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\errorcontextlines=10
\documentclass[utf8,crop,realfonts,rabat]{prepamath}
\usepackage{rabat}
\usepackage{multirow}
\title{Rabats pour le livre 1MTC}
\author{Nathalie Defloraine}
\definecolor{tabularcolorline}{cmyk}{0,0.2,0.5,0}
\graphicspath{{images/}}
\makeatletter
\let\@startpbox@action\@startpbox
\makeatother
\begin{document}


% ===================================== Volet 6: second degré

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Le second degré: \boldmath $f(x)=ax^2+bx+c \quad (a\neq0)$}
\novspace
\point{Courbe représentative}
\vspace*{-1em}
\begin{itemize}
\item La courbe est une \textit{parabole}.
\item Axe de symétrie : $x = x_0$.
\item Sommet : S$(x_0\;;y_0)$.
\end{itemize}

\vspace*{-1.2em}
\point{Variations}
\vspace*{-0.75em}

\begin{tabular}{|ZcZc@{}|}
\hline
\tabulartitle
\multicolumn{2}{|Zc|}{Cas où $a<0$}\\
\hline
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{tabular}{|C|*5{Zc}|}
\hline\rowcolor{LY}
$x$ & $-\infty$ &  & $x_0$ & & $+\infty$\\
\hline\rowcolor{white}
\cellcolor{LY}    &           &  & $f(x_0)$ &  &  \\
\cellcolor{LY}  $f$ &  & $\nearrow$ &  & $\searrow$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\includegraphics{000_07_crs-parab1}
\end{minipage}
\\
\hline
\tabulartitle
\multicolumn{2}{|Zc|}{Cas où $a>0$}\\
\hline
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{tabular}{|C|*5{Zc}|}
\hline\rowcolor{LY}
$x$ & $-\infty$ &  & $x_0$ & & $+\infty$\\
\hline\rowcolor{white}
\cellcolor{LY}  $f$ &  & $\searrow$ &  & $\nearrow$ & \\
\cellcolor{LY}    &           &  & $f(x_0)$ &  &  \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\includegraphics{000_07_crs-parab2}
\end{minipage}
\\
\hline
\end{tabular}

\vspace*{-1em}
\point{Cas particuliers}
\vspace*{-.75em}

\begin{tabular}{|*2{>{\centering\arraybackslash}Z{m{25mm}}|}|Z{m{54mm}}|}
\hline\tabulartitle
$f(x)=ax^2$ & $f(x)=ax^2+c$ & \centering\arraybackslash $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ \\
\hline
sommet: O$(0\;;0)$ & sommet: S$(0\;;c)$ & \centering\arraybackslash\hspace*{4ex} 
racines : $x_1$ et $x_2$\newline\newline axe de symétrie : $x=\dfrac{x_1+x_2}{2_{\phantom{p}}}$\\
\hline
\end{tabular}


\vspace*{-1em}
\point{À retenir}
\vspace*{-1em}
\begin{itemize}
\item Le sommet est sur l'axe de symétrie.
\item Si $f(x)=k$ a deux solutions $x_A$ et $x_B$, l'axe de symétrie a pour équation:\[ x=\dfrac{x_A+x_B}{2}\quad\text{ (moyenne de $x_A$ et $x_B$)}. \]
\item La parabole est tournée vers le haut si $a>0$, vers le bas si $a<0$.
\end{itemize}

\vspace*{-1em}
\point{Signe du trinôme}
\vspace*{-1em}
\begin{itemize}
\item Si $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ :
\begin{itemize}
\item[$\to$] le signe dépend de $a$.
\item[$\to$] les changements de signe se font en $x_1$ et $x_2$.
\end{itemize}
\end{itemize}
\vspace*{-1.8em}
\end{cadre}


\end{colonne}


% ===================================== Volet 1: info chiffrées

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Informations chiffrées}
\novspace
\point{Intersection et réunion}
\vspace*{-0.75em}

\begin{tabular}{|*2{>{\centering\arraybackslash}Z{m{0.45\linewidth}}|}}
\hline
\tabulartitle
$A\cap B$ & $A\cup B$\\
\hline
Ensemble des individus de $E$ qui possèdent à la fois le caractère \og $A$ \fg{} \textit{et} le caractère \og $B$ \fg.
&
Ensemble des individus de $E$ qui possèdent le caractère \og $A$ \fg{} \textit{ou} le caractère \og $B$ \fg.\\
\hline
\end{tabular}

