\thumb

%%% QCM01

\begin{qcm}{Relations entre sin et cos}{15}
Pour chaque question, donner la bonne réponse.

\begin{questions}

\item Pour tout $x$ de $]0~;\pi[$, on a :\resetchoix\par 
\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\choix{} $\dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\dfrac{1+\cos x}{\sin x}$&
\choix{} $\dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{1-\cos x}$\\[15pt]
\choix{} $\dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$&
\choix{} $\dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{\cos x -1}$
\end{tabularx}

\Par

\item Si $\alpha \in \left[\dfrac{\pi}{2}~;\pi\right]$  et si $\sin \alpha = \dfrac{1}{2}$ alors $\cos \alpha$ est égal à: \resetchoix\par \hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\choix{} $\dfrac{1}{2}$ & \choix{} $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & \choix{} $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 
\end{tabularx}

\Par

\hspace*{-.8cm} Dans les questions suivantes, $x$ est un réel de l'intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2}~;\dfrac{\pi}{2}\right]$.

\Par\resetchoix

\item $\cos^2 \frac{x}{3} + \sin^2 \frac{x}{3} = $\Par
\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
        \choix{} $\frac{1}{3}$ &
        \choix{} $\frac{1}{9}$ &
        \choix{} $1$
\end{tabularx}

\Par
 
\item On sait que $\sin x =\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$. Alors, $\cos x$ est égal à :\par \resetchoix
\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\choix{} $\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$&\choix{} $\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$\\[15pt]
\choix{} $\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$&\choix{}$\dfrac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$
\end{tabularx}

\item On sait que le réel $x$ de la question précédente prend une des valeurs suivantes. Laquelle?\resetchoix\par 
\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\choix{} $\dfrac{\pi}{12}$& \choix{} $\dfrac{5\pi}{12}$\\[15pt]
\choix{} $-\dfrac{\pi}{12}$&\choix{} $-\dfrac{5\pi}{12}$
\end{tabularx}

\item $\big(\cos x + \sin x\big)\big(\cos x - \sin x\big)=$\resetchoix\par 
\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\choix{} 1 & \choix{} $1-2\sin^2(x)$ \\[15pt]
\choix{} $1+2\sin^2(x)$ & \choix{} $\cos^2(x) - 1$
\end{tabularx}


\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. En calculant les produits en croix, on obtient en effet pour la réponse \choix[c] l'égalité $1-\cos^2x=\sin^2x$.

\item Réponse \choix[c]. Si $\alpha \in \left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$, alors $\cos \alpha \leq 0$.\\
Donc $\cos \alpha = -\sqrt{1-\sin^2 \alpha}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

\item Réponse \choix[c]. C'est le cours !

\item Réponse \choix[b]. Comme $x$ appartient à  $\left]-\dfrac{\pi}{2}~;\dfrac{\pi}{2}\right]$, on sait que $\cos x \geq 0$, ce qui élimine les réponses \choix[c] et \choix[d]. D'autre part, dans cet intervalle, $\cos x = -\sin x$ uniquement pour  $\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, ce qui n'est pas le cas ici. Donc la réponse \choix[a] ne convient pas non plus. Il ne reste donc plus que la réponse \choix[b].

\item Réponse \choix[c]. Le sinus est négatif, le cosinus positif, donc $x$ appartient à  $\left]-\dfrac{\pi}{2}~;0\right]$. D'autre part, le cosinus est supérieur à $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, donc $x$ est compris entre $-\dfrac{\pi}{4}$ et 0. On trouve donc que $x=-\dfrac{\pi}{12}$.

\item Réponse \choix[b]. En effet,
\begin{align*}
\big(\cos x + \sin x\big)\big(\cos x - \sin x\big) & = \cos^2(x) - \sin^2(x)\\
& = \big(1-\sin^2(x)\big)-\sin^2(x)\\
& = 1 - 2\sin^2(x).
\end{align*}
\end{questions}
\end{corrige}

