\chapter{Fonctions trigonométriques} 

\section{Cercle trigonométrique et radian}

\begin{exointro}{Lycée Champollion, Grenoble}
On munit le plan d'un repère orthonormal direct $(O; \gvec{OI},\gvec{OJ})$.

Les questions suivantes sont indépendantes.
\begin{questions}
\item Placer sur le cercle trigonométrique les points $M$ et $N$ tels que :
\[
(\gvec{OI}, \gvec{OM})=\dfrac{5 \pi}{6} \quad \text{et} \quad (\gvec{OI},\gvec{ON})=-\dfrac{7 \pi}{4}.
\]
%
\item Soit $x\in\left[\dfrac{\pi}{2}~; \pi\right]$. Calculer $\cos x$ sachant que $\sin x=\dfrac{\sqrt{17}}{7}$.
\end{questions}
\end{exointro}

\subsection{Le cercle trigonométrique}

\begin{defin}
Dans un repère orthonormal $(O; \gvec{OI},\gvec{OJ})$, le cercle
trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ orienté dans le sens direct (celui qui est contraire au sens des aiguilles d'une montre).
\end{defin}


\subsection{Radian}
\enlargethispage*{\baselineskip}

Le degré est l'unité d'angle couramment utilisée dans les sciences appliquées. Par contre, certaines notions mathématiques sont plus facilement exprimées à l'aide d'une autre unité de mesure des angles : le radian.

\begin{defin}
On considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1.\par 
Le radian est défini comme étant la mesure d'un angle au centre qui intercepte sur $\mathcal{C}$ un arc de longueur 1.
\end{defin}

\begin{prop}
Dans un cercle de rayon 1, la mesure en radian d'un angle au centre est égale à la longueur de l'arc qu'il intercepte.
\end{prop}

\begin{Remarque}
pour un angle $\theta$ au centre dans un cercle de rayon $R$, la longueur de l'arc intercepté est égale à la mesure en radian de l'angle multipliée par $R$: $\ell=\theta R$.
\end{Remarque}

\subsection{Repérage d'un point sur le cercle trigonométrique}

\begin{prop}
Un point $M$ du cercle trigonométrique est repéré par un réel $\alpha$ exprimant la longueur de l'arc de cercle $\arc{IM}$
si $M$ est situé sur le demi-cercle supérieur et l'opposé de cette
longueur si $M$ est situé sur le demi-cercle inférieur.\par Puisque la longueur du cercle trigonométrique est égale à $2\pi$, les réels $\alpha$ et $\alpha+k\times 2\pi$, avec $k$ entier, repèrent le même point du cercle trigonométrique.\par 
$|\alpha |$ est donc une mesure en radians de l'angle géométrique $\widehat{IOM}$.

\Par

\begin{center}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\includegraphics{178_5_fig_1}
\end{minipage}
$\arc{IM}=\alpha$~cm.
\end{center}
\end{prop}

\enlargethispage*{5em}

\section{Sinus et cosinus d'un nombre réel}

\begin{minipage}{\dimexpr\textwidth-4cm}
\subsection{Définition}
\begin{defin}
Soit $x$ un nombre réel et $M$ son image sur le cercle trigonométrique. \par 
Le cosinus de $x$ est égal à l'abscisse du point $M$.\par 
Le sinus de $x$ est égal à l'ordonnée du point $M$.
\end{defin}
\vspace*{1cm}
\end{minipage}
\hspace*{5mm}
\begin{minipage}{3.9cm}
\raisebox{3mm}{\includegraphics{178_5_fig_2}}
\end{minipage}

\subsection{\'Egalité trigonométrique fondamentale et transformations}

\begin{prop}[égalité fondamentale de trigonométrie]
Pour tout nombre réel $x$,
\[
\big(\cos x\big)^2 + \big(\sin x\big)^2 = 1.
\]
\end{prop}

\begin{prop}[formules de transformations]
Pour tout réel $x$,
\[
\sin(\pi-x) = \sin(x)\qquad\text{et}\qquad\cos(\pi-x)=-\cos(x).
\]
\end{prop}

