\thumb


\begin{vf}{Tableau de variations}{10}
Voici le tableau de variations d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $[-5 ; 4]$ : 

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*7{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-5$ &  & $-1,5$ &  & 3 &  & 4\\
\hline
Signe de $f'(x)$ &  & $-$ & 0 & $+$ & 0 & $-$ & \\
\hline
   & 3 &  &  &  & 6 &  & \\
Variations de $f$ &  & $\searrow$ &  & $\nearrow$ &  & $\searrow$ & \\
 & &  & $-2$ & & & & 2\\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
Indiquer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses :
\begin{questions}
\item Le minimum de $f$ sur $[-5 ; 4]$ est $2$. 
\item  $f(1) < f(3)$.
\item $f'(-1)<0$.
\item La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $3$ est \og horizontale \fg{}.
\item $f$ est positive sur $[3;4]$.
\item Pour tout réel $x$ de $[-5;4]$, $2\leq f(x) \leq 3$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \emph{Faux}. Le minimum de $f$ sur $[-5;4]$ est $-2$ atteint pour $x=-1,5$.
\item \emph{Vrai}. Sur $[-1,5;3]$ la fonction $f$ est croissante et $1$ et $3$ appartiennent à  cet intervalle donc $f(1)<f(3)$.
\item \emph{Faux}. Sur $[-1,5;3]$ la fonction $f$ est croissante donc sur cet intervalle $f'(x)>0$, $-1 \in [-1,5;3]$ donc $f'(-1)>0$.
\item \emph{Vrai}. $f'(3)=0$. Or $f'(3)$ représente le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $3$. Cette tangente est donc parallèle à l'axe des abscisses; on dit qu'elle est \og horizontale \fg{}.
\item \emph{Vrai}. Sur l'intervalle $[3;4]$, $f$ est décroissante, $f(3)=6$ et $f(4)=2$ donc pour tout $x \in [3;4]$, $2\leq f(x)\leq6$ donc $f(x)\geq 0$.
\item \emph{Faux}. Contre-exemple : $f(3)=6$. 
\end{questions}
\end{corrige}

% 2026

\begin{qcm}{Fonction dérivée}{5}
Pour chaque question, trouver la bonne réponse.
\begin{questions}
\item Si $f(x)=-3$ alors :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $f'(x)=3$ & \choix $f'(x)=0$ & \choix $f'(x)=-3$ \\
\end{tabularx}


  
\item Si $f(x)=3x-2$ alors : \resetchoix\Par

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $f'(x)=3-2$ & \choix $f'(x)=1$ & \choix $f'(x)=3$ \\
\end{tabularx}

      
\item Si $f(x)=x^2+2x+3$ alors :\resetchoix\Par

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $f'(x)=2x+3$ & \choix $f'(x)=2x+5$ & \choix $f'(x)=2x+2$ \\
\end{tabularx}

\item Si $f(x)=3x^2-4x+1$ alors :\resetchoix\Par

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $f'(x)=3x-4$ & \choix $f'(x)=6x-3$ & \choix $f'(x)=6x-4$ \\
\end{tabularx}

\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{aretenir}
$a,\ b,\ c$ sont des réels $a\neq 0$.
\begin{center}
\begin{tabular}{|Zc|Zc|}
\hline\tabulartitle
\textbf{Fonction} & \textbf{Dérivée} \\
\hline
$f(x)=b$ & $f'(x)=0$ \\
\hline

$f(x)=ax+b$ 
& $f'(x)=a$ \\
\hline

$f(x)=ax^2+bx+c$ 
& $f'(x)=2ax+b$ \\
\hline
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 
& $f'(x)=3ax^2+2bx+c$ \\
\hline

\end{tabular}
\end{center}
\end{aretenir}

\begin{questions}
\item  Réponse \choix[b]. $f$ est une fonction constante.

