\devoirsynthese{Bac blanc}{Bac blanc}

La durée de l'épreuve est de 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.

L'épreuve est constituée de deux parties: une partie \og Automatismes \fg{} sous forme d'un QCM sur 6 points, et une partie constituée de 3 exercices sur 14 points.

\sectionnn{Première partie: automatismes}

\begin{exobb}{QCM -- 6 points}{\null}{1}{10}

\textit{Pour chaque question, une seule réponse est exacte.}

\begin{questions}
\item L'expression $\frac{2}{3} - \frac{5}{3} \times \frac{1}{4}$ est égale à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix  $-\frac{3}{12}$  & 
\choix $\frac{3}{7}$ &
\choix   $\frac{1}{4}$ & 
\choix  $\frac{1}{2}$
\end{tabularx}


\item Un prix augmente de 25\,\%, puis baisse de 20\,\%. Globalement, le prix a : \resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix  augmenté de 5\,\% & 
\choix stagné \\
\choix baissé de 5\,\% & 
\choix augmenté de 45\,\%
\end{tabularx}

\item Pour $a \neq 0$, l'expression $\frac{(a^3)^2}{a^{-4}}$ se simplifie en : \resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $a^2$ & 
\choix  $a^{10}$&
\choix $a^{-2}$ & 
\choix $a^{24}$
\end{tabularx}

\item La forme développée de $(3x - 2)^2$ est : \resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix  $3x^2 - 12x + 4$& 
\choix $9x^2 - 4$\\
\choix  $3x^2 - 4$& 
\choix $9x^2 - 12x + 4$
\end{tabularx}

\item L'ensemble des solutions de l'inéquation $3x - 1 > 5x + 3$ est : \resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $]-\infty~;~-2[$  & 
\choix $]-2~;~+\infty[$ &
\choix $]-\infty~;~2[$ & 
\choix $]2~;~+\infty[$
\end{tabularx}

\item La solution de l'équation $2x - 5 = 7x + 10$ est : \resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix  $x = 3$ & 
\choix  $x = -3$&
\choix   $x = 1$& 
\choix $x = -1$
\end{tabularx}

\item La droite passant par $A(0~;~3)$ et $B(2~;~7)$ a pour coefficient directeur : \resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix  2& 
\choix $-2$ &
\choix 0,5  & 
\choix 4
\end{tabularx}


\item $15\,\%$ de $60$ est égal à : \resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix  4 & 
\choix 12 &
\choix  9 & 
\choix 45
\end{tabularx}

\newpage

\item Si $f(x) = x^2 - 3x + 2$, alors l'image de $-2$ est : \resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix  0 & 
\choix 12 &
\choix  4 & 
\choix $-8$
\end{tabularx}

\item Une vitesse de 72 km/h est égale à : \resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix 20 m/s & 
\choix 7,2 m/s &
\choix 25,9 m/s & 
\choix 120 m/s
\end{tabularx}

\item Un article coûte 80 \euro. Son prix passe à 100 \euro. Le taux d'évolution est de : \resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix  20\,\% & 
\choix 25\,\% &
\choix 80\,\% & 
\choix $-20$\,\%
\end{tabularx}


\item La droite passant par les points $A(1~;~3)$ et $B(3~;~7)$ a pour ordonnée à l'origine : \resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix  2 & 
\choix 1 &
\choix 3 & 
\choix $-1$
\end{tabularx}

\end{questions}
\end{exobb}

\begin{corrigebb}
\begin{questions}
    \item Réponse \choix[c]. En effet, 
    \begin{align*}
    \frac{2}{3} - \frac{5}{3} \times \frac{1}{4}& = \frac{2}{3}\times\frac{4}{4} - \frac{5}{12}\\
    & = \frac{8-5}{12}\\
    & = \frac{3}{12}\\
    & = \frac{1}{4}.
    \end{align*}
    
    \item Réponse \choix[b]. En effet,  augmenter de 25\,\% puis baisser de 20\,\% revient à multiplier par $1,25 \times 0,8 = 1$.
    