\vspace*{-1em}
\point{Fréquence d'un caractère}
\vspace*{-0.75em}

\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|*2{>{\centering\arraybackslash}Z{m{0.45\linewidth}}|}}
\hline
\tabulartitle
$\mathrm{card}(A)$ & $f(A)=\dfrac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card}(E)}$\\\hline
Nombre d'individus possédant le caractère \og $A$ \fg.
&
Fréquence du caractère \og $A$ \fg{} dans la population $E$.\\
\hline
\end{tabular}


\vspace*{-1em}
\point{Représentations graphiques}
\vspace*{-1em}

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}|>{\centering\arraybackslash}X|>{\centering\arraybackslash}X|@{}}
\hline
\tabulartitle
Nuages de points & Diagrammes en barres empilées\\
\hline
\includegraphics{nuagepoints}
&
\includegraphics{diagbarres}\\
\hline
\tabulartitle
\multicolumn{2}{|c|}{Diagrammes circulaires}\\
\hline
\multicolumn{2}{|c|}{\includegraphics{diagcirc}}\\
\hline
\end{tabularx}

\vspace*{-1em}
\point{Tableau croisé d'effectifs des caractères \og \boldmath $A$ \fg{} et \og \boldmath $B$ \fg{} d'une population}
\vspace*{-0.75em} 

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*3{Zc|}}
\hline\tabulartitle
Caractères & $B$ & $\bar{B}$ & Total\\
\hline
$A$ & $\textrm{card}(A\cap B)$ & $\textrm{card}(A\cap \bar{B})$ & $\textrm{card}(A)$\\
\hline
$\bar{A}$ & $\textrm{card}(\bar{A}\cap B)$ & $\textrm{card}(\bar{A}\cap \bar{B})$ & $\textrm{card}(\bar{A})$\\
\hline
Total & $\textrm{card}(B)$ & $\textrm{card}(\bar{B})$ & $\textrm{card}(E)$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\vspace*{-1em}
\end{cadre}


\end{colonne}



% ===================================== Volet 2: probabilités

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Probabilités}
\novspace
\point{Fréquences conditionnelles et marginales}
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|Zc|Zc|Zc|}
\hline
\tabulartitle
 & $A$ & $\overline{A}$ & Total \\
\hline
$B$ & {\color{DR}$\mathrm{card}(A\cap B)$} &
$\mathrm{card}(\overline{A}\cap B)$ & {\color{DB}$\mathrm{card}(B)$} \\
\hline
$\overline{B}$ &
$\mathrm{card}(A\cap \overline{B})$ &
$\mathrm{card}(\overline{A}\cap \overline{B})$ &
$\mathrm{card}(\overline{B})$ \\
\hline
Total &
$\mathrm{card}(A)$ &
$\mathrm{card}(\overline{A})$ &
$N$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\Par
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}|X|>{\centering\arraybackslash}m{36mm}|@{}}
\hline
Fréquence conditionnelle de $A$ parmi $B$: & \multirow{2}{*}{$f_B(A) = \dfrac{ \color{DR} \mathrm{card}(A\cap B)\strut} { \color{DB} \mathrm{card}(B)}$}\\
C'est une \textit{fréquence conditionnelle en ligne}. & \\
\hline
Fréquence conditionnelle de $B$ parmi $A$: & \multirow{2}{*}{$f_A(B)= \dfrac{\textcolor{DR}{\mathrm{card}(A\cap B)}}{\mathrm{card}(A)}$}\\
C'est une \textit{fréquence conditionnelle en colonne}. & \\
\hline
Fréquence marginale de $B$: & \multirow{2}{*}{$\dfrac{\textcolor{DB}{\mathrm{card}(B)}}{N}$}\\
Les marges sont les totaux en ligne ou en colonne. & \\
\hline
\end{tabularx}

\Par

\novspace
\point{Probabilités conditionnelles et arbre de probabilités}
\includegraphics[width=\linewidth]{proba}

Probabilité de $A$ sachant que $B$ est réalisé:
\[
P_B(A)=\frac{\mathrm{card}(A\cap B)}{\mathrm{card}(B)}
=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
\]

À chaque nœud, la somme des probabilités est égale à $1$ :
\[
P(A)+P(\overline{A})=1\qquad;\qquad P_A(B)+P_A(\overline{B})=1.
\]

\novspace
\point{Événements indépendants}

$\begin{aligned}[t] 
A\text{ et }B\text{ sont indépendants} & \iff P_A(B)=P(B) \iff P_B(A)=P(A)\\ 
									   & \iff P(A\cap B)=P(A)\times P(B)
\end{aligned}$

\vspace*{-1em}
\point{Successions d'expériences aléatoires indépendantes}
\vspace*{-1em}

