\chapter{Analyse de l'information chiffrée}

\vspace*{-1em}
\section{Introduction}

L'analyse de l'information chiffrée permet de comprendre, interpréter et exploiter des données issues de situations réelles.

\vspace*{-0.5em}
\section{Proportion et pourcentage}

\begin{exointro}{Lycée Louis Vincent, Metz}
\begin{questions}
\item Dans une entreprise de 450 salariés, il y a 20$\%$ de cadres. Combien y a-t-il de cadres dans cette entreprise? 
\item Une réserve de protection d'oiseaux contient \numprint{2700} oiseaux. On dénombre 216 grues cendrées. Calculer la proportion en pourcentage de grues cendrées dans la réserve.
\item Lors d'un concert, il y a 304 spectateurs de moins de 16 ans, ce qui représente 76$\%$ du public. Combien de spectateurs ont assisté au concert?
\end{questions}
\end{exointro}

\enlargethispage*{5em}
\subsection{Rappel}

Une série statistique se définit à l'aide d'une population et d'un caractère.

\vspace*{-0.7em}
\begin{defin}[population-caractère]
La \textit{population} E est l'ensemble des individus étudiés.

Le \textit{caractère} est la qualité que l'on choisit d'étudier chez ces individus.

Une \textit{sous-population} A est une partie de la population.
\end{defin}

\begin{Exemple}
un campus universitaire compte $\numprint{10000}$ étudiants. On s'intéresse aux $\numprint{2500}$ étudiants inscrits en première année de licence.

L'ensemble des étudiants du campus représente la population. Les étudiants de première année de licence sont une sous-population des étudiants du campus.
\end{Exemple}

\vspace*{-1em}
\begin{defin}[proportion]
Soit A une sous-population d'une population E. On note $n_E$ et $n_A$ respectivement le nombre d'individus dans la population E et dans la sous-population A.

La \textit{proportion} (ou \textit{fréquence}) de A dans E est le nombre :
\[
p=\dfrac{n_A}{n_E}.
\]
La proportion s'exprime en fraction, en écriture décimale (si elle existe), en pourcentage.
\end{defin}

\begin{Exemple}
la proportion d'étudiants de première année de licence sur ce campus est :
$p=\dfrac{2500}{10000}=0,25$ soit $25 \%$.
\end{Exemple}

\begin{aretenir}
Si $n_{\rm total}$ est l'effectif total d'une population et $n_{\rm partiel}$ celui d'une sous-population alors :
\[
\text{proportion} = \dfrac{n_{\text{partiel}}}{n_{\text{total}}}=\dfrac{\text{pourcentage}}{100} 
\]
ou encore, en renversant l'égalité :
\[
\text{pourcentage} = 100 \times \dfrac{n_{\text{partiel}}}{n_{\text{total}}}.
\]
\end{aretenir}

\enlargethispage*{5em}

\begin{solintro}

\begin{methode}
\begin{itemize}
\item La proportion $p$ d'une sous-population de $n$ individus dans une population de $N$ individus est donnée par $p=\dfrac{n}{N}$.
\item Pour calculer une proportion $p$ d'une quantité $N$, on calcule $p \times N$.
%\item Pour calculer une proportion $p$ d'une proportion $p'^$, on calcule $p \times p'$.
\end{itemize}
\end{methode}
\begin{itemize}
\item Le nombre de cadres de l'entreprise est $\dfrac{20}{100} \times 450 = 90$.
\item La proportion de grues cendrées dans la réserve est $p=\dfrac{216}{\numprint{2700}}=0,08$ soit $0,08 \times 100=8 \%$.
\item On note $N$ le nombre de spectateurs ayant assisté au concert. 

On a $\dfrac{76}{100} \times N =304$ soit $N=\dfrac{304}{0,76}=400$.
\end{itemize}
\vspace*{-1em}
\end{solintro}

\section{Tableau croisé d'effectifs}

\begin{defin}[tableau croisé d'effectifs]
Un \textit{tableau croisé d'effectifs} est un tableau à double entrée.

Il donne les effectifs portant sur deux caractères d'une même population.

Les valeurs de l'un des caractères sont présentées en ligne et celles de l'autre caractère sont présentées en colonne.
\end{defin}

\begin{defin}[marges]
Les sommes des colonnes et des lignes (nommées « Total ») sont aussi appelées les \textit{marges} du tableau.
\end{defin}

\begin{defin}
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{TabularColor}}c|c|c|c|}
\hline
\tabulartitle  \diagbox{$C_1$}{$C_2$}& B & B'& Total \\\hline
A & $n_1$ & $n_2$ &$s_1$ \\ \hline
A' & $n_3$ & $n_4$ &$s_2$ \\ \hline
Total & $s_1'$ & $s_2'$& N \\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
$n_1$ désigne l'effectif vérifiant à la fois A et B.

