer que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$ :
\[
\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1} \leqslant 2\sqrt{n}.
 \]
\textit{Aide:} utiliser l'identité remarquable  $\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\right)^2$.

\item Exprimer $u_n-u_{n-1}$ en fonction de $n$,  et, à l'aide de la question précédente, et en déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
\end{questions}
      
\item  
\begin{questions}    
\item Montrer que pour tout entier $n\geqslant1$ :
\[
0< u_n< \frac{1}{2\sqrt{n}}.
\]
\item Soit un réel quelconque $M>0$. Déduire de la question précédente, un rang $n_0$ tel que, pour tout entier $n\geqslant n_0$, $0\leqslant u_n\leqslant M$. 
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

%%% correction revue en 2024

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item Pour tout entier $n\geqslant1$, 
      $n^2\geqslant n^2-1\geqslant0$, 
      et on déduit donc que :
      \[
      n\geqslant \sqrt{n^2-1}\quad\text{car la fonction racine carrée est croissante sur }\R_+.
      \]

\item Pour $n\geqslant1$, 
\begin{align*}
\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\right)^2 & = n+1+2\sqrt{(n+1)}\sqrt{(n-1)}+n-1\\
                                     & = 2n+2\sqrt{n^2-1}.
      \end{align*}
Or, d'après la question précédente, 
\begin{align*}
\sqrt{n^2-1}\leq n & \iff 2\sqrt{n^2-1}\leq 2n\\
                   & \iff 2n+2\sqrt{n^2-1}\leq 4n\\
                   & \iff \left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\right)^2 \leq 4n\\
                   & \iff \sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\leqslant \sqrt{4n}
                   \intertext{(car $\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1} > 0$ pour $n\geqslant1$)}
                   & \iff \sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\leqslant 2\sqrt{n}.
\end{align*}
     
\item Pour tout entier $n\geqslant1$, 
\begin{align*}
u_n-u_{n-1} & = \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)-\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\\
            & = \sqrt{n+1}-2\sqrt{n}+\sqrt{n-1}.
\end{align*}
D'après la question précédente, on sait que :
\[
\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}-2\sqrt{n}\leqslant 0,
\]
c'est-à-dire que $u_n-u_{n-1}\leqslant0$, et donc que la suite $(u_n)$ est décroissante. 
\end{questions}

\item 
  \begin{questions}
  \item Pour tout $n \in \N$, en multipliant en haut et en bas par la quantité
  conjuguée, on a :
    \[
    \begin{aligned}
    u_n&=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \\
    &=
    \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\
    &=
    \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\
    &=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\,.
    \end{aligned}
    \]

  Comme pour tout entier $n$,  
  $\sqrt{n+1}>0$ et $\sqrt{n}\geqslant0$, 
  on a donc, \mbox{$u_n>0$}. 

  De plus, pour tout entier $n$, $n+1>n$, et donc, 
  $\sqrt{n+1}>\sqrt{n}$, car la fonction racine carrée est
  croissante. 

  On en déduit que $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}>2\sqrt{n}$, et donc que :
  \[
  0<u_n<\frac{1}{2\sqrt{n}}\quad\text{car la fonction inverse est décroissante.}
  \]

   \item Soit $M>0$, d'après l'encadrement précédent, il suffit de
   choisir $n_0$ tel que :
   \[
   \frac{1}{2\sqrt{n_0}}\leqslant M 
   \iff 
   n_0\geqslant \frac{1}{4M^2} \quad\text{pour que }0<u_{n_0}\leqslant M.
   \]
   \end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


\sectionnn{Suites arithmétiques}

%%%%%%%%% 

\begin{exo}{Recherche d'une suite arithmétique}{Lycée Poincaré, Nancy}{1}{10}
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$. On désigne par :
\[
S_{n}=\sum_{k=1}^{n}u_{k} = u_1+u_2+\cdots+u_n
\]
la somme des $n$ premiers termes de la suite.

Calculer $u_1$ et $S_{17}$ sachant que $u_{17}=105$ et $r=-2$.

\end{exo}

\begin{corrige}
Ayant un terme et la raison d'une suite arithmétique, nous pouvons calculer facilement les autres termes de cette suite :
\[
u_n = u_{1}+(n-1) r
\]
et en particulier pour $n=17$ :
\[
u_{17} = u_1+16r = u_1-32.
\]
Donc :
\[
u_1=u_{17}+32=137.
\]
D'après le cours, 
\[
S_{17}=17 \times \dfrac{u_1+u_{17}}{2}=17\times\dfrac{137+105}{2}=\numprint{2057}.
\]
\newpage
\end{corrige}

%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Calcul de la distance parcourue}{Lycée Montesquieu, Herblay}{1}{15} 
  Un ours a établi sa tanière à 20 m des ruches d'un apiculteur, situées
  en ligne droite à partir de son antre et espacées de 2 m. L'ours
  dispose de pots de miel de taille respectable, et ne peut en porter
  deux simultanément malgré sa grande force et sa motivation certaine.
\par
Quelle distance parcourt ce fin gourmet s'il prélève modestement un pot de miel dans chacune des 30 ruches de l'apiculteur ?
\end{exo}

\begin{corrige}
Commençons par présenter la situation par un schéma :
\begin{center}
\includegraphics{155_3_fig_2}
\end{center}
Les points R$_1$, R$_2$, ..., R$_{30}$ représentent  les 30 ruches.

Au cours de son premier aller-retour, l'ours parcourt 40 m ; au voyage suivant, il en parcourt 44, puis 48 etc. À chaque voyage, la distance parcourue augmente de 4 m.
La distance totale parcourue est donc la somme des trente premiers termes d'une suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_0=40$ et de raison 4.
\begin{align*}
S & = u_0 + u_1+u_2+\cdots+ u_{29} \\
S & = 30 \times \dfrac{u_0+u_{29}}{2}\\
S & = 30 \times \dfrac{40 + (40+29\times4)}{2}\\
S & = \numprint{2940}.
\end{align*}
La distance totale parcourue par l'ours est \nombre{2940} mètres.
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%% 

\begin{exo}{Production croissante}{Lycée Michelet, Vanves}{1}{15}
Une usine pharmaceutique fabrique des boîtes de médicaments.\\
La machine de production fonctionne 7 jours sur 7 durant le mois de juin.\\
La production est initialement de \numprint{3500} boîtes de médicaments le 31 mai.\\
\`A partir du 1\ier{} juin, la production augmente de 60 boîtes par jour.\\
On note $u_n$ la production le jour $n$ du mois de juin.
\begin{questions}
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. Quelle est la nature de la suite ?\\ Expliquer brièvement.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Pourra-t-on dépasser une production journalière de \numprint{5000} boîtes au 24 juin ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $u_{n+1} = u_n + 60$. \\
La production augmente de 60 boîtes chaque jour, c'est une augmentation constante, la suite est donc arithmétique.
\item $u_n = u_0 + nr = \numprint{3500} + 60n$.
\item Il faut savoir si l'inéquation $\numprint{3500} + 60n  > \numprint{5000}$ admet une solution inférieure ou égale à 24.
\begin{align*}
\numprint{3500} + 60\times n > \numprint{5000} & \iff 60n>\numprint{1500}\\
& \iff n>25.
\end{align*}
Donc on ne pourra pas dépasser une production journalière de\linebreak \numprint{5000} boîtes au 24 juin.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%% modif (ajout question 5) 2024

\begin{exo}{Suite se ramenant à une arithmétique}{Lycée Buffon, Paris}{2}{20}
On donne :
\begin{align*}
&\forall n \in \N^*, \qquad u_{n+1}=\frac{u_{n}}{1-u_{n}}, \qquad u_{1}=-2 \\
&\forall n \in \N^*, \qquad v_{n}=\frac{1+u_{n}}{u_{n}}
\end{align*}
On admet que :
\[
\forall n \in \N^*, \qquad u_{n} \neq 1, \qquad u_{n} \neq 0 \qquad \text{et} 
\qquad v_{n} \neq 1\,.
\]
\begin{questions}
\item  Calculer $v_{n+1}$ en fonction de $u_{n+1}$.
\item  Calculer $v_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$.
\item  Calculer $u_{n}$ en fonction de $v_{n}$.
\item  En déduire que $(v)$ est arithmétique.
\item En déduire une expression de $v_n$, puis de $u_n$, en fonction de $n$
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item  Par définition :
\[
v_{n+1}=\frac{1+u_{n+1}}{u_{n+1}}.
\]
\item  Pour calculer $v_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$, remplaçons $u_{n+1}$ dans l'égalité précédente par :
\[
u_{n+1}=\frac{u_{n}}{1-u_{n}}.
\]
On a alors:
\[
v_{n+1}=\frac{1+\frac{u_n}{1-u_n}}{\frac{u_n}{1-u_n}}
\]
soit, en multipliant en haut et en bas par $1-u_{n}$ :
\[
v_{n+1}=\frac{1-u_n+u_n}{u_n}=\frac{1}{u_n}.
\]

\item  $\begin{aligned}[t]
        \text{On a :}\ & v_n=\dfrac{1+u_n}{u_n}\\
         \iff\ & v_nu_n=1+u_n\\
         \iff\ & u_n\big(v_n-1\big)=1\\
         \iff\ & u_n = \frac{1}{v_n-1},\ \text{car }v_n \neq1.
         \end{aligned}$

\item Utilisons les deux égalités suivantes pour en déduire $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$ :
\begin{align*}
v_{n+1} & =\frac{1}{u_n} \\
u_n & = \frac{1}{v_n-1}.
\end{align*}
Nous obtenons donc, pour tout $n \in \N^*$ :
\[
v_{n+1} = v_n-1\;,
\]
ce qui prouve que $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $-1$.

