\chapter{Second degré}

\section{Introduction}

La notion de second degré est fondamentale pour modéliser de nombreux phénomènes où les variations ne sont pas linéaires. Elle permet d'étudier des situations dans lesquelles une grandeur dépend d'une autre selon une relation du type $ax^2+bx+c$, donnant lieu à des courbes appelées \textit{paraboles}.


\begin{exointro}{Lycée Louis Vincent, Metz}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x) = -2x^2+6x+8$.
\begin{questions}
\item Montrer que : $f(x) = -2(x+1)(x-4)$.
\item Résoudre l'équation $f(x)=0$.
\item Faire un schéma à main levée de l'allure de la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.
\item Expliquer pourquoi le maximum de la fonction $f$ est atteint lorsque $x = 1,5$. 
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\R$.
\item Étudier le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$.
\end{questions} 
\end{exointro}



\section{Rappels de seconde}

\begin{defin}[fonction carré]
La fonction carré est la fonction qui, à tout nombre réel $x$, associe son carré $x^2$.
\end{defin}

\begin{prop}[sens de variation]
La fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$.
\end{prop}

\begin{prop}[représentation graphique]
Dans un repère orthogonal, la représentation graphique de la fonction carré est une \textit{parabole} dont le sommet est l'origine du repère. Cette courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
\Par
\begin{center}
\includegraphics{096_07_crs-FctCarre}
\end{center}
\end{prop}

\begin{prop}[équation de la forme $x^2=a$]
Les solutions de l'équation $x^2=a$ avec $a>0$ sont : $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$.
\end{prop}

\section{Fonction polynôme du second degré}

\subsection{Cas général}

\begin{defin}
On appelle \textit{fonction polynôme du second degré} ou \textit{fonction trinôme} toute fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a,\ b$ et $c$ sont des réels avec $a \neq 0$.
\end{defin}

\begin{prop}[courbe représentative]
La courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré est une\linebreak \textit{parabole} qui possède un axe de symétrie parallèle à l'axe des ordonnées d'équation $x = x_0$ et un sommet $S(x_0; y_0)$ situé sur cet axe.
\end{prop}

\begin{prop}[variations]
Soit $f$ une fonction polynôme de degré $2$ définie par $f(x)=ax^2+bx+c$. 

Les variations de $f$ dépendent du signe de $a$ et sont résumées ci-après :
\end{prop}

\begin{tabular}{|ZcZc|}
\hline
\tabulartitle
\multicolumn{2}{|Zc|}{Cas où $a<0$}\\
\hline
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{tabular}{|C|*5{Zc}|}
\hline\rowcolor{LY}
$x$ & $-\infty$ &  & $x_0$ & & $+\infty$\\
\hline\rowcolor{white}
\cellcolor{LY}    &           &  & $f(x_0)$ &  &  \\
\cellcolor{LY}  $f$ &  & $\nearrow$ &  & $\searrow$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\includegraphics{097_07_crs-parab1}
\end{minipage}
\\
\hline
\tabulartitle
\multicolumn{2}{|Zc|}{Cas où $a>0$}\\
\hline
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{tabular}{|C|*5{Zc}|}
\hline\rowcolor{LY}
$x$ & $-\infty$ &  & $x_0$ & & $+\infty$\\
\hline\rowcolor{white}
\cellcolor{LY}  $f$ &  & $\searrow$ &  & $\nearrow$ & \\
\cellcolor{LY}    &           &  & $f(x_0)$ &  &  \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\includegraphics{097_07_crs-parab2}
\end{minipage}
\\
\hline
\end{tabular}

\begin{prop}
Si l'équation $f(x)=k$ admet deux solutions, l'abscisse du sommet de la parabole est la moyenne de ces deux valeurs.
\end{prop}

\section{Cas particuliers}

\subsection{Fonction $x\mapsto ax^2$\ avec $a\neq 0$}

\begin{prop}
La courbe représentative d'une fonction polynôme définie par $f(x)=ax^2$ est une parabole dont l'axe de symétrie est l'axe des ordonnées d'équation $x=0$ et dont le sommet est $S(0;0)$. La parabole passe par le point $(1;a)$.
\end{prop}


\subsection{Fonction $x\mapsto ax^2+c$\ avec $a\neq 0$}

\vspace*{-1em}
\begin{prop}
\mbox{La courbe représentative d'une fonction polynôme définie par $f(x)=ax^2+c$} est une parabole dont l'axe de symétrie est l'axe des ordonnées d'équation\linebreak $x=0$ et dont le sommet est $S(0;c)$. La parabole passe par le point $(1;a+c)$.
\end{prop}