\Par

$s_1$ désigne l'effectif marginal de A.

\Par

$N$ désigne l'effectif total.
\end{minipage}
\end{defin}

\begin{Exemple}
le tableau ci-dessous donne la répartition des élèves d'un lycée suivant leur classe et leur sexe.

Il y a \numprint{1000} élèves au total dans le lycée. Parmi eux, on compte 170 filles en classe de Seconde. 165 élèves sont des garçons et en classe de Terminale.
\Par
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{TabularColor}}c|c|c|c|c|}
\hline
\tabulartitle  \diagbox{Sexe}{Classe}& 2\up{nde} & 1\iere & T\up{le} & Total \\\hline
Filles & 170& 165 & 160 &495 \\ \hline
Garçons & 180& 160 & 165 &505 \\ \hline
Total & 350 & 325 & 325 & 1000 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{Exemple}

\vspace*{-1em}
\section{Diagramme en barres, diagramme circulaire}

\vspace*{-1em}
\subsection{Diagramme en barres}

\enlargethispage*{5em}

\vspace*{-1em}
\begin{defin}
\begin{itemize}
\item Un \textit{diagramme en barres} (ou \textit{à bâtons}) est un graphique représentant une série statistique.

À chaque valeur, on associe un segment vertical ou un rectangle vertical de largeur constante et réduite, dont la longueur est proportionnelle à l'effectif (ou la fréquence).

\item Un \textit{diagramme en barres empilées} est un diagramme en barres où on représente les rectangles avec différentes couleurs suivant les caractères étudiés.
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{Exemples}[diagramme en barres]
\begin{itemize}
\item Une série statistique à une variable.

Considérons la population de plusieurs villes de France.
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|c|c|c|c|}
\hline 
Ville & Metz & Nancy & Thionville & \'Epinal \\\hline
Population & 121000 & 105000 & 43000 & 33000 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\Par

Les données de ce tableau peuvent être représentées par le diagramme suivant:

\begin{center}
\includegraphics{004_01_crs-1}

\end{center}

\item Une série statistique à deux variables.

Considérons le personnel d'un grand hôtel.

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|c|c|c|}
\hline\tabulartitle
 & Employé de chambre & Employé d'accueil & Direction  \\\hline
Femme & 30 & 15 & 5 \\ \hline
Homme & 20 & 20 & 3 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

On peut représenter cette situation de deux manières différentes, selon la variable principale choisie. Si on choisit le type d'emploi comme variable principale, on obtient le graphique suivant.

\enlargethispage*{5em}
\begin{center}
\includegraphics{004_01_crs-2}
\end{center}
\end{itemize}
\end{Exemples}

\begin{Remarque}
on peut utiliser un tableur pour créer le diagramme en barres d'une série statistique.
\end{Remarque}

\begin{methode}
\begin{itemize}
\item Créer le tableau croisé sur une feuille de calcul.
\item Sélectionner ce tableau, choisir le menu \og Insertion \fg{} puis le bouton \og Histogramme \fg{} ou le menu \og Diagramme \fg{} selon le logiciel. Choisir alors la forme souhaitée.
\end{itemize}
\end{methode}

\enlargethispage*{5em}

\begin{Exemple}[diagramme empilé]
le diagramme ci-dessous est un diagramme empilé qui montre l'ensemble des impôts en France entre les années 2015 et 2024.

Sur ce graphique, la hauteur totale des barres représente la somme totale des impôts perçus par l'État.
\end{Exemple}
\begin{center}
\includegraphics{005_01_crs-5}
\end{center}

\newpage

Par exemple, en 2023, l'État a perçu près de 800 milliards d'euros d'impôts au total. En 2013, ce montant était d'environ 600 milliards d'euros. La tendance de ces montants est à la hausse, la seule exception étant en 2020 (savez-vous pourquoi ?).

Pour connaître le montant représenté par une catégorie de revenu, il faut calculer la différence entre les limites hautes et basses d'une zone du graphique.


Par exemple, l'impôt sur les sociétés en 2022 est représenté par la zone qui s'étend d'environ 690 à 730. Or, $730 - 690 = 40$; on peut donc estimer que l'impôt sur les sociétés en 2022 s'élevait environ à 40 milliards d'euros.