\item $(v_n)$ étant arithmétique de raison $r=-1$, on a:
\[
\forall n\in\N^*,\quad v_n= v_1 + (n-1)r \qquad\text{soit}\qquad v_n=\frac{1}{2}-(n-1) = \frac{3}{2}-n.
\]
Ainsi, d'après la question 3,
\[
\forall n\in\N^*,\qquad u_n = \frac{1}{\tfrac{3}{2}-n-1}=-\frac{2}{2n-1}.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{Quatre premiers termes d'une suite}{Lycée Louis-Le-Grand, Paris}{2}{20}
Déterminer les quatre premiers termes $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ d'une suite arithmétique \textit{croissante} sachant que leur somme est 16 et que la somme de leurs carrés vaut 84.
\end{exo}

\begin{corrige}
Notons $(u_n)$ la suite arithmétique définie par son premier terme $u_1$ et sa \mbox{raison $r$}. On a donc les relations :
\[
\begin{cases}
u_1 + u_2 + u_3 + u_4 & = 16\\
u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 & =84.
\end{cases}
\]
Or,
\[
\begin{cases}
u_2 & = u_1 + r \\
u_3 & = u_1 + 2r \\
u_4 & = u_1 + 3r .
\end{cases}
\]
On obtient donc :
\[
\begin{cases}
u_1 + u_1+r + u_1+2r + u_1+3r & =16\\
u_1^2 + (u_1+r)^{2}+(u_1+2r)^{2}+(u_1+3r)^{2}& =84
\end{cases}
\]
soit en développant :
\[
\begin{cases}
4u_1+6r&=16\\
4u_1^{2}+12ru_1+14r^{2}&=84
\end{cases}
\]
soit encore :
\[
\begin{cases}
2u_1&=8-3r\\
(2u_1)^{2}+6r(2u_1)+14r^{2}&=84
\end{cases}
\]
et finalement, en remplaçant $2u_1$ par $8-3r$ :
\[
\begin{cases}
2u_1&=8-3r\\
(8-3r)^{2}+6r(8-3r)+14r^{2}&=84
\end{cases}
\]
La deuxième équation s'écrit successivement :
\begin{align*}
 &(8-3r)(8-3r+6r)+14r^2 = 84 \\
\iff\ &(8-3r)(8+3r)+14r^2 = 84 \\
\iff\  &64 - 9r^2 + 14r^2 = 84 \\
\iff\  &5r^2 = 20 \\
\iff\  &r^2 = 4.
\end{align*}
Or, $r >0$ car la suite est croissante donc $r = 2$, et la première équation donne alors :
\[
2 u_1=8-6 = 2.
\]
Finalement :
\[
u_1 = 1, \quad u_2 = 3, \quad u_3 = 5\quad\text{et} \quad u_4= 7.
\]
\end{corrige}

%%% 

\newpage

\begin{exo}{Les carrés de chocolat}{Lycée Hector Berlioz, Vincennes}{3}{20}
On positionne \numprint{2016} carrés de chocolat comme sur le dessin ci-dessous : 

\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\includegraphics{143_3_fig_1}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-4cm}
1 carré sur la première ligne\\
2 carrés sur la deuxième ligne, etc.

\medskip

En détaillant le raisonnement, calculer le nombre de carrés de chocolat sur la dernière ligne.
\end{minipage}
\end{exo}

\begin{corrige}
Le nombre de carrés sur chaque ligne est un terme d'une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1.\\
Sur la ligne $n$, si on commence à la ligne 1, il y a donc au plus $n$ chocolats.\\
Donc, si on fait la somme des chocolats de la ligne 1 à la $n$\ieme{} ligne, il peut y avoir :\[1 + 2 + 3 + \cdots + n \text{ chocolats}.\]
D'après la formule du cours, il y a donc $\frac{n(n+1)}{2}$ chocolats.\\
On cherche donc la plus petite valeur entière de $n$ telle que: \[ \frac{n(n+1)}{2}\geqslant\numprint{2016}\]
Cette inéquation est équivalente à : \[ n^2 + n -\numprint{4032}\geq 0\]
$\Delta = \numprint{16129}$.\\
La plus grande des deux racines est $x'=\frac{-1+\sqrt{\numprint{16129}}}{2}=63$. (l'autre racine est négative)\\
Donc la plus petite valeur de $n$ entière possible est 63. Il y a donc 63 rangées de chocolat.\\
Sur les 62 premières rangées, on a mis $\frac{62\times 63	}{2}=\numprint{1953}$ chocolats.

Il en reste donc $\numprint{2016}-\numprint{1953} = 63$. La dernière rangée sera donc complète !
\end{corrige}

\sectionnn{Suites géométriques}

%%% 14

\begin{exo}{Recherche de trois nombres}{Lycée Notre-Dame de France, Paris}{1}{15}
$a$, $b$ et $c$ sont trois nombres tels que :
\begin{itemize}
\item  $a$, $b$ et $c$ sont dans cet ordre trois termes consécutifs d'une suite\linebreak arithmétique;
\item  $a$, $c$ et $b$ sont dans cet ordre trois termes consécutifs d'une suite\linebreak géométrique;
\item $a+b+c=99$.
\end{itemize}
Déterminer $a$, $b$ et $c$.
\end{exo}

\begin{corrige}
En notant $r$ la raison de la suite arithmétique et $q$ celle de la suite géométrique, les hypothèses s'écrivent :
\begin{align}
a & = b-r\\
c & = b + r\\
a & = \frac{c}{q}\\
b & = cq\\
a + b + c & = 99
\end{align}

De (1) et (2), on déduit : $a+ c = 2b$.\\
De (3) et (4), on déduit : $ab = c^2$.

\begin{methode}
Il est souvent intéressant de travailler avec le terme du milieu, car cela permet d'éliminer les raisons des équations.
\end{methode}

En remplaçant $a + c$ par $2b$ dans (5), on obtient : \[ 3b = 99\;, \]
et donc :
\[ b = 33.\]
Pour trouver $a$ et $c$, on doit résoudre :
$$\left\{ \begin{array}{l}
a + c = 66 \\
\\
33a = c^2\qquad (6)
\end{array}\right.$$
De l'équation (6), on tire :
$$a = \frac{c^2}{33}.$$
On remplace dans la première équation $a$ par cette valeur :
$$\frac{c^2}{33} + c = 66,$$
d'où :
$$c^2 + 33 c = 66\times 33,$$
soit :
\[
c^2 + 33 c - 66\times 33 = 0.
\]
Le discriminant de cette équation du second degré vaut :
$$\Delta = 33^2 + 4\times 66\times 33 
       = 33^2 + 8 \times 33^2 
       = 9 \times 33^2 
       = (3 \times 33)^2 
       = 99^2.$$

On a donc deux solutions possibles :
\[
c_1 = \frac{-33-99}{2} = -66 \qquad\text{et}\qquad
c_2 = \frac{-33+99}{2} = 33.
\]
Les solutions correspondantes pour $a$ sont :
\begin{align*}
 a_{1} &= \frac{c_{1}^2}{33} = \frac{(33 \times 2)^2}{33} = 33 \times 4 = 132 \\[6pt]
 a_{2} &= \frac{c_{2}^2}{33} = \frac{33^2}{33} = 33.
\end{align*}

Dans le premier cas, on a le triplet solution :
\begin{align*}
(a_1,b_1,c_1)&=(132,33,-66) \\
\intertext{et dans le second cas :}
(a_2,b_2,c_2)&=(33,33,33).
\end{align*}
On vérifie aisément que ces deux triplets conviennent.
\end{corrige}

