\documentclass[a4paper,10pt]{article}

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\setlength{\parindent}{0pt}

% Couleurs
\definecolor{lighttable}{RGB}{235,235,242}

\begin{document}

\section*{Phénomènes continus $\mathbf{R \to R}$}

\subsection*{Fonction affine}
Soient $a$ et $b$ deux réels fixés.
\[
f(x)=ax+b \]

\begin{itemize}
\item Si $b=0$,$f$ est une \textbf{fonction linéaire}.
\item Si $a=0$,$f$ est une \textbf{fonction constante}.
\end{itemize}

\subsection*{Représentation graphique d'une fonction affine}
Une fonction affine $f$ est représentée par une droite $d$ d'équation $y=ax+b$

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.85]
% Grille
\draw[step=0.5cm, very thin, gray!35] (0,0) grid (2.6,5.6);

% Axes
\draw[->, thick] (0,0) -- (2.6,0) node[below] {$x$};
\draw[->, thick] (0,0) -- (0,4.7) node[left] {$y$};

% Graduations principales
\foreach \x in {1,2}
  \draw (\x,0.06) -- (\x,-0.06) node[below] {\small \x};

\foreach \y in {1,2,3,4,5}
  \draw (0.06,\y) -- (-0.06,\y) node[left] {\small \y};

% Paramètres de la droite : pente = 2, ordonnée à l'origine = 0.5
% Droite y = 2x + 0.5
% Droite
\draw[domain=0:2.5,thick,red]
  plot (\x,{2*\x + 0.5});

% Point A
\coordinate (A) at (1,2.5);
\fill (A) circle (1.4pt);
\node[above left] at (A) {$A$};

% Point B 
\coordinate (B) at (2,4.5);
\fill (B) circle (1.4pt);
\node[above right] at (B) {$B$};

% Traits pointillés vers les axes
\draw[dashed,gray] (A) -- (1,0);
\draw[dashed,gray] (A) -- (0,2.5);
\draw[dashed,gray] (B) -- (2,0);
\draw[dashed,gray] (B) -- (0,4.5);

% Petit triangle de pente
\draw[very thick,red] (1,2.5) -- (2,2.5);
\draw[very thick,blue] (2,2.5) -- (2,4.5);

% Étiquettes pente
\node[red,below] at (1.5,2.5) {$1$};
\node[blue,right] at (2,3.5) {$a$};

% Nom de la droite
\node[red] at (0.5,1) {$d$};

% Ordonnée à l'origine b
\fill (0,0.5) circle (1pt);
\node[left] at (0,0.5) {$b$};

\end{tikzpicture}

\end{center}

\begin{itemize}
\item $a$ est le coefficient directeur de la droite.
\[
a=\frac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}
=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}
\]
avec $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)\in d$.
\item $b$ est l'ordonnée à l'origine.

\item Si la fonction est linéaire, elle est représentée par une droite passant par l'origine du repère.
\item Si la fonction est constante, elle est représentée par une droite parallèle à l'axe des abscisses.
\end{itemize}

\subsection*{Variation d'une fonction affine}
\begin{itemize}
\item Si $a>0$, $f$ est strictement croissante.
\item Si $a<0$, $f$ est strictement décroissante.
\item Si $a=0$, $f$ est constante.
\end{itemize}


\section*{Phénomènes discrets $\mathbf{N \to R}$}

\subsection*{Définition et notations d'une suite}
Une suite est une fonction $u:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$
\[
n\longmapsto u_n
\]

$u(n)=u_n$ :terme de rang $n$,\textbf{terme général} de la suite.

\begin{center}
\small
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{1.8cm}|
                >{\centering\arraybackslash}m{1.5cm}|
                >{\centering\arraybackslash}m{1.5cm}|
                >{\centering\arraybackslash}m{1.5cm}|
                >{\centering\arraybackslash}m{0.8cm}|
                >{\centering\arraybackslash}m{1.8cm}|}
\hline
\rowcolor{gray!25}
\textbf{Terme} &
$u(0)=u_0$ &
$u(1)=u_1$ &
$u(2)=u_2$ &
$\cdots$ &
$u(n)=u_n$ \\
\hline
\rowcolor{gray!15}
\textbf{Son rang} &
$0$ &
$1$ &
$2$ &
$\cdots$ &
$n$ \\
\hline
\rowcolor{gray!25}
\textbf{Sa position} &
$1^{\text{er}}$ terme &
$2^{\text{e}}$ terme &
$3^{\text{e}}$ terme &
$\cdots$ &
$(n+1)^{\text{e}}$ terme \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1mm}

Notation:$u$ ou $(u_n)_{n\geq 0}$ ou $(u(n))_{n \in \mathbb{N}}$.

\subsection*{Suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u(0)$}
\begin{itemize}
\item \textbf{Formule de récurrence}
\[
u(n+1)=u(n)+r.
\]

\[
\begin{tikzpicture}[baseline]

\node (u0) at (0,0) {$u(0)$};
\node (u1) at (2,0) {$u(1)$};
\node (u2) at (4,0) {$u(2)$};
\node (u3) at (6,0) {$u(3)$};

% Flèches courbées
\foreach \a/\b in {u0/u1, u1/u2, u2/u3}
{
\draw[->, bend right=40] (\a.south) to node[below] {$+r$} (\b.south);
}
\end{tikzpicture}
\]

\item \textbf{Formule explicite}

\[
u(n)=u(0)+nr.
\]
\end{itemize}


\subsection*{Représentation graphique d'une suite arithmétique}
La représentation graphique d'une suite arithmétique est constituée de points alignés.

\vspace{1mm}

Pour $u(0)=-1$\\
et $r=0{,}5$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
    axis lines=middle,
    xmin=-0.5, xmax=5.5,
    ymin=-1.5, ymax=2,
    xtick={0,1,2,3,4,5},
    ytick={-1,0,1},
    grid=major,
    axis line style={->}
]

\addplot[only marks, mark=x, thick] coordinates {
(0,-1) (1,-0.5) (2,0) (3,0.5) (4,1) (5,1.5)
};

\draw[->, thick] (axis cs:2,0) -- (axis cs:3,0.5);
\node at (axis cs:2.6,0.2) {$+0.5$};

\node[below right] at (axis cs:5.5,0) {$n$};
\node[above left] at (axis cs:0,2) {$u(n)$};

\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection*{Variation d'une suite arithmétique}
\begin{itemize}
\item Si $r>0$, $(u_n)_{n\geq 0}$ est strictement croissante.
\item Si $r<0$, $(u_n)_{n\geq 0}$ est strictement décroissante.
\item Si $r=0$, $(u_n)_{n\geq 0}$ est constante.
\end{itemize}



\end{document}