Les détails complets se trouvent à l'adresse : 
\begin{center}
\url{https://www.insee.fr/fr/statistiques/2381408}
\end{center}

\begin{methode}
\begin{itemize}
\item Pour comparer le même caractère sur plusieurs populations, on place des barres côte à côte dans un même diagramme en barres avec la même légende.

\item Pour comparer l'importance de plusieurs caractères dans une population, il est parfois utile de représenter les caractères dans des diagrammes en barres empilées où apparaissent tous les caractères étudiés.
\end{itemize}
\end{methode}


\subsection{Diagramme circulaire}
\enlargethispage*{\baselineskip}

\begin{defin}
\begin{itemize}
\item Un \textit{diagramme circulaire} ou \og \textit{camembert} \fg{} est un disque partagé en secteurs angulaires dont la mesure de chaque angle est proportionnelle à l'effectif (ou à la fréquence) des différentes valeurs du caractère étudié. La somme totale des mesures des secteurs angulaires est donc égale à $360\degres$.

\item Un diagramme \textit{semi-circulaire} représente les données de la même façon mais sur un demi-disque. La somme totale des mesures des secteurs angulaires est donc égale à $180\degres$. 
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-5.5cm}
\begin{Exemple}
le diagramme ci-contre montre\\
la répartition des \numprint{18960} ventes\\
d'un site de téléchargement sur une\\
semaine.
\Par
Un tour complet correspond à $360\degres$.\\
La musique représente $52,6\%$ des ventes.\\
Le secteur qui représente la musique\\
a donc un angle de $\dfrac{52,6}{100} \times 360 \approx 189,4\degres$.
\end{Exemple}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\includegraphics{006_01_crs-3}
\end{minipage}



\newpage




\begin{methode}[construire un diagramme circulaire]
L'effectif total est représenté par l'angle plein, mesurant $360\degres$. On utilise les propriétés de la proportionnalité pour déterminer les mesures des angles des différents secteurs angulaires.

Mais on peut aussi utiliser un tableur pour créer le diagramme circulaire d'une série statistique.

\begin{itemize}
\item Créer le tableau statistique sur une feuille de calcul.
\item Sélectionner ce tableau, choisir le menu \og Insertion \fg{} puis le bouton\linebreak \og Diagramme circulaire \fg{} ou le menu \og Diagramme \fg{} selon le logiciel. Choisir alors la forme souhaitée.
\end{itemize}

La comparaison des populations se fait en plaçant des barres côte à côte dans un même
diagramme en barres, ou en plaçant deux diagrammes circulaires côte à côte avec la même légende.
\end{methode}

\section{Nuage de points}

\begin{defin}[nuage de points]
On considère une série statistique composée de deux caractères. Le \textit{nuage de points} associé à cette série est l'ensemble des points ayant pour abscisses les valeurs du premier caractère et pour ordonnées les valeurs du second caractère.
\end{defin}

\begin{Exemple}
le nuage de points ci-dessous représente la pulsation cardiaque en fonction de l'âge.

\begin{center}
\includegraphics{007_01_crs-4}
\end{center}

\end{Exemple}

\begin{Remarque}
la forme du nuage de points donne une indication sur l'existence d'un lien ou non entre les deux caractères étudiés.
\end{Remarque}

\newpage

\begin{methode}
On peut utiliser un tableur pour créer le nuage de points d'une série statistique.
\begin{itemize}
\item Créer le tableau statistique sur une feuille de calcul.
\item Sélectionner ce tableau, choisir le menu \og Insertion \fg{} puis le bouton \og Nuage de points \fg{} ou le menu \og Diagramme \fg{} selon le logiciel. Choisir alors la forme souhaitée.
\end{itemize}
\end{methode}


\section{Ajustement affine}

\begin{exointro}{Lycée Louis Vincent, Metz}
Le tableau suivant donne le nombre de \textit{vélos électriques vendus} dans une région française entre 2018 et 2023.
\Par
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*6{Zc|}}
\hline\tabulartitle
Année & 2018 & 2019 & 2020 & 2021 & 2022 & 2023 \\
\hline
Rang de l'année $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
Nombre de ventes $y_i$ & 2800 & 3200 & 3900 & 4800 & 5600 & 6300 \\
\hline
\end{tabular}
\Par
\textit{(D'après une étude régionale sur la mobilité durable)}
\end{center}

\begin{questions}
\item Calculer le taux d'évolution en pourcentage du nombre de ventes entre 2022 et 2023.
\item Représenter le nuage de points de coordonnées $(x_i ; y_i)$ dans un repère orthogonal en prenant comme unités graphiques:
\begin{itemize}
    \item 2 cm pour 1 année en abscisse;
    \item 1 cm pour 500 ventes en ordonnée, en commençant à \numprint{2500}.
\end{itemize}
\item Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage de points.\\
Placer ce point sur le graphique.
\item On admet que la droite $(D)$ de coefficient directeur 730, passant par le point $G$, fournit un bon ajustement affine du nuage de points jusqu'en 2025.
\begin{questions}
\item Déterminer une équation de la droite $(D)$.
\item Tracer la droite $(D)$ dans le repère précédent.
\item Déterminer graphiquement, en laissant apparents les traits de construction, une estimation du nombre de ventes en 2025.
\item Vérifier cette estimation par le calcul.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exointro}

