\documentclass[a4paper,10pt]{article}

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\setlength{\parindent}{0pt}

% Couleurs
\definecolor{lighttable}{RGB}{235,235,242}

\begin{document}

\section*{Fréquences conditionnelles et marginales}

Un tableau croisé d'effectifs permet de calculer des fréquences conditionnelles. $N$ est l'effectif total.

\vspace{2mm}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\small
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{0.9cm}|>{\centering\arraybackslash}m{1.5cm}|>{\centering\arraybackslash}m{1.5cm}|>{\centering\arraybackslash}m{1.2cm}|}
\hline
\rowcolor{lighttable}
 & \textbf{$A$} & \textbf{$\bar A$} & \textbf{Total} \\
\hline
\rowcolor{lighttable}
\textbf{$B$} &
{\color{red}$\mathrm{card}(A\cap B)$} &
$\mathrm{card}(\bar A\cap B)$ &
{\color{blue}$\mathrm{card}(B)$} \\
\hline
\rowcolor{lighttable}
\textbf{$\bar B$} &
$\mathrm{card}(A\cap \bar B)$ &
$\mathrm{card}(\bar A\cap \bar B)$ &
$\mathrm{card}(\bar B)$ \\
\hline
\rowcolor{lighttable}
\textbf{Total} &
$\mathrm{card}(A)$ &
$\mathrm{card}(\bar A)$ &
$N$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\small
\[
f_B(A)=
\frac{\textcolor{red}{\mathrm{card}(A\cap B)}}{\textcolor{blue}{\mathrm{card}(B)}}
\]
est la fréquence conditionnelle de $A$ parmi $B$, c'est une \textbf{fréquence conditionnelle en ligne}.

\[
f_A(B)=
\frac{\textcolor{red}{\mathrm{card}(A\cap B)}}{\mathrm{card}(A)}
\]
est la fréquence conditionnelle de $B$ parmi $A$, c'est une \textbf{fréquence conditionnelle en colonne}.

Les marges sont les totaux en ligne ou en colonne.

La fréquence marginale de $B$ est
\[
\frac{\textcolor{blue}{\mathrm{card}(B)}}{N}.
\]

\section*{Probabilités conditionnelles et arbre de probabilités}

Soient $A$ et $B$ deux événements d'un même univers avec $P(B)\neq 0$.

La probabilité de $A$ sachant que $B$ est réalisée est
\[
P_B(A)=\frac{\mathrm{card}(A\cap B)}{\mathrm{card}(B)}
=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
\]

\vspace{2mm}

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.34\textwidth}
\textbf{Arbre de probabilités}

\vspace{1mm}

\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,>=latex]
\coordinate (O) at (0,2);
\coordinate (A) at (1.4,2.8);
\coordinate (Ac) at (1.4,1.2);

\coordinate (AB) at (3.0,3.3);
\coordinate (ABc) at (3.0,2.3);
\coordinate (AcB) at (3.0,1.7);
\coordinate (AcBc) at (3.0,0.7);

\draw[thick] (O)--(A);
\draw[thick] (O)--(Ac);
\draw[thick] (A)--(AB);
\draw[thick] (A)--(ABc);
\draw[thick] (Ac)--(AcB);
\draw[thick] (Ac)--(AcBc);

\node[above left] at (A) {$A$};
\node[below left] at (Ac) {$\bar A$};

\node[right] at (AB) {$B$};
\node[right] at (ABc) {$\bar B$};
\node[right] at (AcB) {$B$};
\node[right] at (AcBc) {$\bar B$};

\node at (0.75,2.65) {$P(A)$};
\node at (0.8,1.35) {$P(\bar A)$};

\node at (2.2,3.15) {$P_A(B)$};
\node at (2.25,2.45) {$P_A(\bar B)$};
\node at (2.25,1.55) {$P_{\bar A}(B)$};
\node at (2.35,0.85) {$P_{\bar A}(\bar B)$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
\textbf{Événements}

\vspace{2mm}

\[
A\cap B
\]

\[
A\cap \bar B
\]

\[
\bar A\cap B
\]

\[
\bar A\cap \bar B
\]
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{0.31\textwidth}
\textbf{Probabilités}

\vspace{2mm}

\[
P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)
\]

\[
P(A\cap \bar B)=P(A)\times P_A(\bar B)
\]

\[
P(\bar A\cap B)=P(\bar A)\times P_{\bar A}(B)
\]

\[
P(\bar A\cap \bar B)=P(\bar A)\times P_{\bar A}(\bar B)
\]
\end{minipage}

\vspace{2mm}
\hrule
\vspace{2mm}

À chaque nœud, la somme des probabilités est égale à $1$ :
\[
P(A)+P(\bar A)=1
\]
\[
P_A(B)+P_A(\bar B)=1
\]

\vspace{5mm}

\section*{Événements indépendants}
\begin{itemize}
\item $A$ et $B$ sont deux événements de probabilité non nulle d'un même univers.
\item $A$ et $B$ sont indépendants signifie
\[
P_A(B)=P(B)
\]
ce qui est équivalent à
\[
P_B(A)=P(A).
\]
\item $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :
\[
P(A\cap B)=P(A)\times P(B).
\]
\end{itemize}


\section*{Successions d'expériences aléatoires indépendantes}
\begin{itemize}
\item Des expériences aléatoires qui se succèdent sont indépendantes si le résultat de chacune n'influe pas sur le résultat des autres.
\item On peut représenter la succession de ces épreuves indépendantes par un arbre de probabilités.
\end{itemize}

\vspace{1mm}

\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
\[
P(\bar A\,;B)=(1-p)\times p'
\]
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,>=latex]
\coordinate (O) at (0,1.6);
\coordinate (A) at (1.2,2.2);
\coordinate (Ac) at (1.2,1.0);

\coordinate (AB) at (2.5,2.6);
\coordinate (ABc) at (2.5,1.8);
\coordinate (AcB) at (2.5,1.4);
\coordinate (AcBc) at (2.5,0.6);

\draw[thick] (O)--(A);
\draw[thick] (O)--(Ac);
\draw[thick] (A)--(AB);
\draw[thick] (A)--(ABc);
\draw[thick] (Ac)--(AcB);
\draw[thick] (Ac)--(AcBc);

\node[above left] at (A) {$A$};
\node[below left] at (Ac) {$\bar A$};
\node[right] at (AB) {$B$};
\node[right] at (ABc) {$\bar B$};
\node[right] at (AcB) {$B$};
\node[right] at (AcBc) {$\bar B$};

\node at (0.55,2.1) {$p$};
\node at (0.55,1.1) {$1-p$};

\node at (1.85,2.45) {$p'$};
\node at (1.95,1.95) {$1-p'$};
\node at (1.85,1.35) {$p'$};
\node at (2.0,0.75) {$1-p'$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\end{document}