\thumb

%%%

\begin{qcm}{Parité et périodicité} {10}
Pour chaque question, une seule réponse est juste. Choisir la bonne réponse.
\begin{questions}
\item Une période de la fonction $f:x\mapsto\cos(3x)$ est :\resetchoix\par
	 
	 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
	 \choix{} $\dfrac{2\pi}{3}$ & 
	 \choix{} $3\pi$ & 
	 \choix{} $\dfrac{3\pi}{2}$
	 \end{tabularx}
	
\item La fonction $x \mapsto \cos \left( x+ \dfrac{\pi}{4} \right)$ est : \\ \resetchoix

 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
	\choix paire &
	\choix impaire &
	\choix ni l'un ni l'autre
	\end{tabularx}
	
\item La fonction $g : x \mapsto \sin 3x$ est :\\ \resetchoix

 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
	\choix paire &
	\choix impaire &
	\choix ni l'un ni l'autre
	\end{tabularx}
	
\item Une période de la fonction $h : x \mapsto \sin \left( \dfrac{x+\pi}{4} \right)$ est : \\\resetchoix

 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
	\choix $2\pi$ &
	\choix $\dfrac{\pi}{2}$ &
	\choix $8\pi$
	\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige} 
\begin{questions}
\item \label{ch5qcm3q1} Réponse \choix[a]. En effet, pour tout $x$ réel, 
\[ f\left( x+\dfrac{2\pi}{3} \right) = \cos \left[ 3\left(x+\dfrac{2\pi}{3} \right) \right] = \cos (3x+2\pi) = \cos 3x. \]


\item Réponse \choix[c]. En effet, la fonction cos est paire, mais cette fonction est obtenue par translation de la fonction cos le long de l'axe des abscisses de $\dfrac{\pi}{4}$, elle n'est donc ni paire ni impaire. 

\item \label{ch5qcm3q3} Réponse \choix[b]. En effet, pour tout réel $x$, 
\[ g(-x)=\sin (3(-x)) = \sin(-3x) = -\sin 3x=-g(x).\]
Donc $g$ est impaire. 

\item Réponse \choix[c]. En effet, pour tout réel $x$, 
\begin{align*}
 h(x+8\pi) &= \sin \left( \dfrac{x+8\pi +\pi}{4} \right) \\
 & = \sin \left( \dfrac{x+\pi}{4} +\dfrac{8\pi}{4} \right) \\
& = \sin \left( \dfrac{x+\pi}{4} +2\pi \right) \\
& = \sin \left( \dfrac{x+\pi}{4} \right) \\
& = h(x).
\end{align*}


\begin{Remarque}
pour les questions \ref{ch5qcm3q1} et \ref{ch5qcm3q3}, on a trouvé une période, mais on n'a pas montré que c'était la plus petite.
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{qcm}{Variations}{15}
Pour chaque question, une seule réponse est juste. Choisir la bonne réponse.
\begin{questions}
\item La fonction $f$ définie sur $[0~;\pi]$ par $x \mapsto \cos \left( x+ \dfrac{\pi}{4} \right)$ est : \\ \resetchoix
	\choix croissante sur $[0~;\pi ]$ \\
	\choix croissante sur $[2~;\pi ]$ \\
	\choix croissante sur $\left[ \dfrac{3\pi}{4}~;\pi \right]$

\item La fonction $g$ définie sur $I = [0~;\pi]$ par $g : x \mapsto \sin (2x)$ : \\ \resetchoix
	\choix a les mêmes variations que la fonction $x\mapsto\sin x$ sur $I$ \\
	\choix est croissante sur $\left[0~; \dfrac{\pi}{4} \right]$ \\
	\choix est monotone sur $I$
	
\item La fonction $h$ définie sur $[0~;\pi]$ par $h : x \mapsto \sin x +\cos x$ : \\ \resetchoix
	\choix est décroissante \\
	\choix admet pour maximum $\sqrt{2}$ \\
	\choix admet pour maximum $\dfrac{\pi}{4}$
	
\enlargethispage*{2\baselineskip}
\item La fonction $k : x \mapsto \cos 3x$ définie sur $I = [-2~;2]$ : \\ \resetchoix
	\choix a les mêmes variations que la fonction $\cos$ \\
	\choix admet un maximum local pour $x= 2$ \\
	\choix admet deux minimums locaux sur $I$
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. En effet, la fonction cosinus est croissante sur $[\pi~;2\pi]$, donc $f$ est croissante sur $\left[ \dfrac{3\pi}{4} ~; \pi \right]$.

\item Réponse \choix[b]. En effet, $g'(x) = 2\cos 2x$ donc, à $2\pi$ près :
\[ 
g'(x) > 0 \Leftrightarrow  2x \in \left[ -\dfrac{\pi}{2} ~; \dfrac{\pi}{2} \right] 
 \Leftrightarrow  x \in \left[ -\dfrac{\pi}{4} ~; \dfrac{\pi}{4} \right].
 \]

\item Réponse \choix[b]. Cette fonction est périodique de période $2\pi$, donc on peut l'étudier sur $[-\pi~;\pi]$.
\[ 
\begin{aligned}
h'(x) &= \cos x -\sin x \\
h'(x) &> 0 \Leftrightarrow \cos x > \sin x \Leftrightarrow x \in \left[ -\dfrac{3\pi}{4} ~; \dfrac{\pi}{4} \right] .
\end{aligned}
\]
On obtient donc le tableau suivant :

\[ 
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{array}{|C|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
x 	& -\pi & 	&-\frac{3\pi}{4} & 	& \frac{\pi}{4} & 	& \pi \\\hline
h'(x)& 	& -	&0	&+	&0	&-	& \\\hline
	&-1	&	& 	&	& \sqrt{2} & &\\
h(x)&	&\searrow&	&\nearrow& 	&\searrow &\\
	& 	&	&-\sqrt{2}	&	&	&	&-1\\\hline
\end{array}
\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}