Des expériences aléatoires qui se succèdent sont indépendantes si le résultat de chacune n'influe pas sur le résultat des autres.
\begin{center}
\begin{minipage}{5cm}
\includegraphics{probaindep}
\end{minipage}
\begin{minipage}{3.4cm}
$P(\overline{A};B)=(1-p)\times p'$
\end{minipage}
\end{center}
\vspace*{-1.6em}
\end{cadre}
\end{colonne}

% ===================================== Volet 3: Fct affine / suites

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Phénomènes continus de \boldmath$\R \to \R$ (fonctions affines)}
\novspace
\point{Fonction affine}
\vspace*{-2em}
\[
a\in\R,\ b\in\R, f(x)=ax+b.
\]
\begin{center}
\begin{tabular}{|Zc|Zc|}
\hline\tabulartitle
$a=0$ & $b=0$\\
\hline
$f$ est une \textit{fonction constante} & $f$ est une \textit{fonction linéaire}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace*{-1em}
\point{Représentation graphique d'une fonction affine}
\vspace*{-1em}

\begin{minipage}{3cm}
\includegraphics{fctAffine}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9.8cm}
Fonction affine $f$: représentée par une droite $d$ d'équation $y=ax+b$.

\Par

Coefficient directeur de la droite:
\[
a=\frac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}
=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}
\]

$b$: ordonnée à l'origine.

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}Z{m{0.45\linewidth}}|>{\centering\arraybackslash}Z{m{0.45\linewidth}}|}
\hline\tabulartitle
Fonction linéaire & Fonction constante\\
\hline
Droite passant par & Droite parallèle\\
l'origine du repère &  à l'axe des abscisses\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}

\vspace*{-1em}
\point{Variation d'une fonction affine}
\vspace*{-0.5em}

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}|*3{>{\centering\arraybackslash}Z{m{0.3\linewidth}}|}@{}}
\hline\tabulartitle
$a>0$ & $a<0$ & $a=0$\\
\hline
Strictement croissante & 
Strictement décroissante &
Constante\\
\hline
\end{tabularx}
\vspace*{-1.5em}
\end{cadre}

\Par

\begin{cadre}{Phénomènes discrets de \boldmath$\N \to \R$ (suites)}
\novspace
\point{Définition et notations d'une suite}
\vspace*{-0.5em}

Une suite est une fonction $\begin{aligned}[t] u: \N & \to \R \\ n & \longmapsto u_n\end{aligned}$

$u(n)=u_n$: terme de rang $n$, \textit{terme général} de la suite.

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*5{Zc|}}
\hline
Terme & $u(0)=u_0$ & $u(1)=u_1$ & $u(2)=u_2$ & $\cdots$ & $u(n)=u_n$ \\
\hline
Rang &
$0$ &
$1$ &
$2$ &
$\cdots$ &
$n$ \\
\hline
Position &
$1^{\text{er}}$ terme &
$2^{\text{e}}$ terme &
$3^{\text{e}}$ terme &
$\cdots$ &
$(n+1)^{\text{e}}$ terme \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Par

Notation: $u$ ou $(u_n)_{n\geq 0}$ ou $(u(n))_{n \in \mathbb{N}}$.

\vspace*{-1em}
\point{Suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u(0)$}
\begin{center}
\begin{tabular}{|Z{>{\centering\arraybackslash}m{35mm}}|Z{>{\centering\arraybackslash}m{30mm}}|Z{>{\centering\arraybackslash}m{50mm}}|}
\hline
\tabulartitle
Formule de récurrence & Formule explicite & Schéma\\
\hline
$u(n+1)=u(n)+r$ & $u(n)=u(0)+nr$ & \includegraphics{schemaSuite}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace*{-1em}
\point{Variation d'une suite arithmétique}
\begin{center}
\begin{tabular}{|Zc|Zc|Zc|}
\hline\tabulartitle
$r>0$ & $r<0$ & $r=0$\\
\hline
Strictement croissante & Strictement décroissante & Constante\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{cadre}
\end{colonne}

% =================================== Volet 4: Fonctions exponentielles

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Fonctions exponentielles de base a (a$>$0) }
\novspace
\point{Phénomènes continus sur \boldmath$[0\;;+\infty[$}
\vspace*{-1.5em}
\[
f(x)=a^x,\ x \geqslant 0.
\]
$f$ est la fonction exponentielle de base $a$.

