\devoirsynthese{Bac blanc}{Bac blanc}

La durée de l'épreuve est de 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.

L'épreuve est constituée de deux parties: une partie \og Automatismes \fg{} sous forme d'un QCM sur 6 points, et une partie constituée de 2 exercices sur 14 points.

\sectionnn{Première partie: automatismes}


\begin{exobb}{QCM -- 6 points}{\null}{1}{40}
\textit{Pour chaque question, une seule réponse est exacte.}
\enlargethispage*{4em}
\begin{questions}
\item On considère le nombre $A = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} \times \dfrac{2}{3}$. La valeur de $A$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $\frac{1}{3}$ & \choix $\frac{7}{12}$&\choix $\frac{1}{6}$ & \choix $\frac{4}{12}$
\end{tabularx}

\item L'expression $10^{-3} \times (10^2)^4$ est égale à :
\resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
       \choix $10^{-24}$ & \choix $10^3$ & \choix $10^5$& \choix $10^9$ 
\end{tabularx}

\item Un prix augmente de 25 \%. Pour revenir à son prix initial, il doit subir une diminution de :
\resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $15 \%$ & \choix $20 \%$ & \choix $25 \%$ & \choix $75 \%$
\end{tabularx}

\item Dans une classe de 32 élèves, 75 \% des élèves pratiquent un sport en club. Le nombre d'élèves sportifs est :
\resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix  8 & \choix 18 & \choix 24 & \choix 26
\end{tabularx}

\item La solution de l'équation $3x - 5 = 7x + 3$ est :
\resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $x = -2$ & \choix $x = 2$ &\choix $x = -\frac{1}{2}$ &\choix $x = 0,5$
\end{tabularx}

\item Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^2 - 3$. L'image de $-2$ par $f$ est :
   \resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
        \choix $-11$ &\choix $-7$ & \choix $1$ &\choix $5$
\end{tabularx}

\item La loi d'Ohm s'écrit $U = R \times I$. On souhaite exprimer $I$ en fonction de $U$ et $R$. On a :
 \resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
        \choix $I = U - R$ &\choix $I = \frac{R}{U}$ & \choix $I = \frac{U}{R}$ &\choix $I = U \times R$
\end{tabularx}
\item Dans un repère, on considère les points $A(1 ; 2)$ et $B(3 ; 8)$. Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :
\resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
        \choix $3$ &\choix $2$ & \choix $0,5$ &\choix $-3$
\end{tabularx}
    
\item Une vitesse de $15$ mètres par seconde ($15$ m/s) correspond à :
\resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
        \choix $54$ km/h &\choix $15$ km/h & \choix $45$ km/h &\choix $1,5$ km/h
\end{tabularx}
    
\item Soit la série statistique suivante : $4 ; 12 ; 8 ; 15 ; 10$. La médiane de cette série est :
\resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
        \choix $8$ &\choix $9,85$  & \choix $10$ &\choix $12$
\end{tabularx}
       
\item La probabilité qu'un tireur atteigne sa cible est $P(S) = 0,85$. La probabilité qu'il rate sa cible est :
\resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
        \choix $0,15$ &\choix $-0,85$ & \choix $1,15$ &\choix $0,25$
\end{tabularx}
\item La forme développée de l'expression $(2x - 3)^2$ est :
\resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $4x^2 - 9$ &\choix $4x^2 + 9$ & \choix \small $2x^2 - 12x + 9$ &\choix \small $4x^2 - 12x + 9$ 
\end{tabularx}    

\end{questions}
\end{exobb}

\begin{corrigebb}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. $\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4} \times \dfrac{2}{3}=\dfrac{9}{12}-\dfrac{2}{12}=\dfrac{7}{12}$.

\item Réponse \choix[c]. $10^{-3} \times (10^2)^4=10^{-3} \times 10^8=10^{-3+8}=10^5$.

\item Réponse \choix[b]. Augmenter de 25\% revient à multiplier par 1,25. On cherche $c'$ tel que $1,25 \times c'=1$, $c'=\dfrac{1}{1,25}=0,8$ soit une baisse de $20 \%$.

\item  Réponse \choix[c]. On calcule $\dfrac{75}{100} \times 32 =24$.

\item Réponse \choix[a]. On a:

$3x-5=7x+3 \Leftrightarrow 3x-7x=3+5 \Leftrightarrow -4x=8 \Leftrightarrow x=-2$.

\item Réponse \choix[d]. $f(-2)=2(-2)^2-3=8-3=5$.

\item Réponse \choix[c]. $U = R \times I \Leftrightarrow I=\dfrac{U}{R}$.

\item Réponse \choix[a]. Le coefficient directeur est donné par:
\[
\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{8-2}{3-1}=3.
\]

\item Réponse \choix[a]. $\rm 15m/s =  15 \times \numprint{3600}~m/h = \numprint{54000}~m/h=54~km/h$.

\item Réponse \choix[c]. On range les valeurs par ordre croissant 4;8;10;12;15. 

Il y a 5 valeurs, la médiane est la 3\ieme{} valeur.

\item Réponse \choix[a]. La probabilité qu'il rate sa cible est:
\[
P(\overline{S})=1-P(S)=1-0,85=0,15.
\]

\item Réponse \choix[d]. $(2x-3)^2=(2x)^2-2\times (2x) \times 3 +3^2=4x^2-12x+9$.
\end{questions}
\end{corrigebb}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\sectionnn{Deuxième partie}

\begin{exobb}{Exercice 1 -- 7 points}{\null}{2}{40}
\enlargethispage*{3em}
Une entreprise récupère des smartphones endommagés, les répare et les reconditionne afin de les revendre à prix réduit.