\item Réponse \choix[c]. \'Etudions la fonction sur $[-\pi~;\pi]$ dans un premier temps.
\[ 
\begin{aligned}
k'(x) &= -3\sin 3x \\
k'(x) > 0 &\Leftrightarrow \sin (3x) <0 \\
&\Leftrightarrow 3x \in ]-\pi~;0[ \pod{2\pi}\\
&\Leftrightarrow x \in \left] -\dfrac{ \pi}{3}~; 0\right[ \pod{\dfrac{2\pi}{3}} \\
&\Leftrightarrow x \in \left] -\pi~; -\dfrac{2\pi}{3} \right[ \cup \left] -\dfrac{\pi}{3}~;0 \right[ \cup \left] \dfrac{\pi}{3}~;\dfrac{2\pi}{3} \right[.
\end{aligned}
\] 
On obtient donc le tableau suivant :
\[ 
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\hspace*{-2em}
\begin{array}{|C|lcc<{\!\!\!\!\!}c<{\!\!}ccccccc<{\!\!}c<{\!}ccr|}\hline\tabulartitle
x 	& -\pi & 	&-\frac{2\pi}{3} &-2 & 	& -\frac{\pi}{3} & 	& 0 &  	&\frac{\pi}{3} & 	& 2 & \frac{2\pi}{3} & 	& \pi \\\hline
k'(x)&0	& +	&0	&\vline&-	&0	&+	&0	&-	&0	&+	&\vline&0	&-	&0 \\\hline
	&	&	&1 	&\vline&	&  & 	&1	&	&	&	&\vline&1	&	& 	\\
k(x)&	&\nearrow&	&\vline&\searrow& 	&\nearrow & 	&\searrow	&	&\nearrow	&\vline&	&\searrow	&\\
	&-1 &	&	&\vline&	&-1	&	&	&	&-1	&	&\vline&	&	&-1\\\hline
\end{array}
\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}

Il y a deux minimums locaux sur $[-2~;2]$: $-1$ et 1.

\begin{attention}
Ne pas se laisser piéger : $\dfrac{2\pi}{3}$ est très proche de $2$, et si on se fie à la calculatrice, on peut croire que le maximum est atteint en $2$.
\end{attention}
\end{questions}
\end{corrige}


\sectionnn{\'Equations et inéquations}

%%% NEW 2023

\begin{exo}{\'Equations}{Lycée François Mauriac, Bordeaux}{1}{10}
Résoudre sur $]-\pi;\pi]$ les équations suivantes.
\begin{questions}
\item $\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$
\item $\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{1}{2}$
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{methode}
Nous allons utiliser ici les équivalences suivantes, où $k\in\Z$:
\begin{align*}
\cos x = \cos a & \iff x = a + 2k\pi \text{ ou } x = -a+2k\pi.\\
\sin x = \sin a & \iff x = a + 2k\pi\text{ ou } x = \pi-a+2k\pi
\end{align*}
\end{methode}

\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} & 
\iff \cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\dfrac{\pi}{3}\\
& \iff \begin{cases}
x+\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}+2k\pi\\[8pt]
x+\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\pi}{3}+2k\pi
\end{cases},\ k\in\Z\\
& \iff \begin{cases}
x=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\\[8pt]
x = -\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi
\end{cases},\quad k\in\Z\\
& \iff \begin{cases}
x = 0+2k\pi\\[8pt]
x = -\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi
\end{cases},\quad k\in\Z
\end{aligned}$

\Par

L'ensemble des solutions de l'équation $\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$ sur $]-\pi;\pi]$ est donc:

\Par

\[
\mathscr{S}=\left\{ 0 ; -\dfrac{2\pi}{3} \right\}.
\]

\Par

\item $\begin{aligned}[t]
\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{1}{2} & \iff \sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\\
& \iff \begin{cases}
2x-\dfrac{\pi}{4} & = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\\[8pt]
2x-\dfrac{\pi}{4} & = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + 2k\pi
\end{cases},\qquad k\in\Z\\
& \iff \begin{cases}
2x & = -\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\\[8pt]
2x & = \pi + \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi
\end{cases},\qquad k\in\Z\\
& \iff \begin{cases}
2x & = \dfrac{\pi}{12} + 2k\pi\\[8pt]
2x & = \dfrac{17\pi}{12} + 2k\pi
\end{cases},\qquad k\in\Z\\
& \iff \begin{cases}
x & = \dfrac{\pi}{24} + k\pi\\[8pt]
x & = \dfrac{17\pi}{24} + k\pi
\end{cases},\qquad k\in\Z
\end{aligned}$

\Par

Ainsi, les solutions de l'équation sur $]-\pi;\pi]$ sont obtenues en prenant $k=0$ et $k=-1$; on obtient alors l'ensemble des solutions suivant:

\Par

\[
\mathscr{S}=\left\{ -\dfrac{23\pi}{24} ~;~ -\dfrac{7\pi}{24} ~;~ \dfrac{\pi}{24} ~;~ \dfrac{17\pi}{24} \right\}.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{\'Equations et inéquations}{Lycée Buffon, Paris}{2}{25}
\begin{questions}
\item Résoudre dans $\R$, puis dans $I=[-\pi~;\pi]$, l'inéquation : 
\[
\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)\geqslant\dfrac{1}{2}.
\]
\item Résoudre dans $\R$, puis dans $J=[-\pi~;3\pi]$, l'équation : 
\[ 2\cos^2x+3\cos x+1=0.\]
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item D'après le cercle trigonométrique, 
\[
\sin X\geqslant\dfrac{1}{2}\text{ pour }\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\leqslant X\leqslant \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\quad , \quad k\in\Z.
\]

Cela signifie que :
\begin{align*}
\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)\geqslant\dfrac{1}{2} & \Leftrightarrow \dfrac{\pi}{6}+2k\pi\leqslant 3x-\dfrac{\pi}{6}\leqslant\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\\
& \Leftrightarrow \dfrac{\pi}{3}+2k\pi\leqslant 3x\leqslant \pi+2k\pi\\
& \Leftrightarrow\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}\leqslant x\leqslant\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2k\pi}{3}.
\end{align*}

Si l'on ne veut que les solutions dans $[-\pi~;\pi]$, les valeurs extrêmes que l'on peut prendre pour $k$ vérifient : $-\pi\leqslant\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}$, c'est-à-dire $-\dfrac{5}{3}\leqslant k$, et comme $k$ est entier, $-1\leqslant k$, et : $\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2k\pi}{3}\leqslant\pi$, soit $k\leqslant1$.

$k$ peut donc prendre les valeurs $-1$, 0 et 1.

L'ensemble solution est donc : 
\[ 
S=\left[-\dfrac{5\pi}{9}~;-\dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{9}~;\dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{7\pi}{9}~;\pi\right].
\]

\item On pose $X=\cos x$. L'équation devient alors : $2X^2+3X+1=0$.