\newpage

%%% QCM02

%\begin{qcm}{\fontsize{13}{11}\selectfont Propriétés des fonctions trigonométriques} {15}
%Pour chaque question, une seule réponse est juste. Choisir la bonne réponse.
%\begin{questions}
%\item Une période de la fonction $f:x\mapsto\cos(3x)$ est :\resetchoix\par
%	 
%	 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
%	 \choix{} $\dfrac{2\pi}{3}$ & 
%	 \choix{} $3\pi$ & 
%	 \choix{} $\dfrac{3\pi}{2}$
%	 \end{tabularx}
%	
%\item La fonction $k:x \mapsto \cos \left( x+ \dfrac{\pi}{4} \right)$ est : \\ \resetchoix
%
% \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
%	\choix paire &
%	\choix impaire &
%	\choix ni l'une ni l'autre
%	\end{tabularx}
%	
%\item La fonction $g : x \mapsto \sin 3x$ est :\\ \resetchoix
%
% \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
%	\choix paire &
%	\choix impaire &
%	\choix ni l'une ni l'autre
%	\end{tabularx}
%	
%\item Une période de la fonction $h : x \mapsto \sin \left( \dfrac{x+\pi}{4} \right)$ est : \\\resetchoix
%
% \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
%	\choix $2\pi$ &
%	\choix $\dfrac{\pi}{2}$ &
%	\choix $8\pi$
%	\end{tabularx}
%\end{questions}
%\end{qcm}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item \label{ch5qcm3q1} Réponse \choix[a]. En effet, pour tout $x$ réel, 
%\[ f\left( x+\dfrac{2\pi}{3} \right) = \cos \left[ 3\left(x+\dfrac{2\pi}{3} \right) \right] = \cos (3x+2\pi) = \cos 3x. \]
%
%
%\item Réponse \choix[c]. En effet, $k(-x)=\cos\left(-x+\dfrac{\pi}{4}\right)$, donc $k(-x)\neq k(x)$ (ce qui signifie que $k$ n'est pas paire), et $k(-x)\neq-k(x)$ (ce qui signifie que $k$ n'est pas non plus impaire).
%
%\item  Réponse \choix[b]. En effet, pour tout réel $x$, 
%\[ g(-x)=\sin (3(-x)) = \sin(-3x) = -3\sin x=-g(x).\]
%Donc $g$ est impaire. 
%
%\item \label{ch5qcm3q4}Réponse \choix[c]. En effet, pour tout réel $x$, 
%\begin{align*}
% h(x+8\pi) &= \sin \left( \dfrac{x+8\pi +\pi}{4} \right) \\
% & = \sin \left( \dfrac{x+\pi}{4} +\dfrac{8\pi}{4} \right) \\
%& = \sin \left( \dfrac{x+\pi}{4} +2\pi \right) \\
%& = \sin \left( \dfrac{x+\pi}{4} \right) \\
%& = h(x).
%\end{align*}
%
%
%\begin{Remarque}
%pour les questions \ref{ch5qcm3q1} et \ref{ch5qcm3q4}, on a trouvé une période, mais on n'a pas montré que c'était la plus petite.
%\end{Remarque}
%\end{questions}
%\end{corrige}
%
% 2026
\begin{qcm}{Testez vos connaissances}{15}
Pour chaque question, une seule réponse est juste. Choisir la bonne réponse.
\begin{questions}
\item Un angle a une mesure égale à $60\degres$. Sa mesure en radians est:\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $-\dfrac{\pi}{6}$ & 
\choix $\dfrac{\pi}{6}$ & 
\choix $\dfrac{\pi}{3}$ & 
\choix $\dfrac{2\pi}{3}$
\end{tabularx}

\item Un angle a une mesure égale à $135\degres$. Sa mesure en radians est:\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $\dfrac{\pi}{4}$ & 
\choix $\dfrac{3\pi}{4}$ & 
\choix $\dfrac{5\pi}{4}$ & 
\choix $-\dfrac{7\pi}{4}$
\end{tabularx}

\item Le point $M$ du cercle trigonométrique est associé à un angle de $225\degres$. Il est aussi associé à l'angle:\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $-\dfrac{3\pi}{4}$ rad &
\choix $\dfrac{7\pi}{4}$ rad &
\choix $\dfrac{3\pi}{4}$ rad &
\choix $-\dfrac{7\pi}{4}$ rad
\end{tabularx}

\item Le sinus de l'angle $\dfrac{9\pi}{4}$ est égal à:\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $-\dfrac{\sqrt2}{2}$  &
\choix $\dfrac{1}{2}$  &
\choix $\dfrac{\sqrt3}{2}$ &
\choix $\dfrac{\sqrt2}{2}$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. $60\degres = \dfrac{\pi}{3}$ radians. C'est une mesure à connaître par cœur.

\item Réponse \choix[b]. $135\degres = 3\times45\degres = 3\times\dfrac{\pi}{4}\text{ radians}$.

\item Réponse \choix[a]. En effet, $\dfrac{225}{180}=\dfrac{5}{4}$ donc $225\degres=\dfrac{5\pi}{4}$ radians. Or, $\dfrac{5\pi}{4}=\dfrac{8\pi-3\pi}{4}$ donc $\dfrac{5\pi}{4}=2\pi-\dfrac{3\pi}{4}$.

Ainsi, le point $M$ associé à $225\degres$ est aussi associé à $-\dfrac{3\pi}{4}$ radians.

\item Réponse \choix[d]. $\dfrac{9\pi}{4}=\dfrac{8\pi+\pi}{4}=2\pi+\dfrac{\pi}{4}$ donc:
\[
\sin\left(\dfrac{9\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}.
\]
\end{questions}
\end{corrige}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\sectionnn{Cercle trigonométrique et radian}

% NEW 2024

\begin{exo}{Conversions de degrés à radians}{Lycée Stanislas, Paris}{1}{5}
Convertir en radians les angles suivants (exprimés en degrés).
\begin{multicols}{2}
\begin{questions}
\item $15^\circ$
\item $72^\circ$
\item $135^\circ$
\item $720^\circ$
\end{questions}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{methode}
Pour les conversions degrés $\longleftrightarrow$ radians, on peut utiliser la relation:
\[
\frac{\pi}{180} \times \text{angle en degrés} = \text{angle en radians}.
\]
\end{methode}

\begin{questions}
\item $15^\circ$.
\[
\frac{\pi}{180} \times 15 = \frac{\pi}{12} \text{ rad}.
\]
\item $72^\circ$.
\[
\frac{\pi}{180} \times 72 = \frac{2\pi}{5} \text{ rad}.
\]
\item $135^\circ$.
\[
\frac{\pi}{180} \times 135 = \frac{3\pi}{4} \text{ rad}.
\]
\item $720^\circ$.
\[
\frac{\pi}{180} \times 720 = 4\pi	 \text{ rad}.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%% NEW 2024

