\devoirsynthese{Bac blanc 2}{Bac blanc 2}

La durée de l'épreuve est de 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.

L'épreuve est constituée de deux parties. Une partie Automatismes sous forme d'un QCM sur 6 points et une partie constituée de 3 exercices sur 14 points.

\sectionnn{Première partie: automatismes}

\enlargethispage*{4em}

\begin{exobb}{Exercice 1 -- 6 points}{\null}{1}{40}
\begin{questions}
% 1
\item On considère le nombre $A = \dfrac{3}{7} - \dfrac{2}{4} $. La valeur de $A$ est :\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $\frac{1}{11}$ & \choix $\frac{1}{3}$&\choix $-\frac{1}{14}$ & \choix $\frac{2}{28}$
\end{tabularx}

% 2
\item Un prix augmente de 10\% puis baisse de 20\%. L'évolution globale est :
\resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix Une baisse de 10\% &\choix Une baisse de 12\% \\
\choix Une hausse de 10\% & \choix Une baisse de 30\%
\end{tabularx}

% 3
\item Un objet coûte 300 \euro. Son prix augmente de 30 \%. Son nouveau prix est : \resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $90$ \euro & \choix $330$ \euro & \choix $300,30$ \euro & \choix $390$ \euro
\end{tabularx}

% 4
\item On a représenté une fonction affine par une droite de coefficient directeur $-2$ et d'ordonnée à l'origine $3$. Quelle est l'expression de $f(x)$ ?\resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix  $3x-2$ & \choix $-2x+3$ & \choix $-\frac{2}{3}x$ & \choix $-\frac{3}{2}x$
\end{tabularx}

% 5
\item La droite d'équation $y=2x-3$ passe par le point : \resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $A(2;-3)$ & \choix $B(1,5;0)$ &\choix $C(0;3)$ &\choix $D(-3;2)$
\end{tabularx}

% 6
\item Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 3x^2+1$.\\ L'image de $-2$ par $f$ est :\resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $-11$ &\choix $13$ & \choix $-5$ &\choix $7$
\end{tabularx}

% 7
\item La solution de l'équation $4x=0$ est : \resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $-4$ &\choix $\frac{1}{4}$ & \choix $0$ &\choix $-\frac{1}{4}$
\end{tabularx}


% 8
\item L'équation $5x-2=-3x+7$ a pour solution:\resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $\frac{9}{8}$ &\choix $-\frac{9}{8}$ & \choix $\frac{9}{2}$ &\choix $\frac{5}{2}$
\end{tabularx}

\newpage  
  
% 9
\item Les solutions de l'équation $(x-7)(x+9)=0$ sont :
\resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $x=-7~\text{et}~x=9$  & \choix $x=7~\text{et}~x=-9$ \\
\choix $x=-7~\text{et}~x=-9$ & \choix $x=7~\text{et}~x=9$
\end{tabularx}
    
% 10
\item L'expression développée réduite de $(3x+4)^2$ est :
\resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $3x^2+12x+16$ & \choix $3x^2+24x+16$\\
\choix $9x^2+16$ &\choix $9x^2+24x+16$
\end{tabularx}
       
% 11
\item Un train part à 8h40 et arrive à 10h25. Quelle est la durée du trajet:\resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix 2h20min &\choix 2h25min & \choix 1h45min &\choix 1h30min 
\end{tabularx}

% 12
\item La représentation graphique ci-dessous est celle de la fonction $f$. 
\begin{center}
\includegraphics{158_bb2_parabole}
\end{center}
L'expression de $f$ est : \resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $f(x)=-2x^2-2$ & \choix $f(x)=2x^2-2$ \\
\choix $f(x)=0,5x^2-2$ &\choix $f(x)=0,5x^2+2$
\end{tabularx}   
\end{questions}
\end{exobb}

\begin{corrigebb}
\begin{questions}
% 1
\item Réponse \choix[c]. $\dfrac{3}{7}-\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{7}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{6}{14}-\dfrac{7}{14}=-\dfrac{1}{14}$.

