\thumb

%

\begin{qcm}{Calcul d'intégrales}{15}
Pour chaque question, donner la bonne réponse parmi les propositions faites.
\begin{questions}
\item Soit $I=\int_{-1}^1\left|\nep^x-1\right|\dd x$. La valeur de $I$ est :\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $\left|-\left|\frac{1}{\nep}-1\right|\right|-\left|\nep -1\right|$
& \choix $2(\nep-1)$\\
\choix $\nep+\dfrac{1}{\nep}$
&\choix $\nep+\dfrac{1}{\nep}-2$
\end{tabularx}

\item Soit $I=\displaystyle\int_1^2\frac{6x^2+4x}{x^3+x^2-1}\dd x$. La valeur de $I$ est :\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
\choix 
$2\ln 11$
& \choix
$-\dfrac{1}{11}$
& \choix
$\ln 11$
&\choix
$\dfrac{1}{2}\ln 11$
\end{tabularx}

\item Soit $I=\displaystyle\int_0^4 \bigl(\left|x-1\right|+\left|x-2\right| \bigr)\dd x$. La valeur de $I$ est :

\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
\choix 
6
& \choix
7
& \choix
8
&\choix
9
\end{tabularx}

\item Soit $I=\displaystyle\int_0^1 x\nep^{-x} \dd x$. La valeur de $I$ est :

\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
\choix 
$0$
& \choix
$\nep$
& \choix
$1-2\nep^{-1}$
&\choix
$1$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[d].  En effet,
\begin{align*}
I&=\int_{-1}^1\left|\nep^x-1\right|\dd x\\
& =\int_{-1}^0 (1-\nep^x) \dd x + \int_0^1 (\nep^x -1) \dd x\\
& = \big[x-\nep^x\big]_{-1}^0+\big[\nep^x-x\big]_0^1\\
& =\nep+\dfrac{1}{\nep}-2.
\end{align*}
\begin{methode}
On ne peut pas intégrer directement une fonction dont l'écriture comporte des valeurs absolues. Il est indispensable de commencer par donner une écriture de la fonction sans valeur absolue en distinguant différents intervalles. L'intégrale se calcule ensuite en appliquant la relation de Chasles.
\end{methode}

\item Réponse \choix[a]. L'étude de la fonction $u\;:\;x\mapsto x^3 + x^2 - 1$ montre que, sur $[1;2]$, cette fonction est croissante et, comme $u(1) = 1$, $u(x)>0$ sur $[1;2]$.

De plus, $u'(x)=3x^2+2x$ ce qui signifie que $I=\ds\int_1^2\dfrac{2u'(x)}{u(x)}\dd x$ et donc que:
\[
I=2\big[\ln u(x)\big]_1^2=2\Big(\ln\big(u(2)\big)-\ln\big(u(1)\big)\Big)=2(\ln11-\ln1)=2\ln11.
\]

\item Réponse \choix[d]. On retrouve la même situation que la première question. On doit commencer par simplifier l'écriture de la fonction de manière à ne plus avoir de valeurs absolues puis appliquer la relation de Chasles.
\[
I=\int_0^1 (-2x+3) \dd x +\int_1^2 \dd x + \int_2^4 (2x-3) \dd x = 9.
\]

\item Réponse \choix[c]. On effectue une intégration par parties pour trouver la valeur de $I$. Pour cela, on pose :
\[
u(x)=x\qquad\text{et}\qquad v'(x)=\nep^{-x}.
\]
Ainsi,
\[
u'(x)=1\qquad\text{et}\qquad v(x)=-\nep^{-x}.
\]
On en déduit alors que :
\begin{align*}
I & = \big[u(x)v(x)\big]_0^1 - \int_0^1 u'(x)v(x)\dd x\\
& = \big[-x\nep^{-x} \big]_0^1 + \int_0^1 \nep^{-x} \dd x\\
& = -1\nep^{-1}+0\nep^{-0} + \big[-\nep^{-x}\big]_0^1\\
& = -\nep^{-1} + \big(-\nep^{-1} + 1)\\
& = 1-2\nep^{-1}.
\end{align*}
\end{questions}
\end{corrige}