\begin{exo}{Conversions de radians à degrés}{Lycée Montaigne, Bordeaux}{1}{5}
Convertir les angles suivants en degrés.
\begin{multicols}{2}
\begin{questions}
\item $\dfrac{7\pi}{3}$ rad.
\item $\dfrac{13\pi}{18}$ rad.
\item $\frac{9\pi}{5}$ rad.
\item $\frac{\pi}{36}$ rad.
\end{questions}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\rm\dfrac{7\pi}{3}~rad=\dfrac{7\pi}{3}\times\frac{180}{\pi}~deg = 420^\circ$.
\item $\rm\dfrac{13\pi}{18}~rad = \dfrac{13\pi}{18}\times\frac{180}{\pi}~deg = 130^\circ$.
\item $\rm\frac{9\pi}{5}~rad = \frac{9\pi}{5}\times\frac{180}{\pi}~deg = 324^\circ$.
\item $\rm\frac{\pi}{36}~rad = \frac{\pi}{36}\times\frac{180}{\pi}~deg = 5^\circ$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% NEW 2024

\begin{exo}{Placement de points}{Lycée Stanislas, Paris}{2}{10}
Placer sur le cercle trigonométrique les points correspondants aux angles suivants, exprimés en radians.
\begin{multicols}{4}
\begin{questions}
\item $\dfrac{25\pi}{3}$
\item $\dfrac{13\pi}{2}$
\item $\frac{19\pi}{6}$
\item $121\pi$
\end{questions}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\dfrac{25\pi}{3} = \frac{24\pi}{3}+\frac{1\pi}{3}=8\pi+\frac{\pi}{3}$.

Ainsi, le point $A$ correspondant à l'angle $\dfrac{25\pi}{3}$ se trouve au même endroit que le point correspondant à $\frac{\pi}{3}$ (car $8\pi$ correspond à quatre tours complets sur le cercle trigonométrique).

\newpage

\item $\dfrac{13\pi}{2} = \frac{12\pi}{2}+\frac{\pi}{2} = 6\pi + \frac{\pi}{2}$.

Ainsi, le point $B$ correspondant à l'angle $\dfrac{13\pi}{2}$ se trouve au même endroit que le point correspondant à $\frac{\pi}{2}$ (car $6\pi$ correspond à trois tours complets sur le cercle trigonométrique).

\item $\frac{19\pi}{6} = \frac{18\pi}{6}+\frac{1\pi}{6} = 3\pi + \frac{\pi}{6} = 2\pi + \left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)$.

Ainsi, le point $C$ correspondant à l'angle $\dfrac{19\pi}{6}$ se trouve au même endroit que le point correspondant à $\pi+\frac{\pi}{6}$ (car $2\pi$ correspond à un tour complet sur le cercle trigonométrique).

\item $121\pi = 120\pi + \pi$.

Ainsi, le point $D$ correspondant à l'angle $121\pi$ se trouve au même endroit que le point correspondant à $\pi$ (car $120\pi$ correspond à 60 tours complets sur le cercle trigonométrique).
\end{questions}
Nous avons placé les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sur un même cercle trigonométrique suivant.
\begin{center}
\includegraphics{187_trigo_cerclepoints}
\end{center}
\end{corrige}

%%% NEW 2024 

\begin{exo}{Pentagone régulier}{Lycée François Mauriac, Bordeaux}{1}{10}
Le pentagone régulier ci-dessous est inscrit dans le cercle trigonométrique.
\begin{center}
\includegraphics{182_trigo_pentagone}
\end{center}
Déterminer l'angle en radian de chacun de ses sommets.
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{itemize}
\item Commençons par le point $F$: c'est le plus simple. Il est en effet associé au nombre $0$ car l'angle que forme $\gvec{OF}$ avec $\vec{i}$ (vecteur unitaire de l'axe des abscisses) est nul.

\item Le pentagone est régulier et possède 5 sommets. Par conséquent, l'angle $\big(\gvec{OF},\gvec{OA}\big)=\dfrac{2\pi}{5}$. En effet, on divise l'angle plein ($360^\circ$, donc $2\pi$ radians), en 5.

Le nombre associé à $A$ est donc $\dfrac{2\pi}{5}$.

\item De manière analogue, en ajoutant $\frac{2\pi}{5}$ pour passer d'un point à un autre, on obtient que:
\begin{itemize}
\item[$\to$] $B$ est associé au nombre $\frac{4\pi}{5}$;
\item[$\to$] $C$ est associé au nombre $\frac{6\pi}{5}$;
\item[$\to$] $D$ est associé au nombre $\frac{8\pi}{5}$.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{corrige}


\sectionnn{Sinus et cosinus}

%%% 

\begin{exo}{Identité trigonométrique}{Lycée Stanislas, Paris}{1}{5}
Montrer que pour tout réel $x$ :
\[
(\cos x + \sin x)^2+(\cos x - \sin x)^2=2.
\]
\end{exo}

\begin{corrige}
Il suffit de développer :
\[
\begin{aligned}
(\cos x+\sin x)^2+(\cos x-\sin x)^2&= \cos^2 x+2 \cos x \times \sin
x+\sin^2 x\\
&\qquad+\cos^2 x-2 \cos x \times \sin
x+\sin^2 x \\[1ex]
&=2(\cos^2 x+\sin^2 x) \\
&=2 \quad \text{car} \quad \cos^2 x+\sin^2 x=1.
\end{aligned}
\]
%
\end{corrige}

%%% NEW 2024

\begin{exo}{Détermination d'un sinus}{Lycée Lamartine, Paris}{1}{10}
Un angle $x$ est tel que $x\in]-\pi;0]$ et $\cos x = \dfrac{1+\sqrt5}{4}$.

