\thumb


\begin{vf}{Second degré}{10}
Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.
\begin{questions}
\item Si $f(x)=a(x-2)(x-5)$ alors $f(2)=f(5)$.

\item Si une parabole ne coupe pas l'axe des abscisses alors l'équation \mbox{$f(x)=0$} n'a pas de solution réelle.

\item Si $f(x)=2(x-1)^2$ alors $f$ admet deux racines distinctes.

\item La courbe représentative de la fonction $f$ définie par:
\[
f(x)=2(x-3)(x+1)
\]
coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $-3$ et $1$.

\item Le tableau de signes suivant est-il correct ?
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*7{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & 12 &  & 4 &  & $+\infty$\\
\hline
$x+12$ &  & $-$ & 0 & $+$ &  & $+$ & \\
\hline
$4x+16$ &  & $-$ &  & $-$ & 0 & $+$ & \\
\hline
$(x+12)(4x+16)$ &  & $+$ & 0 & $-$ & & $-$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \emph{Vrai}. $f(2)=0$ et $f(5)=0$.

\item \emph{Vrai}.

\item \emph{Faux}. $2(x-1)^2=0 \Leftrightarrow (x-1)^2=0 \Leftrightarrow x-1=0 \Leftrightarrow x=1$.

\item \emph{Faux}. $f(x)=2(x-3)(x+1)$ est de la forme $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a=2$, $x_1=3$ et $x_2=-1$. La parabole représentative coupe donc l'axe des abscisses aux points d'abscisses $3$ et $-1$.

\item \emph{Faux}. Dans la première ligne, les valeurs ne sont pas correctes. Les racines de $(x+12)(4x+16)$ sont $-12$ et $-4$. Le tableau de signes est :
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*7{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & $-12$ &  & $-4$ &  & $+\infty$\\
\hline
$x+12$ &  & $-$ & 0 & $+$ &  & $+$ & \\
\hline
$4x+16$ &  & $-$ &  & $-$ & 0 & $+$ & \\
\hline
$(x+12)(4x+16)$ &  & $+$ & 0 & $-$ &  & $+$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{questions}
\end{corrige}

% 2026

\begin{vf}{Fonction $x \mapsto ax^2+c$ }{10}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^2-3$.

Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.
\begin{questions}
\item Le minimum de $f$ est $0$.
\item Le sommet de la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ a pour coordonnées $S(0;-3)$.
\item L'axe de symétrie de $\mathcal{C}_f$ a pour équation $x=-3$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{aretenir}
La courbe représentative de la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+c$ avec $a \neq 0$ est une parabole de sommet $S(0;c)$. Elle possède les mêmes variations que la fonction $x\mapsto ax^2$.
\end{aretenir}
\begin{questions}
\item \emph{Faux}. Ici $a=1$ donc la fonction est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$ donc elle admet un minimum en $0$ qui vaut $f(0)=-3$.
\item \emph{Vrai}. Le sommet de la parabole a pour coordonnées $(0;c)$ soit $(0;-3)$.
\item \emph{Faux}. L'axe de symétrie est la droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées).
\end{questions}
\end{corrige}

% 2026

\begin{qcm}{Second degré}{10}
Pour chaque question, trouver la bonne réponse.
\begin{questions}
\item L'équation $x^2=16$ admet :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix une seule solution : $4$ & \choix deux solutions : $-4$ et $4$ \\[6pt]
\choix deux solutions : $-16$ et $16$ &\choix aucune solution réelle 
\end{tabularx}
   
\item On considère la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=5x^2$. Alors:  \resetchoix\Par
%\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $f$ est décroissante sur $\R$

\choix $f$ est croissante sur $\R$

\choix $f$ est décroissante sur $]-\infty;0]$ puis croissante sur $[0;+\infty[$

\choix $f$ est croissante sur $]-\infty;0]$ puis décroissante sur $[0;+\infty[$  
  
\newpage
  
  
\item On considère la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=-2x^2$. Alors : \resetchoix

\choix  la parabole est \og tournée vers le haut \fg{}

\choix  la fonction admet un minimum en $0$

\choix  la fonction admet un maximum en $0$  

\choix le sommet est $(-2;0)$


\item Les coordonnées du sommet de la parabole représentant la fonction \linebreak définie par $h(x)=3x^2-7$ sont:\resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix   $(0;-7)$ & \choix $(3;-7)$ \\[6pt]
\choix   $(-7;0)$  & \choix  $(0;7)$ 
\end{tabularx}

\item L'axe de symétrie de la parabole représentant  la fonction définie par $h(x)=3x^2-7$ est :  \resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix   la droite d'équation $y=-7$ & \choix la droite d'équation $x=3$ \\[6pt]
\choix   la droite d'équation $x=0$ & \choix  la droite d'équation $y=0$ 
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}
 

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item  Réponses \choix[b].