% 2
\item Réponse \choix[b]. Augmenter de 10\% revient à multiplier par $1,1$, diminuer de 20\% revient à multiplier par $0,8$ soit une évolution globale de $1,1 \times 0,8 =0,88$ qui correspond à une baisse de 12\%.

% 3
\item Réponse \choix[d]. Augmenter de 30\% revient à multiplier par 1,3. $300 \times 1,3=390$.

% 4
\item Réponse \choix[b].

% 5
\item Réponse \choix[b]. $2\times 1,5-3=0$ donc la droite passe par le point $B$.

% 6
\item Réponse \choix[b]. $f(-2)=3 \times(-2)^2+1=3 \times 4 +1 =13$.

% 7
\item Réponse \choix[c]. $4x=0 \Leftrightarrow x=\frac{0}{4}=0$.

% 8
\item Réponse \choix[a]. En effet, on a:
\begin{align*}
5x-2=-3x+7 & \iff 5x+3x=7+2\\
		   & \iff 8x= 9\\
		   & \iff x=\frac{9}{8}.
\end{align*}

% 9
\item Réponse \choix[b]. Il s'agit d'une équation produit nul:
\[
x-7=0\text{ ou }x+9=0
\]
soit:
\[
x=7\text{ ou }x=-9.
\]

% 10
\item Réponse \choix[d]. On a:
\[
(3x+4)^2=(3x)^2+2\times 3x \times 4 +4^2=9x^2+24x+16.
\]

% 11
\item Réponse \choix[c]. De 8h40 à 9h00, il y a 20 minutes. Puis, de 9h00 à 10h25, il y a 1h25min, ce qui fait en tout:
\[
\rm 0h20min + 1h25min = 1h45min.
\]

% 12
\item Réponse \choix[c]. Il s'agit de la représentation d'une fonction de la forme $f(x)=ax^2+c$ avec $a>0$ car la parabole est tournée vers le \og haut \fg. 

Cette parabole a pour sommet $S(0;-2)$ donc $c=-2$. 

De plus $f(2)=0$ donc:
\[
a \times 2^2-2=0 \iff a=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
\]
donc $f(x)=0,5x^2-2$. 
\end{questions}
\newpage

\end{corrigebb}

\sectionnn{Deuxième partie}

\begin{exobb}{Exercice 2 -- 7 points}{\null}
{3}{40}
Une lycéenne de terminale étudie pour son grand oral l'évolution de la population de grenouilles de l'étang de sa commune. Selon le club des écologistes de cette commune, cette population serait en voie de disparition. Pour effectuer son étude, la lycéenne ne dispose d'abord que des deux relevés suivants, effectués par le club :

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|c|c|}
\hline
Année du relevé (au premier novembre)	& 2022& 2023 \\ \hline
Population de grenouilles & \numprint{1000}&	950\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

La lycéenne modélise l'évolution de la population de grenouilles à l'aide d'une suite.

\begin{questions}
\item \textit{Première modélisation.}

La lycéenne fait l'hypothèse qu'une suite arithmétique permet de modéliser l'évolution de la population de grenouilles. Elle note cette suite $\left(u_{n}\right)$ où $u_{0}$ est la population de grenouilles le premier novembre 2022, et plus généralement, $u_{n}$ est la population de grenouilles le premier novembre ($2022+ n$).

\begin{questions}
\item  Calculer la raison $r$ de la suite $\left(u_{n}\right)$.

\item Selon ce modèle, quelle serait la population de grenouilles le premier novembre 2025 ? Le premier novembre 2032 ? Le premier novembre ($2022 + n$) ?

\item Déterminer l'année où la population de grenouilles aura totalement disparu selon ce modèle.

\item La lycéenne reçoit le relevé effectué le premier novembre 2024 : $903$ grenouilles. Est-ce que ce nouveau résultat confirme son hypothèse ?