Déterminer une valeur exacte de $\sin x$.
\end{exo}

\begin{corrige}
On sait que $x\in]-\pi;0]$. De plus,
\begin{align*}
\cos^2x+\sin^2x = 1 & \iff \sin^2x = 1 - \left(\frac{1+\sqrt5}{4}\right)^2\\
& \iff \sin^2x = 1 - \frac{1+2\sqrt5+5}{16}\\
& \iff \sin^2x = \frac{16-6-2\sqrt5}{16}\\
& \iff \sin^2x = \frac{10-2\sqrt5}{16}\\
& \iff \sin x = -\sqrt{\frac{10-2\sqrt5}{16}}
\intertext{(car $x\in]-\pi;0]\iff\sin x \leqslant 0$)}
% ERREUR % & \iff \sin x = -\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{16}.
 & \iff \sin x = -\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4}.
\end{align*}
\end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{Une équation trigonométrique}{Lycée Louis-le-Grand, Paris}{2}{10}
Calculer $\sin x$ et $\cos x$ sachant que l'on a :
\[
3 \sin x + 4 \cos x=5.
\]
\textit{Indication:} on pourra utiliser la relation $\cos^2 x +\sin^2 x=1$.
\end{exo}

\begin{corrige}
\[
3 \sin x+4 \cos x=5 \iff \sin x=\frac{5-4 \cos x}{3}.
\]
Utilisons ce résultat dans l'expression $\cos^2 x +\sin^2 x=1$.

Comme $\cos^2 x +\sin^2 x=1$, alors :
\begin{align*}
& \quad \cos^2 x +\frac{(5-4 \cos x)^2}{9}=1 \\
\text{soit} & \quad 9 \cos^2 x+25-40 \cos x+16 \cos^2 x=9 \\
\text{soit}& \quad 25 \cos^2 x-40 \cos x +16=0 \\
\text{soit}& \quad (5 \cos x-4)^2 =0 \\
\text{d'où :} & \quad \cos x=\frac{4}{5}.
\end{align*}

Par suite :
\[
\sin x=\frac{5-4 \times
\frac{4}{5}}{3}=\frac{5-\frac{16}{5}}{3}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}.
\]
\end{corrige}


%%% NEW 2024 

\begin{exo}{Calcul avec les angles associés}{Lycée Alphonse Daudet, Nîmes}{2}{10}
Calculer les expressions suivantes en utilisant les angles associés:
\begin{questions}
\item $\cos\frac{2\pi}{3} + \sin\frac{\pi}{6}$
\item $\sin\frac{3\pi}{4} + \sin\frac{5\pi}{4}$
\item $1+\sin^2\frac{\pi}{4}+\cos^2\frac{3\pi}{4}$
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
\cos\frac{2\pi}{3} + \sin\frac{\pi}{6} & = -\cos\frac{\pi}{3}+ \sin\frac{\pi}{6}\\
& = -\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\\
& = 0.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\sin\frac{3\pi}{4} + \sin\frac{5\pi}{4} & = \sin\frac{\pi}{4} + \sin\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)\\
& = \sin\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{4}\\
& = 0.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
1+\sin^2\frac{\pi}{4}+\cos^2\frac{3\pi}{4} & = 1 + \sin^2\frac{\pi}{4} + \left(-\cos\frac{\pi}{4}\right)^2\\
& = 1 + \underbrace{\sin^2\frac{\pi}{4} + \cos^2\frac{\pi}{4}}_{=1}\\
& = 2.
\end{aligned}$
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

%%%  MODIF 2024

\begin{exo}{Équation}{Lycée Sophie Germain, Paris}{2}{15}
\begin{questions}
 \item Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l'équation :  $2\cos^2x+\cos x -1=0$.
 \item Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On pose $X=\cos x$ et on résout l'équation du second degré en $X$ :\linebreak $2X^2+X-1=0$. 

Le discriminant de l'équation vaut 9, et on trouve deux solutions :
\[
X_1=\dfrac{1}{2} \qquad \text{ et } \qquad X_2=-1.
\]
L'équation en $x$ équivaut donc à :
\begin{itemize}
\item $\cos x = -1\Longleftrightarrow x = \pi$

\medskip

ou 
\item $\cos x = \dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{3}$ ou $x=\dfrac{\pi}{3}$.
\end{itemize} 

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\item Les solutions correspondent aux points A, B et C représentés ci-contre.
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics{190_5_fig_14}
\end{center}
\end{minipage}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% NEW 2024

\begin{exo}{Pêle-mêle}{Lycée Blomet, Paris}{2}{15}
\begin{questions}
\item Déterminer la valeur exacte de chacun des nombres suivants:
\begin{questions}
\item $\cos\frac{5\pi}{3}$
\item $\sin\frac{7\pi}{6}$
\item $\sin\frac{113\pi}{3}$
\item $\cos\left(-\frac{37\pi}{4}\right)$
\end{questions}

\item Simplifier $S = \sin\frac{\pi}{8} - \sin\frac{7\pi}{8} +\sin\frac{5\pi}{8} - \sin\frac{3\pi}{8}$.

\item Sachant que $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$ et que $\sin x = -\frac{\sqrt2}{2}$, déterminer la valeur de $\cos x$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $\cos\frac{5\pi}{3} = \cos\left( \frac{6\pi}{3}-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$.

\item $\sin\frac{7\pi}{6} = \sin\left( \frac{6\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \right) = \sin\left( \pi + \frac{\pi}{6} \right) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$.