\subsection{Valeurs remarquables}

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*6{Zc|}}
\hline\tabulartitle
$\alpha$ en rad & 0 & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$ &
$\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\pi$ \\
\hline
$\cos \alpha$ & 1 & $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ &
$\dfrac{1}{2}$ & 0 & $-1$ \\
\hline
$\sin \alpha$ & 0 & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ &
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & 1 & 0 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}



%\subsection{Formules trigonométriques} % VIDEO
%
%\begin{props}
%Pour tout réel $x$ :
%\[
%-1 \leqslant \cos x \leqslant 1\quad;\quad -1 \leqslant \sin x \leqslant 1\quad;\quad \cos^2 x +\sin^2 x= 1.
%\]
%\begin{minipage}{0.5\linewidth}
%\begin{align*}
%\cos (-x) & =\cos x \\
%\cos(x+2\pi) & = \cos x \\
%\cos (x+\pi) & =-\cos x \\
% \cos(\pi-x) & =-\cos x  \\
%\cos \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) & =-\sin x\\
%\sin \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) & =\cos x
%\end{align*}
%\end{minipage}
%\begin{minipage}{0.5\linewidth}
%\begin{align*}
%\sin(-x) & =-\sin x  \\
%\sin(x+2\pi) & = \sin x\\
%\sin(x+\pi) & =-\sin x \\
%\sin(\pi-x) & =\sin x \\
%\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)& =\sin x\\
%\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) & =\cos x
%\end{align*}
%\end{minipage}
%\end{props}

%\subsection{Équations trigonométriques}
%
%\begin{prop}
%\begin{minipage}{0.5\linewidth}
%L'équation $\cos x = \cos a$ a pour solutions tous les réels $x$ de la forme $a + 2k\pi$ ou $-a+2k\pi$, avec $k\in \mathbb{Z}$.
%\end{minipage}
%\begin{minipage}{0.5\linewidth}
%\centering
%\includegraphics{188_5_fig_3}
%\end{minipage}
%\end{prop}
%
%\begin{prop}
%\begin{minipage}{0.5\linewidth}
%L'équation $\sin x = \sin a$ a pour solutions tous les réels $x$ de la forme $a + 2k\pi$ ou $\pi-a+2k\pi$, avec $k\in \mathbb{Z}$.
%\end{minipage}
%\begin{minipage}{0.5\linewidth}
%\centering
%\includegraphics{188_5_fig_4}
%\end{minipage}
%\end{prop}



\begin{solintro}
\begin{questions}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-4.5cm}
\item Pour $M$ : $\frac{5 \pi}{6}=\pi-\frac{\pi}{6}$.\\
Donc $\sin \left( \frac{5\pi}{6} \right)=\sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$.

\medskip

Pour $N$ : $-\frac{7 \pi}{4}+2 \pi=\frac{\pi}{4} $ (sur la 1\iere{} bissectrice)
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\includegraphics{179_5_fig_5}
\end{center}
\end{minipage}

\item On a :
\[
\cos^2 x+\sin^2 x =1 \quad \text{et} \quad \sin^2 x=\frac{17}{49}
\]
Donc :
\[ 
\cos^2x=1-\frac{17}{49}=\frac{32}{49}.
\]
De plus, $x \in \left[ \dfrac{\pi}{2}~;\pi \right]$ donc $\cos x \leq 0$.
\par
Par suite:
\[
\cos x=-\sqrt{\frac{32}{49}}=-\frac{4\sqrt{2}}{7}.
\]
\end{questions}
\end{solintro}

