\thumb

\begin{vf}{Nombre dérivé et tangente}{5}
% énoncé
Soit $f$ une fonction et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
Indiquer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses.
\begin{questions}
\item Si $f'(0)=3$ alors la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $3$ est horizontale.
\item Si $f'(4)=-1$ alors la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $4$ a pour coefficient directeur $-1$.
\item Si $f'(-2)=0$ alors la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $-2$ est horizontale.
\item Si $f'(3)=2$ alors la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $3$ a pour coefficient directeur $2$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{aretenir}
$f'(a)$ est le coefficient directeur (ou pente) de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $a$.
Lorsque $f'(a)=0$ la tangente au point d'abscisse $a$ est parallèle à l'axe des abscisses. On dit qu'elle est \og horizontale \fg{}.
\end{aretenir}
\begin{questions}
\item \emph{Faux}. $f'(0)$ représente le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $0$. Ici il vaut $3$.
\item \emph{Vrai}.
\item \emph{Vrai}.
\item \emph{Vrai}.
\end{questions}
\end{corrige}

% 2026

\begin{qcm}{Nombre dérivé}{5}
Pour chaque question, trouver la ou les bonnes réponses.
On considère la courbe d'une fonction $f$ tracée dans un repère orthonormé.
\begin{center}
\includegraphics{171_05_ex-NbDerive}
\end{center}
\begin{questions}
\item Trois tangentes sont tracées. On peut lire :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $f'(0)=2$ & \choix $f'(2)=0$ &\choix $f'(3)=-2$
\end{tabularx}
  
\item La tangente au point A a pour équation :  \resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $y=2x+4$ & \choix $y=4x$ &\choix $y=4x+2$
\end{tabularx}
 
      
\item Le taux d'accroissement de $f$ entre $0$ et $2$ est : \resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $4$ & \choix $3$ &\choix $2$
\end{tabularx} 

\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item  Réponses \choix[b] et \choix[c]. $f'(a)$ représente le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$.
Au point $A$ d'abscisse $0$ la tangente a pour coefficient directeur $4$. Donc $f'(0)=4$.
Au point $B$ d'abscisse $2$ la tangente est \og horizontale \fg{}. Donc $f'(2)=0$.
Au point $C$ d'abscisse $3$ la tangente a pour coefficient directeur $-2$. Donc $f'(3)=-2$.

\item Réponse \choix[c]. La tangente au point $A$ a pour coefficient directeur $4$ et pour ordonnée à l'origine $2$. Elle a donc pour équation $y=4x+2$. 

\item Réponse \choix[c]. Le taux d'accroissement de $f$ entre $0$ et $2$ est:
\[
\dfrac{f(2)-f(0)}{2-0}=\dfrac{6-2}{2-0}=2.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

 

\sectionnn{Droite, sécante et tangente}

% 2026

\begin{exo}{Lecture graphique}{Lycée Louis Vincent, Metz}{1}{5}
Dans le repère tracé ci-dessous, lire les coefficients directeurs de chaque droite.
\begin{center}
\includegraphics{172_05_ex-LectGraph}
\end{center}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{methode}
Pour \og lire \fg{} le coefficient directeur d'une droite tracée dans un repère, on rejoint deux de ses points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$  par un parcours horizontal suivi d'un parcours vertical : ces parcours sont orientés ($+$ ou $-$) et mesurés (nombre d'unités).
Le coefficient directeur $a$ est alors l'écart d'ordonnées $y_B-y_A$ (parcours vertical) divisé par l'écart d'abscisses $x_B-x_A$ (parcours horizontal).
\[a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}. \]
\end{methode}

\begin{center}
\includegraphics{179_05_ex-LectGraphCorr}
\end{center}

Ainsi, $d_1$ passe par les points de coordonnées $A(0;3)$ et $B(2;2)$. 

Son coefficient directeur vaut:
\[
\dfrac{2-3}{2-0}=-\dfrac{1}{2}.
\]

$d_2$ passe par les points de coordonnées $C(-3;-2)$ et $D(1;4)$. Pour aller de $C$ à $D$, le déplacement horizontal est de $4$ unités, le déplacement vertical est de $6$ unités. Ainsi le coefficient directeur est:
\[
\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}.
\]

$d_3$ est une droite parallèle à l'axe des abscisses donc son coefficient directeur vaut $0$.