\item $\begin{aligned}[t]
\sin\frac{113\pi}{3} & = \sin\left(\frac{114\pi}{3}-\frac{\pi}{3} \right) = \sin\left( 38\pi-\frac{\pi}{3} \right)\\
& = \sin\left(19 \times 2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt3}{2}.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\cos\left(-\frac{37\pi}{4}\right) & = \cos\left(-\frac{40\pi}{4}+\frac{3\pi}{4} \right) = \cos\left( -10\pi + \frac{3\pi}{4}\right)\\
& = \cos\left( \frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt2}{2}.
\end{aligned}$
\end{questions}

\item $\begin{aligned}[t]
S & = {\color{DR}\sin\frac{\pi}{8} - \sin\frac{7\pi}{8}} + {\color{DB}\sin\frac{5\pi}{8} - \sin\frac{3\pi}{8}}\\
& = {\color{DR}\left[ \sin\frac{\pi}{8} - \sin\left(\frac{8\pi}{8}-\frac{\pi}{8}\right) \right]} + {\color{DB}\left[ \sin\left(\frac{8\pi}{8}-\frac{3\pi}{8}\right) - \sin\frac{3\pi}{8} \right]}\\
& = \left[ \sin\frac{\pi}{8} - \sin\left(\pi-\frac{\pi}{8}\right) \right] + \left[ \sin\left(\pi-\frac{3\pi}{8}\right) - \sin\frac{3\pi}{8} \right]\\
& = \left[ \sin\frac{\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{8} \right] + \left[ \sin\frac{3\pi}{8} - \sin\frac{3\pi}{8} \right]\\
& = 0.
\end{aligned}$

\begin{Remarque}nous avons utilisé ici la propriété suivante:
\[
\forall x\in\R,\ \sin(\pi-x) = \sin(x).
\]
\end{Remarque}

\item Sachant que $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$ et que $\sin x = -\frac{\sqrt2}{2}$, déterminons la valeur de $\cos x$ à l'aide de l'égalité fondamentale de trigonométrie:
\begin{align*}
\cos^2x + \sin^2x = 1 & \iff \cos^2x + \left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 = 1\\
& \iff \cos^2x = 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
\intertext{Or $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$ donc $\cos x < 0$.}
& \iff \cos x = -\sqrt{\frac{1}{2}}=-\frac{\sqrt2}{2}.
\end{align*}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{En utilisant le carré}{Lycée Honoré de Balzac, Paris}{2}{15}
On veut résoudre l'équation (E) : $\sqrt{3}\cos x = \sin x$ dans $[0~;2\pi[$.
\begin{questions}
\item Démontrer que si $x$ est solution de l'équation (E), alors $x$ est aussi solution de l'équation $\cos^2x=\dfrac{1}{4}$.
\item Résoudre l'équation  $\cos^2x=\dfrac{1}{4}$ dans $[0~;2\pi[$.
\item Expliquer pourquoi $\cos x$ et $\sin x$ doivent avoir le même signe.
\item En déduire les solutions de l'équation (E).
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item  $\begin{aligned}[t]
\sqrt{3}\cos x = \sin x & \Longrightarrow \big(\sqrt{3}\cos x\big)^2 = \big(\sin x\big)^2\\
& \Longrightarrow 3 \cos^2x=\sin^2x\\
& \Longrightarrow  3 \cos^2x = 1 - \cos^2x\\
& \Longrightarrow 4\cos^2 x = 1\\
& \Longrightarrow \cos^2 x = \frac{1}{4}.
\end{aligned}$


\item $\cos^2x=\dfrac{1}{4}\Longleftrightarrow \cos x =-\dfrac{1}{2}$ ou $\cos x = \dfrac{1}{2}$. 

Cette équation a donc 4 solutions dans $[0~;2\pi[$ : 
\[
S = \left\{\dfrac{\pi}{3};~ \dfrac{2\pi}{3}~;~\dfrac{4\pi}{3}~;~\dfrac{5\pi}{3}\right\}.
\]

\item $\sqrt{3}\cos x = \sin x$ et $\sqrt3>0$. Donc $\cos x$ et $\sin x$ ont le même signe.

\item Parmi les 4 valeurs trouvées dans la question 2, seules $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{4\pi}{3}$ ont un cosinus et un sinus de même signe. 

De plus, il est immédiat de contrôler que ces deux valeurs sont solutions de l'équation (E). En effet, on a bien : 
\[
\sqrt{3}\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin\dfrac{\pi}{3}
\]
et 
\[
\sqrt{3}\cos\dfrac{4\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin\dfrac{4\pi}{3}.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%% NEW 2024

\begin{exo}{Une somme}{Lycée Daguin, Mérignac}{3}{15}
On pose:
\[
S=\sum_{k=0}^{19}\sin^k\frac{\pi}{4} = 1+\sin\frac{\pi}{4}+\sin^2\frac{\pi}{4}+\cdots+\sin^{19}\frac{\pi}{4}.
\]
Donner la valeur exacte de $S$ sous forme fractionnaire, où le dénominateur est entier.
\end{exo}

\begin{corrige}
Notons que:
\[
\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.
\]
Ainsi,
\[
S = 1 + \left(\frac{\sqrt2}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 + \cdots + \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^{19}.
\]
On peut alors appliquer la formule:
\[
1+q+q^2 + \cdots + q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}.
\]
Cela donne:
\[
S = \dfrac{ 1 - \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^{20} }{ 1 - \frac{\sqrt2}{2} } = \dfrac{ \frac{ 2^{20} - 2^{10} }{ 2^{20} } }{ \frac{ 2-\sqrt2 }{2} } = \frac{ 2^{20} - 2^{10} }{ 2^{20} } \times \frac{2}{ 2-\sqrt2 } = \frac{ 2^{11}\big( 2^{10}-1 \big)}{2^{20}\big( 2-\sqrt2 \big)}
\]
Finalement, on arrive à:
\[
S = \frac{2^{10}-1}{2^9\big(2-\sqrt2\big)}.
\]
Cette écriture ne convient pas à ce qui est demandé car on souhaite un dénominateur entier. Il faut donc poursuivre le calcul.
\[
S = \frac{2^{10}-1}{2^9\big(2-\sqrt2\big)}\textcolor{DR}{\times\frac{2+\sqrt2}{2+\sqrt2}} =   \dfrac{\numprint{1023}(2+\sqrt2)}{\numprint{1024}}.
\]
\end{corrige}