\item Réponse \choix[c]. $f$ est une fonction affine.
\item Réponse \choix[c]. $f$ est de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a=1$, $b=2$ et $c=3$. 
\[
f'(x)=2ax+b=2 \times 1x+2=2x+2.
\]

\item Réponse \choix[c]. $f$ est de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a=3$, $b=-4$ et $c=1$. 
\[
f'(x)=2ax+b=2 \times 3x -4=6x-4.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

% 2026 

\begin{qcm}{Lecture graphique}{20}
La courbe $\mathcal{C}$ page suivante est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $[-3~;~5]$. 
Le point A$(2~;~-1)$ est un point de $\mathcal{C}$.
T est la tangente à $\mathcal{C}$ au point A. Elle coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 3.
La dérivée $f'$ s'annule en 0 et $\frac{8}{3}$. 
\begin{center}
\includegraphics{191_06_ex-courbeQCM}
\end{center}
Pour chaque question, trouver la bonne réponse.
\begin{questions}
\item Quelle est la valeur de $f'(2)$ ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $1$ & \choix $-3$ & \choix $-1$ \\
\end{tabularx}

\item Combien l'équation $f(x)=-2$ a-t-elle de solution(s) ?\resetchoix\Par

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix une & \choix zéro & \choix trois \\
\end{tabularx}

\item Que dire de $f'(-2)$ ?\resetchoix\Par

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $f'(-2)<0$ & \choix $f'(- 2)>0$ & \choix $f'(- 2)=0$ \\
\end{tabularx}

\item Combien de tangente(s) horizontale(s) la courbe admet-elle ?\resetchoix\Par

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix une & \choix deux & \choix aucune \\
\end{tabularx}

\item Quelle proposition sur le signe de $f'(x)$ est vraie ? \resetchoix\Par
\choix{} Pour tout $x, \: f' < 0$

\choix{} $f'$ change de signe sur $[0~;~5]$

\choix{} $f'(x) \geqslant 0$  sur $[-3~;~-2]$


\item Sur lequel de ces intervalles ou réunion d'intervalles, $f$ est-elle négative ?\resetchoix\Par

\choix{} $\left[\frac{- 3}{2}~;~5\right]$

\choix{} $[-3~;~0]$

\choix{} $[-3~;~0] \cup \left[\frac{8}{3}~;~5\right]$
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[a]. $f'(2)$ est le coefficient directeur de la tangente. Cette tangente passe par $A(2;-1)$ et $B(3;0)$. Donc:
\[
f'(2)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{0+1}{3-2}=1.
\]

\item Réponse \choix[c]. $\mathcal{C}$ coupe trois fois la droite d'équation $y=-2$.
\item Réponse \choix[a]. Sur $[-3;0]$ la fonction $f$ est décroissante donc pour\linebreak \mbox{$x \in ]-3;0]$}, $f'(x)<0$. Ainsi $f'(-2)<0$.

\item Réponse \choix[b]. La dérivée s'annule en changeant de signe en deux valeurs.

\item Réponse \choix[b]. Sur $[0;5]$, $f$ est croissante puis décroissante donc $f'$ change de signe sur cet intervalle.

\item Réponse \choix[a]. $f$ est négative quand $\mathcal{C}$ est située sous l'axe des abscisses.
\end{questions}
\end{corrige}


\sectionnn{Dériver une fonction}

%%% 2026 

\begin{exo}{Calculer des dérivées}{Lycée Thiers, Marseille}{1}{10} % 1 = nombre d'étoiles ; 5 = temps en minutes

