\chapter{Variation globale}

\enlargethispage*{5em}

\section{Introduction}

La notion de variation globale est essentielle pour décrire l'évolution d'une grandeur sur un intervalle donné dans de nombreux contextes scientifiques.
% 1 exo type par chapitre ou 1 par section si besoin

\begin{exointro}{Lycée Louis Vincent, Metz}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x^3+3,5x^2-3x+1$.
\begin{questions}
\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ sur $\R$.
\item Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=(2x+3)(3x-1)$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
\item En déduire les variations de $f$ sur $\R$.
\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\R$.
\item Montrer que la fonction admet deux extremums locaux. Préciser la nature et la valeur de chaque extremum ainsi que la valeur de $x$ en laquelle il est atteint. 
\end{questions}
\vspace*{-1.5em}
\end{exointro}

\vspace*{-1.5em}
\section{Fonction dérivée}

\subsection{Définition et propriétés}

\begin{defin}[fonction dérivée]
$f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si et seulement si $f$ est dérivable en tout réel $x$ de $I$.

La fonction qui associe à tout réel $x$ de $I$ son nombre dérivé $f'(x)$ est appelée \textit{fonction dérivée} de $f$ et notée $f'$.
\end{defin}

\begin{prop}[dérivées des fonctions usuelles]
\mbox{Le tableau suivant résume les dérivées des fonctions de référence définies sur $\R$.}
\Par
\begin{center}
\begin{tabular}{|Zc|Zc|}
\hline\tabulartitle
Fonction $f$ & Fonction dérivée $f'$ \\ \hline
Fonction constante & \multirow{2}{*}{$f'(x)=0$} \\
$f(x)=k$ avec $k \in \R$ &  \\ 
\hline
Fonction identité &  \multirow{2}{*}{$f'(x)=1$} \\
$f(x)=x$ &  \\ 
\hline
Fonction carré &  \multirow{2}{*}{$f'(x)=2x$} \\
$f(x)=x^2$ &  \\ 
\hline
Fonction cube &  \multirow{2}{*}{$f'(x)=3x^2$} \\
$f(x)=x^3$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{prop}

\subsection{Dérivée d'une somme et d'un produit par un réel}

\begin{prop}
On considère $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$.
\begin{itemize}
\item \mbox{La fonction $u+v$ définie par $(u+v)(x)=u(x)+v(x)$ est dérivable sur $I$ et:}
\[(u+v)'=u'+v' \]

\item Soit $k$ un réel. La fonction $k \times u$ définie par $(k \times u)(x)=k \times u(x)$ est dérivable sur $I$ et :
\[(k \times u)'=k \times u' \]
 \end{itemize}
 \end{prop}
 
 \enlargethispage*{\baselineskip}
 \subsection{Dérivée des polynômes de degré inférieur ou égal à 3}
 \begin{prop}
 Un polynôme est constitué d'une somme de termes. Chaque terme est l'expression d'une fonction de référence ou du produit d'une fonction de référence par un réel. Pour calculer la fonction dérivée d'un polynôme, il suffit de dériver \og chaque terme \fg{} et d'en faire la somme.
 
\begin{center}
\begin{tabular}{|Zc|Zc|}
\hline\tabulartitle
Fonction & Dérivée \\
\hline
Fonction affine &  \multirow{2}{*}{$f'(x)=a$} \\ 
$f(x)=ax+b$ ($a,b \in \mathbb{R}$, $a \neq 0$) & \\
\hline
Fonction du second degré &  \multirow{2}{*}{$f'(x)=2ax+b$ } \\ 
$f(x)=ax^2+bx+c$ ($a,b,c \in \mathbb{R}$, $a \neq 0$) & \\
\hline
Fonction de degré 3 &  \multirow{2}{*}{$f'(x)=3ax^2+2bx+c$} \\
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ($a,b,c,d \in \mathbb{R}$, $a \neq 0$) &
\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{prop}
 
 

\section{Sens de variation et signe de la dérivée}
$f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$

\begin{thm}
\begin{itemize}
\item $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si, pour tout $x$ de $I$, $f'(x)\geq 0$.
\item $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si, pour tout $x$ de $I$, $f'(x)\leq 0$.
\item $f$ est constante sur $I$ si et seulement si, pour tout $x$ de $I$, $f'(x)= 0$.
\end{itemize}
\end{thm}

\begin{prop}
\begin{itemize}
\item Si $f'$ s'annule en changeant de signe alors la fonction $f$ admet un extremum local.
\item Si $f$ est d'abord croissante puis décroissante, cet extremum local est un \textit{maximum local}.
\item Si $f$ est d'abord décroissante puis croissante, cet extremum local est un \textit{minimum local}.
\end{itemize}
\end{prop}