%%% NEW 2024

\begin{exo}{Une autre somme}{Lycée Lakanal, Sceaux}{3}{20}
Calculer la somme:
\[
S = \sum_{k=0}^{\numprint{2023}} \cos\left( \frac{k\pi}{3} \right).
\]
\end{exo}

\begin{corrige}
Remarquons d'abord que:
\begin{align*}
S & = 1 + \cos\frac{\pi}{3} + \cos\frac{2\pi}{3} + \cos\frac{3\pi}{3} + \cos\frac{4\pi}{3} + \cos\frac{5\pi}{3}\\
  & + \cos\frac{6\pi}{3} + \cos\frac{7\pi}{3} + \cos\frac{8\pi}{3} + \cos\frac{9\pi}{3} + \cos\frac{10\pi}{3} + \cos\frac{11\pi}{3} + \cdots
\end{align*}
\Par
Remarquons aussi que:
\Par
\begin{itemize}
\item $1+\cos\tfrac{3\pi}{3}=\cos\tfrac{6\pi}{3}+\cos\tfrac{9\pi}{3}=\cdots=\cos\tfrac{\numprint{2016}\pi}{3}+\cos\tfrac{\numprint{2019}\pi}{3} =0$

\item $\cos\tfrac{\pi}{3}+\cos\tfrac{2\pi}{3} = \cos\tfrac{7\pi}{3}+\cos\tfrac{8\pi}{3}=\cdots=\cos\tfrac{\numprint{2017}\pi}{3}+\cos\tfrac{\numprint{2018}\pi}{3}=0$

\item $\cos\tfrac{4\pi}{3}+\cos\tfrac{5\pi}{3} = \cos\tfrac{10\pi}{3}+\cos\tfrac{11\pi}{3}=\cdots=\cos\tfrac{\numprint{2020}\pi}{3}+\cos\tfrac{\numprint{2021}\pi}{3}=0$.
\end{itemize}

\Par

Ainsi, la somme se réduit à:
\begin{align*}
S & = \cos\frac{\numprint{2022}\pi}{3}+\cos\frac{\numprint{2023}\pi}{3}\\
  & = \cos(674\pi)+\cos\left(674\pi+\frac{\pi}{3}\right)\\
  & = 1 + \frac{1}{2}\\
  & = \frac{3}{2}.
\end{align*}
\newpage
\end{corrige}