\vspace*{-.75em}
\begin{aretenir}
\begin{itemize}
\item La courbe représentative d'une fonction trinôme de la forme $f(x)=ax^2$ est une parabole dont l'axe de symétrie est l'axe des ordonnées de sommet $S(0;0)$. La courbe passe par le point $(1;a)$.
\item La courbe représentative d'une fonction trinôme de la forme $f(x)=ax^2+c$ est une parabole dont l'axe de symétrie est l'axe des ordonnées de sommet $S(0;c)$. La courbe passe par le point $(1;a+c)$.
\end{itemize}
\end{aretenir}

\subsection{Fonction $x\mapsto a(x-x_1)(x-x_2)$\ avec $a\neq 0$}

\vspace*{-1em}
\begin{prop}
La courbe représentative d'une fonction polynôme définie par:
\[
f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)
\]
est une parabole dont le sommet est le point:
\[
S\left(\alpha=\dfrac{x_1+x_2}{2};f(\alpha) \right)
\]
et dont l'axe de symétrie a pour équation $x=\alpha$.

\Par

La courbe passe par les points $(x_1;0)$ et $(x_2;0)$.
\end{prop}

\begin{Remarque}
$x_1$ et $x_2$ sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses. Ce sont les \textit{racines} du polynôme.
\end{Remarque}
\enlargethispage*{5em}

\begin{tabular}{|Zc|Zc|}
\hline
\tabulartitle
$a>0$ & $a<0$\\
\hline
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics{098_07_crs-parab3}
\end{center}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics{098_07_crs-parab4}
\end{center}
\end{minipage}\\
\hline
\end{tabular}



\section{Signe du trinôme }


\begin{methode}
Pour étudier le signe d'une fonction polynôme du second degré définie par $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, on étudie le signe de chacun des trois facteurs et on dresse un tableau de signes.
\end{methode}

\enlargethispage*{5em}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item On développe le second membre de l'égalité.
\begin{align*}
-2(x+1)(x-4)&=-2(x^2-4x+x-4)\\
&=-2(x^2-3x-4)\\
&=-2x^2+6x+8\\
&=f(x).
\end{align*}

\item Pour résoudre l'équation $f(x)=0$, on utilise la forme factorisée $-2(x+1)(x-4)$.
\begin{align*}
-2(x+1)(x-4)=0&\iff x+1=0~\text{ou}~x-4=0\\
& \iff x=-1~\text{ou}~x=4.
\end{align*}

\item $f$ est un trinôme du second degré donc sa courbe représentative est une parabole.

$a=-2$ est négatif donc la parabole est \og tournée vers le bas \fg.

$x_1=-1$ et $x_2=4$ sont les racines du polynôme, ce sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses. La parabole passe donc par les points de coordonnées $(-1;0)$ et $(4;0)$.

Le sommet $S$ de la parabole a pour abscisse $x_0=\dfrac{-1+4}{2}=\dfrac{3}{2}=1,5$ et pour ordonnée $y_0=f(1,5)=12,5$.

L'axe de symétrie a pour équation $x=1,5$.
\begin{center}
\includegraphics{099_07_crs-exotypecorr}
\end{center}
\vspace*{-2em}

\Break

\item $a=-2$ est négatif donc la fonction est croissante puis décroissante.

Son maximum est atteint en:
\[
x_0=\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{3}{2}=1,5.
\]
Il vaut $f(1,5)=12,5$.

\item  Le tableau de variations est alors:
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*5{Zc}|}
\hline
\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & $\dfrac{3}{2}$ &  & $+\infty$\\
\hline
    &           &  &  $12,5$ & & \\
$f$ &  & $\nearrow$ &  & $\searrow$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


\item Pour étudier le signe de $f(x)$ on utilise un tableau de signes.
\begin{align*}
x+1>0 & \iff x>-1.\\
x-4>0 & \iff x>4.
\end{align*}


\begin{center}

\begin{tabular}{|C|*7{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & $-1$ &  & 4 &  & $+\infty$\\
\hline
$-2$ &          & $-$ &  & $-$ & & $-$ & \\
\hline
$x+1$ &  & $-$ & 0 & $+$ &  & $+$ &  \\
\hline
$x-4$ &  & $-$ &  & $-$ & 0 & $+$ & \\
\hline
$f(x)$& & $-$ & 0 & $+$ & 0 & $-$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{questions}
\end{solintro}