%%% 15

\begin{exo}{Le rebond}{Lycée Albert de Mun, Nogent-sur-Marne}{1}{20}
Une balle élastique est lancée d'une hauteur de 100 cm au-dessus du sol. On note $R_n$ la hauteur au $n$\ieme{} rebond et $R_0$ la hauteur d'où est lâchée la balle.\\
\`A chaque rebond, la hauteur atteinte est égale à $\dfrac{9}{10}$ de la hauteur précédente.
\begin{questions}
\item Exprimer $R_{n+1}$ en fonction de $R_n$.
\item Quelle est la nature de la suite $(R_n)$ ?
\item Exprimer $R_n$ en fonction de $n$.
\item On considère que la balle s'arrête dès qu'elle tombe d'une hauteur inférieure à $0,2$ cm. \`A l'aide d'une calculatrice, déterminer au bout de combien de rebonds va cesser le mouvement.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $R_{n+1}=\dfrac{9}{10}R_n$.
\item La suite $R$ est géométrique, chaque terme se déduisant du précédent par multiplication par $\dfrac{9}{10}$.
\item $R_n=R_0\left(\dfrac{9}{10}\right)^n=100\left(\dfrac{9}{10}\right)^n$.
\item On cherche $n$ tel que $R_n < 0,2$, donc tel que $100\left(\dfrac{9}{10}\right)^n< 0,2$.\\
En tabulant sur la calculatrice, on obtient :

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|Zc|Zc|}
\hline\tabulartitle
X & Y$_{1}$\\
\hline
$55$ & $.30433$\\
$56$ & $.27389$\\
$57$ & $.24650$\\
$58$ & $.22185$\\
$59$ & $.19967$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Par

$n = 59$. Il faudra 59 rebonds pour que le mouvement cesse.
\begin{Remarque}
on sait que la suite est décroissante puisque la raison est comprise entre 0 et 1 et que le premier terme $R_0$ est positif.
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{corrige}


%%% 16

\newpage

\begin{exo}{Recherche d'une suite géométrique}{Lycée Blaise Pascal, Orsay}{1}{20}
\begin{questions}
\item  $(u_n)$ est une suite géométrique croissante dont les termes sont négatifs.\par
Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$, sachant que :
\[
\begin{cases}
u_1 \times u_3 & = \frac{4}{9}\\
u_1+u_2+u_3 & = - \frac{19}{9}.
\end{cases}
\]

\item  Calculer $u_n$ en fonction de $n$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Si on appelle $q$ la raison de la suite, on a :  
\[
u_2 = q u_1\quad\text{et}\quad u_2 = \dfrac{u_3}{q}\;,\]
donc : 
\[ 
u_2^2 = u_1 u_3 = \frac{4}{9}. 
\]
$(u_n)$ est à termes négatifs, donc :
\[
u_2 = -\frac{2}{3}.
\]
Comme :
\[
\begin{cases}
u_1 \times u_3 & = \frac{4}{9}\\
u_1+u_2+u_3 & = - \frac{19}{9}
\end{cases}
\]
on a :
\begin{align*}  
\left\{ \begin{aligned}
 u_1 u_3 &= \frac{4}{9} \\
 u_1 - \frac{2}{3}+ u_3 & = -\frac{19}{9}
        \end{aligned} \right.
&\iff\left\{ \begin{aligned}
 u_1u_3 &= \frac{4}{9} \\
 u_1 + u_3 & = -\frac{13}{9}
        \end{aligned} \right.\\
&\iff\left\{ \begin{gathered}
u_3 =-u_1 -\frac{13}{9} \\
u_1\left(-u_1-\frac{13}{9}\right) = \frac{4}{9} 
        \end{gathered} \right.
\end{align*}
$u_1$  est donc solution de l'équation :
\[
x\left(-x-\frac{13}{9}\right) = \frac{4}{9}
\]
soit :
\[
9x^2 + 13 x + 4 = 0.
\]
Le discriminant vaut :
\[
\Delta = 13^2 - 4\times4\times 9 = 25.
\]
Les deux racines sont donc :
\[
x_1 = \frac{-13-5}{18} = -1 \quad\text{et}\quad
x_2 = \frac{-13+5}{18} = -\frac{8}{18} = -\frac{4}{9}.
\]
D'où :
\begin{itemize}
\item $u_1=-1$ (et dans ce cas $u_3=-u_1 -\dfrac{13}{9}=-\dfrac{4}{9}$) ;
\item ou 
$u_1=-\dfrac{4}{9}$ (et dans ce cas $u_3=-u_1 -\dfrac{13}{9}=-1$).
\end{itemize}

$(u_n)$ est croissante, donc $u_3 \geq u_1$. On retient donc comme solution : 
\[ 
u_1=-1 \qquad\text{et}\qquad u_3=-\frac{4}{9}.
\]
Nous avons donc finalement :
\[
u_1=-1, \qquad u_2=-\frac{2}{3}, \qquad u_3=-\frac{4}{9}.
\]
On remarque que la raison est $q = \dfrac{u_2}{u_1}= \dfrac{2}{3}$.

\item  Pour calculer $u_n$, utilisons simplement la définition des suites géométriques :
\[
u_n = q^{n-1}u_1 = -\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 17

\begin{exo}{\boldmath$n+1$ premiers termes d'une suite}{Lycée Saint-Benoît, Paris}{1}{20}
Soit la suite $(U_{n})$ définie par :
$$U_{n}=2^{n}-5n+6\,.$$
\begin{questions}
\item  Calculer $U_{0}$, $U_{1}$, $U_{2}$ et $U_{3}$.
\item  On pose $S_{n}=U_{0}+U_{1}+ \cdots +U_{n}$.\\
Calculer $S_{n}$ en fonction de $n$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item  Pour calculer les premiers termes, on peut directement écrire :
        \begin{align*}
        &U_{0} = 2^{0}-5 \times 0 + 6 = 7. \\
        &U_{1} = 2^{1}-5 \times 1 + 6 = 3. \\
        &U_{2} = 2^{2}-5 \times 2 + 6 = 0. \\
        &U_{3} = 2^{3}-5 \times 3 + 6 = -1.
        \end{align*}

        \item  Pour calculer $S_{n}$ en fonction de $n$, il faut penser à décomposer la somme :
        $$U_{n}=\underbrace{(2^{n})}_{V_{n}}+\underbrace{(-5n+6)}_{W_{n}}$$
        où $(V_{n})$ est la suite géométrique de raison $2$ et de premier terme 
        $1$ et $(W_{n})$ la suite arithmétique de raison $-5$ et de premier 
        terme $6$. On peut alors écrire :
        $$S_{n}=S_n(V)+S_{n}(W)\,,$$ 
        avec :
        $$\left\lbrace\begin{aligned}
        &S_{n}(V)=V_{0}+V_{1}+\cdots+V_{n}\\
        &S_{n}(W)=W_{0}+W_{1}+\cdots+W_{n}
        \end{aligned}\right.$$
       
        \[ S_n(V)=1+2+\cdots+2^n=\frac{1-2^{n+1}}{1-2}=2^{n+1}-1.\]
        
        \begin{align*}
        S_n(W) & = 6+(6-5)+(6-2\times 5)+\cdots+(6-n\times 5)\\
        & = (n+1)\times 6-5(1+2+\cdots+ n)\\
        &= 6(n+1)-5\frac{n(n+1)}{2}\\
        & = \frac{12(n+1)-5n(n+1)}{2}\\
        & = \frac{(n+1)(12-5n)}{2}.
        \end{align*}
        
        Donc :
        $$\left\lbrace\begin{aligned}
      & S_{n}(V)=2^{n+1}-1\\
& S_{n}(W)=\frac{n+1}{2}(12-5n).
        \end{aligned}\right.$$
        On obtient donc :
        $$S_{n} = S_{n}(V)+S_{n}(W) = 2^{n+1}-1+\frac{n+1}{2}(12-5n)\;.$$
        Vérifions pour les quatre premiers termes :
        $$S_{3}=7+3+0-1=9$$
        et par le calcul précédent :
        $$S_{3} = 2^{4}-1+\frac{4}{2}(12-15) = 9\,.$$
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 18

\begin{exo}{Capitaux et intérêts composés}{Lycée Notre-Dame, Ussel}{1}{20}
Un capital A est placé à intérêts composés au taux de 3~\% l'an. On appelle $C_0$ le capital  initial et $C_n$ le capital après $n$ années.
\begin{questions}
\item Expliquer la relation $C_1=1{,}03 C_0$ et écrire le capital $C_n$ en fonction de $C_0$ et de $n$ en justifiant soigneusement cette relation.
\item 
\begin{questions}
\item \'Ecrire un algorithme calculant le montant du capital acquis au bout de $n$ années. 

