\chapter{Limites de fonctions}

\section{Notion de limites et limites usuelles}

\begin{exointro}{Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy}
\begin{questions}
\item Calculer les limites en $+\infty$ et $-\infty$ des fonctions suivantes.
\begin{questions}
\item $f:x\mapsto\dfrac{3x+1}{x^2}$
\item $g:x\mapsto\dfrac{7-3x^2}{5+4x^2}$
\item $h:x\mapsto \sqrt{x^2+3x-1}-x$
\end{questions}

\item Étudier le comportement lorsque $x$ tend vers $1$,  des fonctions $f$ et $g$  suivantes : 
\begin{questions}
\item $f: x\mapsto x+\dfrac{1}{(x-1)^2}$
\item $g:x\mapsto\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-1}$
\end{questions}

\end{questions}
\end{exointro}

\subsection{Notion de limites}

\subsubsection{Définitions}

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction et soit $\alpha$ un nombre réel ou un infini ($+\infty$ ou $-\infty$).

On dira que $f$ admet une limite $\ell$ (finie ou infinie) en $\alpha$ si $f(x)$ se rapproche de $\ell$ quand $x$ tend vers $\alpha$.

On écrira alors: $\lim\limits_{x\to\alpha}f(x)=\ell$.
\end{defin}

\newpage

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item $\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{x}=+\infty$ car plus $x$ devient grand (plus $x$ tend vers $+\infty$) plus $\sqrt{x}$ devient grand.

\item $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x}=0$ car plus $x$ se rapproche de $-\infty$, plus son inverse se rapproche de~0.
\end{itemize}
\end{Exemples}

\begin{Remarque}
dans le cas où $x$ se rapproche d'un nombre fini, il est fréquent d'étudier la limite \textit{à droite et à gauche} de ce nombre.
\end{Remarque}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item $\lim\limits_{\substack{x\to0\\x>0}}\dfrac{1}{x}=+\infty$ car $x$ se rapproche de 0 par valeurs positives, donc la limite sera nécessairement positive. Or, l'inverse d'un nombre très proche de 0 est un nombre qui se rapproche d'un infini (par exemple, l'inverse de $10^{-20}$, qui est très proche de 0, est un nombre très grand, à savoir $10^{20})$.

\item De manière analogue, on a: $\lim\limits_{\substack{x\to0\\x<0}}\dfrac{1}{x}=-\infty$.
\end{itemize}
\end{Exemples}

\subsubsection{Asymptotes}

\begin{defins}
Soit $f$ une fonction dont la courbe représentative est notée $\mathcal{C}_f$, et soit $a$ un nombre réel fini.
\begin{itemize}
\item On dit que $\mathcal{C}_f$ admet une \textit{asymptote horizontale} d'équation $y=a$ si $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=a$ ou $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=a$. Cela signifie que $\mathcal{C}_f$ se rapproche de la droite d'équation $y=a$ en $-\infty$ ou en $+\infty$.

\item On dit que $\mathcal{C}_f$ admet une \textit{asymptote verticale} d'équation $x=a$ si $\lim\limits_{\substack{x\to a\\x<a}}f(x)=\pm\infty$ ou $\lim\limits_{\substack{x\to a\\x>a}}f(x)=\pm\infty$. Cela signifie que $\mathcal{C}_f$ se rapproche de la droite d'équation $x=a$.
\end{itemize}
\end{defins}

\begin{Exemple}
la courbe représentative de la fonction $f(x)=\dfrac{1}{x}$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=0$ car $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$ et admet une asymptote verticale d'équation $x=0$ car $\lim\limits_{\substack{x\to 0\\x<0}}f(x)=-\infty$.
\end{Exemple}

\newpage

\subsection{Limites usuelles}

\subsubsection{Limites aux infinis}

\begin{multicols}{2}
\begin{props}[limites en $+\infty$]
Pour tout entier naturel $n$ non nul,
\begin{itemize}
\item $\lim\limits_{x\to+\infty}\big(x^n\big)=+\infty$
\item $\lim\limits_{x\to+\infty}\big(\sqrt{x}\big)=+\infty$
\item $\lim\limits_{x\to+\infty}\left( \dfrac{1}{x^n} \right)=0$
\end{itemize}
\end{props}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item $\lim\limits_{x\to+\infty}\big(x^5\big)=+\infty$
\item $\lim\limits_{x\to+\infty}\left( \dfrac{1}{x^3} \right)=0$
\end{itemize}
\end{Exemples}

\begin{props}[limites en $-\infty$]
Pour tout entier naturel $n$ non nul,
\begin{itemize}
\item $\lim\limits_{x\to-\infty}\big(x^{2n}\big)=+\infty$
\item $\lim\limits_{x\to-\infty}\big(x^{2n+1}\big)=-\infty$
\item $\lim\limits_{x\to-\infty}\left( \dfrac{1}{x^n} \right)=0$
\end{itemize}
\end{props}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item $\lim\limits_{x\to-\infty}\big(x^5\big)=-\infty$
\item $\lim\limits_{x\to-\infty}\big(x^8\big)=+\infty$
\end{itemize}
\end{Exemples}
\end{multicols}