\section{Tableau de variations}

\textit{Comment remplir un tableau de variations ?}
\begin{itemize}
\item On cherche, s'il n'est pas donné, l'ensemble de définition de la fonction.
\item On étudie le sens de variation de la fonction en étudiant le signe de la fonction dérivée.
\item On cherche les images des valeurs qui annulent la dérivée et les images des bornes de l'ensemble de définition lorsque c'est possible.
\item On remplit ensuite un tableau du type suivant :
\end{itemize}

\Par


\[
\begin{array}{|C|*7{Zc}|}
\hline
\tabulartitle
$x$ & $a$ &  & $x_1$ &  & $x_2$ &  & $b$\\
\hline
\text{Signe de }f'(x) &  & $+$ & $0$ & $-$ & $0$ & $+$ & \\
\hline
 & & & $f(x_1)$ &  & & & $f(b)$\\
 \text{Variations de }f &  & $\nearrow$ &  & $\searrow$ &  & $\nearrow$ & \\
 & $f(a)$ &  &  &  &  $f(x_2)$ &  &  \\
\hline
\end{array}
\]

\newpage

\begin{solintro}
\begin{methode}
Pour dresser le tableau de variations d'une fonction.
\begin{itemize}
\item Dans la 1ère ligne on place les valeurs qui annulent la dérivée entre les bornes de l'ensemble de définition.

\item Dans la 2\ieme{} ligne, on place le signe de $f'(x)$ que l'on a préalablement étudié.

\item Dans la dernière ligne, on indique par des flèches les variations de la fonction en utilisant le théorème du cours.

\item On place également les images des valeurs annulant la dérivée et les images des bornes de l'ensemble de définition lorsque c'est possible.
\end{itemize}
\end{methode}

\begin{questions}
\item On a, pour tout réel $x$,
\[
f'(x)=2 \times 3x^2+3,5 \times 2x-3=6x^2+7x-3.
\]

\item Pour montrer l'égalité, on développe la forme qui est donnée dans l'énoncé.
\begin{align*}
(2x+3)(3x-1) & = 6x^2-2x+9x-3\\
& = 6x^2+7x-3\\
&=f'(x).
\end{align*}

\item Pour étudier le signe de $f'(x)$, on étudie le signe du produit\linebreak $(2x+3)(3x-1)$ à l'aide d'un tableau de signes. 
Pour cela on résout:
\begin{align*}
(2x+3)(3x-1)=0 & \iff 2x+3=0~\text{ou}~ 3x-1=0\\
& \iff x=-\dfrac{3}{2}~\text{ou}~x=\dfrac{1}{3}.
\end{align*}
On étudie le signe de chacun des facteurs.
\begin{itemize}
\item $x\mapsto 2x+3$ est une fonction affine avec $a=2$ positif.

$2x+3$ est donc négatif sur $\left]-\infty;-\frac{3}{2}\right[$ puis positif sur $\left]-\frac{3}{2};+\infty\right[$.

\item $x\mapsto 3x-1$ est une fonction affine avec $a=3$ positif.

$3x-1$ est donc négatif sur $\left]-\infty;\frac{1}{3}\right[$ puis positif sur $\left]\frac{1}{3};+\infty\right[$.
\end{itemize}
On obtient le tableau de signes suivant : 
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*7{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & $-\dfrac{3}{2}$ &  & $\dfrac{1}{3}$ &  & $+\infty$\\
\hline
$2x+3$ &  & $-$ & 0 & $+$ &   & $+$ & \\
\hline
$3x-1$ &  & $-$ &   & $-$ & 0 & $+$ & \\
\hline
$f'(x)$ & & $+$ & 0 & $-$ & 0 & $+$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Break

\item 
\begin{itemize}
\item Sur $\left]-\infty;-\frac{3}{2}\right[$, $f'(x)$ est positif donc $f$ est croissante.
\item Sur $\left]-\frac{3}{2};\frac{1}{3}\right[$, $f'(x)$ est négatif donc $f$ est décroissante.
\item Sur $\left]\frac{1}{3};+\infty\right[$, $f'(x)$ est positif donc $f$ est croissante.
\end{itemize}

\item 
$f \left(-\frac{3}{2} \right)=\frac{53}{8}=6,625$ et $f\left(\frac{1}{3} \right)=\frac{25}{54}$. 

On ne peut pas calculer ici les valeurs aux bornes de l'ensemble de définition.

On obtient le tableau de variations suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*7{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & $-\dfrac{3}{2}$ &  & $\dfrac{1}{3}$ &  & $+\infty$\\
\hline
Signe de $f'(x)$ &  & $+$ & 0 & $-$ & 0 & $+$ & \\
\hline
                 &  &     & $\tfrac{53}{8}$ &  &   &  &  \\
Variations de $f$&  & $\nearrow$ &  &$\searrow$ &  & $\nearrow$ & \\
  & & & & & $\tfrac{25}{54}$ &  & \\
  \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item On a un maximum local qui vaut $\frac{53}{8}$ atteint pour $x=-\frac{3}{2}$ et\\
un minimum local qui vaut $\frac{25}{54}$ atteint pour $x=\frac{1}{3}$.
\end{questions}
\end{solintro}