\item Réponse \choix[c]. C'est une fonction de la forme $f(x)=ax^2$ avec $a=5$ positif.

\item Réponse \choix[c]. C'est une fonction de la forme $f(x)=ax^2$ avec \mbox{$a=-2$} négatif. Elle est donc croissante sur $]-\infty;0]$ puis décroissante sur $[0;+\infty[$. 

\item Réponse \choix[a]. C'est une fonction de la forme $f(x)=ax^2+c$ avec $a=3$ et $c=-7$. Le sommet de la parabole est donc le point $S(0;c)$.

\item Réponse \choix[c]. C'est une fonction de la forme $f(x)=ax^2+c$ avec $a=3$ et $c=-7$. L'axe de symétrie est la droite d'équation $x=0$.
\end{questions}
\end{corrige}

% 2026

\begin{qcm}{Trinôme}{10}
Pour chaque question, trouver la bonne réponse.
\begin{questions}
\item On considère la fonction définie par $f(x)=(x-4)(x+1)$. 

Les racines de $f$ sont : \resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix   $4$ et $1$ & \choix $-4$ et $1$ \\[6pt]
\choix   $4$ et $-1$ & \choix  $-4$ et $-1$ 
\end{tabularx}

\item On considère la fonction définie par $f(x)=2(x-3)(x+5)$. 

L'axe de symétrie de la parabole est : \resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix   la droite d'équation $x=1$ & \choix la droite d'équation $x=-1$ \\[6pt]
\choix   la droite d'équation $y=1$ & \choix  la droite d'équation $y=-1$ 
\end{tabularx}

\item On considère la fonction définie par $f(x)=(x-2)(x-6)$.

Alors $f(2)$ vaut : \resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix   $8$& \choix $0$ \\[6pt]
\choix   $-8$ & \choix  $2$ 
\end{tabularx}

\item On considère la fonction définie par $f(x)=3(x+2)(x-5)$.

Une forme correcte de l'abscisse du sommet est  : \resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix   $\dfrac{-2+5}{2}$& \choix $\dfrac{2+5}{2}$ \\[6pt]
\choix   $\dfrac{-2-5}{2}$ & \choix  $\dfrac{3}{2}$ 
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}
 

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item  Réponses \choix[c]. $f(4)=0$ et $f(-1)=0$, $4$ et $-1$ sont donc les racines du polynôme.

\item Réponse \choix[b]. $f$ est de la forme $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1=3$ et $x_2=-5$. L'axe de symétrie est la droite d'équation:
\[
x=\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{3-5}{2}=-1.
\]

\item Réponse \choix[b]. $2$ est une racine du polynôme.

\item Réponse \choix[a]. $f$ est de la forme $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1=-2$ et $x_2=5$. L'abscisse du sommet est $x_0=\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{-2+5}{2}$.
\end{questions}
\end{corrige}


\sectionnn{Rappels de seconde}

% 2026

\begin{exo}{Équations $x^2=a$}{Lycée Jean Monnet, Montpellier}{1}{10} 
Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :
\begin{questions}
\begin{multicols}{3}
\item $x^2=36$
\item $x^2=7$
\item $x^2=0$
\item $x^2=-27$
\item $4x^2=16$
\item $-2x^2+8=0$
\end{multicols}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{methode}
Dans $\R$, l'équation $x^2=a$ possède:
\begin{itemize}
\item deux solutions $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ si $a>0$. $\mathcal{S}=\lbrace -\sqrt{a};\sqrt{a}\rbrace$.
\item une solution $0$ si $a=0$. $\mathcal{S}=\lbrace 0\rbrace$.
\item aucune solution si $a<0$. $\mathcal{S}=\emptyset$.
\end{itemize}
\end{methode}
\begin{questions}
\item L'équation $x^2=36$ a deux solutions $\sqrt{36}=6$ et $-\sqrt{36}=-6$. 

L'ensemble de solution est $\mathcal{S}=\lbrace -6;6\rbrace$.