\item On considère un capital initial $A=150$ euros. 
      Déterminer, à l'aide de l'algorithme, au bout de combien d'années ce capital est doublé. 

\item Même question avec un capital initial $A=700$ euros. 

      Quelle conjecture peut-on faire ? 

\item Démontrer cette conjecture.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\enlargethispage*{\baselineskip}
\begin{questions}
\item Le  capital A est placé à intérêts composés au taux de 3~\% l'an. Le capital obtenu au bout d'un an, $C_1$, est égal à la somme du capital initial $C_0$ et des intérêts soit $0{,}03 C_0$. D'où :
\[
C_1 = C_0 + 0,03 C_0 = 1,03 C_0 \,.
\]
Plus généralement, le capital obtenu au bout de $n + 1$  années, $C_{n+1}$, est égal à la somme du capital obtenu au bout de $n$ années $C_n$ et des intérêts soit $0{,}03 C_n$. 

D'où :
\[
C_{n+1} = C_n + 0,03 C_n = 1,03 C_n\,.
\]
On en déduit que la suite $(C_n)$ est la suite géométrique de raison 1,03 et de premier terme $C_0$.
D'après le cours, on a alors, pour tout entier naturel $n$, $C_n = (1{,}03)^n C_0$. 

\item 
\begin{questions}
\item Le capital $C_{n+1}$ acquis au bout de la $n$\ieme année est donné en fonction du capital de l'année précédente $C_n$ par la relation de
récurrence: $C_{n+1}=1,03 C_n$, sachant que le capital vaut initialement $C_0=A$.
  
L'algorithme suivant permet de calculer et d'afficher les montants
des capitaux acquis les \texttt{N} premières années. 

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.8){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL1M/05-Capitaux-intcomp-01.py}}}
\vspace*{-10pt}

\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\begin{algorithme}{Algorithme}
C $\leftarrow$ A
Pour I de 1 à N
\qquad C $\leftarrow$ 1.03*C
Fin Pour
Afficher C
\end{algorithme}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.6\linewidth}
\begin{listing}{En Python}{05-Capitaux-intcomp-01.py}\end{listing}
\end{minipage}

\Par

\item On peut utiliser l'algorithme précédent pour $A=150$ et différentes valeurs de $N$ jusqu'à trouver un entier N tel que le capital affiché ait doublé. 

On peut aussi modifier l'algorithme de la manière suivante:

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.8){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL1M/05-Capitaux-intcomp-02.py}}}
\vspace*{-10pt}

\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\begin{algorithme}{Algorithme}
Tant que C$<$2A
\qquad C $\leftarrow$ 1.03*C
\qquad I $\leftarrow$ I+1
Fin Tant que
Afficher I
\end{algorithme}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.6\linewidth}
\begin{listing}{En Python}{05-Capitaux-intcomp-02.py}\end{listing}
\end{minipage}
  
\Par

Pour un capital de départ $A=150$ euros, on trouve à l'aide de ce programme qu'il faut $N=24$ années pour doubler ce capital.

\item Pour un capital de départ $A=700$ euros, on trouve de même à l'aide du programme précédent qu'il faut aussi $N=24$ années pour doubler ce capital. 

On peut conjecturer que le nombre d'années nécessaires pour\linebreak doubler le capital initial est indépendant du montant de ce capital. 


\item Plus généralement, pour un capital de départ $A$ quelconque, le\linebreak capital est doublé au bout de $n$ années si et seulement si $C_n \geq 2 C_0$ soit  :
      \[
       (1{,}03)^n C_0 \geq 2 C_0\,.
       \]
       On cherche donc le plus petit entier $n$ tel que
      $(1{,}03)^n \geq 2$. 
      \`A l'aide de la calculatrice, on trouve :
      \[(1{,}03)^{23} < 2 < (1{,}03)^{24}\,.\]
      Le capital est donc doublé au bout de 24 ans, 
      indépendamment du capital initial.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%% 19

\begin{exo}{Un problème d'optique}{Lycée Jehan de Chelles, Chelles}{2}{30}
\begin{questions}
\item En traversant une plaque de verre teintée, un rayon lumineux perd 23~\% de son intensité lumineuse. Soit $I_0$ l'intensité d'un rayon à son entrée dans la plaque de verre et $I_1$ son intensité à sa sortie.
Exprimer $I_1$ en fonction de $I_0$.
\item On superpose $n$ plaques de verre identiques ; on note $I_n$ l'intensité du rayon à sa sortie de la $n$\ieme{} plaque.
\begin{questions}
\item Exprimer $I_n$ en fonction de $I_{n-1}$.
\item Quelle est la nature de la suite $(I_n)$ ? Préciser le premier terme et la raison ; en déduire l'expression de $I_n$ en fonction de $I_0$.
\item Préciser, en le justifiant, le sens de variation de la suite $(I_n)$.
\end{questions} 
\item Quelle est l'intensité initiale $I_0$ d'un rayon lumineux dont l'intensité après avoir traversé 4 plaques est égale à 15 ?
\item Calculer le nombre minimum de plaques qu'un rayon doit avoir traversé pour que son intensité sortante soit inférieure ou égale au quart de son intensité entrante.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Comme le rayon lumineux perd 23~\% de son intensité lumineuse en traversant la plaque de verre,   son intensité $I_1$ à sa sortie est égale à\linebreak l'intensité de départ $I_0$ moins $0,23 I_0$, soit $0,77 I_0$. On a donc :\[I_1 = 0,77 I_0\,.\]

\item 
\begin{questions}
\item  En appliquant le raisonnement de la question précédente, l'intensité $I_n$  du rayon à sa sortie de la $n$\ieme{} plaque est égale à $0,77 I_{n-1}$.

\item On en déduit que la suite $(I_n)$ est une suite géométrique de raison 0,77. Son premier terme est $I_0$.
En appliquant la formule du cours, on obtient, pour tout entier naturel $n$ :
\[
I_n = I_0 \times(0{,}77)^n\,.
\]
\item La suite $(I_n)$ est une suite à termes strictement positifs et, pour tout entier naturel $n$, $I_{n+1} = 0{,}77 I_n$. On en déduit que $I_{n+1} < I_n$ donc  la suite $(I_n)$ est strictement décroissante.
\end{questions}

\item Après avoir traversé 4 plaques, l'intensité est $I_0\times (0,77)^4$. On cherche donc $I_0$ tel que $I_0\times(0,77)^4 = 15$.
D'où :
\[
I _0 = \frac{15}{0{,}77^4}.
\]
L'intensité initiale était environ  $42,67$.

\item Soit $n$  le nombre minimum de plaques qu'un rayon doit avoir traversé pour que son intensité sortante soit inférieure ou égale au quart de son intensité entrante. Le nombre $n$ cherché est le plus petit entier tel que :
\[
I_0 \times(0{,}77)^n  \leq  \frac{1}{4}  I_0\,,
\]
soit :                 
\[
(0{,}77)^n \leq 0,25\,.
\]
\`A l'aide de la calculatrice, on trouve :
\[
(0{,}77)^5 \geq 0{,}25  \geq (0{,}77)^6\,.
\]
On en déduit que le rayon doit avoir traversé au moins six plaques.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 20

\begin{exo}{Les empilements}{Lycée Pablo Picasso, Fontenay-sous-Bois}{3}{40}
\subsubsectionnn{Partie A}

On empile des cubes comme sur la figure ci-dessous afin de construire une tour.\\
Le premier cube a un côté égal à 1024 mm. Puis chaque nouveau cube a un côté mesurant les 3/4 du côté du cube précédent.\\
On note $c_0$ le côté du 1\ier{} cube, $c_1$ celui du deuxième cube, et ainsi de suite.

\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-4cm}
\begin{questions}
\item Calculer $c_1$.
\item Quelle est la nature de la suite $(c_n)$ ? Donner ses éléments caractéristiques.
\item Exprimer $c_n$ en fonction de $n$.
\item Quelle est la longueur du côté du 10\ieme{} cube ?
\item Quelle est la hauteur de la tour formée par les 10 premiers cubes ?
\item Donner, en fonction de $n$, la hauteur de la tour formée par les $n$ premiers cubes.
\item Justifier le fait que la tour ne pourra jamais dépasser la hauteur de \numprint{4096}~mm.
\item \`A l'aide de la calculatrice, dire combien il faut de cubes, au minimum, pour dépasser une hauteur de \numprint{3000}~mm.
\end{questions}
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\includegraphics{145_3_fig_3}
\end{center}
\end{minipage}

\subsubsectionnn{Partie B}

On empile des cubes comme sur la figure ci-contre.\\
Le premier cube a un côté égal à 10 cm. Puis chaque nouveau cube a un côté de 4 cm supérieur à celui du cube précédent.