%\section{Fonctions trigonométriques}
%
%% 2024
%
%\begin{exointro}{Lycée François Mauriac, Bordeaux}
%Soit $f$ la fonction définie par:
%\[
%f(x)=\cos(x) + \sin^2(x).
%\]
%\begin{questions}
%\item Étudier la parité de $f$.
%\item Montrer que $f$ est $2\pi$-périodique. 
%\end{questions}
%\end{exointro}
%
%\subsection{Dérivées des fonctions sinus et cosinus}
%
%\begin{props}
%\begin{itemize}
%\item La fonction sinus est dérivable sur $\R$ et pour tout nombre réel $x$,\linebreak[4] 
%$\sin 'x = \cos x$.
%\item La fonction cosinus est dérivable sur $\R$ et pour tout nombre réel $x$,\linebreak[4] 
%$\cos 'x = -\sin x$.
%\end{itemize}
%\end{props}
%
%\subsection{\'Etude de la fonction sinus} 
%
%On a $\sin 'x = \cos x$. 
%
%\Par
%
%Or, sur $I=[0~;~\pi]$, $\cos x > 0$ si $x < \dfrac{\pi}{2}$, $\cos x = 0$ si $x=\dfrac{\pi}{2}$ et $\cos x < 0$ si $x > \dfrac{\pi}{2}$. D'où le tableau de variation sur $[0~;\pi]$ : 
% 
%\[ 
%\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
%\begin{array}{|C|lcccr|}
%\hline\tabulartitle
%x& 0 & &\frac{\pi\strut}{2\strut} & & \pi \\\hline
%\sin' & &+&0&-& \\\hline
%&&& 1 &&\\
%\sin &&\nearrow&&\searrow&\\
%& 0 &&&&0\\\hline
%\end{array}
%\]
%
%\newpage
%
%La courbe représentative sur $[0~;\pi]$, avec sa tangente à l'origine de $x\mapsto\sin x$ est:
%
%\Par
%
%\begin{center}
%\includegraphics{185_5_fig_6}
%\end{center}
%
%
%\begin{prop}
%La fonction $x\mapsto\sin x$ est impaire. Sa représentation graphique est donc\linebreak symétrique par rapport à l'origine du repère.
%
%\Par
%
%De plus, elle est $2\pi$-périodique, donc sa représentation graphique est invariante par toute translation de vecteur $2k\pi \vec{\imath}$, $k\in\Z$.
%\end{prop}
%
%\begin{center}
%\includegraphics{185_5_fig_7}
%\end{center}
%
%
%\subsection{\'Etude de la fonction cosinus} % VIDEO récap. : dérivée (avec moyen mnémotechnique), parité, courbe.
%
%Pour tout nombre réel $x$, $\cos 'x = -\sin x$. Or, $\sin x \geqslant 0$ sur $[0~; \pi]$, donc la fonction cosinus est décroissante sur $[0~; \pi]$.
%
%\[ 
%\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
%\begin{array}{|C|lcr|}
%\hline\tabulartitle
%x& 0 & & \pi \\\hline
%\cos' & 0&-&0 \\\hline
%& 1 &&\\
%\cos & &\searrow&\\
%& && -1\\\hline
%\end{array}
%\]
%
%\begin{center}
%\includegraphics{186_5_fig_8} 
%\end{center}
%
%\begin{prop}
%La fonction $x\mapsto\cos x$ est paire. Sa courbe représentative est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
%\end{prop}
%
%\begin{center}
%\includegraphics{186_5_fig_9}
%\end{center}
%
%\begin{prop}
%La fonction $x\mapsto\cos x$ est $2\pi$-périodique, donc sa représentation graphique est invariante par toute translation de vecteur $2k\pi \vec{\imath}$, $k\in\Z$.
%\end{prop}
%
%\Par
%
%\begin{solintro}
%\begin{questions}
%\item $\begin{aligned}[t]
%f(-x) & = \cos(-x)+(\sin(-x))^2\\
%      & = \cos(x) + ( -\sin(x) )^2\\
%      & = \cos(x)+\sin^2(x)\\
%      & =f(x).\end{aligned}$
%
%\Par
%
%Ainsi, $f$ est paire.
%
%\Break
%
%\item $\begin{aligned}[t]
%f(x+2\pi) & = \cos(x+2\pi) + \big[ \sin(x+2\pi) \big]^2\\
%          & = \cos(x) + \big[ \sin(x) \big] ^2\\
%          & = f(x).
%\end{aligned}$
%
%\Par
%
%Ainsi, $f$ est $2\pi$-périodique.
%
%%\item $\begin{aligned}[t]
%%f'(x) & = -\sin(x) + 2\sin(x)\cos(x)\\
%%      & = \sin(x)\big[ 2\cos(x) - 1 \big].
%%\end{aligned}$
%\end{questions}
%\end{solintro}