\vspace*{-1em}
\point{Représentation graphique}

\begin{center}
\includegraphics{courbesExp}
\end{center}


\point{Propriétés algébriques}
\vspace*{-0.75em}
\begin{itemize}
\item $a^0=1$
\item $x$ et $y$ sont deux réels positifs ou nuls.
\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{|Z{>{\centering\arraybackslash}X}|Z{>{\centering\arraybackslash}X}|Z{>{\centering\arraybackslash}X}|}
\hline
$a^x \times a^y= a^{x+y}$
&
$\dfrac{a^{x}}{a^y}=a^{x-y}$
&
$(a^x)^y=a^{xy}$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{itemize}


\point{Racine n-ième d'un réel a $>$ 0}

$x^n=a \Longrightarrow x=a^{\tfrac{1}{n}}$ avec $x>0$.
\Par
$a^{\tfrac{1}{n}}$ est la racine n-ième de $a$ (notée  $\sqrt[n]{a}$).

\point{\fontsize{9.8}{9}\selectfont Phénomènes discrets \boldmath$\N \to \R$: suites géométriques de raison q, de premier terme u$_0$}

\vspace*{-0.7em}


\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash}X|>{\centering\arraybackslash}X|}
\hline\tabulartitle
Formule de récurrence & Formule explicite\\
\hline
$u_{n+1}=q\times u_{n}$ & $u_n=u_0 \times q^n$\\
\hline\tabulartitle
\multicolumn{2}{|Zc|}{Représentation graphique}\\
\hline
\multicolumn{2}{|Zc|}{Nuage de points de coordonnées $(n;u_n)$}\\
\hline
\end{tabularx}
\vspace*{2mm}
\end{cadre}
\end{colonne}

% =================================== Volet 5: automatismes

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Nombres et calculs}
\novspace
\point{Calcul mental}
\vspace*{-1em}
Pour additionner ou soustraire des fractions, on les réduit au même dénominateur.

\Par

On simplifie les fractions avant de les multiplier.

\vspace*{-1em}
\point{Utiliser un ordre de grandeur}
\vspace*{-1em}
On vérifie si le résultat obtenu est incohérent ou aberrant.

\Par

On effectue un calcul mental en choisissant des valeurs proches des nombres.

\vspace*{-1em}
\point{Application numérique de formules mathématiques}
\vspace*{-1em}
On remplace chaque lettre intervenant dans l'expression par sa valeur numérique.

\Par

On écrit les signes \og multiplier \fg{} qui sont sous-entendus.
\end{cadre}

\begin{cadre}{Algèbre}
\novspace
\point{Identités remarquables - Distributivité}

\vspace*{-1em}
$a,b,c,d$ et $k$ sont des nombres réels.
\Par
\begin{tabular}{|Zc|Zc|}
\hline\tabulartitle
Identités remarquables & Distributivité\\
\hline
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{center}
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
\end{center}
\end{minipage}
& 
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{center}
$k(a+b)=ka+kb$\\[2mm]
$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
\end{center}
\end{minipage}\\
\hline
\end{tabular}

\vspace*{-.75em}
\point{Équations}
\vspace*{-1em}
\[
\boxed{\text{Si }a\neq0,\quad ax+b=0 \iff x= -\dfrac{b}{a} }
\]
\Par
\[
\boxed{
x^2=a \iff \begin{cases}
x=-\sqrt{a}\text{ ou }x=\sqrt{a} & \text{ si }a>0\\
x=0 & \text{ si }a=0\\
\text{n'a pas de solution} & \text{ si }a<0
\end{cases} }
\]
\vspace*{-1.7em}
\end{cadre}

\begin{cadre}{Pourcentages}
\novspace
\point{Proportion}
\vspace*{-.75em}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|Z{>{\centering\arraybackslash}X}|}
\hline\tabulartitle
\small Proportion d'une sous-population de $n$ individus dans une population de $N$ individus\\
\hline
$p=\dfrac{n}{N}$\\
\hline
\end{tabularx}

\vspace*{-0.75em}
\point{Évolution}
\vspace*{-.75em}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|L|Zc|Z{>{\centering\arraybackslash}X}|}
\hline
Coefficient multiplicateur & $V_i \xrightarrow{t\%} V_f$ &  $CM=1+\dfrac{t}{100}$\\
\hline
Évolutions successives & $V_0 \xrightarrow{\times CM_1} V_1 \xrightarrow{\times CM_2} V_2$  & \small$CM_{\rm global}=CM_1 \times CM_2$\\
\hline
Évolution réciproque & $V_i\xrightarrow{\times CM}V_f$ & $CM_{\text{réciproque}}=\dfrac{1}{CM}$\\
\hline
\end{tabularx}
\vspace*{-1.5em}
\end{cadre}

\end{colonne}

\end{document}