%\sectionnn{Fonctions trigonométriques}
%
%%%% NEW 2024
%\enlargethispage*{3em}
%\begin{exo}{Coordonnées de points}{Lycée Montaigne, Bordeaux}{1}{5}
%On considère la représentation de la fonction sinus suivante:
%\begin{center}
%\includegraphics{204_trigo_courbe_points}
%\end{center}
%Donner les abscisses des points $A$ et $B$.
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{center}
%\includegraphics{204_trigo_courbe_points}
%\end{center}
%On sait que l'ordonnée des points $A$ et $B$ est égale à $\frac{\sqrt3}{2}$. 
%
%Il faut donc trouver les valeurs de $x$ comprises entre 0 et $\pi$ telles que:
%\[
%\sin x=\frac{\sqrt3}{2}.
%\]
%D'après le cours, les deux valeurs de $x$ sont:
%\[
%x_A = \frac{\pi}{3}\qquad\text{et}\qquad x_B=\frac{2\pi}{3}.
%\]
%\end{corrige}
%
%%%% NEW 2024
%
%\begin{exo}{Périodicité}{Lycée Hoche, Versailles}{1}{5}
%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=1+\sin x+\dfrac{1}{2}\cos(2x)$.
%
%Prouver que $f$ est périodique sur $\R$.
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%Pour tout réel $x$,
%\begin{align*}
%f(x+2\pi) & = 1+\sin(x+2\pi)+\dfrac{1}{2}\cos\big[2(x+2\pi)\big]\\
%& = 1+\sin x+\dfrac{1}{2}\cos(2x)
%\intertext{(car les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont $2\pi$-périodiques)}
%& = f(x).
%\end{align*}
%
%La fonction $f$ est donc périodique, et $2\pi$ en est une période.
%
%\end{corrige}
%
%%%% NEW 2024
%
%\begin{exo}{Parité et périodicité}{Lycée François Mauriac, Bordeaux}{1}{10}
%On définit la fonction $f$ sur \R{} par:
%\[
%f(x)=\cos(4x)\sin^2(4x).
%\]
%\begin{questions}
%\item Montrer que $f$ est paire. Interpréter graphiquement.
%\item Montrer que $f$ est $\frac{\pi}{2}$–périodique.
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item Pour tout réel $x$,
%\begin{align*}
%f(-x) & = \cos(-4x)\sin^2(-4x)\\
%      & = \cos(4x)(-\sin 4x)^2\\
%      & = \cos(4x)\sin^2(4x)\\
%      & = f(x).
%\end{align*}
%
%Ainsi, $f$ est paire. Cela signifie que sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
%
%\item Pour tout réel $x$,
%\begin{align*}
%f\left(x+\frac{\pi}{2}\right) & = \cos\left[4\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right]\sin^2\left[4\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right]\\
%& = \cos(4x+2\pi)\sin^2(4x+2\pi)\\
%& = \cos(4x)\sin^2(4x)\text{ (car $\sin$ et $\cos$ sont $2\pi$-périodiques)}\\
%& = f(x).
%\end{align*}
%
%Par conséquent, $f$ est bien $\frac{\pi}{2}$–périodique.
%\end{questions}
%\end{corrige}
%
%%%% NEW 2024
%
%\begin{exo}{Parité et périodicité}{Lycée Jean-Pierre Vernant, Pins-Justaret}{1}{15}
%\'Etudier la parité des fonctions suivantes et montrer qu'elles sont $T$-périodiques, où $T$ est donné pour chacune d'elles.
%\begin{questions}
%\item $f(x)=2\sin(8x)$, définie sur \R. $T=\frac{\pi}{4}$.
%\item $g(x)=\sin (2x)+\cos (2x)$, définie sur \R. $T=\pi$
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item 
%\begin{itemize}
%\item Parité de $f(x)=2\sin(8x)$: pour tout réel $x$,
%\[
%f(-x)=2\sin(-8x)=-2\sin(8x)=-f(x).
%\]
%Par conséquent, $f$ est \textit{impaire}.
%
%\item Périodicité: pour tout réel $x$,
%\begin{align*}
%f(x+T) & = f\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\\
%& = 2\sin\left[8\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right]\\
%& = 2\sin(8x+2\pi)\\
%& = 2\sin(8x)\quad\text{(car $x\mapsto\sin x$ est $2\pi$-périodique)}\\
%& = f(x).
%\end{align*}
%
%Ainsi, $f$ est périodique de période $\frac{\pi}{4}$.
%\end{itemize}
%
%\item 
%\begin{itemize}
%\item Parité de $g(x)=\sin(2x)+\cos(2x)$: pour tout réel $x$,
%\[
%g(-x)=\cos(-2x)+\sin(-2x)=\cos(2x)-\sin(2x).
%\]
%Par conséquent, $g(-x) \neq g(x)$ et $g(-x) \neq -g(x)$. La fonction $g$ n'est donc \textit{ni paire, ni impaire}.
%
%\item Périodicité: pour tout réel $x$,
%\begin{align*}
%g(x+T) & = g(x+\pi)\\
%& = \sin\big[2(x+\pi)\big] + \cos\big[2(x+\pi)\big]\\
%& = \sin(2x+2\pi) + \cos(2x+2\pi)\\
%& = \sin(2x) + \cos(2x)
%\intertext{(car les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont $2\pi$-périodiques)}
%& = g(x).
%\end{align*}
%
%Ainsi, $g$ est périodique de période $\pi$.
%\end{itemize}
%\end{questions}
%\end{corrige}
%
%
%
%%%% NEW 2024
%
%\begin{exo}{\'Etude minimale d'une fonction}{Lycée Pablo Picasso, Fontenay-sous-Bois}{3}{20}
%On considère la fonction $f$ définie sur \R{} par:
%\[
%f(x) = 1 + \cos(x) + \sin^2(x).
%\]
%Sa courbe représentative est notée $\mathcal{C}$ dans le repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.
%\begin{questions}
%\item \'Etudier la parité de $f$.\\
%Que peut-on en déduire pour $\mathcal{C}$?
%\item Montrer que $f$ est $2\pi$-périodique.\\
%Que peut-on en déduire pour $\mathcal{C}$?
%\item Justifier que $f(x)=-\cos^2(x)+\cos(x)+2$.
%\item Résoudre l'équation $f(x)=0$ sur $]-\pi;\pi]$.
%\item Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)\geqslant0$.
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item Pour tout réel $x$, 
%\begin{align*}
%f(-x) & = 1 + \cos(-x) + \big[\sin(-x)\big]^2\\
%      & = 1 + \cos(x) + \big[-\sin(x)\big]^2\\
%      & = 1 + \cos(x) + \sin^2(x)\\
%      & = f(x).
%\end{align*}
%
%Par conséquent, $f$ est paire.
%
%On peut alors déduire que la courbe représentative de $f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