$d_4$ passe par les points $E(3;5)$ et $F(4;2)$. Pour aller de $E$ à $F$, le déplacement horizontal est de $1$ unité, le déplacement vertical est de $-3$ unités. 

Ainsi le coefficient directeur est:
\[
\dfrac{-3}{1}=-3.
\]
\end{corrige}

% 2026

\begin{exo}{Lecture graphique}{Lycée Genevoix, Montrouge}{1}{5}
\enlargethispage*{\baselineskip}
Sur la représentation graphique ci-dessous, on a représenté une fonction et quatre droites $d_1$, $d_2$, $d_3$ et $d_4$.
\begin{center}
\includegraphics{172_05_ex-LectGraphGenevoix}
\end{center}

\begin{questions}
\item Quelles sont les droites qui sont des sécantes à la courbe ?

\item Quelles sont celles qui sont des tangentes à la courbe ? Préciser alors en quel(s) point(s).
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Les droites $(d_2)$ et $(d_3)$ sont des sécantes à la courbe.
\item La droite $(d_1)$ est la tangente au point d'abscisse $4$ et la droite $(d_2)$ est la tangente à la courbe au point d'abscisse $1$.
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

\sectionnn{Nombre dérivé et tangente à la courbe\\ représentative d'une fonction}

% 2026

\begin{exo}{Lecture graphique}{Lycée Honoré de Balzac,  Paris}{1}{15} % 1 = nombre d'étoiles ; 5 = temps en minutes
\begin{center}
\includegraphics{173_05_ex-LectGraphBalzac}
\end{center}

\begin{questions}
Soit $f$ une fonction dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est donnée ci-dessus.
\item Par lecture graphique donner les nombres $f'(0)$ et $f'(4)$.
\item \begin{questions}
\item Par lecture graphique déterminer les nombres $f'(-1)$ et $f'(2)$.
\item Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$ puis celle au point $B$
\end{questions}
\item On sait que $f'(3)=2$. Tracer la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 3.
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Aux points d'abscisses respectives $0$ et $4$, la tangente est \og horizontale \fg{} (parallèle à l'axe des abscisses). Donc, $f'(0)=0$ et $f'(4)=0$.
\item 
\begin{questions}
\item $f'(-1)$ représente le coefficient directeur de la tangente au point $A$. Cette tangente passe par les points de coordonnées $(-2;1)$ et $(0;-3)$ donc:
\[
f'(-1)=\dfrac{-3-1}{0-(-2)}=\dfrac{-4}{2}=-2.
\]
Une équation de la tangente au point $A$ d'abscisse $-1$ est donc:
\[
y=-2x+p.
\]
Cette droite passe par le point $A(-1;-1)$. Donc,
\[
-1=-2 \times (-1) +p \iff -1=2+p \iff p=-3.
\]
Ainsi, une équation de la tangente au point $A$ est:
\[
y=-2x-3.
\]

\item $f'(2)$ représente le coefficient directeur de la tangente au point $B$. Cette tangente passe par les points de coordonnées $(1;-2)$ et $(3;6)$ donc:
\[
f'(2)=\dfrac{6-(-2)}{3-(1)}=\dfrac{8}{2}=4.
\]
Une équation de la tangente au point $B$ d'abscisse $2$ est donc:
\[
y=4x+p.
\]
Cette droite passe par le point $B(2;2)$. Donc,
\[
2=4 \times (2) +p \iff 2=8+p \iff p=-6.
\]
Ainsi une équation de la tangente au point $B$ est:
\[
y=4x-6.
\]
\end{questions}
\item $f'(3)=2$ donc le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 3 est 2.