\item L'équation $x^2=7$ a deux solutions $\sqrt{7}$ et $-\sqrt{7}$.

Donc $\mathcal{S}=\lbrace -\sqrt{7};\sqrt{7}\rbrace$.

\item L'équation $x^2=0$ a une solution unique $0$. Donc $\mathcal{S}=\lbrace 0 \rbrace$.

\item L'équation $x^2=-27$ n'a pas de solution réelle. Donc $\mathcal{S}=\emptyset$.

\item $4x^2=16 \Leftrightarrow x^2=\dfrac{16}{4}=4$. L'équation $x^2=4$ a deux solutions $\sqrt{4}=2$ et $-\sqrt{4}=-2$. L'ensemble de solution est donc $\mathcal{S}=\lbrace -2;2\rbrace$.

\item $-2x^2+8=0 \Leftrightarrow x^2=\dfrac{-8}{-2}=4$. Donc $\mathcal{S}=\lbrace -2;2\rbrace$
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Fonctions $x\mapsto ax^2$ et $x \mapsto ax^2+c$}

% 2026

\begin{exo}{Fonction $x \mapsto ax^2$}{Lycée Sophie Germain, Paris}{1}{10}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{3}x^2$.
\begin{questions}
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item Résoudre algébriquement l'équation $f(x)=3$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{aretenir}
Une fonction trinôme de la forme $f(x)=ax^2$ avec $a \neq 0$ a pour tableau de variations l'un des tableaux suivants :
\begin{itemize}
\item Si $a>0$ alors :
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*5{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & 0 &  & $+\infty$\\
\hline
    &  &            &   &      &  \\
$f$ &  & $\searrow$ &  & $\nearrow$ & \\
    &   &           & $f(0)=0$ &  & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Si $a<0$ alors :
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*5{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & 0 &  & $+\infty$\\
\hline
    &  &            & $f(0)=0$  &      &  \\
$f$ &  & $\nearrow$ &  & $\searrow$ & \\
    &   &           &  &  & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{itemize}
\end{aretenir}
\begin{questions}
\item Ici $a=\dfrac{1}{3}$ donc le tableau de variations est :
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*5{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & 0 &  & $+\infty$\\
\hline
    &  &            &   &      &  \\
$f$ &  & $\searrow$ &  & $\nearrow$ & \\
    &   &           & $f(0)=0$ &  & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item $f(x)=3 \iff \dfrac{1}{3}x^2=3 \iff x^2=9 \iff x=-\sqrt{9}~\text{ou}~x=\sqrt{9}$.

L'ensemble solution est donc $\mathcal{S}=\lbrace-3;3 \rbrace$.
\end{questions}
\end{corrige}

% 2026

\begin{exo}{Lecture d'une courbe}{Lycée Kerneuzec, Quimperlé}{2}{10}
On considère les fonctions $f$ et $g$ dont les représentations graphiques sont les paraboles données ci-dessous. Pour chacune d'elles, déterminer son expression puis dresser son tableau de variation.
\begin{questions}

\item ~\par
\begin{center}
\includegraphics{103_07_ex-LectCourbeQuim1}
\end{center}

\newpage

\item~\par
\begin{center}
\includegraphics{104_07_ex-LectCourbeQuim2}
\end{center}

\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\enlargethispage*{5em}
%\begin{aretenir}
%\begin{itemize}
%\item La courbe représentative d'une fonction trinôme de la forme $f(x)=ax^2$ est une parabole dont l'axe de symétrie est l'axe des ordonnées de sommet $S(0;0$).La courbe passe par le point $(1;a)$.
%\item La courbe représentative d'une fonction trinôme de la forme $f(x)=ax^2+c$ est une parabole dont l'axe de symétrie est l'axe des ordonnées de sommet $S(0;c$).La courbe passe par le point $(1;a+c)$.
%\end{itemize}
%\end{aretenir}
\begin{methode}[fonctions de la forme x \boldmath$\mapsto$ ax$^\text{2}$]
Pour déterminer l'expression d'une fonction  associée à une parabole $\mathcal{C}$.
\begin{itemize}
\item Si $\mathcal{C}$ a pour sommet l'origine du repère, l'expression de $f$ est de la forme $f(x)=ax^2$.
\item Si $\mathcal{C}$ est tournée vers le haut alors $a>0$, si $\mathcal{C}$ est tournée vers le bas alors $a<0$
\item Pour déterminer $a$, on lit l'ordonnée du point de $\mathcal{C}$ d'abscisse 1 ou on utilise un point de $\mathcal{C}$.
\end{itemize}  
\end{methode}