\enlargethispage*{2em}
\begin{questions}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-4cm}
\item \'Etude de la hauteur de l'empilement.\\
On note $d_0$ le côté du 1\ier{} cube, $d_1$ celui du 2\ieme, et ainsi de suite.
\begin{questions}
\item Calculer $d_1$.
\item Donner la nature de la suite $(d_n)$, et ses éléments caractéristiques.
\item Exprimer $d_n$ en fonction de $n$.
\item Quelle est la longueur du côté du 10\ieme{} cube ?
\item Quelle est la hauteur de l'empilement formé par les 10 premiers cubes ?
\end{questions}
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\includegraphics{146_3_fig_4}
\end{center}
\end{minipage}

\item \'Etude du volume de l'empilement.\\
On note $v_0$ le volume du premier cube, $v_1$ le volume du 2\ieme, et ainsi de suite.
\begin{questions}
\item Calculer $v_0$, $v_1$, et $v_2$.
\item La suite $(v_n)$ est-elle arithmétique ? Justifier.
\item Pour $n\geqslant 1$, on note $V_n$ le volume de l'empilement des $n$ premiers cubes.\\
Justifier que $V_2 = \numprint{3744}$.
\item Calculer $V_3$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\subsubsectionnn{Partie A}
\begin{questions}
\item $c_0 = \numprint{1024}$, donc $c_1 = \frac{3}{4}\times \numprint{1024} = 768$.

\Par

\item Chaque terme est égal au terme précédent multiplié par 0,75, donc cette suite est géométrique, de premier terme \numprint{1024} (en mm) et de raison 0,75.

\Par

\item On a donc d'après le cours $c_n = \numprint{1024} \times  0,75^n$.

\Par

\item Le dixième cube est le cube $n^\circ$ 9, puisqu'on commence la numérotation à~0.

$c_9  = \numprint{1024} \times  0,75^9 = \numprint{1024} \times  \left(\frac{3}{4}\right)^9\approx 76,9$ (en mm).

\Par

\item La hauteur formée par les 10 premiers cubes est :
\begin{align*}
c_0 + c_1 + \cdots + c_9  &= c_0 + \frac{3}{4}c_0+\left(\frac{3}{4}\right)^2c_0+\cdots+\left(\frac{3}{4}\right)^9c_0\\[8pt]
& =c_0\left[ 1+\frac{3}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^2+\cdots+\left(\frac{3}{4}\right)^9 \right]\\[8pt]
&   =c_0\left(\frac{1-\left(\frac{3}{4}\right)^{10}}{1-\frac{3}{4}} \right)\\[8pt]
&    =4c_0 (1-0,75^{10})\\
& \approx \numprint{3865}~\text{mm}.
\end{align*}
\item En remplaçant 9 par $n-1$ dans le raisonnement ci-dessus, on obtient :
\begin{align*}
c_0 + c_1 + \cdots + c_{n-1} & =c_0\left(\frac{1-\left(\frac{3}{4}\right)^{n}}{1-\frac{3}{4}} \right)\\
&=4c_0\big(1-0,75^n\big)\\
& = \numprint{4096}\big(1-0,75^n\big).
\end{align*}

\item Le facteur dans la parenthèse est toujours inférieur à 1, donc la tour ne pourra jamais dépasser \numprint{4096} mm de hauteur.

\newpage

\item \`A la calculatrice, on obtient le tableau suivant pour la hauteur, suivant le nombre de cubes :
\begin{center}
\begin{tabular}{|*2{>{\ttfamily\arraybackslash}Zc|}}
\hline\tabulartitle
X & Y1\\
\hline
2 & 1792\\
3 & 2368\\
4 & 2800\\
5 & 3124\\
6 & 3367\\
7 & 3549.3\\
8 & 3685.9\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

Donc la hauteur dépassera \numprint{3000} mm avec 5 cubes.
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $d_1 = d_0 + 4 = 14$.
\item $(d_n)$ est une suite arithmétique de raison 4 et de premier terme 10.
\item On a donc $d_n = d_0 + n \times  4 = 10 + 4n$.
\item Le dixième cube  a pour côté $d_9$.\\
$d_9 = 10 + 4 \times  9 = 46$.
\item La hauteur formée par l'empilement des dix premiers cubes est :
\begin{align*}
d_0 + d_1 + \cdots + d_9 & = d_0 + d_0 + 4 + d_0 + 2 \times  4 + \cdots + d_0 + 9 \times  4\\
&   = 10d_0 + 4(1 + 2 + \cdots + 9)\\
&   = 100 + 4\times\frac{9\times 10}{2} \text{ d'après la formule du cours}\\
&   = 280.
\end{align*}
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item $v_0 = \numprint{1000}~\text{cm}^3= 1~\text{dm}^3$ (ça ne fait pas de mal de réviser les conversions ...).\\
$v_1 = 14^3 = \numprint{2744}$ (cm$^3$).\\
$v_2 = 18^3 = \numprint{5832}$ (cm$^3$).
\item La suite n'est pas arithmétique car $v_1-v_0\neq v_2-v_1$.
\item $V_1 = 10^3 = \numprint{1000}$.\\
$V_2 = \numprint{1000} + 14^3 = \numprint{3744}$.
\item $V_3 = \numprint{3744} + 18^3 = \numprint{9576}$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


\sectionnn{Suites se ramenant à une suite géométrique}

%%% 21

\begin{exo}{Suite arithmético-géométrique}{Lycée Descartes, Antony}{1}{20}
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{suite arithmético-géométrique}{https://media.prepamath.fr/IL1Mch05exo21}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.3){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1Mch05exo21}}}
\vspace*{-5mm}
\begin{questions}
        \item  Soit la suite $(U_{n})$ définie par récurrence par :
        \[\left\{\begin{aligned}
       &U_{0}=6 \\
       &U_{n+1}=\frac{1}{2}U_{n}+5
        \end{aligned}\right.\]
        Calculer les quatre premiers termes de la suite.

        \item  On pose : $V_{n}=U_{n}-10$.\\
        Démontrer que $(V_{n})$ est une suite géométrique. Donner son premier terme et sa raison.
        
        Exprimer $V_{n}$ puis $U_{n}$ en fonction de $n$.

        \item   $\begin{aligned}[t]
        \text{ Calculer : }S_{10}&=\sum_{i=0}^{10}V_{i} = V_{0} + V_{1} + \cdots + V_{10}\\
        \text{et }S'_{10}&=\sum_{i=0}^{10}U_{i} = U_{0}+ U_{1}+ \cdots + U_{10}.
        \end{aligned}$
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.4){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1Mch05exo21}}}
\vspace*{-5mm}
\begin{questions}
\item  On a :
\[
\begin{cases}
U_{0} & =6\\
U_{n+1} & =\dfrac{1}{2}U_{n}+5.
\end{cases}
\]
Pour calculer les quatre premiers termes, il suffit d'écrire :
        \begin{xalignat*}{2}
        U_{0}&=6 ; & U_{1} &=\frac{1}{2}\times6+5 = 8 ; \\
        U_{2}&=\frac{1}{2}\times8+5 = 9;&     U_{3}&=\frac{1}{2}\times9+5 = \frac{19}{2}.
        \end{xalignat*}
        On peut remarquer que l'on a bien calculé les quatre premiers termes, puisque
        l'on avait déjà $U_{0}$ !