On dispose des informations suivantes :
\begin{itemize}
\item $45 \%$ des smartphones qu’elle récupère ont un écran cassé, parmi eux, $30 \%$ ont également une batterie défectueuse ;
\item seulement $20 \%$ des smartphones ayant un écran non cassé ont une batterie défectueuse.
\end{itemize}

Un technicien chargé de réparer et de reconditionner les smartphones de\linebreak l'entreprise prend un smartphone au hasard dans le stock. 

On considère les événements suivants:
\begin{itemize}
\item $E$ : \og Le smartphone choisi a un écran cassé.\fg
\item $B$ : \og Le smartphone choisi a une batterie défectueuse.\fg 
\end{itemize}

\begin{questions}
\item Par simple lecture de l'énoncé, indiquer :
\begin{questions}
\item la probabilité que le smartphone ait une batterie défectueuse\linebreak sachant qu'il a un écran cassé.
\item la probabilité que le smartphone ait une batterie défectueuse\linebreak sachant que son écran n'est pas cassé.
\end{questions}
 \item Représenter la situation décrite ci-dessus par un arbre pondéré.
\item Déterminer la probabilité que le smartphone choisi ait une batterie\linebreak défectueuse.
\item  Sachant que le smartphone choisi a une batterie défectueuse, quelle est la probabilité qu’il ait un écran cassé ? 
\end{questions}
\end{exobb}

\begin{corrigebb}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item La probabilité que le smartphone ait une batterie défectueuse sachant qu'il a un écran cassé est $P_E(B)=0,3$.
\item La probabilité que le smartphone ait une batterie défectueuse sachant que son écran n'est pas cassé est $P_{\overline{E}}(B)=0,2$.
\end{questions}
\item On a l'arbre suivant:
\begin{center}
\includegraphics{154_bb_proba.eps}
\end{center}
\item $\begin{aligned}[t]
P(B) & =P(E \cap B) + P(\overline{E} \cap B)\\
     & =P(E) \times P_E(B)+P(\overline{E}) \times P_{\overline{E}}(B)\\
     & =0,45 \times 0,3 + 0,55 \times 0,2\\
     & = 0,245.
\end{aligned}$   

\item  $P_B(E)=\dfrac{P(B \cap E)}{P(B)}=\dfrac{0,45 \times 0,3}{0,245}\simeq 0,551$.
\end{questions}
\end{corrigebb}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

\begin{exobb}{Exercice 2 -- 7 points}{\null}
{3}{40}
Une personne souhaite louer une maison à partir du 1\ier{} janvier 2025 et a le choix entre deux formules de contrat :
\begin{itemize}
\item Contrat $n^{\circ} 1$  : le loyer augmente chaque année de 200 euros.
\item Contrat $n^{\circ} 2$ : le loyer augmente chaque année de $5\%$.
\end{itemize}

Pour tout entier naturel $n$, on note : 
\begin{itemize}
\item $u_n$ le loyer annuel de l'année $2025 + n$ pour le contrat $n^{\circ} 1$.
\item $v_n$ le loyer annuel de l'année $2025 + n$ pour le contrat $n^{\circ} 2$.
\end{itemize}

Dans les deux cas, le loyer annuel initial est de $\numprint{3600}$ euros. 

On a donc $u_0 = v_0 = \numprint{3600}$.

\begin{questions}
\item Étude de la suite  $(u_n)$.
\begin{questions}
\item Déterminer le loyer annuel de l'année 2026 pour le contrat $n^{\circ} 1$.
\item Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis en déduire le loyer annuel de l'année 2035.
\end{questions}

\item Étude de la suite $(v_n)$.
\begin{questions}
\item Déterminer le loyer annuel de l'année 2026 pour le contrat $n^{\circ} 2$.
\item Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis en déduire le loyer annuel de l'année 2035.
\end{questions}
\item  On considère le script suivant, écrit en langage Python :
\begin{listing}{}{exobac2.py}\end{listing} 
\Par
Après exécution, le programme renvoie la valeur 6. 

Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{questions}  
\end{exobb}

\begin{corrigebb}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item Le loyer annuel de l'année 2026 pour le contrat $n^{\circ} 1$ est :\[
u_1=u_0+200=3800 \quad\text{soit}\quad\numprint{3800}\text{ euros}.
\]

\item $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison 200 et de premier terme $u_0$ donc pour tout entier $n$, $u_n=u_0+n \times 200=3600+200n$. Le loyer de l'année 2035 sera donc $u_{10}=3600 + 200 \times 10 = \numprint{5600}$.
\end{questions}

\item 
\begin{questions}
\item Augmenter de $5\%$ revient à multiplier par $1,05$. Le loyer annuel de l'année 2026 pour le contrat $n^{\circ} 2$ est donc : 
\[
v_1=v_0\times 1,05=3780\quad\text{soit}\quad \numprint{3780}\text{ euros}.
\]

\item $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $1,05$ et de premier terme $v_0$ donc pour tout entier $n$, $v_n=v_0 \times 1,05^n=3600\times 1,05^n$. 

Le loyer annuel de l'année 2035 sera donc, en euros:
\[
v_{10}=3600 \times 1,05^{10}\simeq\numprint{5864}.
\]
\end{questions}
\item $n=6$ est la première valeur de $n$ pour laquelle $u_n<v_n$. 

Cela signifie qu'à partir de $2025+6$, soit à partir de 2031, le contrat $n^{\circ} 1$ est plus avantageux que le contrat $n^{\circ} 2$. 
\end{questions}
\end{corrigebb}


\thumb
\AfficheCorrigeBB