\begin{methode}[fonctions de la forme x \boldmath$\mapsto$ ax$^\text{2}$ $+$ c]
Pour déterminer l'expression d'une fonction $x\mapsto ax^2+c$ associée à une parabole $\mathcal{C}$
\begin{itemize}
\item Si $\mathcal{C}$ a pour axe de symétrie l'axe des ordonnées, l'expression de $f$ est de la forme $f(x)=ax^2+c$.
\item Si $\mathcal{C}$ est tournée vers la haut alors $a>0$, si $\mathcal{C}$ est tournée vers la bas alors $a<0$
\item Pour déterminer $c$, on lit l'ordonnée du sommet.
\item Pour déterminer $a$, on lit l'ordonnée du point de $\mathcal{C}$ d'abscisse 1.

Or, $f(1)=a \times 1^2+c=a+c$. La valeur de $a$ s'obtient en résolvant l'équation : $a=f(1)-c$.
\end{itemize}
\end{methode}

\begin{questions}
\item Cette parabole représente une fonction de la forme $f(x)=ax^2+c$; son sommet est $S(0;1)$ donc $c=1$. Elle passe par le point $(2;3)$ donc $f(2)=3$. Ainsi,
\[
a \times 2^2+1=3 \iff a \times 4=2 \iff a=\dfrac{2}{4}
\]
donc $f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+1$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*5{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & 0 &  & $+\infty$\\
\hline
    &  &            &   &      &  \\[-9pt]
$f$ &  & $\searrow$ &  & $\nearrow$ & \\
    &   &           & $f(0)=1$ &  & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Cette parabole représente une fonction de la forme $g(x)=ax^2$; son sommet est $S(0;0)$. Elle passe par le point $(3;-6)$ donc $g(3)=-6$.
Ainsi,
\[
a \times 3^2=-6 \iff a \times 9=-6 \iff a=-\dfrac{6}{9}
\]
donc $g(x)=-\dfrac{2}{3}x^2$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*5{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & 0 &  & $+\infty$\\
\hline
    &  &            & $0$  &      &  \\
$g$ &  & $\nearrow$ &  & $\searrow$ & \\[0.5em]
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Fonctions $x\mapsto ax^2+bx+c$}

% 2026

\begin{exo}{Reconnaître un trinôme}{Lycée Le Corbusier, Paris}{1}{5}
Justifier que les fonctions suivantes sont des fonctions polynômes du second degré.
\begin{questions}
\item $f(x)=-2x^2+3x-1$
\item $g(x)=4x^2-3$
\item $h(x)=-3(x+7)(x-2)$
\item $k(x)=2(x-1)^2+4$
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\enlargethispage*{3em}
\begin{aretenir}
Une fonction polynôme du second degré est une fonction qui peut s'écrire sous la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a \neq 0$.
\end{aretenir}
\begin{questions}
\item $f(x)=-2x^2+3x-1$. Ici $a=-2$, $b=3$ et $c=-1$.

\item $g(x)=4x^2-3$. Ici, $a=4$, $b=0$ et $c=-3$.

\item Il faut d'abord développer l'expression. 
\begin{align*}
h(x)&=-3(x+7)(x-2)\\
&=-3(x^2-2x+7x-14)\\
&=-3x^2-15x+42.
\end{align*}
On a alors: $a=-3$, $b=-15$ et $c=42$.

\item $\begin{aligned}[t]
k(x)&=2(x-1)^2+4\\
&=2(x^2-2x+1)+4\\
&=2x^2-4x+2+4\\
&=2x^2-4x+6.
\end{aligned}$