\end{questions}

\item \textit{Seconde modélisation.}

Poursuivant sa réflexion, la lycéenne se demande si cette évolution pourrait mieux être modélisée en supposant que la population de grenouilles diminue de 5\% chaque année. Elle modélise alors la population par une suite $v$, où $v_{0}$ est la population de grenouilles le premier novembre 2022 et plus généralement, $v_{n}$ la population de grenouilles le premier novembre ($2022 + n$).

\textit{Des aides au calcul sont disponibles à la fin de l'énoncé.}

\begin{questions}
\item  Justifier que la suite $v$ est une suite géométrique de raison $0,95$.
\item Expliquer pourquoi ce nouveau modèle semble mieux adapté.
\item Quelle serait alors, à l'entier près, la population de grenouilles le premier novembre 2025 ?
\item Pour tout entier naturel $n$, écrire $v_{n}$ en fonction de $n$. 
\item En déduire, à l'entier près, quelle serait la population de grenouilles le premier novembre 2032 ?
\end{questions}
\item Cette espèce sera considérée en danger critique d'extinction quand sa population sera inférieure à cinquante individus. Donner un encadrement, à dix ans près, de l'année à laquelle cela se produira.
\end{questions}

\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{0.9\linewidth}
\begin{center}
\textit{Aide aux calculs}
\Par
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}M{22mm}|*{7}{Zc|}}
\hline\tabulartitle
$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 10 \\
\hline
$\numprint{1000}\times0,95^n$ & \numprint{1000} & 950 & 903 & 857 & 815 & 774 & 599\\ 
\hline
\end{tabular}
\Par
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}M{22mm}|*{7}{Zc|}}
\hline\tabulartitle
$n$ & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80 \\
\hline
$1000\times0,95^n$ & 358 & 215 & 129 & 77 & 46 & 28 & 17 \\
\hline
\end{tabular}\hspace*{10mm}
\end{center}
\end{minipage}
}
\end{center}
\end{exobb}

\begin{corrigebb}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item Puisque la population de grenouille a baissé de 50 individus entre les deux premières années de l'étude, la raison de la suite est $-50$.

\item  En 2025, soit deux ans après 2023, la population serait de:
\[
950-2\times50=850 \text{ individus}.
\]
En 2032, soit 10 ans après le début de l'étude, la population serait de:
\[
\numprint{1000}-10\times50=500\text{ individus}.
\]
En $2022+n$, soit $n$ années après le début de l'étude, la population serait de:
\[
u_n=u_0-50n=\numprint{1000}-50n.
\]
\item Selon ce modèle, la population aura disparu lorsque $u_n\leq0$ :
\begin{align*}
u_n \leqslant 0 & \iff \numprint{1000}-50n \leqslant 0\\
 				& \iff \numprint{1000} \leqslant 50n\\
 				& \iff \frac{\numprint{1000}}{50}\leqslant n\\
 				& \iff 20\leqslant n.
\end{align*}
Donc la population aura disparu dans 20 ans, en 2042.

\item Selon son modèle, en 2024, il y aura:
\[
950-50=900\text{ individus,}
\]
ce qui ne correspond pas aux 903 grenouilles observées: ce nouveau résultat ne confirme pas son hypothèse.
\end{questions}
\item 
\begin{questions}

\item Une diminution de 5\% correspond à une multiplication par $0,95$. Donc, pour calculer un terme de la suite, on multiplie le précédent par $0,95$. C'est la définition d'une suite géométrique de raison $0,95$.

\item  Les trois premières valeurs mesurées sont les populations en 2022, 2023, 2024 : \numprint{1000}, 950, 903.

Puisque la suite $v$ est géométrique, alors son terme général est:
\[
v_n=v_0\times0,95^n=\numprint{1000}\times0,95^n.
\]
Donc, en s'aidant de la table de valeurs en fin d'énoncé, on a :
\begin{itemize}
\item $v_0=\numprint{1000}$,
\item $v_1=\numprint{1000}\times0,95^1=950$,
\item $v_2=\numprint{1000}\times0,95^2=903$.
\end{itemize}            
On retrouve bien les valeurs observées les trois premières années (\numprint{1000} individus en 2022, 950 en 2023, et 903 en 2024), donc ce modèle semble adapté.