%


\begin{vf}{Propriétés des intégrales} {10}
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
\begin{questions}
\item La valeur moyenne de la fonction exponentielle sur l'intervalle $[0~;1]$ est $\nep$.
\item $\displaystyle\int_{-1}^1 (x^5+x^3)\sin^2x  \dd x=0$.
 \item  $\displaystyle\int_0^{\pi}\nep^{\cos x}\dd x=\int_{-\pi}^0\nep^{\cos x}\dd x$.
\item  $\displaystyle\int_0^{\pi}\nep^{\cos x}\dd x= \int_{-2\pi}^{-\pi}\nep^{\cos x}\dd x$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \textit{Faux.} La valeur moyenne de la fonction exponentielle sur l'intervalle $[0~;1]$ est :
\[
\int_0^1 \nep^x \dd x = \big[\nep^x\big]_0^1=\nep^1-\nep^0= \nep -1.
\]

\item \textit{Vrai}. La fonction intégrée est une fonction impaire sur l'intervalle $[-1~;1]$ donc, d'après les propriétés du cours, son intégrale sur le segment $[-1~;1]$ est nulle.
\begin{methode}
Lorsque les bornes d'intégration sont deux réels opposés, on commencera toujours par étudier rapidement la parité de la fonction intégrée. Si la fonction est impaire, l'intégrale est nulle et il n'y a pas lieu de se lancer dans des calculs.
\end{methode}

\item \textit{Vrai}. La fonction intégrée est une fonction paire puisque, pour tout réel $x$, $\cos (-x) = \cos x$ et les intervalles d'intégration sont symétriques par rapport à 0.

\item \textit{Vrai}. La fonction intégrée est une fonction périodique de période $2\pi$ et on intègre sur des intervalles décalés d'une période.
\end{questions}
\end{corrige}

% 

\begin{vf}{Intégrales et ordre}{10}
\enlargethispage*{3em}
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
\begin{questions}
\item Si l'intégrale d'une fonction sur un intervalle est positive alors la fonction est positive.
\item L'intégrale d'une fonction continue positive sur un intervalle est positive.
\item Si l'intégrale d'une fonction est nulle sur un intervalle $[a~;b]$ alors la fonction est nulle sur $[a~;b]$.
\item Pour tout réel $x$, $\displaystyle\int_x^{x^2}t^2 \dd t \geqslant 0$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \textit{Faux}. La réciproque du théorème de positivité est fausse. 

Soit :
\[
I=\ds\int_{-1}^2t \dd t = \left[\dfrac{1}{2}t^2\right]_{-1}^2=\dfrac{3}{2}.
\]
On remarque que l'intégrale $I$ est positive alors que la fonction intégrée est négative entre $-1$ et $0$.

\item \textit{Faux}. Il manque une hypothèse pour pouvoir appliquer le théorème de positivité de l'intégrale : les bornes doivent être dans l'ordre croissant.

Ainsi $I=\ds\int_3^1  2t \dd t= \big[t^2\big]_3^1=-8$.

\begin{attention}
Pour appliquer un théorème, on doit impérativement s'assurer que toutes les conditions d'application sont réunies et les mentionner sur la copie. Lors de l'apprentissage du cours, on mettra bien en évidence ces conditions en liaison avec la démonstration du théorème.
\end{attention}


\item \textit{Faux}. Si on intègre une fonction continue et impaire sur un intervalle dont les deux bornes sont opposées, alors l'intégrale est nulle alors que la fonction n'est pas nulle.

Ainsi $\ds\int_{-1}^1 t^3 \dd t=0$ alors que la fonction cube n'est pas nulle sur $[-1~;1]$.

\item \textit{Faux}. Si $x=\dfrac{1}{2}$ alors $x^2=\dfrac{1}{4}$. On intègre alors une fonction continue, positive avec les bornes dans l'ordre décroissant. L'intégrale sera donc négative.
\end{questions}
\end{corrige}

% 

\begin{vf}{Fonction définie par une intégrale} {15}
On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\displaystyle\int_0^x  \nep^{-t^2} \dd t$.

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

\begin{questions}
\item La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, $F'(x)=\nep^{-x^2}-1$.

\item La fonction $F \geqslant 0$ sur $\R$.

\item Pour tout réel $x \geqslant 1$, $F(x)-F(1) \leqslant \displaystyle\int_0^x \nep^{-t^2} \dd t$.