Alors, $a=2$, $b=-4$ et $c=6$.
\end{questions}
\end{corrige}

% 2026

\begin{exo}{Trouver l'axe de symétrie}{Lycée Jean Puy, Roanne}{2}{15}
On considère la fonction polynôme du second degré définie pour tout réel $x$ par : $f(x)=x^2+x-2$.
\begin{questions}
\item \begin{questions}
\item Montrer que $1$ et $-2$ sont deux racines de $f$.
\item Que peut-on en déduire graphiquement ?
\end{questions}
\item On a tracé ci-dessous la parabole représentant $f$.
\begin{center}
\includegraphics{105_07_ex-TrouvAxSym}
\end{center}

\begin{questions}
\item Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=4$.
\item Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)<0$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\enlargethispage*{5em}
\begin{methode}
Si le polynôme $ax^2+bx+c$ admet deux racines $x_1$ et $x_2$ alors l'axe de symétrie de la parabole est la droite d'équation $x=\dfrac{x_1+x_2}{2}$.
\end{methode}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item 
\begin{itemize}
\item $f(1)=1^2+1-2=0$.
\item $f(-2)=(-2)^2+(-2)-2=4-4=0$.
\end{itemize}
Donc $1$ et $-2$ sont deux racines de $f$.

\item La parabole représentant $f$ admet pour axe de symétrie la droite d'équation:
\[
x=\dfrac{1-2}{2}=\dfrac{-1}{2}.
\]
\end{questions}
\item 
\begin{questions}
\item 
Pour résoudre graphiquement l'équation $f(x)=4$, on cherche les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et de la droite d'équation $y=4$. On trouve $x=-3$ et $x=2$.

On obtient la courbe représentée page ci-contre.

\item Pour résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)<0$, on cherche les abscisses des points de la courbe $\mathcal{C}_f$ situés sous l'axe des abscisses.
\[
\mathcal{S}=]-2;1[.
\]

\end{questions}
\end{questions}

\newpage

\begin{center}
\includegraphics{114_07_ex-TrouvAxSymCorr}
\end{center}
\end{corrige}



\vspace*{-2em}
\sectionnn{Fonctions $x\mapsto a(x-x_1)(x-x_2)$}

% 2026

\begin{exo}{Lecture graphique}{Lycée Montaigne, Bordeaux}{1}{15}
\enlargethispage*{\baselineskip}
Les fonctions ci-dessous sont définies sur $\R$.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*2{>{\centering\arraybackslash}X}}
$f(x)=1,5(x-1)(x+1)$ & $g(x)=0,75(x-1)^2$\\
$h(x)=0,5(x-2)(x+1)$ & $k(x)=-(x-2)(x+1)$
\end{tabularx}
\end{center}
Associer chacune des courbes ci-dessous aux fonctions données en justifiant votre réponse.
\begin{center}
\includegraphics{105_07_ex-LectCourbeBdx}
\end{center}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{methode}
Pour déterminer l'expression d'une fonction $x\mapsto a(x-x_1)(x-x_2)$ associée à une parabole $\mathcal{C}$:
\begin{itemize}
\item on détermine les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses;
\item si $\mathcal{C}$ est tournée vers la haut alors $a>0$, si $\mathcal{C}$ est tournée vers la bas alors $a<0$;
\item pour déterminer $a$, on choisit un point de coordonnées $(x_0;y_0)$ de $\mathcal{C}$ et on résout l'équation $y_0=f(x_0)$ d'inconnue $a$.
\end{itemize}
\end{methode}
\enlargethispage*{\baselineskip}
\begin{questions}
\item La fonction $f$ a deux racines qui sont $-1$ et $1$. Donc la courbe de la fonction $f$ coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $-1$ et $1$. De plus $a=1,5$ est positif donc la fonction est décroissante puis croissante, c'est donc $\mathcal{C}_3$.
\item La fonction $g$ n'a qu'une racine qui est $1$. Ainsi la courbe de la fonction $g$ coupe une seule fois l'axe des abscisses au point d'abscisse  $1$. C'est donc $\mathcal{C}_2$.
\item La fonction $h$ a deux racines qui sont $-1$ et $2$. Donc la courbe de la fonction $h$ coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $-1$ et $2$. De plus $a=0,5$ est positif donc la fonction est décroissante puis croissante, c'est donc $\mathcal{C}_1$.
\item La fonction $k$ a deux racines qui sont $-1$ et $2$. Donc la courbe de la fonction $k$ coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $-1$ et $2$. De plus $a=-1$ est négatif donc la fonction est croissante puis décroissante, c'est donc $\mathcal{C}_4$.
\end{questions}
\end{corrige}

% 2026

\begin{exo}{Signe d'un polynôme}{Lycée Eiffel, Talange}{1}{10}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :$f(x)=(2x+1)(-x+5)$.
\begin{questions}
\item Dresser le tableau de signes de $f$ sur $\R$.
\item En déduire les solutions de l'inéquation $f(x)<0$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{methode}
Pour étudier le signe d'une fonction polynôme du second degré, on étudie le signe de chacun des facteurs et on dresse un tableau de signes.
\end{methode}
\begin{questions}
\item 
\begin{itemize}
\item $2x+1 > 0 \iff x > -\dfrac{1}{2}$ et $2x+1=0 \iff x=-\dfrac{1}{2}$.