    \item Réponse \choix[b]. On a: 
    \[
    \frac{(a^3)^2}{a^{-4}} = \frac{a^6}{a^{-4}} = a^{6 - (-4)} = a^{10}.
    \]
    
    \item Réponse \choix[d]. On a: 
    \[
    (3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4.
    \]
    
    \item Réponse \choix[a]. En effet, 
    \begin{align*}
    3x - 1 > 5x + 3 & \iff -2x > 4 \\
                    & \iff x < \frac{4}{-2}\\
                    & \iff x < -2.
    \end{align*}
    
    \item Réponse \choix[b]. On a: 
    \begin{align*}
    2x - 5 = 7x + 10 & \iff -5x = 15\\
                     & \iff x = \frac{15}{-5}\\
                     & \iff x = -3.
    \end{align*}
    
    \item Réponse \choix[a]. Le coefficient directeur est calculé ainsi:
    \[
    m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{7 - 3}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2.
    \]
    
    \item Réponse \choix[c]. On a:
    \[
    15\,\% \times 60 = 0,15 \times 60 = 9.
    \]
    
    \item Réponse \choix[b]. En effet,
    \[
    f(-2) = (-2)^2 - 3(-2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12.
    \]
    
    \item Réponse \choix[a]. En effet, on a:
    \[
    72 \text{ km/h} = \frac{72}{3,6} \text{ m/s} = 20 \text{ m/s}.
    \]
    
    \item Réponse \choix[b]. En effet,
    \[
    t = \frac{V_F - V_I}{V_I} = \frac{100 - 80}{80} = \frac{20}{80} = 0,25 = 25\,\%.
    \]
    
    \item Réponse \choix[b]. En effet, le coefficient directeur est:
    \[
    m = \frac{7-3}{3-1} = 2,
    \]
    et l'ordonnée à l'origine $p$ vérifie:
    \[
    y_A = m x_A + p \iff 3 = 2 \times 1 + p \iff p = 1.
    \]
\end{questions}
\end{corrigebb}


\sectionnn{Deuxième partie}

\begin{exobb}{Exercice 1 -- 4,5 points}{\null}{2}{30}

Dans une population, 80\,\% des individus sont vaccinés contre une maladie. Parmi eux, 5\,\% tombent malades. Parmi ceux qui ne sont pas vaccinés, 30\,\% tombent malades. On choisit un individu au hasard et on note $V$ l'événement \og l'individu est vacciné \fg{} et $M$ l'événement \og l'individu est malade \fg.

\begin{questions}
    \item Construire un arbre pondéré représentant la situation.
    \item Calculer la probabilité que l'individu soit vacciné et malade.
    \item Montrer que $P(M) = 0,1$.
    \item Sachant que l'individu est malade, quelle est la probabilité qu'il soit vacciné ? (Donner le résultat sous forme de fraction irréductible).
\end{questions}

\end{exobb}

\begin{corrigebb}
\begin{questions}
\item L'arbre pondéré est le suivant:
\begin{center}
\includegraphics{353_bb_proba}
\end{center}
\enlargethispage*{3em}

\item $P(V \cap M) = 0,8 \times 0,05 = 0,04$.

\item $\begin{aligned}[t]
P(M) & = P(V \cap M) + P(\bar{V} \cap M)\\
& = 0,04 + 0,2 \times 0,3\\
& = 0,04 + 0,06 \\
& = 0,1.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
P_M(V) & = \frac{P(V \cap M)}{P(M)}\quad\text{(d'après le cours)}\\
& = \frac{0,04}{0,1}\\
& = \frac{4}{10}\\
& = \frac{2}{5}.
\end{aligned}$
\end{questions}
\end{corrigebb}



\begin{exobb}{Exercice 2 -- 5 points}{\null}{2}{40}

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O~;~\vec{i}~;~\vec{j})$, on considère les points $A(1~;~0)$, $B(3~;~0)$ et $C(2~;~-1)$.

\begin{questions}
    \item 
    \begin{questions}
        \item Calculer le produit scalaire $\gvec{CA} \cdot \gvec{CB}$. Que peut-on en déduire pour le triangle $ABC$ ?
        \item Déterminer une équation du cercle de diamètre $[AB]$.
    \end{questions}
    \item
    \begin{questions}
        \item Justifier que la fonction du second degré $f$ dont la courbe passe par les points $A$, $B$ et $C$ est définie sur $\R$ par $f(x) = x^2 - 4x + 3$.
        \item Justifier que $y=2x-6$ est l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe représentative de $f$ au point $B$.
        \item Montrer que la tangente $T$ est parallèle à la droite d'équation cartésienne $4x - 2y + 5 = 0$.
    \end{questions}
\end{questions}
\end{exobb}

\begin{corrigebb}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item $\gvec{CA}\dbinom{-1}{1}$ et $\gvec{CB}\dbinom{1}{1}$. Ainsi,
\[
\gvec{CA} \cdot \gvec{CB} = -1 + 1 = 0.
\]
$ABC$ est alors rectangle en $C$.