\item Pour tout réel $x$, $F(x)=F(-x)$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\enlargethispage*{\baselineskip}
\begin{questions}
\item \textit{Faux}. D'après le cours, comme la fonction $f$ définie sur $\R$ par\linebreak[4] $f(t)=\nep^{-t^2}$ est continue sur $\R$, elle admet des primitives sur $\R$ et la fonction $F$ est la primitive de $f$ sur $\R$ qui s'annule en 0. Par suite, la fonction $F$ est dérivable sur $\R$ et $F'=f$. On a donc, pour tout réel $x$, $F'(x)=\nep^{-x^2}$.

\item \textit{Faux}. Si $x$ est négatif, on intègre une fonction continue et positive avec les bornes dans l'ordre décroissant donc on obtient un résultat négatif.

\item \textit{Vrai}. En effet, $\ds\int_0^1 f(t) \dd t$ est l'intégrale d'une fonction continue, positive, avec les bornes dans l'ordre croissant donc, d'après le théorème de positivité de l'intégrale, $F(1) \geqslant 0$.

Par conséquent, $F(x)-F(1) \leqslant F(x)$.

\item \textit{Faux}. Considérons la différence $F(x)-F(-x)$.

Pour tout réel $x$, 
\[
F(x)-F(-x)=\int_0^x f(t) \dd t - \int_0^{-x} f(t) \dd t = \int_{-x}^x f(t) \dd t.
\]

La fonction $f$ est paire et strictement positive sur l'intervalle d'intégration donc l'intégrale n'est pas nulle et par suite, $F(x)$ et $F(-x)$ ne sont pas égaux.
\end{questions}
\end{corrige}


% 

\begin{vf}{Suite d'intégrales}{15}
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère l'intégrale :
\[
I_n=\int_{\ln n}^{\ln (n+1)}\frac{\nep^t}{\nep^t +1}\dd t.
\]
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

\begin{questions}
\item Pour tout naturel $n$ non nul, $I_n$ est positive.

\item Pour tout naturel $n$ non nul, $I_n=\ln\left(\dfrac{n+1}{n}\right)$.

\item La suite $(I_n)$ est décroissante.

\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, $I_1+I_2+\cdots+ I_n=\ln (n+2)$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \textit{Vrai}. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(t)=\dfrac{\nep^t}{\nep^t+1}$. La fonction $f$ est continue et positive sur $[\ln n~;\ln (n+1)]$. On intègre avec les bornes dans l'ordre croissant donc, d'après le théorème de positivité de l'intégrale, $I_n$ est positive.


\item \textit{Faux}. La fonction $f$ est continue sur l'intervalle $[\ln n~;\ln (n+1)]$ donc elle admet des primitives sur cet intervalle. Elle est de la forme $\dfrac{u'}{u}$ donc elle admet pour primitive la fonction $F$ définie sur $\R$ par\linebreak $F(t)=\ln \left(\nep^t +1\right)$. On en déduit que, pour tout entier naturel non nul $n$, 
\[ I_n=\ln (n+2)-\ln(n+1)=\ln \frac{n+2}{n+1}. \]

\item \textit{Vrai}. Pour étudier le sens de variation de la suite $(I_n)$, on cherche le signe de $I_{n+1}-I_n$.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, 
\[
I_{n+1}-I_n =\ln \dfrac{(n+3)(n+1)}{(n+2)^2}.
\]
Or, $(n+3)(n+1)=n^2+4n+3=(n+2)^2-1$.

Ainsi,$(n+3)(n+1)<(n+2)^2$.

Par suite, 
\[
\dfrac{(n+3)(n+1)}{(n+2)^2} <1\qquad\text{et}\qquad\ln \dfrac{(n+3)(n+1)}{(n+2)^2}<0.
\]
On en déduit que $I_{n+1}-I_n$ est négatif et la suite $(I_n)$ est décroissante.