On se place au point $C$ d'abscisse 3, on recule d'une unité sur l'axe des abscisses et on \og descend \fg{} de 2 unités sur l'axe des ordonnées.


\begin{center}
\includegraphics{180_05_ex-LectGraphBalzacCorr}
\end{center}
\end{questions}
\end{corrige}

% 2026

\begin{exo}{Nombre dérivé et tangente}{Lycée Argouges,   Grenoble}{2}{20} 
\Par
\enlargethispage*{\baselineskip}
\begin{minipage}{45mm}
\includegraphics{173_05_ex-NbDeriveArgouges}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-45mm}
Soit $f$ une fonction de courbe représentative $\mathcal{C}_f$.
Soient $A$, $B$ et $C$ les points d'abscisses respectives $1$, $4$ et $5$.

À l'aide du graphique, déterminer :
\begin{questions}
\item les images de $1$, $4$ et $5$.
\item le signe de $f'(1)$, $f'(4)$ et $f'(5)$.
\item le nombre de tangentes \og horizontales \fg{}   à la courbe.
\item les solutions de l'équation $f'(x) = 0$.
\end{questions}
\end{minipage}

\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f(1)=0$, $f(4)=-9$ et $f(5)=-7$

\item $f'(1)<0$ car la tangente est de coefficient directeur négatif, car la fonction affine correspondant est décroissante.

 $f'(4)=0$ car la tangente en $B$ est \og horizontale \fg{} (parallèle à l'axe des abscisses).
 
 $f'(5)>0$ car la tangente est de coefficient directeur positif, car la fonction affine correspondant est croissante.

\item Il y a deux tangentes \og horizontales \fg{} à  la courbe.

\item Les solutions de l'équation $f'(x) = 0$ sont les abscisses des points de $\mathcal{C}_f$ pour lesquels la tangente est \og horizontale \fg{}:
\[
x_1\approx -1,6\text{ et }x_2=4.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

% 2026

\begin{exo}{Conjecture}{Lycée Camille Vernet, Valence}{1}{10}
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-x^2+4x$ de courbe représentative $\mathcal{C}_f$. On considère les points $A$ et $M$ de la courbe d'abscisses respectives $2$ et $x$, où $x$ est un réel. 

\begin{center}
\includegraphics{174_05_ex-conjecture}
\end{center}

\begin{questions}
\item Que représente le nombre $\tau=\dfrac{f(2)-f(x)}{2-x}$ ?
\item Faire un tableau de valeurs de $\dfrac{f(2)-f(x)}{2-x}$ pour $x$ variant de $1,9$ à $2$ avec un pas de $0,01$.
\item Conjecturer alors le nombre dérivé de $f$ en $2$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Le nombre $\tau=\dfrac{f(2)-f(x)}{2-x}$ représente le taux d'accroissement de $f$ entre $2$ et $x$. C'est le coefficient directeur de la sécante $(AM)$.

\item Le tableau complété est le suivant:
\par
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\scalebox{0.8}{%
\begin{tabular}{|C|*{10}{c|}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & 1,9 & 1,91 & 1,92 & 1,93 & 1,94 & 1,95 & 1,96 & 1,97 & 1,98 & 1,99 \\ 
\hline
$\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$ & 0,1 & 0,09 & 0,08 & 0,07 & 0,06 & 0,05 & 0,04 & 0,03 & 0,02 & 0,01 \\ \hline
\end{tabular}}

\item Lorsque $x$ se rapproche de $2$ , le point $M$ se rapproche de $A$ et la sécante $(AM)$ devient la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$. $f'(2)$ représente le coefficient directeur de cette tangente donc $f'(2)=0$.
\end{questions}
\end{corrige}

% 2026

\begin{exo}{Nombre dérivé et tangente}{Lycée Honoré de Balzac, Paris}{2}{20}
\begin{center}
\includegraphics{174_05_ex-NbDeriveBalzac}
\end{center}

\begin{questions}
Soit $f$ une fonction dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est donnée ci-dessus.
Les points $A,B$ et $C$ appartiennent à $\mathcal{C}_f$. Les coordonnées de $A$ sont $(-4;1)$, celles de $B$ sont $(2;0)$ et celles de $C$ sont $(0;2)$.