Le discriminant est égal à 1 ; l'équation admet donc deux solutions : $X=-1$ et $X=-\dfrac{1}{2}$.

Alors, l'équation $2\cos^2x+3\cos x+1=0$ équivaut à :
\[
\cos x=-1\qquad\text{ou}\qquad\cos x=-\dfrac{1}{2}\;,
\]
c'est-à-dire :
\[
x=-\pi+2k\pi\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{2\pi}{3}+2k'\pi\]
\[\text{ou}\quad x=-\dfrac{2\pi}{3}+2k''\pi\quad,\quad k\in\Z,\ k'\in\Z,\ k''\in\Z.
\]
L'ensemble des solutions de l'équation dans l'intervalle $[-\pi~;3\pi]$ est donc :
\[ S=\left\lbrace -\pi~; -\dfrac{2\pi}{3}~; \dfrac{2\pi}{3}~; \pi~; \dfrac{4\pi}{3}~;\dfrac{8\pi}{3}~; 3\pi\right\rbrace.\]
\end{questions}
\end{corrige}

% 2014

\begin{exo}{Inéquation associée  à une équation}{Lycée Jean-Pierre Vernant, Pins-Justaret}{3}{20}
Résoudre dans l'intervalle $]-\pi~;\pi[$ :
\begin{questions}
\item $2\sin^2x+\left(2-\sqrt{3}\right)\sin x-\sqrt{3}=0$.
\item $2\sin^2x+\left(2-\sqrt{3}\right)\sin x-\sqrt{3}\leqslant0$.
\end{questions}

\textit{Aide :} $\left(2+\sqrt{3}\right)^2=7+4\sqrt{3}$.
\end{exo}

\begin{corrige}
On pose $X=\sin x$.
\begin{questions}
\item \label{ch5ex7q1}Le polyn\^ome $2X^2+\left(2-\sqrt{3}\right)X-\sqrt{3}$ a pour discriminant $7+4\sqrt{3}$, que l'on factorise sous la forme $\left(2+\sqrt{3}\right)^2$ (en utilisant l'aide de l'énoncé).

L'équation $2X^2+\left(2-\sqrt{3}\right)X-\sqrt{3}=0$ admet donc deux solutions : $X=-1$ et $X=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

L'équation $2\sin^2x+\left(2-\sqrt{3}\right)\sin x-\sqrt{3}=0$ équivaut donc à :
\[
\sin x=-1\qquad\text{ou}\qquad\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
\]
Dans l'intervalle $]-\pi~;\pi[$, $\sin x=-1$ pour $x=-\dfrac{\pi}{2}$, et $\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ pour $x=\dfrac{\pi}{3}$ ou $x=\dfrac{2\pi}{3}$.

L'équation admet donc trois solutions dans $]-\pi~;\pi[$ : $-\dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$.

\item  Grâce aux calculs de la question \ref{ch5ex7q1}, on connaît les racines de l'expression $2X^2+\left(2-\sqrt{3}\right)X-\sqrt{3}$. 

Comme le coefficient de $X^2$ est positif, on sait que cette expression est inférieure ou égale à 0 lorsque $X$ est compris entre les racines, c'est-à-dire : $-1\leqslant X\leqslant\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

En revenant à la variable $x$, cela donne : $-1\leqslant \sin x\leqslant\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
\enlargethispage*{\baselineskip}

Le cercle trigonométrique montre que les solutions dans $]-\pi~;\pi[$ de cette double inéquation sont tous les réels $x$ tels que :
\[
x\in\left]-\pi~;\dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{2\pi}{3}~;\pi\right[.
\]
\begin{center}
\includegraphics{264_trigo-06}
\end{center}
\end{questions}
\end{corrige}


\sectionnn{\'Etudes de fonctions}


%%% 2014

\begin{exo}{Fonction dérivée}{Lycée Jean-Pierre Vernant, Pins-Justaret}{1}{15}
Calculer la dérivée des fonctions suivantes en précisant leur ensemble de définition.
\begin{questions}
\item $f(x)=2\sin(8x)-5\cos\left(7x-\dfrac{\pi}{3}\right)$.
\item $g(x)=\big[\cos(7x)\big]^4$.
\item $h(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x}$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\R$ comme somme et composée de fonctions définies et dérivables sur $\R$.
\[
f'(x)=16\cos(8x)+35\sin\left(7x-\dfrac{\pi}{3}\right).
\]
\item $g$ est définie et dérivable sur $\R$ comme puissance entière d'une fonction définie et dérivable sur $\R$.
\[
g'(x)=4\big[-7\sin(7x)\big]\times\big[\cos(7x)\big]^3=-28\sin(7x)\cos^3(7x).
\]
\item La fonction $h$ est définie et dérivable pour tout $x$ tel que $\cos x\neq 0$, c'est-à-dire pour tout $x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\Z$. Dans ce cas:
\[
h'(x)=\dfrac{\cos x\times \cos x+\sin x\times\sin x}{\left(\cos x\right)^2}=\dfrac{1}{\cos^2 x}.
\]
\textit{Remarque} : $h$ est appelée \og fonction \textit{tangente} \fg.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%

\begin{exo}{Une inégalité à démontrer}{Lycée François Mauriac, Bordeaux}{2}{20}
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{fonctions sinus et cosinus}{https://media.prepamath.fr/ILTM2026chTrigoexoInegalite}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.3,0.4){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTM2026chTrigoexoInegalite}}}
\vspace*{-5mm}

L'observation de l'écran graphique d'une calculatrice laisse penser que, lorsque $x$ est un réel, $1-\dfrac{x^2}{2}\leqslant\cos{x}$.\\
On se propose de valider cette propriété en étudiant la fonction numérique définie par :
$$f(x)=\cos{x}-\left(1-\dfrac{x^2}{2}\right).$$
\begin{questions}
\item Montrer que $f$ est deux fois dérivable sur $\R$.
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f'$ sur $\R$ puis en déduire le signe de la fonction $f'$.
\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$ puis que, pour tout réel $x$, $1-\dfrac{x^2}{2}\leqslant\cos{x}.$
\item En admettant l'inégalité $\cos{x}\leqslant1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}$  valable pour tout réel $x$, déterminer, si elle existe, la limite en 0 de $g(x)=\dfrac{1-\cos{x}}{x^2}$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-0.9,-0.3){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTM2026chTrigoexoInegalite}}}
\vspace*{-5mm}
\begin{questions}
\item
La fonction $\cos$ est deux fois dérivable sur $\R$ et la fonction :\linebreak[4] 
$x\longmapsto 1-\dfrac{x^2}{2}$ est deux fois dérivable sur $\R$ comme fonction polynôme donc la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$.