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Dans chaque cas, on considère l'expression $f(x)$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$.
Calculer alors l'expression $f'(x)$ de la fonction dérivée $f'$.
\begin{questions}
\item $f(x)=7$
\item $f(x)=-x$
\item $f(x)=3-2x$
\item $f(x)=x^2-2x$
\item $f(x)=x^3+2x^2+5$
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{methode}
On commence par repérer la forme de la fonction:
\begin{itemize}
\item fonction usuelle;
\item fonction de la forme $k \times u(x)$;
\item fonction de la forme $u(x)+v(x)$;
\item association des formes connues 
$f(x)=ax^2+bx+c$ ou\\ $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.
\end{itemize}
\end{methode}

\begin{questions}
\item $f$ est une fonction constante donc sa dérivée est $f'(x)=0$.
\item $f$ est une fonction de la forme $k \times u(x)$ avec $k=-1$ et $u(x)=x$ alors sa dérivée est de la forme $f'(x)= k\times u'(x)$. Or $u'(x)=1$. 

Donc $f'(x)=-1$.

\item $f$ est une fonction affine avec $a=-2$ et $b=3$ donc sa dérivée est de la forme $f'(x)=a$. Donc $f'(x)=-2$.

\item $f$ est de la forme $u+v$ avec $u(x)=x^2$ et $v(x)=-2x$. Alors sa dérivée est de la forme $f'(x)=u'(x)+v'(x)$. 

$u'(x)=2x$ et $v'(x)=-2$. Ainsi $f'(x)=2x-2$.

\item $f$ est de la forme $ax^3+bx^2+cx+d$ avec $a=1$, $b=2$, $c=0$ et $d=5$. Donc $f'(x)=3ax^2+2bx+c$. 

Ainsi $f'(x)=3 \times 1x^2 +2 \times 2x+0=3x^2+4x$.
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Étudier les variations d'une fonction}

\begin{exo}{Variations}{Lycée Michelet, Vanves}{2}{15}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par: $f(x)=2x^3+3,5x^2-3x+1$.
\begin{questions}
\item Calculer $f'(x)$.
\item Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=(2x+3)(3x-1)$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
\item Construire le tableau de variations de $f$ sur $\R$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\enlargethispage*{5em}
\begin{methode}
%Pour déterminer le sens de variation d'une fonction $f$, on calcule sa fonction dérivée $f'$ puis on étudie le signe de $f'$.
\begin{itemize}
\item Si $f'(x) \geq 0$ sur $I$, $f$ est croissante sur $I$.
\item Si $f'(x) \leq 0$ sur $I$, $f$ est décroissante sur $I$.
\item Si $f'(x)=0$ sur $I$, $f$ est constante sur $I$.
\end{itemize}
\end{methode}
\newpage
\begin{questions}
\item $f$ est de la forme $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ avec $a=2$, $b=3,5$,  $c=-3$ et $d=1$.

$f'$ est de la forme $f'(x)=3ax^2+2bx+c$. 

Ainsi,
\[
f'(x)=3 \times 2 \times x^2+2 \times (3,5) \times x-3=6x^2+7x-3.
\]

\item Pour montrer l'égalité on développe le second membre.
\begin{align*}
(2x+3)(3x-1)&=2x \times 3x-2x+3 \times 3x-3\\
&=6x^2-2x+9x-3\\
&=6x^2+7x-3\\
&=f'(x).
\end{align*}

\item Pour étudier le signe de $f'(x)$ on va étudier le signe de chaque facteur et dresser un tableau de signes.
\begin{itemize}
\item $2x+3=0 \iff 2x=-3 \iff x=-\frac{3}{2}$.
\item $2x+3>0 \iff 2x>-3 \iff x>-\frac{3}{2}$.
\item $3x-1=0 \iff 3x=1 \iff x=\frac{1}{3}$.
\item $3x-1>0 \iff 3x>1 \iff x>\frac{1}{3}$.
\end{itemize}

On dresse le tableau de signes.

