\chapter{Logarithme népérien}
\label{ch:lognep}

\begin{exointro}{Lycée Guynemer, Compiègne}
\begin{questions}
\item Simplifier les écritures suivantes :
\[ A=\ln\left(\nep^3\sqrt{\nep^5}\right) \qquad ; \qquad B=\nep^{3\ln8+4\ln32}.\]

\item Résoudre l'équation suivante :
\[
\ln(x-4)+\ln(x-2)=\ln3.
\]

\item Calculer la dérivée de la fonction suivante en indiquant l'ensemble de dérivabilité :
\[
f(x)=x^2\ln(1+x).
\]
\end{questions}
\vspace*{-1em}
\end{exointro}


\section{Introduction}

\subsection{Définition et résolution d'équations}

\begin{defin}
On définit la fonction \emph{logarithme népérien}, notée $\ln$, comme étant la fonction réciproque de la fonction exponentielle, c'est-à-dire l'unique fonction définie sur $\R^*_+$ par:
\[
\ln(x)=y \iff x = \nep^y.
\]
\end{defin}

\begin{prop}
Soient  $y\in\R_+^*$  et  $x\in\R$. On a:
\[
y=\nep^x \iff x=\ln y.
\]
\end{prop}
\enlargethispage*{2em}

\begin{Exemple}
$\nep^x = 7 \iff x=\ln 7$.
\end{Exemple}

\subsection{Variation de la fonction ln}

\begin{prop}[dérivée de la fonction $\ln$]
La fonction \ $\ln$ \ est continue et dérivable sur $\R_+^{*}$, et :
\[
(\ln)'(x)=\dfrac{1}{x} \qquad \text{pour tout }x>0.
\]
\end{prop}

De la dérivée du logarithme népérien, on peut en déduire le corollaire suivant:

\begin{coro}
La fonction \ $\ln$ \ est strictement croissante de $\R_+^*$ sur $\R$.
\end{coro}

\begin{aretenir}
\[ \ln1 =0\qquad\text{et}\qquad\ln\nep=1. \]
\end{aretenir}


\begin{prop}
La fonction \ $\ln$ \ est concave sur $\R_+^*$.
\end{prop}


\subsection{Conservation de l'ordre}
\label{ln:conservation}
\begin{props}
Pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs,
\[
\ln x = \ln y\Longleftrightarrow x = y\qquad\text{et}\qquad\ln x < \ln y\Longleftrightarrow x < y.
\]
\end{props}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
\ln(x^2+7) = \ln(2x^2+3) & \iff x^2+7=2x^2+3\\
& \iff x^2=4\\
& \iff x=2\text{ ou }x=-2.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\ln(x^2+10) > \ln(2x^2+1) & \iff x^2+10 > 2x^2+1\\
& \iff x^2 < 9\\
& \iff x\in[-3~;~3].
\end{aligned}$
\end{itemize}
\end{Exemples}
\begin{Remarque}
dans la résolution d'équations ou d'inéquations avec des logarithmes, il faut toujours s'assurer que les opérandes soient strictement positives. Dans notre premier exemple, $x^2+7>0$ et $2x^2+3>0$ pour tout réel $x$; on peut ainsi résoudre l'équation sur $\R$. Il en est de même pour l'inéquation.
\end{Remarque}

\subsection{Relations fonctionnelles}

\begin{props}
Pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs, pour tout entier relatif $n$ :
\begin{itemize}
\item $\ln(xy)=\ln x+\ln y$
\item $\ln\left(\dfrac{x}{y}\right)=\ln x - \ln y$
\item $\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\ln x$
\item $\ln\left(x^n\right)=n\ln x$.
\end{itemize}
\end{props}


\begin{attention}
Faire preuve de rigueur lors de l'utilisation de la relation fonctionnelle : ne pas scinder $\ln (xy)$ en somme de deux logarithmes sans avoir vérifié  et  mentionné la stricte positivité de $x$ et $y$.
\end{attention}

\section{Limites}

\subsection{Limites du logarithme népérien}

\begin{prop}
\[
\lim\limits_{x\to 0^+} \ln x =-\infty
\qquad\text{et}\qquad\lim\limits_{x\to +\infty} \ln x=+\infty.
\]
\end{prop}

L'axe des ordonnées est donc asymptote à la courbe représentative de la fonction logarithme.


\subsection{Croissances comparées}

\begin{props}
Pour tout entier naturel $n$,
\begin{itemize}
\item $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n} =0$.
\item $\lim\limits_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$.
\end{itemize}
\end{props}

\begin{Remarque}
on dit qu'en cas d'indétermination, les puissances de $x$ \og l'emportent \fg{} sur $\ln x$.
\end{Remarque}

\section{Représentation graphique}

De la stricte croissance de la fonction $\ln$, de sa concavité, de ses limites et des valeurs remarquables du logarithme népérien, on déduit sa représentation graphique dans un repère orthonormé:
\Par
\begin{center}
\includegraphics{120_ln-fig1}    
\end{center}
Du fait que les fonctions $\exp$ et $\ln$ sont réciproques, on déduit que, dans un repère orthonormé, leurs courbes représentatives sont symétriques par rapport à la première bissectrice (droite d'équation $y=x$).
\Par
\begin{center}
\includegraphics{120_ln-fig2}    
\end{center}

\section{Dérivée de ln(u)}\enlargethispage*{5em}

\begin{prop}
Soit $u$ une fonction définie et dérivable à valeurs strictement positives sur un intervalle $I$. Alors,
\[
\big(\ln (u) \big)^\prime = \dfrac{u'}{u}.
\]
\end{prop}

\newpage

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item 
\begin{multicols}{2}


$\begin{aligned}[t]
A & =\ln\left(\nep^3\right)+\ln\sqrt{\nep^5}\\
& = 3\ln\nep+\dfrac{1}{2}\ln\left(\nep^5\right)\\
& = 3\ln\nep+\dfrac{5}{2}\ln\nep\\
& = 3+\dfrac{5}{2}\\
& = \dfrac{11}{2}.
\end{aligned}$

\columnbreak

$\begin{aligned}[t]
B & = \nep^{3\ln8}\times\nep^{4\ln32}\\
& = \nep^{\ln\left(8^3\right)}\times\nep^{\ln\left(32^4\right)}\\
& = 8^3\times32^4\\
& = 2^{29}.
\end{aligned}$
\end{multicols}

\item Il faut commencer par déterminer l'ensemble de validité de l'équation :
\[
x-4>0 \qquad \text{pour} \qquad x>4
\]
et 
\[
x-2>0\qquad \text{pour}\qquad x>2.
\]
Donc l'ensemble de validité de l'équation est $]4~;+\infty[$.

Dans cet ensemble de validité, l'équation équivaut à :
\[ \ln\big[(x-4)(x-2)\big]=\ln3\;,\]
c'est-à-dire :
\[ (x-4)(x-2)=3.\]
Donc, 
\[ x^2-6x+8=3\;,\]
soit encore :
\[ x^2-6x+5=0.\]
Cette équation admet deux solutions : 1 et 5.

Seule 5 est solution de l'équation initiale, car 1 n'appartient pas à l'ensemble de validité de l'équation :
\[ S=\{ 5\}. \]

\item La fonction $f$ est dérivable sur $]-1~;+\infty[$ car la fonction carré est dérivable sur $\R$ et la fonction $\ln u$ est dérivable pour $u(x)>0$.
\[ f'(x)=2x\ln(1+x)+\dfrac{x^2}{1+x}.\]
\vspace*{-1em}
\end{questions}
\end{solintro}

\endinput