\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-5cm}
\begin{props}[fonction exponentielle]
\begin{itemize}
\item $\lim\limits_{x\to-\infty}\nep^x=0$.
\item $\lim\limits_{x\to+\infty}\nep^x=+\infty$.
\end{itemize}
\end{props}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\includegraphics{041_limites-exp}
\end{minipage}

\begin{prop}[croissances comparées]
Soit $n$ un entier naturel non nul.
\begin{itemize}
\item $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\nep^x}{x^n}=+\infty$.
\item $\lim\limits_{x\to-\infty}x^n\nep^x=0$.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{Remarque}
un moyen simple de retenir ces propriétés est de se dire que la fonction exponentielle \og est plus importante \fg{} que les puissances de $x$.
\end{Remarque}

\newpage

\subsubsection{Limites en un nombre fini}

\begin{props}
Soit $n$ un entier naturel non nul.
\begin{itemize}
\begin{multicols}{2}
\item $\lim\limits_{\substack{x\to0\\x<0}}\left(\dfrac{1}{x^{2n}}\right)=+\infty$
\item $\lim\limits_{\substack{x\to0\\x>0}}\left(\dfrac{1}{x^{2n}}\right)=+\infty$
\item $\lim\limits_{\substack{x\to0\\x<0}}\left(\dfrac{1}{x^{2n+1}}\right)=-\infty$
\item $\lim\limits_{\substack{x\to0\\x>0}}\left(\dfrac{1}{x^{2n+1}}\right)=+\infty$
\end{multicols}
\end{itemize}
\end{props}

\subsection{Opérations sur les limites}

$\alpha$ désigne soit un réel, soit $+\infty$, soit $-\infty$; $\ell$ et $\ell^\prime$ désignent deux nombres réels.

$f$ et $g$ sont deux fonctions.

\subsubsection{Somme et produit}

\begin{center}
\begin{tabular}{|*4{Zc|}}
\hline\tabulartitle
$\displaystyle\lim_{x \to \alpha} f(x)$ & $\displaystyle\lim_{x \to \alpha} g(x)$  & $\displaystyle\lim_{x \to \alpha} \big[f(x)+g(x)\big]$  & $\displaystyle\lim_{x \to \alpha} \big[f(x) \times g(x)\big]$  \\\hline
		$\ell$   & $\ell'$ & $\ell+\ell'$ &  $\ell \times \ell'$  \\\hline
		
		$+\infty$ & $\ell'$ & $+\infty$ & $\begin{array}{rl} 
					+\infty &\text{ si } \ell' > 0 \\
					-\infty& \text{ si } \ell' < 0\\
					\text{indéterminée}&\text{ si $\ell'=0$.} \end{array}$  \\\hline
		
		$-\infty$ & $\ell'$ & $-\infty$  & $\begin{array}{rl} 
					-\infty& \text{ si } \ell' > 0 \\ 
					+\infty& \text{ si } \ell' < 0\\
					\text{indéterminée}&\text{ si $\ell'=0$.} \end{array}$  \\\hline
		$+\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$  & $+\infty$  \\\hline
		$-\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$  & $+\infty$  \\\hline
		$+\infty$ & $-\infty$ & indéterminée  & $-\infty$  \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\subsubsection{Formes indéterminées}
\enlargethispage*{2\baselineskip}

Il y a quatre types d'indétermination dans le calcul de limites.