\newpage

On considère une série statistique à deux variables $(x_i;y_i)$ représentée par le nuage de $n$ points de coordonnées $(x_1;y_1),(x_2;y_2),\dots ,(x_n;y_n)$.

\subsection{Point moyen}

\begin{defin}[point moyen]
Le \textit{point moyen} d'une série statistique est le point $G(\overline{x};\overline{y})$ où:
\[
\overline{x}=\dfrac{x_1+x_2+ \dots +x_n}{n}\text{ et }\overline{y}=\dfrac{y_1+y_2+ \dots +y_n}{n}.
\]
\end{defin}

\begin{Remarque}
$\overline{x}$ est la moyenne des $n$ nombres $x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n$.

$\overline{y}$ est la moyenne des $n$ nombres $y_1,\ y_2,\ \dots,\ y_n$.
\end{Remarque}

\subsection{Ajustement affine}

\begin{defin}
Une \textit{droite d'ajustement affine} est une droite qui passe au plus près des points du nuage. Pour que l'ajustement affine soit le plus précis possible, il faut que la droite d'ajustement passe par le point moyen $G(\overline{x};\overline{y})$.
\end{defin}

\begin{methode}[déterminer la droite d'ajustement affine]
\begin{itemize}
\item Méthode graphique: on trace la droite « au jugé » (c'est-à-dire à la main) puis on lit le coefficient directeur $a$ et l'ordonnée à l'origine $b$ de cette droite.
\item Méthode numérique : on utilise la calculatrice, le tableur ou un programme.
\end{itemize}
\end{methode}

\subsection{Interpolation - Extrapolation}

Un ajustement affine (ou autre) permet de faire des estimations pour des valeurs manquantes.

\begin{defin}
\begin{itemize}
\item \textit{Interpoler}, c'est faire une estimation d'une valeur à l'intérieur des valeurs connues de la série.
\item \textit{Extrapoler}, c'est faire une estimation d'une valeur à l'extérieur des valeurs connues.
 \end{itemize}
\end{defin}

\newpage

\enlargethispage*{5em}
\begin{solintro}
\begin{questions}
\item Entre 2022 et 2023, le nombre de ventes passe de $\numprint{5600}$ à $\numprint{6300}$. Le taux d'évolution est: $\dfrac{6300-5600}{5600}=\frac{700}{5600}=0,125$, soit en pourcentage:
\[
0,125\times 100 = 12,5\%.
\]
\item Le nuage de points est représenté ci-dessous.

\includegraphics{010_01_crs-nuagepts}


\item On calcule la moyenne des abscisses :
\[
\overline{x}=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=3,5.
\]
On calcule la moyenne des ordonnées :
\[
\overline{y}=\frac{2800+3200+3900+4800+5600+6300}{6}
=\frac{26600}{6} \approx 4433,33.
\]
Ainsi, le point moyen est: $G(3,5\,;4433,33)$.

\item 
\begin{questions}
\item On sait que la droite $(D)$ a pour coefficient directeur $730$, donc elle est de la forme $y=730x+b$.

Comme elle passe par le point moyen $G(3,5;4433,33)$, on remplace :
\begin{align*}
4433,33 = 730\times 3,5 + b & \iff 4433,33 = 2555 + b\\
& \iff b = 4433,33 - 2555 = 1878,33.
\end{align*}
Donc une équation de la droite $(D)$ est $y=730x+1878,33$.

\item Voir graphique.

\item L'année 2025 correspond au rang $x=8$.

Graphiquement, en lisant l'ordonnée du point de la droite d'ajustement d'abscisse $8$, on obtient environ $7700$.
On peut donc estimer à environ $7700$ le nombre de vélos électriques vendus en 2025.

\item On remplace $x$ par $8$ dans l'équation de la droite :
\[
y=730\times 8 + 1878,33=5840+1878,33=7718,33.
\]
L'estimation graphique est cohérente avec le calcul.
\end{questions}
\end{questions}
\vspace*{-1em}
\end{solintro}