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*7{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & $-\dfrac{3}{2}$ &  & $\dfrac{1}{3}$ &  & $+\infty$ \\
\hline
Signe de $2x+3$ &  & $-$ & 0 & $+$ &  & $+$ & \\
\hline
Signe de $3x-1$ &  & $-$ &  & $-$ & 0 & $+$ & \\
\hline
Signe de $f'(x)$ &  & $+$ & 0 & $-$ & 0 & $+$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item On dresse ensuite le tableau de variations.
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*7{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & $-\dfrac{3}{2}$ &  & $\dfrac{1}{3}$ &  & $+\infty$ \\
\hline
Signe de $f'(x)$ &  & $+$ & 0 & $-$ & 0 & $+$ & \\
\hline
 &  & & $6,625$ &   & & & \\
Variations de $f$ &  & $\nearrow$ &  & $\searrow$ &  & $\nearrow$ & \\
 & & & & & $\tfrac{25}{54}$ & & \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

\sectionnn{Déterminer un extremum}

% 2026 

\begin{exo}{Extremum}{Lycée Talma, Brunoy}{2}{15}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par: $f(x)=x^2+6x-10$.
\begin{questions}
\item Calculer $f'(x)$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
\item Construire le tableau de variations de $f$ sur $\R$.
\item En déduire que $f$ admet un extremum sur $\R$. Préciser sa nature et en quelle valeur de $x$ il est atteint.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{aretenir}
Si $f'(x)$ s'annule en changeant de signe en $x_0$ alors $f$ admet un extremum en $x_0$.
Cet extremum est soit un minimum, soit un maximum.
\end{aretenir}

\begin{questions}
\item $f$ est de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a=1$, $b=6$ et $c=-10$.

$f'(x)=2ax+b$. Ainsi $f'(x)= 2 \times 1x+6=2x+6$.

\item $2x+6 >0 \iff 2x >-6 \iff x>-\frac{6}{2} \iff x>-3$.

Sur $]-\infty;-3[$, $f'(x)<0$ donc $f$ est décroissante.

Sur $]-3;+\infty[$, $f'(x)>0$ donc $f$ est croissante.
\item On a:
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*5{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & $-3$ &   & $+\infty$ \\
\hline
Signe de $f'(x)$ &  & $-$ & 0 & $+$ & \\
\hline
Variations de $f$ & & $\searrow$ &  & $\nearrow$ & \\
&  &  & $-19$ & &  \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item $f'$ s'annule en changeant de signe en $x=-3$ donc $f$ admet un extremum en $x=-3$.

Cet extremum est un minimum qui vaut $-19$ atteint pour $x=-3$.
\end{questions}
\end{corrige}


\sectionnn{Vers les maths complémentaires}

% 2026 

\begin{exo}{Modélisation}{Lycée Charlemagne, Thionville}{3}{60}

Une entreprise fabrique et commercialise un alliage métallique. Chaque mois, elle peut produire jusqu'à $10$~tonnes de cet alliage et en vend toute la production.
\begin{questions}
\item Le coût total de production de $x$ tonnes de l'alliage, exprimé en milliers d'euros, est modélisé par la fonction $C$ dont l'expression est: 
\[
C(x) = x^3 - 6x^2 + 24x + 135,
\]
 
où $x$ appartient à l'intervalle [0~;~10].
La courbe $\Gamma$, représentant la fonction $C$ dans un repère du plan, est tracée ci-dessous.
\begin{center}
\includegraphics{193_06_ex-mathcompl}
\end{center}
Donner par lecture graphique : 
	\begin{questions}
		\item le coût total d'une production de 4 tonnes; 
		\item la quantité correspondant à un coût total de production de $600$~milliers d'euros.
	\end{questions} 
\item Déterminer par le calcul: 
	\begin{questions}
		\item le coût total de production de $6$ tonnes de l'alliage. 
		\item le coût moyen de production d'une tonne lorsque l'entreprise produit $6$~tonnes.
	\end{questions} 
\item Après une étude de marché, le prix de vente de l'alliage produit a été fixé à $60$~milliers d'euros la tonne. 
	\begin{questions}
		\item Calculer la recette pour la vente de $5$~tonnes d'alliage. 
		\item On note $R$ la fonction qui modélise la recette, exprimée en milliers d'euros, pour $x$ tonnes vendues.
		 