\item
Pour tout réel $x$, 
\[f'(x)=-\sin{x}+x\;,\]
\[f''(x)=1-\cos{x}.\]

Comme pour tout réel $x$, $\cos{x}\leqslant1$, on en déduit que $f''(x)$ est positif sur $\R$ et ne s'annule que pour $x=2k\pi$ où $k\in\Z$.
Il en résulte que la fonction $f'$ est strictement croissante sur $\R$.

Comme $f'(0)=0$ et $f'$ est strictement croissante sur $\R$, on peut en déduire que $f'$ est strictement négative sur $\left]-\infty~;0\right[$ et strictement positive sur $\left]0~;+\infty\right[$.

\item
D'après l'étude du signe de $f'$ obtenu à la question précédente, on en déduit que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\left]-\infty~;0\right[$ et strictement croissante sur $\left]0~;+\infty\right[$.

La fonction $f$ admet un minimum en 0 et ce minimum vaut $f(0)=0$. Il en résulte que, pour tout réel $x$, on a $f(x)\geqslant f(0)$ soit $f(x)\geqslant 0$.

Par conséquent, pour tout réel $x$, $\cos{x}-\left(1-\dfrac{x^2}{2}\right)\geqslant0$, d'où finalement :
\[1-\dfrac{x^2}{2}\leqslant\cos{x}.\]

\item
En admettant l'inégalité donnée par le texte et en utilisant le résultat de la question précédente, on obtient l'encadrement, valable pour tout réel $x$ :
\[1-\dfrac{x^2}{2}\leqslant\cos{x}\leqslant1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}.\]
On encadre alors $g(x)$ :
\[\dfrac{1}{2}-\dfrac{x^2}{24}\leqslant g(x)\leqslant
 \dfrac{1}{2}.\]
Or,
\[\lim_{x\to0}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{x^2}{24}\right)=\dfrac{1}{2}.\]
On en déduit d'après le théorème de limite par encadrement que :
\[\lim_{x\to 0}g(x)=\dfrac{1}{2}.\]
\end{questions}
\end{corrige}



%%% 2014

\begin{exo}{Aire maximale}{Lycée La Bruyère, Versailles}{2}{20}
Les parents d'Amélie utilisent un paravent à trois panneaux pour cacher un tas de vieilleries dans leur garage.

Le paravent est déplié contre un mur de la façon suivante :

\begin{center}
\includegraphics{255_trigo-09}
\end{center}

Les trois panneaux du paravent sont de même longueur. Le quadrilatère ABCD est un trapèze isocèle. On pose $\text{AB}=\text{BC}=\text{CD}=1$, et on appelle $x$ la mesure en radians de l'angle $\widehat{\text{BAD}}$ comprise entre 0 et $\dfrac{\pi}{2}$.

\begin{questions}
\item Exprimer la longueur AD ainsi que la hauteur BH en fonction de $x$.
\item 
\begin{questions}
\item Montrer que l'aire disponible derrière le paravent est égale en fonction de $x$ à : 
\[ A(x)=(1+\cos x)\sin x.\]
\item Montrer que pour tout $x\in\left[0~;\dfrac{\pi}{2}\right]$, 
\[ 
A'(x)=2\left(\cos x-\dfrac{1}{2}\right)(1+\cos x).
\]
\item \`A l'aide du cercle trigonométrique, résoudre dans  l'intervalle  $\left[0~;\dfrac{\pi}{2}\right]$ l'inéquation $\cos x\geqslant\dfrac{1}{2}$.
\item En déduire le sens de variation de la fonction $A$ sur $\left[0~;\dfrac{\pi}{2}\right]$.
\item Quelle est l'aire maximale de la zone que l'on peut cacher ainsi avec ce paravent, et comment faut-il l'installer ?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Comme le trapèze est isocèle, $AD=2AH+BC$.

De plus, $AH=AB\cos x$ et $BH=AB\sin x$ donc $AD=1+2\cos x$ et $BH=\sin x$.

\item
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
A(x) & = AH\times BH+BH\times BC\\
& = 1\times\cos x \times\sin x+1\times\sin x\times1\\
& = \left(\cos x+1\right)\sin x\;.
\end{aligned}$

\item La fonction $A$ est dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables sur $\R$.
\begin{align*}
A'(x) & = \cos x(1+\cos x)+\sin x(-\sin x)\\
& = \cos x(1+\cos x)-(1-\cos^2x)\\
& = 2\cos^2 x+\cos x -1\;.
\end{align*}
Or, 
\begin{align*}
2\left(\cos x-\dfrac{1}{2}\right)(1+\cos x) & =2\left(\cos x+\cos^2x -\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos x\right)\\
& = 2\cos^2x +\cos x-1.
\end{align*}
Cela prouve que l'on a bien $A'(x)=2\left(\cos x-\dfrac{1}{2}\right)(1+\cos x)$.

\newpage

\item \label{ch5ex12qc}\par~
\vspace*{-2em}
\begin{center}
\includegraphics{267_trigo-10}
\end{center}

Sur le cercle trigonométrique, on lit que dans l'intervalle $\left[0~;\dfrac{\pi}{2}\right]$, on a $\cos x\geqslant\dfrac{1}{2}$ pour $x\in\left[0~;\dfrac{\pi}{3}\right]$.