        \item  Démontrons que $(V_{n})$ est bien une suite géométrique.\par
        Nous avons :
        $$V_{n+1} = U_{n+1}-10\;,$$
        soit :
        $$V_{n+1}=\frac{1}{2}U_{n}+5-10=\dfrac{1}{2}U_n-5\,.$$
        Or, nous avons :
        $$U_{n} = V_{n}+10.$$
        Donc :
        $$V_{n+1}=\frac{1}{2}(V_{n}+10)-5=\frac{1}{2}V_{n},\quad \text{pour
tout }n \in \N\,.$$
        Nous voyons donc bien que la suite $(V_{n})$ est une suite géométrique de raison 
        $q={\displaystyle \frac{1}{2}}$.\par
        Il reste à en calculer le premier terme. Nous avons :
        $$V_{0}=U_{0}-10=-4\,.$$
        $(V_{n})$ est donc la suite géométrique de raison ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ et de 
        premier terme $-4$.
        \Par
        Pour exprimer $V_{n}$ en fonction de $n$, il suffit de revenir à la définition des suites géométriques :
        \[
        V_{n} = q^{n}V_{0} = -\frac{4}{2^{n}}, \quad\text{soit :}\quad V_{n}=\frac{-1}{2^{n-2}}\;.
        \]
        Or, nous avons :
        $$U_{n}=V_{n}+10\;,$$
        donc :
        $$U_{n}=\frac{-1}{2^{n-2}}+10\,.$$

        \item  Pour calculer la somme des premiers termes, utilisons les formules du cours.\par
        $(V_{n})$ étant une suite géométrique de raison différente de 1, nous avons :
      \begin{align*}
      S_{10} & = V_0 + V_1 + \cdots + V_{10}\\
      & = V_0 + qV_0 + \cdots + q^{10}V_{10}\\
      & = V_0 (1 + q + q^2 + \cdots + q^{10})\\
      & = V_0\frac{1-q^{11}}{1-q}
      \end{align*}
        soit :
        $$S_{10} = -4\left(\frac{1-\left({\displaystyle
\frac{1}{2}}\right)^{11}}{1-{\displaystyle 
\frac{1}{2}}}\right)=-4\left(\dfrac{\frac{2^{11}-1}{2^{11}}}{\frac{1}{2}}\right)=-8\left(\dfrac{2^{11}-1}{2^{11}}\right)\;,$$
        soit:
        $$S_{10} = -2^3\left( {\displaystyle \frac{2^{11}-1}{2^{11}}} \right) = - \frac{1}{2^{8}}(2^{11}-1)\,.$$
        Finalement :
        $$S_{10}\approx -7,996\,.$$
        Ayant $U_{n}=V_{n}+10$, nous pouvons écrire :
        $$S'_{10} = U_{0} + U_{1} + U_{2} + \cdots + U_{10}$$
        donc :
        $$S'_{10} = V_{0} + 10 + V_{1} + 10 + V_{2} + 10 + \cdots + V_{10} +
10$$
        soit :
        $$S'_{10} = S_{10} + 11 \times 10 = S_{10} + 110$$
        ou encore :
        $$S'_{10} = 110 - \frac{1}{2^{8}}(2^{11}-1)\,.$$
        Finalement :
        $$S'_{10} \approx 102{,}004\,.$$
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 22

\begin{exo}{\'Etude algorithmique d'une suite}{Lycée Odilon Redon, Pauillac}{1}{30}
Soit la suite $(u_n)$ définie par récurrence par: 
\[\left\{\begin{array}{ll}
 u_0=6 \\
 \displaystyle u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+2
\end{array}\right.\]
\enlargethispage*{3em}
\begin{questions}
\item \'Ecrire un algorithme permettant de calculer, 
  et d'afficher, les premières valeurs de la suite, 
  $u_1$, $u_2$, $u_3$, \dots 

  Quelle conjecture peut-on faire quant au comportement des valeurs de 
  $u_n$ lorsque $n$ devient grand ?
\item Soit la suite $(v_n)$ définie pour tout entier $n$, par 
  $v_n=u_n-3$. 

  Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont on
  précisera le premier terme et la raison. 

  En déduire l'expression de $v_n$, puis de $u_n$ en fonction de $n$. 

  L'expression obtenue conforte-t-elle la conjecture précédente ?

\item \'Ecrire un algorithme calculant la somme des termes: 
  \[ S_{10}=\sum_{i=0}^{10} u_i=u_0+u_1+\dots+u_{10}
  \]
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'algorithme suivant permet de calculer les termes $U_1$ à $U_n$.

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.8){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL1M/05-EtudeAlgoSuite.py}}}
\vspace*{-10pt}

\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\begin{algorithme}{Algorithme}
u $\leftarrow$ 6
Pour I de 1 à N
\qquad u $\leftarrow$ u/3 + 2
\qquad Afficher u
Fin Pour
\end{algorithme}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.6\linewidth}
 \begin{listing}{En Python}{05-EtudeAlgoSuite.py}\end{listing}
\end{minipage}

\Par

\begin{minipage}{6.5cm}
Pour $N=5$, le programme fournit l'affichage ci-contre. 

En utilisant cet algorithme pour $N$ plus grand ($N=10$, $N=20$, 
$N=100$, \dots), on peut conjecturer que $u_n$ se rapproche de~$3$ quand $n$ grandit; on écrit alors : 
\[ \lim_{n\to+\infty}(u_n)=3.
\]
\end{minipage}
\hspace{\fill}
\begin{minipage}{3cm}
\begin{Ecran}[13x8]
\begin{flushright}
4\\
3.333333333\\
3.111111111\\
3.037037037\\
3.012345679
\end{flushright}
\end{Ecran}

\vspace*{2.2em}
\end{minipage}

\item Pour tout entier $n$, 
\begin{align*}
v_{n+1} & =u_{n+1}-3\\
& = \frac{1}{3}u_n+2-3\\
& =\frac{1}{3}\left( u_n-3\right) \\
& =\frac{1}{3}v_n. 
\end{align*}

Ainsi, la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $v_0=u_0-3=3$. 

On en déduit que, pour tout entier $n$ :
\[
v_n=v_0 \times q^n=3\left(\frac{1}{3}\right)^n=3\times\frac{1}{3^n}=\frac{1}{3^{n-1}}.\]
Ainsi,
\[
u_n=v_n+3=\frac{1}{3^{n-1}}+3.
\]
Plus $n$ est grand, plus $3^{n-1}$ est grand, donc plus $\frac{1}{3^{n-1}}$ se rapproche de 0. Par conséquent, $u_n$ tend vers 3, ce qui conforte la conjecture émise.

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-1.1){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL1M/05-EtudeAlgoSuite-2.py}}}
\vspace*{-10pt}

\item \begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}\begin{algorithme}{Algorithme}
S $\leftarrow$ 6
u $\leftarrow$ 6
Pour i allant de 1 à 10
\qquad u $\leftarrow$ u/3 + 2
\qquad S $\leftarrow$ S+u
Fin Pour
Afficher S
\end{algorithme}\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
\begin{listing}{En Python}{05-EtudeAlgoSuite-2.py}\end{listing}
\end{minipage}

\Par

On obtient $S_{10}\simeq 37,5$.
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

%%% 23

\begin{exo}{Une suite différente}{Lycée Jacques Amyot, Auxerre}{2}{20} 
Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout $n\in\N$ par $u_{n+1}=\dfrac{n+2}{3(n+1)}u_n$ .

On admettra que $\forall n\in\N$, $u_n>0$.

\begin{questions}
\item Calculer $u_1$.
\item En remarquant que $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{n+2}{3(n+1)}$, montrer que $(u_n)$ est décroissante.
\item On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout $n\in\N$ par $v_n=\dfrac{u_n}{n+1}$. 
\begin{questions}
\item Montrer que $(v_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
\item En déduire l'expression de $v_n$ puis l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
u_1 & = u_{0+1}\\
& = \dfrac{0+2}{3(0+1)}u_0 &\text{ car }u_{n+1}=\dfrac{n+2}{3(n+1)}u_n\text{ et on prend }n=0\\
& = \dfrac{2}{3}\times1\\
& = \dfrac{2}{3}.
\end{aligned}$

\item Pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$ (admis dans l'énoncé) et:
\[
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{n+2}{3(n+1)}=\dfrac{n+2}{3n+3}=\dfrac{n+2}{(n+2)+(2n+1)}.
\]
Or, pour tout entier naturel $n$, 
\[
(n+2)+(2n+1)>n+2\qquad\text{ donc }\qquad\dfrac{u_{n+1}}{u_n}<1.
\]

On en déduit alors que $(u_n)$ est strictement décroissante.

\item
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & = \dfrac{u_{n+1}}{(n+1)+1}\\
& = \dfrac{1}{n+2}\times\dfrac{n+2}{3(n+1)}u_n\\
& = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{u_n}{n+1}\\
& = \dfrac{1}{3}v_n.
\end{aligned}$

Ainsi, $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{3}$, et de\linebreak premier terme :
\[
v_0=\dfrac{u_0}{0+1}=1.
\]
\item Le terme général de $(v_n)$ est, d'après la question précédente:
\[
v_n=v_0\times q^n=\dfrac{1}{3^n}.
\]
Or, $v_n=\dfrac{u_n}{n+1}$ donc:
\[
\dfrac{1}{3^n}=\dfrac{u_n}{n+1}\qquad\text{soit:}\qquad u_n=\dfrac{n+1}{3^n}.
\]
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 24

\begin{exo}{Accroissement d'une population}{Lycée Hoche, Versailles}{2}{30}
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{accroissement d'une population}{https://media.prepamath.fr/IL1Mch05exo24}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.4){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1Mch05exo24}}}
\vspace*{-7mm}

Dans un pays, un organisme étudie l'évolution de la population. 