La courbe $\mathcal{C}_f$ admet au point $B$ une tangente parallèle à l'axe des abscisses. La tangente à $\mathcal{C}_f$ en $A$ passe par le point de coordonnées $\left(-3;\dfrac{13}{4} \right)$ et celle en $C$ passe par le point de coordonnées $\left(2;\dfrac{1}{2} \right)$.
\item Par lecture graphique donner la pente de la tangente aux points $A,B$ et $C$.
\item En déduire une équation de chacune des tangentes.
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
%\begin{methode}
%Pour obtenir l'équation réduite $y=mx+p$ de la tangente :
%\begin{itemize}
%\item on détermine graphiquement ou par un calcul son coefficient directeur $m$;
%\item on utilise un point de cette tangente pour calculer la valeur de $p$.
%\end{itemize}
%\end{methode}

\begin{questions}
\item La pente de la tangente au point $A$ est le coefficient directeur de la tangente.

Cette tangente passe par $A(-4;1)$ et le point $\left(-3;\dfrac{13}{4} \right)$ donc le coefficient vaut:
\[
f'(-4)=\dfrac{\frac{13}{4}-1}{-3-(-4)}=\dfrac{\frac{9}{4}}{1}=\dfrac{9}{4}.
\]
La tangente au point $B$ d'abscisse $2$ est parallèle à l'axe des abscisses donc le coefficient directeur de la tangente vaut $f'(2)=0$.

La tangente au point $C$ passe par le point de coordonnées $\left(2;\dfrac{1}{2} \right)$.  

Donc le coefficient directeur de la tangente vaut:
\[
f'(0)=\dfrac{\frac{1}{2}-2}{2-0}=\dfrac{-\frac{3}{2}}{2}=-\dfrac{3}{4}.
\]

\item Le coefficient directeur de la tangente au point $A$ est $\dfrac{9}{4}$ donc:
\[
y=\dfrac{9}{4}x+p.
\]
$A$ est un point de cette tangente donc:
\[
1=\dfrac{9}{4}\times (-4)+p \iff 1=-9+p \iff p=10.
\]
L'équation de la tangente au point $A$ est $y=\dfrac{9}{4}x+10$.

La tangente en $B$ est \og horizontale \fg{} donc $y=p$.

Elle passe par $B$ donc $y=0$.


La tangente en $C$ a pour équation:
\[
y=-\dfrac{3}{4}x+p.
\]
Elle passe par $C(0;2)$ donc:
\[
2=-\dfrac{3}{4}\times 0+p \iff p=2.
\]
Donc,
\[
y=-\dfrac{3}{4}x+2.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

% 2026

\begin{exo}{Tangente formule générale}{Lycée Renoir, Angers}{1}{15}
Soit une fonction $g$ définie sur $\R$. On note $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative.

\begin{questions}
\item Déterminer l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse $4$ sachant que $g(4)=-1$ et $g'(4)=2$.

\item Déterminer l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse $2$ sachant que $g'(2)=6$ et que la tangente passe par le point $A(2;7)$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
%\enlargethispage*{2em}
%\begin{methode}
%Pour déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse $a$ connaissant $g(a)$ et $g'(a)$, on utilise la formule générale:
%\[
%y=g'(a)(x-a)+g(a)
%\]
%et on réduit.
%\end{methode}
\begin{questions}
\item Une équation de la tangente au point d'abscisse $4$ s'écrit:
\[
y=g'(4)(x-4)+g(4).
\]
On sait que $g(4)=-1$ et $g'(4)=2$. Ainsi,
\[
y=2(x-4)-1=2x-8-1=2x-9.
\]
 
\item Une équation de la tangente au point d'abscisse $2$ s'écrit:
\[
y=g'(2)(x-2)+g(2).
\]
On sait que $g'(2)=6$ et que la tangente passe par le point $A(2;7)$ ce qui signifie que $g(2)=7$. Ainsi,
\[
y=6(x-2)+7=6x-12+7=6x-5.
\] 
\end{questions}