\item On calcule : 
\[ A(0)=0\quad ; \quad A\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\quad;\quad A\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}.\]

Gr\^ace à la question \ref{ch5ex12qc}, on conna\^it le signe de $A'(x)$ sur $\left[0~;\dfrac{\pi}{2}\right]$ et on peut établir le tableau de variation de $A$ suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*5{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $0$ &  & $\dfrac{\pi}{3}$ &  & $\dfrac{\pi}{2}$\\
\hline
$A'(x)$ &  & $+$ & $0$ & $-$ & \\
\hline
        &  &     & $\frac{3\sqrt{3}}{4}$&  &  \\
$A(x)$  &  & $\nearrow$ &  & $\searrow$ & \\
        & 0 &           &  &            & 1\\
        \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item L'aire maximale est obtenue lorsque l'angle $\widehat{BAD}$ mesure $\dfrac{\pi}{3}$ radians, et elle vaut alors $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2014 - Hors programme 2020
%\begin{exo}{Somme d'un sinus et d'un cosinus}{Lycée Hoche, Versailles}{2}{20}
%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=1+\sin x-\dfrac{1}{2}\cos(2x)$.
%
%\begin{questions}
%\item
%\begin{questions}
%\item Prouver que $f$ est périodique sur $\R$.
%\item Démontrer que $f$ n'est ni paire, ni impaire.
%\end{questions}
%\item \'Etablir les variations de $f$ sur $[-\pi~;\pi]$ puis construire la courbe de $f$ sur l'intervalle $[-\pi~;\pi]$.
%\item Démontrer que les fonctions $f$ et $f^2$ ont les mêmes variations sur $\R$.
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item
%\begin{questions}
%\item $f(x+2\pi)=1+\sin(x+2\pi)+\dfrac{1}{2}\cos\big[2(x+2\pi)\big]$.
%
%Comme les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont de période $2\pi$, on trouve :
%\[ f(x+2\pi)=1+\sin x+\dfrac{1}{2}\cos(2x)=f(x).\]
%La fonction $f$ est donc périodique et $2\pi$ en est une période.
%
%\item $f(0)=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$. La fonction n'est donc ni paire ni impaire car pour $x=0$, elle ne vérifie ni $f(-x)=f(x)$, ni $f(-x)=-f(x)$.
%\end{questions}
%
%\item La fonction $f$ est dérivable sur $[-\pi~;\pi]$  puisque les fonctions $\sin$ et $\cos$ le sont. De plus, on a :
%\[ f'(x)=\cos x+\sin(2x). \]
%
%Comme $\sin(2x)=2\sin x\cos x$, on a :
%\[ f'(x)=\cos x+2\sin x\cos x=\cos x(1+2\sin x).\]
%
%Sur $[-\pi~;\pi]$, $\cos x>0$ pour $x\in\left]-\dfrac{\pi}{2}~;\dfrac{\pi}{2}\right[$ et $1+2\sin x<0$ pour $\sin x<-\dfrac{1}{2}$ donc pour $x\in\left]-\dfrac{5\pi}{6}~;-\dfrac{\pi}{6}\right[$.
%
%Cela permet d'établir le tableau de signes de $f'(x)$ puis le tableau de variation de $f$ :
%
%\Par
%
%\hspace*{-4.5em}
%\begin{tabular}{|C|*{11}{Zc}|}
%\hline\tabulartitle
%$x$ & $-\pi$ &  & $-\frac{5\pi}{6}$ &  & $-\frac{\pi}{2}$ &  & $-\frac{\pi}{6}$ &  & $\frac{\pi}{2}$ &  & $\pi$\\
%\hline
%$\cos x$ &  & $-$ &  & $-$ & 0 & $+$ &  & $+$ & 0 & $-$ & \\\hline
%$1+2\sin x$ & & $+$ & 0 & $-$ &  & $-$ & 0 & $+$ &  & $+$ & \\
%\hline
%$f'(x)$ &  & $-$ & 0 & $+$ & 0 & $-$ & 0 & $+$ & 0 & $-$ & \\
%\hline
%       & 0,5 & & & & 0,5 & &  &  & 2,5 & & \\
%$f(x)$ &     & $\searrow$ & & $\nearrow$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ &  & $\searrow$ & \\
%       &    &  &0,25 & &  &  & 0,25 & & & & 0,5\\
%\hline
%\end{tabular}
%
%\begin{center}
%\includegraphics{195_trigo-11}
%\end{center}
%
%\item D'après le tableau de variation précédent, on constate que le minimum de $f$ sur $[-\pi~;\pi]$ est 0,5, donc la fonction $f$ est positive sur $[-\pi~;\pi]$. Or, $f$ est de période $2\pi$ et $[-\pi~;\pi]$ est d'amplitude $2\pi$ ; par conséquent, $f(x)>0$ pour tout réel $x$.
%
%D'autre part, comme la fonction $f$ est dérivable, la fonction $f^2$ l'est aussi, et sa dérivée est égale à $2ff'$. Or, pour tout réel $x$, $f(x)>0$ donc la dérivée de $f^2$ est du même signe que $f'$, ce qui montre que les deux fonctions, $f^2$ et $f$ ont les mêmes variations sur $\R$.
%\end{questions}
%\end{corrige}
%

%%% 2014 

\begin{exo}{Un algorithme}{Lycée Teilhard de Chardin, Saint-Maur-des-Fossés}{2}{30}
La fonction $f$ est définie sur $\R$ par : $f(x)=\sin^2x+\cos x$.

$\mathcal{C}$ est sa représentation graphique dans un repère orthonormé $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$.

\begin{questions}
\item Démontrer que $f$ est périodique de période $2\pi$.
\item Démontrer que l'axe des ordonnées est un axe de symétrie de la courbe $\mathcal{C}$.
\item En déduire que l'on peut restreindre l'intervalle d'étude de $f$ à $[0~;\pi]$.
\item Vérifier que pour tout réel $x$ on a :$f'(x)=(2\cos x-1)\sin x$.
\item Déterminer le signe de $f'(x)$ sur $[0~;\pi]$ et en déduire le tableau de variation de $f$ sur $[0~;\pi]$.
\item Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique sur $[0~;\pi]$.
\item On considère l'algorithme suivant :\vspace*{-0.5em}

\begin{algorithme}{}
Entrée
\quad Saisir les valeurs de a, b et p
Traitement
\quad Tant que b-a$>$p
\qquad c  $\leftarrow \frac{a+b}{2}$	
\qquad Si $f(a)\times f(c)<0$, alors
\qquad\qquad b $\leftarrow$ c
\qquad Sinon
\qquad\qquad a $\leftarrow$ c
\quad Fin de Tant que
Sortie
\quad Afficher a et b
\end{algorithme}

\begin{questions}
\item Faire fonctionner l'algorithme avec $a=1$, $b=3$ et $p=0,1$ et compléter le tableau suivant:

\Par

\begin{tabular}{|C|*5{Zc|}}
\hline\tabulartitle
\'Etape & Test : $b-a>p$ & $c$ & Test : $f(a)\times f(c)<0$ & $a$ & $b$\\
\hline
 & & & & 1 & 3\\
 \hline
1 & Vrai & 2 & Faux & 2 & 3\\
\hline
2 & & & & & \\
\hline
$\vdots$ & & & & & \\
\hline
\end{tabular}

\item\label{ch5ex12q7b} Quelles sont les valeurs affichées à la sortie de l'algorithme ? Que peut-on en déduire ?
\end{questions}

\item Résoudre l'équation $(E)$ : $X^2-X-1=0$.
\item Montrer que $\alpha$ est solution de $f(x)=0$
si et seulement si $\cos\alpha$ est solution de $(E)$.
\item En déduire la valeur exacte de $\cos\alpha$, puis un encadrement au centième de $\alpha$. Vérifier que ce résultat est en accord avec les valeurs trouvées à la question \ref{ch5ex12q7b}.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont périodiques de période $2\pi$ donc pour tout $x\in\R$ :
\[
f(x+2\pi)=\sin^2(x+2\pi)+\cos(x+2\pi)=\sin^2x+\cos x=f(x).
\]
La fonction $f$ est donc périodique et $2\pi$ en est une période.

\item Pour tout réel $x$, comme la fonction $\sin$ est impaire et la fonction $\cos$ paire, on a :
\begin{align*}
f(-x) & =\sin^2(-x)+\cos(-x)\\
& =(-\sin x )^2+\cos x\\
& =\sin^2x+\cos x\\
& =f(x).
\end{align*}
La fonction $f$ est donc paire, ce qui signifie que l'axe des ordonnées est axe de symétrie de la
courbe dans un repère orthonormé.

\item Comme $f$ est de période $2\pi$, on peut restreindre l'étude de $f$ à l'intervalle $[-\pi~;\pi]$ d'amplitude $2\pi$.

Comme $f$ est paire, et comme l'intervalle $[-\pi~;\pi]$ est symétrique par rapport à 0, il suffit d'étudier $f$ sur le demi-intervalle : $[0~;\pi]$.

\item La fonction $f$ est bien dérivable car les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont dérivables sur $\R$.
\[
f'(x)=2\cos x\sin x-\sin x=(2\cos x-1)\sin x.
\]

\item Sur $]0~;\pi[$, $\sin x>0$ et $2\cos x-1>0$ pour $\cos x>\dfrac{1}{2}$, donc pour $x\in\left]0~;\dfrac{\pi}{3} \right[$.

On obtient le tableau de signes de $f'$ puis le tableau de variation de $f$ sur $[0~;\pi]$ suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*5{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $0$ &  & $\dfrac{\pi}{3}$ &  & $\pi$\\
\hline
$\sin x$ & $0$ & $+$ &  & $+$ & $0$\\
\hline
$2\cos x-1$ & & $+$ & $0$ & $-$ & \\
\hline
$f'(x)$ & $0$ & $+$ & $0$ & $-$ & $0$\\
\hline
 & & & $\frac{5}{4}$& & \\
$f(x)$ & & $\nearrow$ &  & $\searrow$ & \\
 & $1$ &  &  & & $-1$\\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}


\item Sur l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{3}~;\pi\right]$, la fonction est continue et strictement décroissante. $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)>0$ et $f(\pi)<0$.  Donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel $\alpha$ unique dans $\left[\dfrac{\pi}{3}~;\pi\right]$ tel que $f(\alpha)=0$.

D'autre part, d'après le tableau de variation, la fonction $f$ ne s'annule pas entre 0 et $\dfrac{\pi}{3}$ car son minimum sur cet intervalle est 1.

Par conséquent, $\alpha$ est l'unique réel de $[0~;\pi]$ tel que $f(\alpha)=0$.

\newpage
\item 
\begin{questions}
\item On a le tableau suivant :

\hspace*{-2.8em}
\begin{tabular}{|C|>{\centering\arraybackslash}m{1.5cm}|Zc|>{\centering\arraybackslash}m{2.5cm}|Zc|Zc|}
\hline\tabulartitle
\'Etape & Test :\newline $b-a>p$ & $c$ & Test :\newline $f(a)\times f(c)<0$ & $a$ & $b$\\
\hline
 & & & & 1 & 3\\
 \hline
1 & Vrai & 2 & Faux & 2 & 3\\
\hline
2 & Vrai & 2,5 & Vrai & 2 & 2,5 \\
\hline
3 & Vrai & 2,25 & Vrai & 2 & 2,25 \\
\hline
4 & Vrai & 2,125 & Faux & 2,125 & 2,25\\
\hline
5 & Vrai & \numprint{2,1875} & Faux & \numprint{2,1875} & 2,25\\
\hline
6 & Faux & & & & \\
\hline
\end{tabular}

\item L'algorithme affiche \numprint{2,1875} et 2,25, qui constituent un encadrement de $\alpha$ d'amplitude
inférieure ou égale à 0,1.
\end{questions}

\item Le discriminant de l'équation $X^2-X-1=0$ est égal à 5. Elle admet donc deux solutions qui sont : $\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ et $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.

\item $\begin{aligned}[t]
f(\alpha)=0 & \iff \sin^2\alpha+\cos\alpha=0\\
& \iff 1-\cos^2\alpha + \cos\alpha = 0\\
& \iff \cos^2\alpha-\cos\alpha-1=0
\end{aligned}$

ce qui signifie que $\cos\alpha$ est une solution de $(E)$.

\item La seule solution de l'équation $(E)$ qui convienne est $\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ car\linebreak $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}>1$ et ne peut donc pas \^etre égale à un cosinus. 

Par conséquent, $\cos\alpha=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$.