Donner une expression de $R(x)$ en fonction de $x$. 
		\item Représenter graphiquement la fonction $R$ sur l'intervalle [0~;~10], dans le même repère que la courbe $\Gamma$. 
		\item Pour quelles valeurs de $x$ l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ?
	\end{questions} 
 
\item On note $B$ la fonction qui modélise le bénéfice, exprimé en milliers d'euros, sur l'intervalle [0~;~10]. 

\begin{questions}
\item Montrer que l'expression de $B(x)$, lorsque $x$ appartient à l'intervalle [0~;~10] est : 

\[B(x) = - x^3 + 6x^2 + 36x - 135.\]
 
\item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Calculer $B'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~10]. 
\item On admet que $B'(x)$ peut s'écrire 

\[B'(x) = (x + 2)(18 - 3x).\]
 
Étudier le signe de $B'$ et en déduire les variations de $B$ sur l'intervalle [0~;~10]. 
\item Déterminer la quantité d'alliage à produire pour réaliser un bénéfice maximal. 
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \begin{questions}
\item On lit l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $4$ soit $200$.

Le coût total de production de $4$ tonnes est  d'environ $200$ milliers d'euros.
\item On lit l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée $600$ soit environ 9 tonnes.
\end{questions}
\item \begin{questions}
\item On calcule $C(6)=6^3-6\times 6^2+24\times 6+135= 144+135=279$.
 Le coût total de production de $6$ tonnes est 279 milliers d'euros.
\item Lorsque l'entreprise produit 6 tonnes, elle dépense 279 milliers d'euros. Cette dépense est répartie sur chaque tonne   $\dfrac{279}{6}=\np{46.5}$ donc le coût moyen dans ces conditions, est de 46,5 milliers d'euros.
\end{questions}
\item \begin{questions}
\item La recette pour la vente de $5$~tonnes d'alliage est de 300 milliers d'euros $60\times 5 = 300$.
\item L'expression de $R(x)$ en fonction de $x$ est alors $R(x)=60x$.
\newpage
\item ~\vspace*{-1em}
\begin{center}
\includegraphics{199_06_ex-mathcomplCorr}
\end{center}
\item L'entreprise réalise un bénéfice lorsque la droite représentant la recette  est au-dessus de la courbe $\Gamma$. Nous lisons : $x$ appartient à l'intervalle $[3~;~\approx \numprint{8,4}]$.
\end{questions}
\item 
\begin{questions}
\item Le bénéfice est la différence entre les recettes et les coûts. 
\[
B(x)=60x-\left( x^3 - 6x^2 + 24x + 135\right)=-x^3+6x^2+36x-135.
\]

\item $B'(x) = -(3x^2) + 6(2x) + 36 = -3x^2 +12x + 36$.

\item $x$ étant positif, $x+2$ est strictement positif par conséquent le signe de $B'(x)$ est  celui de $18-3x$ ou de $6-x$.

Sur $\R,\ 6-x>0 \iff x<6$. Il en résulte :
\begin{center}
si $x\in [0~;6[,\ B'(x)>0$ ou si $x\in]6~;~10],\ B'(x)<0$.
\end{center}
\enlargethispage*{4em}

\item Tableau:
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*5{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & 0 &  & 6 &  & 10  \\
\hline
Signe de $B'(x)$ &  & $+$ & 0 & $-$ &  \\
\hline
 &  & & 81 &   &  \\
Variations de $B$ &  & $\nearrow$ &  & $\searrow$ &   \\
 &  $-135$ &  &  &  & $-175$  \\
 \hline
\end{tabular}
\Par
\end{center}
\item En lisant le tableau de variations, la quantité d'alliage à produire pour réaliser un bénéfice maximal est de 6 tonnes.

\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}
\thumb
\AfficheCorrige