\item $-x+5> 0 \Leftrightarrow -x>-5 \Leftrightarrow x<5$ et $-x+5=0 \iff x=5$.
\end{itemize}
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*7{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & $-\dfrac{1}{2}$ &  & $5$ &  & $+\infty$\\
\hline
$2x+1$ &  & $-$ & 0 & $+$ &  & $+$ & \\
\hline
$-x+5$ &  & $+$ &  & $+$ & 0 & $-$ & \\
\hline
$f(x)$ &  & $-$ & 0 & $+$ &  & $-$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Pour trouver les solutions de l'inéquation $f(x)<0$, on utilise la dernière ligne du tableau.
\[
\mathcal{S}=\left]-\infty;-\dfrac{1}{2} \right[ \cup \left]5;+\infty \right[.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

% 2026

\begin{exo}{Bilan }{Lycée Bayen, Châlons}{2}{20}
On considère la fonction définie sur l'intervalle $[-4;4]$ par:
\[
f(x)=x^2-2x-3.
\]
\begin{questions}
\item Calculer l'image de $-1$ par $f$.
\item Montrer que $3$ est solution de l'équation $f(x)=0$.
\item En utilisant les questions 1 et 2, donner une forme factorisée de  $f(x)$.
\item Dresser le tableau de signes de $f$ sur l'intervalle $[-4;4]$.
\item Parmi les trois courbes suivantes, déterminer, en justifiant, celle qui représente graphiquement la fonction $f$.
\Par
\begin{center}
\includegraphics{106_07_ex-bilan}
\end{center}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\enlargethispage*{\baselineskip}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
f(-1)&=(-1)^2-2\times(-1)-3\\
&=1+2-3\\
&=0.
\end{aligned}$

L'image de $-1$ par la fonction $f$ est donc $0$.

\item $\begin{aligned}[t]
f(3)&=3^2-2 \times 3 -3\\
&=9-6-3\\
&=0.
\end{aligned}$

Par conséquent $3$ est solution de l'équation $f(x)=0$.

\item Le coefficient principal de $f(x)$ polynôme du second degré est $a=1$.
On sait que $f(-1)=f(3)=0$. Ainsi,
\[
f(x)=1\times (x-(-1))(x-3)=(x+1)(x-3).
\]

\item On a:
\[
x+1=0 \iff x=-1 \text{ et }x+1>0 \iff x>-1.
\]
De plus,
\[
x-3=0 \iff x=3\text{ et }x-3>0 \iff x>3.
\]
On obtient le tableau suivant : 
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*7{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & $-1$ &  & $3$ &  & $+\infty$\\
\hline
$x+1$ &  & $-$ & 0 & $+$ &  & $+$ & \\
\hline
$x-3$ &  & $-$ &  & $-$ & 0 & $+$ & \\
\hline
$f(x)$ &  & $+$ & 0 & $-$ &  & $+$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item 
\begin{itemize}
\item La courbe $\mathcal{C}_3$ ne convient pas puisqu'elle coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $0$ et $4$. 

\item La courbe $\mathcal{C}_1$ ne convient pas puisqu'elle est au-dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle $[-1;3]$.

\item La courbe $\mathcal{C}_2$ coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $-1$ et $3$. De plus, elle est au-dessous de l'axe des abscisses uniquement sur l'intervalle $[-1;3]$.

\item La fonction $f$ est donc représentée par la courbe $\mathcal{C}_2$.
\end{itemize}
\end{questions}
\end{corrige}

% 2026

\begin{exo}{Bénéfice}{Lycée Montaigne, Bordeaux}{2}{20}
Un artisan fabrique des confitures qu'il vend par carton de dix pots. 

Pour $x \in [0;160]$, le coût en euros de fabrication de $x$ cartons de dix pots est:
\[
f(x)=0,25x^2+500.
\]
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item Déterminer le coût de fabrication de $60$ cartons de $10$ pots de\linebreak confiture.
\item Pour combien de cartons le coût de fabrication est-il de \numprint{2525} \euro ?
\end{questions}
\item Chaque carton de confitures est vendu $30$ \euro.