\`A la calculatrice, à l'aide de la touche \TAcos, on trouve \linebreak$2,23<\alpha<2,24$, ce qui est bien compatible avec le résultat de la question \ref{ch5ex12q7b}.
\end{questions}
\end{corrige}


%%% 2026

\sectionnn{Objectif bac}

\begin{exo}{Intégrales et suites}{Amérique du Nord, mai 2024}{2}{60}
Pour tout entier naturel $n$, on considère les intégrales suivantes :
\[
I_n = \int_0^{\pi} \nep^{- nx}\sin(x)\:\text{d}x, \quad  J_n = \int_0^{\pi} \nep^{-nx}\cos(x)\:\text{d}x.
\]
\begin{questions}
\item Calculer $I_0$.
\item 
\begin{questions}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , on a $I_n \geqslant 0$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a $I_{n+1} - I_n \leqslant 0$.
\item Déduire des deux questions précédentes que la suite $\left(I_n\right)$ converge.
\end{questions}
\item
\begin{questions}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a : 
\[
I_n \leqslant \int_0^{\pi} \nep^{-nx}\:\text{d}x.
\]
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : 
\[
\int_0^{\pi} \nep^{-nx}\:\text{d}x = \dfrac{1 - \nep^{-n\pi}}{n}.
\]
\item Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite $\left(I_n\right)$.
\end{questions}
\item
\begin{questions}
\item En intégrant par parties l'intégrale $I_n$ de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$:
\[
I_n = 1 + \nep^{-n\pi} - nJ_n \quad \text{et}\quad  I_n = \dfrac 1n J_.
\]
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a:
\[
I_n = \dfrac{1 + \nep^{-n \pi}}{n^2 + 1}.
\]
\end{questions}
\item On souhaite obtenir le rang $n$ à partir duquel la suite $\left(I_n\right)$ devient inférieure à 0,1.

Recopier et compléter la cinquième ligne (pointillés) du script Python ci-dessous avec la commande appropriée.

\begin{listing}{}{trigo-ipp-an2024.py}\end{listing}
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Par définition,
\begin{align*}
I_0 & = \int_0^\pi \nep^0x\sin(x)\text{d}x = \int_0^\pi \sin(x)\text{d}x \\
& = \big[-\cos(x)\big]_0^\pi \\
& = -\cos(\pi)+\cos(0)\\
& =-(-1)+1=2.
\end{align*}

\item
\begin{questions}
\item Sur $[0;\pi]$, $\nep^{-nx} > 0$ pour tout entier naturel $n$, et $\sin(x) \geqslant 0$. 

Ainsi, $\nep^{-nx}\sin(x) \geqslant 0$. Par conséquent, par propriété  de l'intégrale sur la conservation des signes, $I_n \geqslant 0$.

\Par

\item $\begin{aligned}[t]
I_{n+1}-I_n & = \displaystyle\int_0^\pi \nep^{-(n+1)x}\sin(x)\text{d}x - \int_0^\pi \nep^{-nx}\sin(x)\text{d}x\\
& = \int_0^\pi \big( \nep^{-(n+1)x}\sin(x) - \nep^{-nx}\sin(x) \big)\text{d}x\\
& \text{(par linéarité de l'intégrale)}\\
& = \int_0^\pi \nep^{-nx}\sin(x)\big(\nep^{-x} - 1 \big)\text{d}x\\
\end{aligned}$

Sur $[0;\pi]$, 
\begin{itemize}
\item $\nep^{-nx}\sin(x) \geqslant 0$;
\item $0 < \nep^{-x} \leqslant 1 \iff -1 < \nep^{-x}-1 \leqslant 0$.
\end{itemize}

Ainsi, $\nep^{-nx}\sin(x)\big(\nep^{-x}-1\big) \leqslant 0$.

Donc, par propriété de l'intégrale, $I_{n+1}-I_n \leqslant 0$.

\Par

\item Nous venons de montrer que la suite $(I_n)$ est minorée (par 0) et décroissante.

Ainsi, d'après le théorème de convergence des suites monotones, $(I_n)$ converge.
\end{questions}

\Par

\item 
\begin{questions}
\item Pour tout réel $x$ dans $[0;\pi]$,
\begin{align*}
0 \leqslant \sin(x) \leqslant 1 & \iff \nep^{-nx} \times 0 \leqslant \nep^{-nx}\sin(x) \leqslant \nep^{-nx}\times 1\\
& \iff 0 \leqslant \nep^{-nx}\sin(x) \leqslant \nep^{-nx} \\
& \iff \int_0^\pi 0 \text{d}x \leqslant \int_0^\pi \nep^{-nx}\sin(x) \text{d}x \leqslant \int_0^\pi \nep^{-nx} \text{d}x \\
& \iff 0 \leqslant I_n \leqslant \int_0^\pi \nep^{-nx} \text{d}x.
\end{align*}

\item $\begin{aligned}[t]
\int_0^\pi \nep^{-nx} \text{d}x & = \left[ -\dfrac{1}{n}\nep^{-nx} \right]_0^\pi\\
& = -\dfrac{1}{n}\nep^{-n\pi} - \left( -\dfrac{1}{n}\nep^{-n\times0} \right)\\
& = -\dfrac{\nep^{-n\pi}}{n}+\dfrac{1}{n}\\
& = \dfrac{1-\nep^{-n\pi}}{n}.
\end{aligned}$

\item Des questions \textbf{(a)} et \textbf{(b)} précédentes, on conclut que:
\[
\forall n\in\N,\qquad 0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac{1-\nep^{-n\pi}}{n}.
\]
Or, $\lim\limits_{n\to+\infty}\big(1-\nep^{-n\pi}\big) = 1-0 = 1$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1-\nep^{-n\pi}}{n}=0$.

Ainsi, d'après le théorème des gendarmes,
\[
\lim\limits_{n\to+\infty} (I_n) =0.
\]
\end{questions}

\item 
\begin{questions}
\item 
\begin{itemize}
\item Effectuons une première intégration par parties sur $I_n = \int_0^{\pi} \nep^{- nx}\sin(x)\:\text{d}x$ en posant:
\[
\begin{array}{lll}
u(x) = \nep^{-nx} & \qquad & u'(x)=-n\nep^{-nx}\\
v'(x) = \sin(x) & \qquad & v(x)=-\cos(x)
\end{array}
\]
On a alors:
\begin{align*}
I_n & = \big[ uv(x) \big]_0^\pi - \int_0^\pi u'v(x)\text{d}x\\
    & = \big[-\nep^{-nx}\cos(x) \big]_0^\pi - \int_0^\pi n\nep^{-nx}\cos(x) \text{d}x\\
    & = -\nep^{-n\pi}\cos(\pi) + \nep^{-n\times0}\cos(0) - nJ_n\\
    & = \nep^{-n\pi}+1 - nJ_n.
\end{align*}