Compte tenu des naissances et des décès, on a constaté que la population a un taux d'accroissement naturel annuel de 14 pour mille.

De plus, chaque année, \numprint{12000} personnes arrivent dans ce pays et \numprint{5000} le quittent.

\Par

En 2010, la population de ce pays était de 75 millions d'habitants. On suppose que l'évolution ultérieure obéit au modèle ci-dessus. On note $P_n$ la population de l'année $(2010 + n)$ exprimée en milliers d'habitants.
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Déterminer $P_0$, $P_1$ et $P_2$.
\item La suite $(P_n)$ est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier.
\end{questions}
\item Expliquer pourquoi on obtient pour tout entier naturel $n$ :
\[P_{n+1} = 1,014P_n+7.\]
\item Démontrer que la suite $(U_n)$ définie pour tout entier $n$ par $U_n = P_n + 500$ est une suite géométrique.\\
Déterminer sa raison et son premier terme.
\item Exprimer $U_n$ puis $P_n$ en fonction de $n$.
\item
\begin{questions}
\item Combien d'habitants peut-on prévoir en 2025 ?
\item Au bout de combien d'années la population aura-t-elle doublé par rapport à l'année 2010 ?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1Mch05exo24}}}
\vspace*{-5mm}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item $P_0 = \numprint{75000}$ ~; $P_1 = 1,014\times\numprint{75000} + 12 - 5 = \numprint{76057}$  ~;\\ $P_2 = 1,014\times\numprint{76057}  + 7 = \numprint{77128,798}$.
\item $P_1-P_0 = \numprint{1057}$  ~; $P_2-P_1 = \numprint{1071,798}$.
Ces différences ne sont pas égales, donc la suite n'est pas arithmétique.\\[3pt]
$\dfrac{\numprint{76057}}{\numprint{75000}}\approx \numprint{1,014093}$ et $\dfrac{\numprint{77128,798}}{\numprint{76057}}\approx\numprint{1,014092}.$\\[3pt]
Ces quotients ne sont pas égaux, donc la suite n'est pas\linebreak géométrique.
\end{questions}
\item L'accroissement de la population étant de 14 pour mille, la population de l'année précédente est multipliée par $1,014$. De plus, avec une\linebreak arrivée de 12 milliers de personnes nouvelles et un départ de 5 milliers de personnes, on a un apport de 7 milliers de  personnes.\\
On a donc bien $P_{n+1} = 1,014P_n+7$.

\item $\begin{aligned}[t]
U_{n+1} &  = P_{n+1} + 500\\
 &         = 1,014 P_n + 7 + 500 \\
&            = 1,014\left(P_n+\dfrac{507}{1,014}\right)\\
&            = 1,014(P_n + 500)\\
&            =1,014U_n.
\end{aligned}$

\Par

Donc la suite $U$ est bien géométrique.

\Par

Son premier terme est : $U_0 = P_0 + 500 = \numprint{75500}$, et sa raison est $1,014$.

\item $U_n = \numprint{75500}\times 1,014^n$.

Comme $P_n = U_n-500$, on a :
\[
P_n = \numprint{75500}\times 1,014^n-500.
\]

\item
\begin{questions}
\item Il faut calculer $P_{15}$ car $2025=2010+15$.
\[
P_{15} = \numprint{75500} \times 1,014^{15}-500 \approx\numprint{92507,137}
\]
ce qui correspond à une population de \numprint{92507137} habitants.

\Par

\item \begin{minipage}[t]{0.6\linewidth}
Il faut calculer la valeur des termes successifs de la suite et voir en quelle année la population sera de 150 millions d'habitants, donc quand $P_n$ dépassera \numprint{150000} puisque $P_n$ est exprimé en milliers d'habitants.
\Par
Voici ci-contre un extrait d'une table réalisée avec un tableur (mais on peut faire la même chose avec la calculatrice).
\Par
La population aura donc doublé en 2060.
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\[
\begin{array}{|C|c|}
\hline
\numprint{2051} & \numprint{133006,714}\\\hline
\numprint{2052} & \numprint{134875,808}\\\hline
\numprint{2053} & \numprint{136771,069}\\\hline
\numprint{2054} & \numprint{138692,864}\\\hline 
\numprint{2055} & \numprint{140641,564}\\\hline
\numprint{2056} & \numprint{142617,546}\\\hline
\numprint{2057} & \numprint{144621,192}\\\hline 
\numprint{2058} & \numprint{146652,889} \\\hline
\numprint{2059} & \numprint{148713,029} \\\hline
\numprint{2060} & \numprint{150802,011} \\\hline
\end{array}
\]
\end{minipage}
\end{questions}
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}


%%% 25

\begin{exo}{Suites imbriquées}{Lycée Daniélou, Rueil-Malmaison}{2}{25}

On donne deux suites $(U_{n})$ et $(V_{n})$ telles que, $\forall n \in \N$ :
$$\left\{\begin{aligned}
U_{n+1}&=3U_{n}+2V_{n}\\
V_{n+1}&=2U_{n}+3V_{n}
\end{aligned}\right.
\qquad \text{et} \qquad
\left\lbrace\begin{aligned}
U_{0}&=1\\
V_{0}&=2
\end{aligned}\right.$$
\begin{questions}
        \item  Calculer $U_{1}$, $V_{1}$, $U_{2}$, $V_{2}$, $U_{3}$ et $V_{3}$.

        \item  On définit deux suites $(X_{n})$ et $(Y_{n})$ par :
        $$X_{n}=U_{n}+V_{n} \qquad \text{et} \qquad Y_{n}=U_{n}-V_{n}$$
        Montrer que $(X_{n})$ est une suite géométrique et $(Y_{n})$ est une suite constante.\par
        En déduire $U_{n}$ et $V_{n}$ en fonction de $n$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
        \item  On peut directement calculer les premières valeurs :
        $$\left\lbrace\begin{aligned}
        U_{1}&=3U_{0}+2V_{0}=3+4=7\\
        V_{1}&=2U_{0}+3V_{0}=2+6=8
        \end{aligned}\right.$$
        De même, on a :
        $$\left\lbrace\begin{aligned}
        U_{2}&=3U_{1}+2V_{1}=21+16=37\\
        V_{2}&=2U_{1}+3V_{1}=14+24=38
        \end{aligned}\right.$$
        et
        $$\left\lbrace\begin{aligned}
        U_{3}&=3U_{2}+2V_{2}=111+76=187\\
        V_{3}&=2U_{2}+3V_{2}=74+114=188.
        \end{aligned}\right.$$

        \item  Étudions les suites $(X_{n})$ et $(Y_{n})$ :
        \begin{align*}
        X_{n+1} & =U_{n+1}+V_{n+1}\\
        & =3U_{n}+2V_{n}+2U_{n}+3V_{n}\\
        & =5(U_{n}+V_{n})\,.
        \end{align*}
        
        On obtient alors, pour tout $n \in \N$ :
        $$X_{n+1}=5X_{n}\,.$$
        La suite $(X_{n})$ est la suite géométrique de raison $5$ et de premier terme :
        $$X_{0}=U_{0}+V_{0}=3\,.$$
        De même, on a :
        \begin{align*}
        Y_{n+1} & =U_{n+1}-V_{n+1}\\
        & =3U_{n}+2V_{n}-2U_{n}-3V_{n}\\
        & =U_{n}-V_{n}\,.
        \end{align*}
        
        On obtient alors, pour tout $n \in \N$ :
        $$Y_{n+1}=Y_{n}\,.$$
        $(Y_{n})$ est une suite constante égale à $Y_{0}=1-2=-1$.\Par
        Pour en déduire $U_{n}$ et $V_{n}$, il suffit d'écrire :
        $$X_{n}+Y_{n}=2U_{n} \qquad \text{et} \qquad X_{n}-Y_{n}=2V_{n}\,.$$
        On a alors, par définition des suites géométriques :
        $$X_{n}=3 \times 5^{n}$$
        et on a :
        $$\left\lbrace\begin{aligned}
    U_{n}&=\frac{X_{n}+Y_{n}}{2}=\frac{3 \times 5^{n}-1}{2}\\
 V_{n}&=\frac{X_{n}-Y_{n}}{2}=\frac{3 \times 5^{n}+1}{2}
        \end{aligned}\right.$$
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%% 26

\begin{exo}{Suite arithmético-géométrique}{Lycée Claude Monet, Paris}{2}{30}

Soit la suite $(U_{n})_{n\in\N}$ définie par :
\[\left\{\begin{aligned}
&U_{0} = 1 \\
&U_{n+1} = \frac{1}{2}U_{n} - \frac{3}{2}
\end{aligned} \right.\]
\begin{questions}
        \item  Calculer $U_{1}$ et $U_{2}$.