\newpage

\item Le centre du cercle est $I(2~;~0)$, et son rayon est $R=1$.

D'après la formule du cours, une équation cartésienne du cercle est donc:
\[
(x-2)^2 + y^2 = 1.
\]
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Les points $A(1~;~0)$ et $B(3~;~0)$ appartiennent à la courbe, donc $1$ et $3$ sont les racines de $f$. 

On en déduit que $f$ est de la forme $f(x) = a(x-1)(x-3)$.
        

De plus, $C(2~;~-1)$ appartient à la courbe, donc:
\begin{align*}
f(2) = -1 & \iff a(2-1)(2-3) = -1 \\
& \iff -a = -1 \\
& \iff a = 1.
\end{align*}
        
D'où:
\[
f(x) = (x-1)(x-3) = x^2 - 4x + 3.
\]
        
\item $f'(x) = 2x-4$, donc $f'(3)=2$. L'équation de la tangente est donnée par la formule:
\[
y = f'(a)(x-a)+f(a),
\]
ce qui donne ici:
\[
T : y = 2(x-3)+0 \iff T:y = 2x-6.
\]

\item $\begin{aligned}[t]
4x-2y+5=0 & \iff 2y = 4x+5\\
& \iff y = 2x + 2,5.
\end{aligned}$

Le coefficient directeur de $T$ est donc le même que celui de la droite d'équation $4x-2y+5=0$ (ici, ils sont égaux à 2), donc les droites sont parallèles.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrigebb}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exobb}{Exercice 3 -- 4,5 points}{\null}{2}{40}

Une population de bactéries compte 1 000 individus à l'instant $n=0$. On observe que chaque heure, la population augmente de 20\,\%, mais que 100 bactéries meurent à cause du milieu.
On note $u_n$ le nombre de bactéries au bout de $n$ heures.

\begin{questions}
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
    \item Déterminer la valeur de la population initiale $u_0$ pour laquelle l'effectif resterait constant chaque heure.
    \item Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n = u_n - 500$.
    \begin{questions}
        \item Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $1,2$.
        \item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    \end{questions}
    \item Conjecturer le comportement à long terme de cette population de bactéries à l'aide de la suite $(u_n)$.
\end{questions}
\end{exobb}

\begin{corrigebb}
\begin{questions}
\item Une augmentation de 20 \% se traduit par la multiplication de $u_n$ par\linebreak $1+\dfrac{20}{100}=1,2$.

Ensuite, on diminue de 100 le nombre de bactéries, ce qui donne au final l'égalité: 
\[
u_{n+1} = 1,2u_n - 100.
\]

\item Si l'effectif restait constant chaque heure, cela signifierait que $u_1=u_0$. Or, $u_1=1,2u_0-100$, donc:
\begin{align*}
u_0 = 1,2u_0 - 100 & \iff u_0-1,2u_0 = -100\\
                   & \iff -0,2u_0 = -100\\
                   & \iff u_0 = \dfrac{-100}{-0,2}\\
                   & \iff u_0 = 500.
\end{align*}

\item 
\begin{questions}
\item Pour tout entier naturel $n$, on a:
\begin{align*}
v_{n+1} &  = u_{n+1}-500\\
        & = (1,2u_n-100)-500\\
        & = 1,2u_n - 600\\
        & = 1,2\left(u_n - \dfrac{600}{1,2}\right)\\
        & = 1,2(u_n - 500)\\
        & = 1,2v_n.
\end{align*}
Ainsi, $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,2$ et de premier terme:
\[
v_0=u_0-500=\numprint{1000}-500=500.
\]

\item D'après le cours, 
\[
v_n=v_0 \times q^n = 500 \times 1,2^n
\]
car $(v_n)$ est une suite géométrique.

Or,
\[
v_n = u_n-500
\]
donc:
\begin{align*}
u_n & = v_n+ 500\\
\text{soit }u_n& = 500 \times 1,2^n + 500.
\end{align*}

\end{questions}

\item Plus $n$ grandit, plus $1,2^n$ devient grand (car $1,2>1$).

On peut alors conjecturer que le terme $u_n$ grandit de plus en plus sans limite (on peut dire que \og $u_n$ tend vers $+\infty$  lorsque $n$ tend vers $+\infty$ \fg{}).

Or, $u_n$ représente le nombre de bactéries au bout de $n$ heures.

On peut alors conjecturer que ce nombre augmente sans arrêt d'heure en heure à l'infini.
\end{questions}
\end{corrigebb}

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