\item  Le premier novembre 2025 correspond à l'année $2022+3$, donc la population sera:
\[
v_3=\numprint{1000}\times0,95^3\approx 857\text{ grenouilles}.
\]

\item Nous avons montré plus haut que pour tout entier naturel $n$, on a:
\[
v_n=\numprint{1000}\times0,95^n.
\]

\item L'année 2032 correspond à $2022+10$, soit:
\[
v_{10}=\numprint{1000}\times0,95^{10}\approx599\text{ grenouilles}.
\]
\end{questions}
\item Dans la table de valeurs, on lit que $\numprint{1000}\times0,95^n$ deviendra inférieur à 50 lorsque $n$ est compris entre $50$ et $60$. Cela veut dire que le plus petit $n$ tel que $v_n<50$ est compris entre $50$ et $60$, et donc que la population de grenouilles sera inférieure à cinquante individus 50 à 60 ans après le début de l'étude, soit entre 2072 et 2082.
\end{questions}
\end{corrigebb}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exobb}{Exercice 3 -- 7 points}{\null}
{2}{40}
Une agence de voyage propose deux formules week-end pour se rendre à Londres au départ de Paris. Les clients choisissent leur moyen de transport : train ou avion.

De plus, s'ils le souhaitent, ils peuvent compléter leur formule par l'option \og visites guidées \fg.

Une étude a produit les données suivantes :

\begin{itemize}
\item 40 \% des clients optent pour l'avion ;
\item parmi les clients ayant choisi le train, 50 \% choisissent aussi l'option\linebreak \og visites guidées\fg;
\item 12 \% des clients ont choisi à la fois l'avion et l'option « visites guidées ».
\end{itemize}

On interroge au hasard un client de l'agence ayant souscrit à une formule week-end à Londres.

On considère les événements suivants :

$A$ : \og le client a choisi l'avion \fg{} ;

$V$ : \og le client a choisi l'option "visites guidées" \fg{}.


\begin{questions}
	\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
    \item Déterminer $p_A(V)$.
        \item Démontrer que la probabilité pour que le client interrogé ait choisi l'option   \og visites guidées \fg{} est égale à $0,42$.
    
    \item Calculer la valeur exacte de la probabilité pour que le client interrogé ait pris l'avion sachant qu'il a choisi l'option \og visites guidées \fg.
    
    \item On interroge au hasard deux clients de manière aléatoire et indépendante. \\
    Quelle est la probabilité qu'aucun des deux ne prenne l'option \og visites guidées \fg{} ?
\end{questions}

\textit{Aide aux calculs:} $0,58^2= 0,3364$.
\end{exobb}

\begin{corrigebb}
\begin{questions}
\item La situation  peut être représentée par l'arbre suivant:
\begin{center}
\includegraphics{163_bb2_arbreProba}
\end{center}
\item $\begin{aligned}[t]
P_A(V)&=\dfrac{P(A\cap V)}{P(A)}\\
&=\dfrac{0,12}{0,4}\\
&=\dfrac{12}{40}\\
&=0,3.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
p(V)&=P(A\cap V)+P(\overline{A} \cap V)\\
&=0,12+0,6 \times 0,5\\
&=0,12+0,3\\
&=0,42.
\end{aligned}$

\item On calcule:
\[
P_{V}(A)=\dfrac{P(V \cap A)}{P(V)}=\dfrac{0,12}{0,42}=\dfrac{12}{42}=\dfrac{2}{7}.
\]

\item Les deux clients sont choisis de manière indépendante donc:
\[
P(\overline{V};\overline{V})=P(\overline{V}) \times P(\overline{V})=(1-0,42)^2 = 0,58^2= 0,3364.
\]
\end{questions}
\end{corrigebb}


\thumb
\AfficheCorrigeBB
