Le second degré : f ▷x◁ D ax^{2} C bx C c ▷a D̸ 0◁

• Courbe représentative

La courbe est une parabole.

Axe de symétrie : x D x_{0}.

Sommet : S▷x_{0} I y_{0}◁.

• Variations

Cas où a < 0

x −∞  x_{0}  C∞ ; f ▷x_{0}◁ ; f  ↗  ↘

Cas où a > 0

x −∞  x_{0}  C∞ ; f  ↘  ↗ ; f ▷x_{0}◁

• Cas particuliers

f ▷x◁ D ax^{2}  f ▷x◁ D ax^{2} C c  f ▷x◁ D a▷x − x_{1}◁▷x − x_{2}◁

{sommet : \atop O▷0 I 0◁}

sommet : S▷0 I c◁

racines : x_{1} et x_{2}
axe de symétrie : x D \frac{x_{1} C x_{2}}{2}

• À retenir

Le sommet est sur l’axe de symétrie.

Si f ▷x◁ D k a deux solutions x_{A} et x_{B}, l’axe de symétrie a pour équation :

x D \frac{x_{A} C x_{B}}{2} (moyenne de x_{A} et x_{B}).

La parabole est tournée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.

• Signe du trinôme

Si f ▷x◁ D a▷x − x_{1}◁▷x − x_{2}◁ :

→ le signe dépend de a.

→ les changements de signe se font en x_{1} et x_{2}.

Informations chiffrées

• Intersection et réunion

A ∩ B  A ∪ B

Ensemble des individus de E qui possèdent à la fois le caractère « A »

et le caractère « B ».

Ensemble des individus de E qui possèdent le caractère « A » ou le caractère « B ».

• Fréquence d’un caractère

card▷A◁ f ▷A◁ D \frac{card▷A◁}{card▷E◁}

Nombre d’individus possédant le caractère « A ».

Fréquence du caractère « A » dans la population E.

• Représentations graphiques

Nuages de points Diagrammes en barres empilées

Diagrammes circulaires

• Tableau croisé d’effectifs des caractères « A » et « B » d’une population

Caractères  B  N B  Total
A  card▷A ∩ B◁ card▷A ∩ N B◁ card▷A◁
N A  card▷ N A∩ B◁ card▷ N A∩ N B◁ card▷ N A◁
Total  card▷B◁  card▷ N B◁ card▷E◁

Probabilités

• Fréquences conditionnelles et marginales

A \overline{A} Total
B card▷A ∩ B◁ card▷\overline{A} ∩ B◁ card▷B◁
\overline{B} card▷A ∩ \overline{B}◁ card▷\overline{A} ∩ \overline{B}◁ card▷\overline{B}◁
Total card▷A◁ card▷\overline{A}◁ N

Fréquence conditionnelle de A parmi B :

f_{B}▷A◁ D \frac{card▷A ∩ B◁}{card▷B◁}

C’est une fréquence conditionnelle en ligne.

Fréquence conditionnelle de B parmi A :

f_{A}▷B◁ D \frac{card▷A ∩ B◁}{card▷A◁}

C’est une fréquence conditionnelle en colonne.

Fréquence marginale de B :

\frac{card▷B◁}{N}

Les marges sont les totaux en ligne ou en colonne.

• Probabilités conditionnelles et arbre de probabilités

Probabilité de A sachant que B est réalisé :

P_{B}▷A◁ D \frac{card▷A ∩ B◁}{card▷B◁} D \frac{P ▷A ∩ B◁}{P ▷B◁}.

À chaque nœud, la somme des probabilités est égale à 1 :

P ▷A◁ C P ▷\overline{A}◁ D 1 I P_{A}▷B◁ C P_{A}▷\overline{B}◁ D 1.

• Événements indépendants

A et B sont indépendants ⟺ P_{A}▷B◁ D P ▷B◁ ⟺ P_{B}▷A◁ D P ▷A◁
⟺ P ▷A ∩ B◁ D P ▷A◁ × P ▷B◁

• Successions d’expériences aléatoires indépendantes Des expériences aléatoires qui se succèdent sont indépendantes si le résultat de chacune n’influe pas sur le résultat des autres.

P ▷\overline{A}I B◁ D ▷1−p◁×p′

Phénomènes continus de ℝ → ℝ (fonctions affines)

• Fonction affine

a ∈ ℝ, b ∈ ℝ, f ▷x◁ D ax C b.
a D 0 b D 0

f est une fonction constante f est une fonction linéaire

• Représentation graphique d’une fonction affine Fonction affine f : représentée par une droite d d’équation y D ax Cb. Coefficient directeur de la droite :

a D \frac{f ▷x_{B}◁ − f ▷x_{A}◁}{x_{B} − x_{A}} D \frac{y_{B} − y_{A}}{x_{B} − x_{A}}

b : ordonnée à l’origine.