\end{corrige}

% 2026

\begin{exo}{Modèle d'évolution}{Lycée du Parc, Lyon}{2}{15}
\enlargethispage*{\baselineskip}
Après l'administration d'un médicament, la quantité présente dans le sang d'un patient diminue au fil du temps.
On modélise la quantité (en mg/L) par la fonction $f$ définie sur $[0;8]$ par $f(t)=60 \times 0,8^t$ où $t$ désigne le temps écoulé, en heures, après l'injection.
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$.

\begin{center}
\includegraphics{175_05_ex-ModeleEvolution}
\end{center}


\begin{questions}
\item Calculer $f(0),f(2),f(4)$. Interpréter le résultat $f(0)$.
\item Calculer le taux de variation moyen de la quantité de médicament entre 1\up{re} heure et la 3\up{e} heure. Que représente ce résultat dans le contexte de l'exercice ?
\item On considère les points $A(2;f(2))$ et $B(4;f(4))$. 
Calculer le coefficient directeur de la droite $(AB)$. On donnera sa valeur arrondie au dixième.
\item On admet que le nombre dérivé de $f$ en $2$ représente la \textit{vitesse instantanée de disparition du médicament}. 

On l'approche par le taux $\dfrac{f(2,1)-f(2)}{0,1}$.

Calculer cette valeur (arrondie au dixième).
\item Comparer le résultat de la question 3 avec celui de la question 4. Expliquer pourquoi ces deux valeurs sont proches.
\end{questions}


\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{itemize}
\item $f(0)=60\times 0,8^0=60\times 1=60$,
\item $f(2)=60\times 0,8^2=60\times 0,64=38,4$,
\item $f(4)=60\times 0,8^4=60\times 0,4096=24,576$.
\end{itemize}
La valeur $f(0)=60$ signifie qu'au moment de l'injection, la quantité de médicament dans le sang est de $60$ mg/L.

\item On calcule d'abord $f(1)$ et $f(3)$:
\begin{align*}
f(1)&=60\times 0,8=48\\
f(3)&=60\times 0,8^3=60\times 0,512=30,72.
\end{align*}
Le taux d'évolution moyen entre $t=1$ et $t=3$ est :
\[
\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}
\]
donc:
\[
\dfrac{30,72-48}{2}=\dfrac{-17,28}{2}=-8,64.
\]
Ainsi, le taux d'évolution moyen est :$-8,64$.

Entre la 1\up{re} heure et la 3\up{e} heure, la quantité de médicament diminue en moyenne de $8,64$ mg/L par heure.

\item Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est donné par:
\[
\dfrac{f(4)-f(2)}{4-2}.
\]
Or, $f(4)=24,576$  et $f(2)=38,4$. Donc :
\[
\dfrac{24,576-38,4}{2}=\dfrac{-13,824}{2}=-6,912.
\]
Ainsi, le coefficient directeur de la droite $(AB)$ vaut $-6,912$, arrondi au dixième : $-6,9$.

\item On approche $f'(2)$ par le taux :
\[
\dfrac{f(2,1)-f(2)}{0,1}.
\]
$f(2,1)=60\times 0,8^{2,1}\approx 60\times 0,6258=37,549$.

On en déduit:
\[
\dfrac{f(2,1)-f(2)}{0,1}=\dfrac{37,548-38,4}{0,1}=\dfrac{-0,852}{0,1}=-8,52.
\]
Arrondi au dixième, $f'(2)\approx -8,5$.

À l'instant $t=2$, la quantité de médicament diminue instantanément d'environ $8,5$ mg/L par heure.

\newpage

\item À la question 3, on a trouvé un coefficient directeur égal à $-6,9$.

À la question 4, on a trouvé une valeur approchée du nombre dérivé: $-8,5$.
Ces deux valeurs sont proches car elles mesurent toutes les deux une vitesse de diminution :

\begin{itemize}
    \item la première correspond à une \textit{vitesse moyenne} entre \mbox{$t=2$ et $t=4$};
    \item la seconde correspond à une \textit{vitesse instantanée} à l'instant $t=2$.
\end{itemize}

La vitesse instantanée est plus précise pour décrire le comportement de la fonction au voisinage de $t=2$.

La quantité de médicament dans le sang diminue au cours du temps, et cette diminution peut être étudiée soit par une vitesse moyenne, soit par une vitesse instantanée donnée par le nombre dérivé.