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}Z{m{2cm}}|Z{m{8cm}}|}
\hline\tabulartitle
Types & \centering\arraybackslash Exemples\\
\hline
\og $\infty-\infty$ \fg{} & $f(x)=x^2$, $g(x)=-\sqrt{x}$, $\lim\limits_{x\to+\infty}\big[f(x)+g(x)\big]$\\
\hline
\og $\dfrac{\infty}{\infty}$ \fg{} & $f(x)=x^2+3x+1$, $g(x)=x+1$, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}$.\\\hline
\og $0 \times \infty$ \fg{} & $f(x)=\nep^{-x}$, $g(x)=\sqrt{x}$, $\lim\limits_{x\to+\infty}\big[f(x)\times g(x)\big]$\\
\hline
\og $\dfrac{0}{0}$ \fg{} & $f(x)=\sqrt{x}-2$, $g(x)=x-4$, $\lim\limits_{x\to4}\dfrac{f(x)}{g(x)}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Lorsque nous sommes face à une indétermination, il existe plusieurs méthodes pour la \og lever \fg{} (c'est-à-dire pour la supprimer) en fonction  du type rencontré.

\begin{methode}
\begin{itemize}
\item Pour lever une indétermination du type \og $\infty-\infty$ \fg{} ou \og $\dfrac{\infty}{\infty}$, on peut \textit{factoriser} les fonctions par le terme de plus haut degré (ou le terme \og le plus fort \fg) ou utiliser une \textit{expression conjuguée}.
\item Pour lever une indétermination du type \og $\dfrac{0}{0}$ \fg, on peut utiliser la définition du taux d'accroissement.
\end{itemize}
\end{methode}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item $f(x)=\dfrac{3x-5}{x^2+1}$. Le calcul de $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ laisse apparaître une indétermination du type \og $\dfrac{\infty}{\infty}$ \fg; on factorise alors le numérateur et le dénominateur par les termes de plus haut degré, puis on simplifie:
\[
f(x)=\dfrac{x\left(3-\frac{5}{x}\right)}{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)} =\dfrac{3-\frac{5}{x}}{x\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}.
\]
Or, $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(3-\frac{5}{x}\right)=3$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\left[x\left(1+\frac{1}{x^2}\right)\right]=+\infty$ donc, par quotient, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$.

\item $g(x)=\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}$. Le calcul de $\lim\limits_{x\to4}g(x)$ laisse apparaître une forme indéterminée du type \og $\dfrac{0}{0}$ \fg; on va alors utiliser un taux d'accroissement:
\[
u(x)=\sqrt{x}\text{ donc } g(x)=\dfrac{u(x)-u(4)}{x-4}.
\]
Ainsi, $\lim\limits_{x\to4} g(x)= \lim\limits_{x\to4}\dfrac{u(x)-u(4)}{x-4}=u'(4)$ (par définition).

Or, $u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ donc $\lim\limits_{x\to4} g(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{4}}=\dfrac{1}{4}$.
\end{itemize}
\end{Exemples}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $f(x)=\dfrac{3x+1}{x^2}=\dfrac{\cancel{x}\left(3+\frac{1}{x}\right)}{\cancel{x} \times x}=\dfrac{3+\frac{1}{x}}{x}$, pour $x\neq0$.

Or, $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(3+\dfrac{1}{x}\right)=3$ donc $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=0$.
%L'étude est identique en $-\infty$ où la limite est aussi $0$.
\vspace*{-5mm}
\Break
\item $g(x)=\dfrac{7-3x^2}{5+4x^2}=\dfrac{\cancel{x^2}\left(\frac{7}{x^2}-3\right)}{\cancel{x^2}\left(\frac{5}{x^2}+4\right)}=\dfrac{\frac{7}{x^2}-3}{\frac{5}{x^2}+4}$, pour $x\neq0$.

Or, $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(\frac{7}{x^2}-3\right)=-3$ et $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(\frac{5}{x^2}+4\right)=4$, donc par quotient, $\lim\limits_{x\to\pm\infty} g(x)=-\dfrac{3}{4}$.


\item $h(x)= \sqrt{x^2 +3x -1}-x$.
\begin{itemize}
\item \'Etude en $-\infty$.

$\lim\limits_{x\to -\infty} (x^2 +3x -1) = +\infty$ donc 
$\lim\limits_{x\to -\infty} \sqrt{x^2 + 3x -1} = + \infty$.

De plus, $\lim\limits_{x\to -\infty} (-x) = +\infty$ donc par somme,\\
\[
\lim\limits_{x\to -\infty} h(x) = +\infty.
\]

\item \'Etude en $+\infty$.