Fonction linéaire Fonction constante Droite passant par Droite parallèle l’origine du repère à l’axe des abscisses

• Variation d’une fonction affine

a > 0 a < 0 a D 0

Strictement croissante Strictement décroissante

Constante

Phénomènes discrets de ℕ → ℝ (suites)

• Définition et notations d’une suite Une suite est une fonction \begin{matrix}u V ℕ \\ → ℝ \end{matrix} ; n ⟼→ u_{n} u▷n◁ D u_{n} : terme de rang n, terme général de la suite.

Terme  u▷0◁ D u_{0} u▷1◁ D u_{1} u▷2◁ D u_{2} ⋯ u▷n◁ D u_{n}
Rang  0  1  2  ⋯  n
Position 1^{er} terme 2^{e} terme 3^{e} terme ⋯ ▷n C 1◁^{e} terme

Notation : u ou ▷u_{n}◁_{n≥0} ou ▷u▷n◁◁_{n∈ℕ}.

• Suite arithmétique de raison r et de premier terme u▷0◁ Formule de récurrence Formule explicite

Schéma

u▷n C 1◁ D u▷n◁ C r u▷n◁ D u▷0◁ C nr

• Variation d’une suite arithmétique

r > 0 r < 0 r D 0

Strictement croissante Strictement décroissante Constante

Fonctions exponentielles de base a (a>0)

• Phénomènes continus sur T0 I C∞T

f ▷x◁ D a^{x}, x ⩾ 0.

f est la fonction exponentielle de base a.

• Représentation graphique

• Propriétés algébriques a^{0} D 1 x et y sont deux réels positifs ou nuls.

a^{x} × a^{y} D a^{xCy}  \frac{a^{x}}{a^{y}} D a^{x−y}  ▷a^{x}◁^{y} D a^{xy}

• Racine n-ième d’un réel a > 0 x^{n} D a D⇒ x D a^{\frac{1}{n}} avec x > 0. a^{\frac{1}{n}} est la racine n-ième de a (notée \sqrt[n]{a}).

• Phénomènes discrets ℕ → ℝ: suites géométriques de raison q, de premier terme u_{0}

Formule de récurrence Formule explicite

u_{nC1} D q × u_{n} u_{n} D u_{0} × q^{n}

Représentation graphique Nuage de points de coordonnées ▷nI u_{n}◁

Nombres et calculs

• Calcul mental Pour additionner ou soustraire des fractions, on les réduit au même dénominateur. On simplifie les fractions avant de les multiplier.

• Utiliser un ordre de grandeur On vérifie si le résultat obtenu est incohérent ou aberrant. On effectue un calcul mental en choisissant des valeurs proches des nombres.

• Application numérique de formules mathématiques On remplace chaque lettre intervenant dans l’expression par sa valeur numérique. On écrit les signes « multiplier » qui sont sous-entendus.

Algèbre

• Identités remarquables - Distributivité a, b, c, d et k sont des nombres réels.

Identités remarquables Distributivité

▷a C b◁^{2} D a^{2} C 2ab C b^{2} ; ▷a − b◁^{2} D a^{2} − 2ab C b^{2} ; ▷a C b◁▷a − b◁ D a^{2} − b^{2}  {k▷a C b◁ D ka C kb \atop ▷a C b◁▷c C d◁ D ac C ad C bc C bd}

• Équations

Si a D̸ 0, ax C b D 0 ⟺ x D −\frac{b}{a}

x^{2} D a ⟺ \{ \begin{matrix}x D −\sqrt{a} ou x D \sqrt{a} & si a > 0 \\ x D 0 & si a D 0 \\ n’a pas de solution & si a < 0 \end{matrix}

Pourcentages

• Proportion

Proportion d’une sous-population de n individus dans une population de N individus

p D \frac{n}{N}

• Évolution

Coefficient multiplicateur  V_{i} ⟶^{t%} V_{f}  CM D 1 C \frac{t}{100}
Évolutions successives  V_{0} −−⟶^{×CM_{1}} V_{1} −−⟶^{×CM_{2}} V_{2} CM_{global} D CM_{1} × CM_{2}

Évolution réciproque

V_{i} −−−→^{×CM} V_{f}

CM_{réciproque} D \frac{1}{CM}