\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Vers les maths complémentaires }

\begin{exo}{Nombre dérivé}{Lycée Charlemagne, Thionville}{2}{20}
On considère la fonction définie pour tout réel \(x\) par :
$f(x)=-x^2+6x-5$.

On a tracé la courbe représentative \(\mathcal C\) de la fonction $f$ ci-dessous.

\begin{center}
\includegraphics{176_05_ex-NbDeriveCharlemagne}
\end{center}

On note $A(1;f(1))$ le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{T}$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point~$A$.

On considère un point $M$ de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $1+h$, où $h$ est réel.

La droite $(AM)$ est une sécante à la courbe $\mathcal{C}_f$.

\begin{questions}
    \item Lire graphiquement le nombre dérivé $f'(1)$.
    \item 
    \begin{questions}
        \item Calculer $f(1+h)$ en fonction de $h$.

        \item Montrer que
        $ \frac{f(1+h)-f(1)}{1+h-1}=4-h. $
   
    \item Que représente le calcul de la question précédente pour la droite $(AM)$ ?
\end{questions}
    \item On a écrit la fonction Python suivante :
    
\begin{listing}{}{derive.py}\end{listing}

\Par

En utilisant cette fonction Python, compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{1cm}|*{5}{>{\centering\arraybackslash}m{1.2cm}|}}
\hline
\tabulartitle
$h$ & $0,1$ & $0,01$ & $0,001$ & $10^{-4}$ & $10^{-5}$ \\
\hline
$4-h$ &  &  &  &  &  \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

    \item
    \begin{questions}
        \item Lorsque $h$ tend vers $0$, que fait le point $M$ sur la courbe ?

        \item Lorsque $h$ tend vers $0$, vers quelle droite tend la droite $(AM)$ ?

        \item Lorsque $h$ tend vers $0$, vers quel nombre tend $-h+4$ ?

        \item Recopier et compléter la phrase suivante:

        Lorsque $h$ tend vers $0$, le nombre $\frac{f(1+h)-f(1)}{1+h-1}$ tend vers \ldots

        \item Comparer avec le résultat trouvé à la question 1.
    \end{questions}
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f'(1)$ représente le coefficient directeur de la tangente au point $A$. 

Cette tangente passe par le point $A$ et par le point de coordonnées $(2;4)$. 

Le coefficient directeur est donc l'écart d'ordonnées sur l'écart d'abscisses soit $\dfrac{4}{1}=4$. Ainsi, $f'(1)=4$.
\item 
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
f(1+h) & =-(1+h)^2+6(1+h)-5\\
	   & = -(1^2+2h+h^2)+6+6h-5\\
	   & = -1-2h-h^2+6+6h-5\\
	   & = -h^2+4h.
\end{aligned}$

\item $f(1)=0$ donc:
\[
\frac{f(1+h)-f(1)}{1+h-1}=\frac{-h^2+4h-0}{h}=\frac{h(-h+4)}{h}=-h+4.
\]

\item Ce calcul représente le coefficient directeur de la droite $(AM)$.
\end{questions}

\item Le tableau complété est le suivant:
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{1cm}|*{5}{>{\centering\arraybackslash}m{1.2cm}|}}
\hline\tabulartitle
$h$ & $0,1$ & $0,01$ & $0,001$ & $10^{-4}$ & $10^{-5}$ \\
\hline
$4-h$ & $3,9$ & $3,99$ & $3,999$ & $3,9999$ & $3,99999$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item \begin{questions}
\item Lorsque $h$ tend vers $0$, le point $M$ se rapproche du point $A$.
\item Lorsque $h$ tend vers $0$, la droite $(AM)$ tend vers la tangente $\mathcal{T}$.
\item La valeur de $ \frac{f(1+h)-f(1)}{1+h-1}$ tend vers $4$.
\item Lorsque $h$ tend vers $0$, le nombre $\frac{f(1+h)-f(1)}{1+h-1}$ tend vers $4$.
\item On retrouve la valeur de $f'(1)$ donnée à la question 1.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

\thumb
\AfficheCorrige