\item Effectuons maintenant une intégration par parties sur l'intégrale\\$I_n = \int_0^{\pi} \nep^{- nx}\sin(x)\:\text{d}x$ en posant:
\[
\begin{array}{lll}
u'(x) = \nep^{-nx} & \qquad & u(x)=-\dfrac{1}{n}\nep^{-nx}\\
v(x) = \sin(x) & \qquad & v'(x)=\cos(x)
\end{array}
\]
On a alors:
\begin{align*}
I_n & = \big[ uv(x) \big]_0^\pi - \int_0^\pi u'v(x)\text{d}x\\
    & = \left[-\frac{1}{n}\nep^{-nx}\sin(x) \right]_0^\pi - \int_0^\pi -\nep^{-nx}\cos(x) \text{d}x\\
    & = -\frac{1}{n}\nep^{-n\pi}\sin(\pi) + \frac{1}{n} \nep^{-n\times0}\sin(0) + J_n\\
    & = \dfrac{1}{n} J_n.
\end{align*}
\end{itemize}

\item Des deux égalités précédentes, on déduit que pour tout entier naturel $n$ non nul,
\begin{align*}
\nep^{-n\pi}+1 - nJ_n = \dfrac{1}{n} J_n & \iff \left(\dfrac{1}{n}+n\right) J_n = 1+\nep^{-n\pi}\\
& \iff J_n = \dfrac{ 1+\nep^{-n\pi} }{n+\tfrac{1}{n}}\\
& \iff J_n = \dfrac{ n\left(1+\nep^{-n\pi}\right) }{n^2+1}.
\end{align*}
Ainsi,
\begin{align*}
I_n & = \dfrac{1}{n}J_n = \dfrac{1+\nep^{-n\pi}}{n^2+1}.
\end{align*}
\end{questions}

\item Le programme dûment complété est le suivant:

\begin{listing}{}{trigo-ipp-an2024-corr.py}\end{listing}

Pour information, on obtient $n=4$, ce qui signifie que $I_3 \geqslant 0,1$ et $I_4 < 0,1$.
\end{questions}
\end{corrige}

% 2026

\begin{exo}{\'Equation différentielle}{Centres étrangers, juin 2024}{2}{60}
On considère l'équation différentielle:
\[
\left(E_0\right) :\quad  y' = y
\]
où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.

\begin{questions}
\item Démontrer que l'unique fonction constante solution de l'équation\linebreak différentielle $\left(E_0\right)$ est la fonction nulle.

\item Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle $\left(E_0\right)$.

\Par\Par

On considère l'équation différentielle:
\[
(E) :\quad  y' = y - \cos (x) - 3\sin (x)
\]
où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.

\Par\Par

\item La fonction $h$ est définie sur $\R$ par $h(x) = 2 \cos (x) + \sin (x)$.

On admet qu'elle est dérivable sur $\R$.

Démontrer que la fonction $h$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.

\item On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

Démontrer que : \og $f$ est solution de $(E)$ \fg{} est équivalent à \og $f - h$ est solution de $\left(E_0\right)$ \fg.

\item En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle $(E)$.

\item Déterminer l'unique solution $g$ de l'équation différentielle $(E)$ telle que $g(0) = 0$.

\item Calculer:
\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[-2\nep^x + \sin (x) + 2\cos (x)\right]\:\text{d}x.
\]
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Soit $f(x)=k$ une fonction constante solution de $(E_0)$. Alors,
\[
f'(x) = f(x) \iff 0 = k.
\]
Ainsi, la seule fonction constante à être solution de $(E_0)$ est la fonction constante nulle.

\item D'après le cours, les solutions de $(E_0)$ sont de la forme:
\[
f(x)= C\nep^{x}\quad,\quad C\in\R.
\]

\item $h(x) = 2 \cos (x) + \sin (x)$. Alors,
\[
h'(x)=-2\sin(x)+\cos(x).
\]
Ainsi,
\begin{align*}
h(x)-\cos(x)-3\sin(x) & = 2\cos(x)+\sin(x)-\cos(x)-3\sin(x)\\
                      & = \cos(x)-2\sin(x)\\
                      & = h'(x).
\end{align*}
Donc $h$ est bien solution de $(E)$.

\item 
\begin{methode}
Dans ce contexte, pour montrer une équivalence de la forme:
\begin{center}
\og $f$ est solution de $(E)$ \fg{} est équivalent à \og $f - h$ est solution de $\left(E_0\right)$ \fg,
\end{center}
il est préférable de partir de la condition de droite. 

C'est beaucoup plus simple en général.
\end{methode}

$\begin{aligned}[t]
f-h\text{ est solution de }(E_0) & \iff (f-h)' = f-h\\
& \iff f'-h' = f-h\\
& \iff f'-f = h'-h
\end{aligned}$

Or, $h$ est solution de $(E)$ donc:
\[
h'= h-\cos(x)-3\sin(x) \qquad\text{soit}\qquad h'-h = -\cos(x)-3\sin(x).
\]
\Par
Ainsi, 
\Par
$\begin{aligned}[t]
f-h\text{ est solution de }(E_0)
& \iff f' = f - \cos(x)-3\sin(x)\\
& \iff f\text{ est solution de $(E)$}.
\end{aligned}$

\item On utilise l'équivalence démontrée à la question précédente pour trouver toutes les solutions de $(E)$
\begin{align*}
f\text{ est solution de $(E)$} & \iff f-h\text{ est solution de }(E_0)\\
& \iff (f-h)(x) = C\nep^{x},\ C\in\R\text{ (d'après la question 2)}\\
& \iff f(x) = h(x) + C\nep^{x},\ C\in\R\\
& \iff f(x) = 2\cos(x)+\sin(x)+C\nep^{x},\ C\in\R.
\end{align*}

\item La fonction $g$ est solution de $(E)$ avec $g(0)=0$ donc:
\[
g(0) = 2\cos(0)+\sin(0)+C\nep^0 = 0 \iff C = -2.
\]
Ainsi,
\[
g(x)=2\cos(x)+\sin(x)-2\nep^{x}.
\]

\item Une primitive de $g$ est:
\[
G(x) = -2\nep^x - \cos(x) + 2\sin(x)
\]
d'où:
\begin{align*}
\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \text{d}x & = G\left(\frac{\pi}{2}\right) - G(0)\\
& = -2\nep^{\frac{\pi}{2}} - \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \Big[ -2\nep^0-\cos(0)+2\sin(0) \Big]\\
& = 5-2\nep^{\frac{\pi}{2}}.
\end{align*}
\end{questions}
\end{corrige}


\thumb
\AfficheCorrige