Exprimer la recette $R(x)$ en fonction de $x$.

\item Soit $B$ la fonction bénéfice définie sur l'intervalle $[0;160]$.
\begin{questions}
\item Montrer que $B(x)=-0,25x^2+30x-500$.
\item Montrer que $B(x)=-0,25(x-100)(x-20)$.
\end{questions}
\item Quel nombre de cartons doit vendre cet artisan s'il veut réaliser un bénéfice positif ?
\item Quel nombre de cartons doit-il vendre pour que son bénéfice soit maximal ? Calculer alors ce bénéfice.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item On calcule:
\[
f(60)=0,25 \times 60^2+500=\numprint{1400}.
\]
Le coût de fabrication est de \numprint{1400} \euro.

\item On cherche $x$ tel que $f(x)= \numprint{2525}$. On résout:
\begin{align*}
0,25x^2+500=\numprint{2525} &  \iff x^2=\dfrac{\numprint{2525}-500}{0,25}=\numprint{8100}\\
& \iff x=-\sqrt{\numprint{8100}}~\text{ou}~x=\sqrt{\numprint{8100}}\\
& \iff x=-90 ~\text{ou}~x=90.
\end{align*}
Or $x \in [0;160]$ donc $x=90$. 
\Par
Pour 90 cartons le coût de fabrication est de \numprint{2525} \euro.
\end{questions}

\item La recette $R(x)$ est égale à $30x$.
\item 
\begin{questions}
\item  Le bénéfice est égal à:
\[
R(x)-f(x)=30x-(0,25x^2+500)=-0,25x^2+30x-500.
\]
\item On développe le second membre:
\begin{align*}
-0,25(x-100)(x-20) & = -0,25(x^2-20x-100x+2000)\\
& =-0,25(x^2-120x+2000)\\
&=-0,25x^2+30x-500\\
&=B(x).
\end{align*}
\end{questions}
\item On étudie le signe de $B(x)$. Pour cela on utilise la forme factorisée de $B(x)$ et on dresse un tableau de signes.

Les racines de $B(x)$ sont $100$ et $20$.
\[
x-100>0 \iff x>100\text{ et }x-20>0 \iff x>20.
\]
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*7{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & $20$ &  & $100$ &  & $+\infty$\\
\hline
$-0,25$ &  & $-$ &  & $-$ &  & $-$ & \\
\hline
$x-100$ &  & $-$ &  & $-$ & 0 & $+$ & \\
\hline
$x-20$ &  & $-$ & 0 & $+$ &  & $+$ & \\
\hline
$B(x)$ &  & $-$ & 0 & $+$ &  & $-$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
En utilisant la dernière ligne du tableau, on constate que $B(x)$ est positif pour $x \in ]20;100[$. Il faut donc vendre entre 20 et 100 cartons pour réaliser un bénéfice positif.

\item $B(x)$ est un trinôme du second degré avec $a=-0,25$ négatif, $B$ est donc croissante, puis décroissante.
Le sommet de la parabole représentant $B$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{20+100}{2}=60; B(60) \right)$.
Le bénéfice est donc maximal pour $x=60$ et vaut $B(60)=400$.
Il faut donc vendre 60 cartons pour obtenir un bénéfice de 400 \euro.
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*5{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $0$ &  & 60 &  & 160\\
\hline
    &     &   & 400  && \\
$B$ &  & $\nearrow$ &  & $\searrow$ & \\
    & $-500$ &  &  &  & $-\numprint{2100}$\\
    \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{questions}
\end{corrige}


\sectionnn{Vers les maths complémentaires}

% 2026

\begin{exo}{Modélisation }{Lycée Chatelet, Douai}{2}{20}
On s'intéresse à une modélisation de la propagation de l'épidémie de la grippe en France durant l'hiver 2024 - 2025.
Les relevés statistiques, fournis par le réseau Sentinelle, du nombre de cas pour \numprint{100000} habitants sur la période du 29 décembre 2024 au 1\up{er} mars 2025 ont permis de mettre en évidence une courbe de tendance, à l'aide d'un tableur.

