\chapter{Variation instantanée}

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\section{Introduction}

La notion de variation instantanée est fondamentale pour modéliser l'évolution de phénomènes continus dans divers domaines scientifiques. Elle permet d'analyser comment une grandeur change à un instant précis plutôt que sur un intervalle de temps. Cette idée repose sur le concept de nombre dérivé, qui correspond au taux de variation instantané d'une fonction en un point.

\begin{exointro}{Lycée Louis Vincent, Metz}
Dans le repère orthonormé ci-dessous, $\mathcal{C}_f$ est la courbe représentative d'une fonction $f$ et $\mathcal{T}$ est la tangente à cette courbe au point d'abscisse $3$.
\begin{center}
\includegraphics{167_05_crs-1}
\end{center}
\begin{questions}
\item Lire les coordonnées des points $A$ et $B$.
\item Calculer le coefficient directeur de la droite $\mathcal{T}$.
\item En déduire le nombre dérivé de la fonction $f$ en $3$.
\end{questions}
\vspace*{-1.5em}
\end{exointro}
\newpage

\section{Tangente à la courbe représentative d'une\\fonction}

Dans tout ce paragraphe, $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$, $a$ et $b$ sont deux réels de $I$, et $A$ et $B$ les points de la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$ d'abscisses respectives $a$ et $b$.

\begin{defin}[sécante]
Une \textit{sécante} à la courbe $\mathcal{C}_f$ est une droite passant par deux points $A$ et $B$\linebreak distincts de la courbe.
\end{defin}

\begin{Exemple}
\begin{center}
\includegraphics{168_05_crs-2}
\end{center}
La droite passant par les points $A(4;0)$ et $B(1;3)$ est une sécante à la courbe.
\end{Exemple}

\begin{defin}[taux d'accroissement et sécante]
Le \textit{coefficient directeur} de la sécante $(AB)$ est le \textit{taux d'accroissement } de $f$ entre $a$ et $b$.
Il est défini par le quotient: 
\[
\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.
\]
\end{defin}

\begin{Exemple}
sur le graphique précédent, le taux d'accroissement entre 4 et 1 vaut:
\[
\dfrac{f(1)-f(4)}{1-4}=\dfrac{3-0}{-3}=-1.
\]
Le coefficient directeur de la sécante $(AB)$ vaut $-1$.
\end{Exemple}

\begin{defin}[tangente]
Quand $B$ se rapproche de $A$, la sécante $(AB)$ se rapproche d'une droite\linebreak \og position limite \fg des sécantes passant par $A$, cette droite est appelée \textit{tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ }.
\end{defin}

\begin{prop}
Quand elle existe, cette tangente est \textit{unique} et vient frôler la courbe $\mathcal{C}_f$ autour du point $A$. 
\end{prop}

\begin{Exemple}
\begin{center}
\includegraphics{169_05_crs-3}
\end{center}
Quand le point $B$ se rapproche du point $A$, la droite en rouge passant par le point $A$ frôle la courbe en ce point: c'est la tangente à la courbe au point $A$.
\end{Exemple}

\section{Nombre dérivé d'une fonction en un point}

\begin{defin}[nombre dérivé et tangente]
Lorsque la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ existe au point d'abscisse $a$ et qu'elle n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, on dit que $f$ est \textit{dérivable} en $a$.

Le coefficient directeur (ou pente) de cette tangente est appelé \textit{nombre dérivé de $f$ en $a$}. Il est noté $f'(a)$.
\end{defin}

\section{Équation d'une tangente}

\begin{prop}[équation réduite d'une tangente]
Lorsque la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, son équation réduite est $y=mx+p$, où $m$ est son coefficient directeur. 
\end{prop}

\begin{Remarque}
on détermine le réel $p$ à l'aide des coordonnées d'un point de $\mathcal{T}$, par exemple le point $A$.
\end{Remarque}

\begin{prop}[formule générale]
Lorsque la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, une équation de $\mathcal{T}$ est:
\[
y=f'(a)(x-a)+f(a).
\]
\end{prop}


\section{Modélisation}

\begin{prop}
Soit $f$ une fonction modélisant une évolution. Alors :
\begin{itemize}
\item le taux d'accroissement correspond à la \textit{vitesse moyenne}, en valeur absolue, de cette évolution entre $a$ et $b$;
\item $f'(a)$ correspond à la \textit{vitesse instantanée}, en valeur absolue, de cette évolution quand $x=a$.
\end{itemize}
\end{prop}


\begin{solintro}
\begin{methode}
Pour déterminer le nombre dérivé de $f$ en $x_A$, on détermine le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$ au point d'abscisse $x_A$.

Lorsque cette tangente passe également par un point $B(x_B;y_B)$, on a :
\[
f'(x_A)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.
\]
\end{methode}
\begin{questions}
\item Le point $A$ a pour coordonnées $(3;3)$ et le point $B$ a pour coordonnées $(-1;5)$.
\item Le coefficient directeur de la droite $\mathcal{T}$ est :
\[
\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{5-3}{-1-3}=\dfrac{2}{-4}=-\dfrac{1}{2}.
\]
\item Le nombre dérivé de la fonction $f$ en $3$ est le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$.

Ainsi, $f'(3)=-\dfrac{1}{2}$.
\end{questions}
\end{solintro}