%
%\item Pour tout réel $x$,
%\[
%\cos(x+2\pi)=\cos(x)\qquad\text{et}\qquad\sin(x+2\pi)=\sin(x).
%\]
%Ainsi,
%\begin{align*}
%f(x+2\pi) & = 1 + \cos(x+2\pi) + \sin^2(x+2\pi)\\
%          & = 1 + \cos(x) + \sin^2(x)\\
%          & = f(x).
%\end{align*}
%Par conséquent, $f$ est bien $2\pi$-périodique.
%
%\Par
%
%Cela signifie qu'en traçant la représentation graphique de $f$ sur un\linebreak intervalle quelconque d'amplitude $2\pi$, et en en faisant les translations de vecteurs $2k\pi\vec{i}$, $k\in\Z^*$, \mbox{on obtiendra la courbe représentative de $f$ sur \R.}
%
%\item Pour tout réel $x$,
%\[
%\sin^2(x)=1-\cos^2(x).
%\]
%Ainsi, pour tout réel $x$,
%\begin{align*}
%f(x)& = 1 + \cos(x) + \sin^2(x)\\
%    & = 1 + \cos(x) + 1-\cos^2(x)\\
%    & = -\cos^2(x) + \cos(x) + 2.
%\end{align*}
%
%\item D'après la question précédente,
%\begin{align*}
%f(x) = 0 & \iff -\cos^2(x) + \cos(x) + 2= 0\\
%         & \iff -X^2 + X + 2 = 0,\quad\text{en posant }X=\cos(x).
%\end{align*}
%Une solution évidente est $X_1=-1$; par conséquent, la seconde solution est telle que:
%\[
%X_1X_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{-1} = -2.
%\]
%Ainsi, 
%\[
%-1\times X_2 = -2 \iff X_2 = 2.
%\]
%On a alors:
%\[
%\begin{cases}
%X_1 = \cos(x_1) = -1\\
%X_2 = \cos(x_2) = 2 \longleftarrow \text{ impossible car }-1 \leqslant \cos(x_2) \leqslant1
%\end{cases}
%\]
%On en déduit que sur $]-\pi;\pi]$, les solutions de l'équation $f(x)=0$ sont les valeurs de $x$ pour lesquelles :
%\[
%\cos(x) = -1 \iff x = \pi.
%\]
%
%\item D'après la question précédente, pour tout réel $X$,
%\[
%-X^2+X+2 = -(X+1)(X-2).
%\]
%Ainsi, en prenant $X = \cos(x)$, on a:
%\[
%f(x)=-\big(\cos( x) + 1\big)\big(\cos( x) - 2 \big).
%\]
%Or,
%\begin{align*}
%-1 \leqslant \cos x \leqslant 1 & \iff \begin{cases}
% \cos (x) + 1 \geqslant 0\\
% \cos (x) - 2 \leqslant 0
%\end{cases}\\[10pt]
%& 
%\iff \begin{cases}
% -\big( \cos (x) + 1\big) \leqslant 0\\
% \cos (x) - 2 \leqslant 0
%\end{cases}
%\end{align*}
%Ainsi, $f(x) \geqslant 0$.
%\end{questions}
%À titre purement informatif, voici la représentation graphique de $f$:
%\begin{center}
%\includegraphics{207_trigo_courbe}
%\end{center}
%\end{corrige}
%
%%%% NEW 2024
%\newpage
%\begin{exo}{\'Etude complète d'une fonction}{Lycée Blomet, Paris}{3}{25}
%Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par:
%\[
%f(x)=\frac{\cos x}{3+\sin^2 x}.
%\]
%Sa courbe représentative est notée $\mathcal{C}$ dans le repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.
%\begin{questions}
%\item
%\begin{questions}
%\item \'Etudier la parité et la périodicité de $f$.
%\item En déduire le plus petit intervalle $I$ possible pour étudier $f$.\\
%Expliquer.
%\end{questions}
%
%\item On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et que sa dérivée vaut:
%\[
%f'(x)=\frac{\sin x(\sin^2x-5)}{\big(3+\sin^2x\big)^2}.
%\]
%\begin{questions}
%\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ sur $I$.
%\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $I$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur $I$.
%\end{questions}
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\enlargethispage*{\baselineskip}
%\begin{questions}
%\item
%\begin{questions}
%\item 
%\begin{itemize}
%\item \'Etudions d'abord la parité de $f$: pour tout réel $x$,
%\begin{align*}
%f(-x) & = \frac{\cos (-x)}{3+\sin^2 (-x)}\\
%      & = \frac{\cos x}{3+(-\sin x)^2}\\
%      & = \frac{\cos x}{3+\sin^2 x}\\
%      & = f(x).
%\end{align*}
%$f$ est donc paire.
%
%\Par
%
%\item \'Etudions la périodicité de $f$.
%
%Les fonctions $x\mapsto\cos x$ et $x\mapsto\sin x$ sont $2\pi$-périodiques. 
%
%Par conséquent, $f$ est $2\pi$-périodique. 
%\end{itemize}
%
%\item Le fait que $f$ soit $2\pi$-périodique nous permet d'étudier $f$ sur n'importe quel intervalle d'amplitude $2\pi$.
%
%De plus, le fait que $f$ soit paire nous permet d'étudier $f$ sur $[0;+\infty[$.
%
%En combinant les deux, nous pouvons étudier $f$ sur $I=[0;\pi]$. En effet, par symétrie, on pourra avoir les variations de $f$ sur $[-\pi;\pi]$ et par translation de vecteur $2k\pi\vec{i}$, $k\in\Z^*$, on pourra avoir le reste des variations de $f$ sur \R.
%\end{questions}
%
%\item 
%\begin{questions}
%\item Sur $I=[0;\pi]$,
%\begin{itemize}
%\item $\sin x \geqslant 0$
%\item $\begin{aligned}[t]
%-1\leqslant \sin x \leqslant 1 & \iff 0 \leqslant \sin^2x \leqslant 1\\
%& \iff -5\leqslant \sin^2x-5 \leqslant -4
%\end{aligned}$
%\item $\big(3+\sin^2x\big)^2 > 0$
%\end{itemize}
%Ainsi, $f'(x) \leqslant 0$ sur $I$.
%
%\item On a le tableau suivant:
%\[
%\begin{array}{|R|lcr|}
%\hline\tabulartitle
%x & 0 &  & \pi\\
%\hline
%f'(x) & 0 & - & 0\\
%\hline
%      & \tfrac{1\strut}{3} &  & \\
% f(x) &              & \searrow & \\
%      &              &          & -\tfrac{1}{3\strut}\\
%\hline
%\end{array}
%\]
%\end{questions}
%\end{questions}
%Pour information, nous avons tracé ci-dessous:
%\begin{itemize}
%\item en rouge, la partie de la courbé étudiée sur $[0;\pi]$;
%\item en bleue, la partie obtenue par symétrie à l'aide de la parité de $f$;
%\item en vert, la courbe obtenue par translations
%\end{itemize}
%\begin{center}
%\includegraphics{208_trigo_courbefct}
%\end{center}
%\end{corrige}



\thumb
\AfficheCorrige