        \item  On considère la suite $(V_{n})_{n\in\N}$ définie par :
        $$V_{n} = U_{n} + 3\,.$$
        Montrer que la suite $(V_{n})$ est géométrique.

        \item  Exprimer $V_{n}$ puis $U_{n}$ en fonction de $n$.

        \item  Étudier les variations de la suite $(V_{n})$ puis de la suite $(U_{n})$.

        \item  Calculer $S = U_{0} + U_{1} + \cdots + U_{10}$.
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item  $\begin{aligned}[t]
        U_{1} &= \frac{1}{2}U_{0}-\frac{3}{2} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -1. \\
        U_{2} &= \frac{1}{2} U_{1} - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -2.
        \end{aligned}$

\item  Pour tout $n \in \N$, on a :
        \begin{align*}
        V_{n+1} =U_{n+1} + 3 & = \frac{1}{2}U_{n}-\frac{3}{2} + 3 \\
        &= \frac{1}{2}U_{n} + \frac{3}{2} \\
        &= \frac{1}{2} (U_{n}+3) \\
        & = \frac{1}{2} V_{n}\,.
        \end{align*}
        Cette relation prouve que la suite $(V_{n})_{n \in \N}$ est géométrique de raison ${\displaystyle 
        \frac{1}{2}}$ et de premier terme :
        $$V_{0} = U_{0} + 3 = 4\,.$$

\item  D'après le cours, on a : $V_{n} = 4 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{n}$, soit $V_{n} = \frac{1}{2^{n-2}}$. 

Comme $U_{n} = V_{n}-3$, on a alors : $U_{n} = \frac{1}{2^{n-2}} - 3\;.$

\item  La suite $(V_{n})_{n \in \N}$ est géométrique de raison ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.
        Comme, pour tout $n \in \N$, on a :
        \[
        V_n=\frac{1}{2^{n-2}}
        \]
        donc $V_n >0$ et:
        \[
        \frac{V_{n+1}}{V_{n}} = \frac{1}{2} 
        \]
soit :
        \[
        \frac{V_{n+1}}{V_{n}}<1
        \]
        ce qui prouve que la suite $(V_{n})_{n \in \N}$ est strictement décroissante.\par
        De plus, puisque $V_{n+1} < V_{n}$ pour tout $n$, on a également :
        $$V_{n+1} - 3 < V_{n} - 3, \qquad \text{pour tout }n$$
        c'est-à-dire :
        $$U_{n+1} < U_{n}, \qquad \text{pour tout }n\,.$$
        La suite $(U_{n})_{n \in \N}$ est donc strictement décroissante.

\item  $\begin{aligned}[t]
        S &= U_{0} + U_{1} + \cdots + U_{10} \\
        &= (V_{0}-3) + (V_{1}-3) + \cdots + (V_{10}-3) \\
        &= V_{0} + V_{1} + \cdots + V_{10} - 11 \times 3 \\
        &= V_{0} + V_{1} + \cdots + V_{10} - 33.
        \end{aligned}$

       Or, on a :
       \[ V_0+V_1+\cdots+V_{10}=V_0\left[1+\frac{1}{2}+\cdots+\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\right]. \]
       Donc :
        \begin{align*}
        V_{0} + V_{1} + \cdots + V_{10} &= V_{0}\times \frac{1 - \left( {\displaystyle \frac{1}{2}} 
        \right)^{11}}{1 - {\displaystyle \frac{1}{2}}} \\
        &= 4 \times \frac{1 - \left( {\displaystyle \frac{1}{2}} 
        \right)^{11}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}} \\
        &= 8 \left( 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{11} \right)\,.
        \end{align*}
        Ainsi :
        \begin{align*}
        S &= 8 \left( 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{11} \right) - 33 \\
        &= 8 - 8 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{11} - 33 \\
        &= -2^3 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{11} - 25 = - \left( \frac{1}{2} \right)^{8} - 25.
        \end{align*}
        \enlargethispage*{3em}
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Algorithmes \& programmation}

%%% 27

\begin{exo}{Afficher les premiers termes}{\null}{2}{15} 
On considère la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0=5$ et par la relation de récurrence :
\[
\forall n\in\N,\quad u_{n+1}=0,8u_n+7.
\]
\begin{questions}
\item \'Ecrire un algorithme qui stocke les 20 premiers termes de cette suite dans un tableau (une liste) et qui les affiche.
\item \'Ecrire le programme Python correspondant.
\item On admet que la suite $(u_n)$ est croissante et que sa limite vaut 35.

\'Ecrire un algorithme, puis le programme Python correspondant, permettant d'afficher le premier indice $n$ à partir duquel $u_n>34,99$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\enlargethispage*{\baselineskip}
\begin{questions}
\item \begin{algorithme}{Algorithme}
Initialisation:
	u $\leftarrow$ 5 (1\ier terme de la suite)
	L $\leftarrow$ [5] (liste)

Traitement:
	Pour n allant de 1 à 19:
		u $\leftarrow$ 0.8*u+7
		On ajoute à L la valeur u
	Fin du Pour

Sortie:
	Afficher L
\end{algorithme}

\newpage

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-1.3){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL1M/05-AfficherPremiersTermes-1.py}}}
\vspace*{-10pt}

\item \begin{listing}{En Python}{05-AfficherPremiersTermes-1.py}\end{listing}

\item Pour afficher le premier indice $n$ pour lequel $u_n>34,99$, on utilise une boucle \og Tant que \fg.

\begin{algorithme}{Algorithme}
u $\leftarrow$ 5
n $\leftarrow$ 0
Tant que u $\leqslant$ 34.99:
\hspace*{1em}u $\leftarrow$ 0.8*u+7
\hspace*{1em}n $\leftarrow$ n+1
Fin du Tant que
Afficher n
\end{algorithme}

\begin{aretenir}
La condition qui vient après \og Tant que \fg{} est toujours le contraire de la condition à remplir. Ici, on veut que $u_n>34,99$ et le contraire de cette condition est \og $u_n\leqslant34,99$ \fg.
\end{aretenir}

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.7){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL1M/05-AfficherPremiersTermes-2.py}}}
\vspace*{-10pt}

\begin{listing}{Programme Python}{05-AfficherPremiersTermes-2.py}\end{listing}

\Par

Il affiche ici la valeur 36, ce qui signifie que $u_{35}\leqslant34,99$ et que\linebreak $u_{36}>34,99$.
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

%%% 28

\begin{exo}{Suite de Fibonacci}{\null}{2}{15} 
La suite de Fibonacci est la suite $(F_n)$ définie par ses deux premiers termes $F_0=F_1=1$ et par la relation de récurrence:
\[
\forall n\in\N,\quad F_{n+2}=F_{n+1}+F_n.
\]
\begin{questions}
\item \'Ecrire un algorithme permettant de stocker dans un tableau (une liste) les 100 premiers termes de cette suite et d'afficher tous les quotients $\dfrac{F_{n+1}}{F_n}$ pour $n<100$.
\item \'Ecrire le programme Python correspondant.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{algorithme}{Algorithme}
Initialisation:
\hspace*{1em}F est une liste
\hspace*{1em}F $\leftarrow$ [1,1] (les deux premiers termes de la suite)

Traitement:
\hspace*{1em}Pour n allant de 2 à 100:
\hspace*{2em}On ajoute F[n-2] + F[n-1] dans F
\hspace*{2em}Afficher F[n-1]/F[n-2]
\hspace*{1em}Fin du Pour
\end{algorithme}

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-1.5){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL1M/05-Fibonacci.py}}}
\vspace*{-5pt}

\item \begin{listing}{En Python}{05-Fibonacci.py}\end{listing}
\end{questions}

\begin{anecdote}Si on fait tourner le programme ci-dessus, on voit que les quotients affichés sont, à partir d'un certain rang, tous égaux à \texttt{1.618033988749895}.

\Par

\begin{Ecran}[20x6]
1.6180339887498951
1.6180339887498947
1.618033988749895
1.618033988749895
\end{Ecran}

\Par

Bien entendu, cette valeur n'est qu'une valeur approchée de la limite des quotients $\dfrac{F_{n+1}}{F_n}$. Cette limite est appelée le \textit{nombre d'or} ($\varphi\approx1,618$). 

C'est une valeur que l'on retrouve ailleurs (par exemple, le nombre d'or est une des solutions de l'équation $x^2-x-1=0$).
\end{anecdote}
\end{corrige}

\thumb
\AfficheCorrige