Utilisons l'expression conjuguée : 
\[
\begin{split}
\left(\sqrt{x^2+3x-1}-x\right)\,\left(\sqrt{x^2+3x-1}+x\right)\\
\null=(x^2+3x-1)-(x)^2=3x-1.
\end{split}
\]
Alors, pour $x>0$:
\[\begin{split}
h(x)=\frac{3x-1}{\sqrt{x^2+3x-1}+x}
=\frac{\cancel{x}\,\left(3-\frac{1}{x}\right)}{\cancel{x}\,\left(\sqrt{1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}}+1\right)}\\
=\frac{3-\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}}+1}.
\end{split}\]
Le numérateur tend vers $3$ et le dénominateur vers $2$, de sorte que 
\[\lim\limits_{x\to +\infty}h(x)=\dfrac{3}{2}.\]
\end{itemize}
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item On a $\lim\limits_{x\to 1}(x-1)^2=0^+$,  donc
$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{1}{(x-1)^2}=+\infty$.
% 
\begin{flalign*}
&\text{D'où, par somme :}&\lim\limits_{x\to
1}\left(x+\dfrac{1}{(x-1)^2}\right)&=+\infty.&&
\end{flalign*}

\item  $g(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-1}=\dfrac{\sqrt{x-1}}{\big(\sqrt{x-1}\big)^2}=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$.

Or, $\lim\limits_{x\to1}\sqrt{x-1}=0^+$, donc  $\lim\limits_{x\to1}g(x)=+\infty$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{solintro}

\section{Théorèmes sur les limites}

\begin{exointro}{Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy}
\begin{questions}
\item Calculer la limite en $1$ de la fonction $f:x\mapsto (x-1)^2\sin\left(\dfrac{1}{x-1}\right)$.
\item Calculer la limite en $+\infty$ de la fonction $g:x\mapsto\dfrac{\cos x}{(x^2+1)}$.
\end{questions}
\end{exointro}

\begin{thm}[théorème de comparaison]
Soient $f$ et $g$ deux fonctions. Pour $x$ proche de $\alpha$, on suppose que $f(x)\geqslant g(x)$.
\begin{itemize}
\item Si $\lim\limits_{x\to\alpha}g(x)= +\infty$, alors $\lim\limits_{x\to\alpha}f(x)= +\infty$.
\item Si $\lim\limits_{x\to\alpha}f(x)= -\infty$, alors $\lim\limits_{x\to\alpha}g(x)= -\infty$.
\end{itemize}
\end{thm}

\begin{Exemple}
soit $f$ une fonction telle que, pour tout réel $x$ positif, $f(x)\leqslant 1-x$.

$\lim\limits_{x\to+\infty}(1-x)=-\infty$, donc d'après le théorème de comparaison,
\[ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty. \]
\end{Exemple}


\begin{thm}[théorème des gendarmes (théorème d'encadrement)] Soient $f{,}~g$, et $h$ trois fonctions et $\ell$ un réel.
\begin{itemize}
\item
Si, pour $x$ au voisinage de $\alpha$, $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$ et  :
\[ \lim_{x\to\alpha}g(x)=\ell\qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to\alpha}h(x)= \ell\;, \] 
alors $\lim\limits_{x\to\alpha}f(x)= \ell$.
\item
Si, pour $x$ au voisinage de $\alpha$, $\left|f(x)-\ell\right| \leqslant g(x)$ et si $\lim\limits_{x\to\alpha}g(x)=0$, alors $\lim\limits_{x\to\alpha}f(x)=\ell$.
\end{itemize}
\end{thm} 

\begin{Exemple}
soit $f$ une fonction telle que, pour tout réel $x$ non nul:
\[
3+\dfrac{1}{x} \leqslant f(x) \leqslant 3 + \dfrac{5}{x}.
\]
$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(3+\dfrac{1}{x}\right) = \lim\limits_{x\to+\infty}\left(3+\dfrac{5}{x}\right) = 3$ donc, d'après le théorème des gendarmes, 
\[
\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=3.
\] 
\end{Exemple}

\newpage

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item Pour tout réel $x\neq 1$, on a : 
\[  
-1 \leqslant \sin\left(\frac{1}{x-1}\right) \leqslant 1 \quad \text{ donc } \quad -(x-1)^2 \leqslant f(x) \leqslant (x-1)^2. 
\]
Or,  $\lim\limits_{x\to 1}(x-1)^2=0$ donc d'après le théorème des gendarmes: 
\[
\lim\limits_{x\to 1}f(x)=0.
\]


\item Pour tout réel $x$, 
\[
-1 \leqslant \cos(x) \leqslant 1.
\]
De plus, pour tout réel $x$,
\[
x^2+1>0.
\]
Ainsi, par produit,
\[
-\dfrac{1}{x^2+1} \leqslant \dfrac{\cos x}{x^2+1} \leqslant \dfrac{1}{x^2+1}.
\]
Or,
\[
\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^2+1}=0.
\]
Donc, d'après le théorème des gendarmes, 
\[
\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=0.
\]
\end{questions}
\end{solintro}