Soit $f$ la fonction définie, pour tout $x \in  [2~;~10]$, par:
\[
f(x) = - 30x^2 + 360x - 360.
\]
On admet que $f(x)$ modélise le nombre de malades déclarés pour \numprint{100000} habitants au bout de $x$ semaines écoulées depuis le début de l'épidémie. On note $C$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal (voir graphique page suivante).

\begin{center}
\includegraphics{108_07_ex-modelisation}
\end{center}

\begin{questions}
\item À partir du graphique, répondre aux questions suivantes :

\begin{questions}
\item Selon ce modèle, au bout de combien de semaines le pic de l'épidémie a-t-il été atteint ?
\item Déterminer le nombre de semaines pendant lesquelles le nombre de malades a été supérieur ou égal à $600$.

			\item Montrer que $f(x) \geqslant 600$ équivaut à $- x^2 + 12x - 32 \geqslant 0$.
		\item Montrer que $4$ et $8$ sont des racines du polynôme défini par\linebreak $g(x)=-x^2+12x-32$.
		\item En déduire une factorisation de $g(x)$.
		\item Étudier le signe de $g(x)$.
		\item Comparer avec le résultat obtenu dans la question 2.
	\end{questions}
\item \begin{questions}
\item Calculer $f(2)$ et $f(10)$. En déduire l'axe de symétrie de la parabole puis les coordonnées de son sommet.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[2;10]$.

\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item Selon ce modèle, au bout de six semaines, le pic de l'épidémie a été
atteint. Nous lisons l'abscisse du sommet de la parabole.

\item Le nombre de semaines pendant lesquelles le nombre de malades a été
supérieur ou égal à $600$ est 4. 

De la semaine 4 à la semaine 8, sur cet intervalle, la courbe est située au-dessus de la droite d'équation $y = 600$ (voir graphique page suivante).

\hspace*{-3em}
\includegraphics{118_07_ex-modelisationCorr2}

\item $\begin{aligned}[t]
f(x)\geqslant 600 & \iff - 30x^2 + 360x - 360 \geqslant 600\\
& \iff - 30x^2 + 360x - 960 \geqslant 0\\
& \iff 30(-x^2+12x-32)\geqslant 0.
\end{aligned}$

Puisque $30$ est un nombre réel strictement positif, nous pouvons diviser les deux membres de l'inégalité par 30. Nous obtenons ainsi l'inégalité demandée.

\item  $g(4)=-4^2+12 \times 4 -32 =0$; $g(8)=-8^2+12 \times 8-32=0$.

Donc $4$ et $8$ sont des racines du polynôme $g$.

\item On peut donc factoriser $g(x)$: $g(x)=-1(x-4)(x-8)$.

\enlargethispage*{5em}

\item ~\par %\mbox{On dresse le tableau de signes en étudiant le signe de chaque facteur.}
%\begin{align*}
%x-4=0 \iff x=4\text{ et }x-4>0 \iff x>4.\\
%x-8=0 \iff x=8\text{ et }x-8>0 \iff x>8.
%\end{align*}

\vspace*{-1.2em}
\begin{tabular}{|C|*7{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $2$ &  & $4$ &  & $8$ &  & $10$\\
\hline
$-1$ &  & $-$ &  & $-$ &  & $-$ & \\
\hline
$x-4$ &  & $-$ & 0 & $+$ &  & $+$ & \\
\hline
$x-8$ &  & $-$ &  & $-$ & 0 & $+$ & \\
\hline
$g(x)$ &  & $-$ & 0 & $+$ & 0 & $-$ & \\
\hline
\end{tabular}

\item D'après le tableau, on voit que $g(x) \geqslant 0$ pour $x \in [4;8]$. 

Il en résulte que l'ensemble des solutions sur $[2; 10]$ de l'inéquation $f(x) \geqslant 600$ est $[4;8]$.
\end{questions}
\item 
\begin{questions}
\item $f(2)=240$ et $f(10)=240$ donc $2$ et $10$ sont solutions de l'équation $f(x)=240$ donc la droite d'équation $x=\dfrac{2+10}{2}=6$ est axe de symétrie de la parabole représentant $f$. 

Le sommet de la parabole est le point $S$ de coordonnées $(6;f(6))$ soit $(6;720)$.
\item ~\par 

\vspace*{-1.2em}
\begin{tabular}{|c|*5{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & 2 &  & 6 &  & 10\\
\hline
 & & & $f(6)=720$ &  & \\
 $f$ & & $\nearrow$ &  & $\searrow$ & \\
   & 240 & & & & 240\\
   \hline
\end{tabular}
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}
\thumb
\AfficheCorrige