\item \textit{Faux}. On transforme la somme $I_1+I_2+\cdots+ I_n$ en appliquant la relation de Chasles : 
\[
\begin{aligned}
I_1+I_2+\cdots+I_n &= \int_0 ^{\ln (n+1)} \frac{\nep^t}{\nep^t+1}\dd t\\
&= \big[\ln (\nep^t+1)\big]_0^{\ln(n+1)}\\
&= \ln(n+2)-\ln 2\\
& = \ln \dfrac{n+2}{2}.
\end{aligned}
\]
\end{questions}
\end{corrige}


\sectionnn{Pratique du calcul intégral}

%

\begin{exo}{Pratique du calcul intégral}{Lycée Blaise Pascal, Brie-Comte-Robert}{1}{10}
Calculer les intégrales 
$\ds
I_1=\int_{0}^{\pi} \cos t\dd t 
\text{ et }
I_2=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin \left( t+\dfrac{\pi}{4} \right) \dd t 
$.
\end{exo}

\begin{corrige}
La fonction cosinus est continue sur $[0~;\pi]$ donc elle admet des primitives sur $[0~;\pi]$ et l'intégrale $I_1$ existe.\par
De même, la fonction sinus est continue sur $\left[0~;\dfrac{\pi}{2}\right]$ donc elle admet des primitives sur cet intervalle et l'intégrale $I_2$ existe.
\Par
\begin{minipage}[t]{5cm}
Calcul de $I_1$ :
\[
\begin{aligned}
I_1&=\int_{0}^{\pi} \cos t \dd t \\
&=\left[ \sin t \right]_0^{\pi} \\
&=\sin{\pi}-\sin{0} \\
&=0.
\end{aligned}
\]
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{5cm}
Calcul de $I_2$ :
\[ 
\begin{aligned}
I_2&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}
\sin \left(t+\dfrac{\pi}{4} \right) \dd t \\
&=\left[-\cos \left(t+\dfrac{\pi}{4} \right) \right]_0^\frac{\pi}{2}\\
&=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
&=\sqrt{2}.
\end{aligned}
\]
\end{minipage}
\end{corrige}


%

\begin{exo}{Intégrales de fonctions polynômes}{Lycée Marie Curie, Sceaux}{1}{10}
Calculer les intégrales :
\[
I_3=\int_{0}^{1} \big(t^3+2t^2+4t+1\big)\dd t 
\text{ et }
I_4=\int_{-3}^{3} \big(12t^{17}+2t^3-t\big)\dd t.
\]
\end{exo}

\begin{corrige}
Calcul de $I_3$ :
\par
La fonction : $t\mapsto t^3+2t^2+4t+1 $ est continue sur $[0~;1]$ donc elle admet des primitives sur $[0~;1]$ et l'intégrale $I_3$ existe.
\[
\begin{aligned}
I_3&=\int_{0}^{1}(t^3+2t^2+4t+1) \dd t \\
&=\left[\dfrac{1}{4}t^4+\dfrac{2}{3}t^3+2t^2+t \right]_{0}^{1} \\
&= \dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}+2+1 \\
&=\dfrac{47}{12}.
\end{aligned}
\]
\Par
Calcul de $I_4$ :
\par
La fonction $t\mapsto 12t^{17}+2t^3-t$ est continue sur $[-3~;3]$. On remarque de plus que cette fonction est impaire.
Or, d'après le cours, si la fonction $f$ est impaire, alors $\int_{-a}^{a} f(t)\dd t=0$. On en déduit :
\[
I_4=\int_{-3}^{3} (12t^{17}+2t^3-t) \dd t=0.
\]
\begin{attention}
On pensera bien à vérifier que les trois conditions d'application  du théorème sont remplies : la fonction doit être continue, les bornes de l'intervalle d'intégration doivent être deux nombres opposés et la fonction doit être impaire.
\end{attention}
\newpage
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Primitive et calcul d'aire}{Lycée Bonaparte, Toulon}{1}{10}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-55mm}
Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par :
\[
f(x)=2\ln x +\dfrac{3}{x}+3.
\]
\begin{questions}
\item On définit la fonction $F$ sur $]0\,;+\infty[$ par :\\ $F(x)=(2x+3)\ln x+x$. 

Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0\,;+\infty[$.
\item Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine colorié sur le graphique ci-contre.
\end{questions}
\end{minipage}
\hfill\begin{minipage}{48mm}
\includegraphics{203_integration-05}
\end{minipage}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $F$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$. Calculons la dérivée de $F$ :
\[
F'(x)=2\ln x+(2x+3)\times\dfrac{1}{x}+1=2\ln x+2+\dfrac{3}{x}+1=f(x).
\]
La fonction $F$ est donc bien une primitive de $f$ sur $]0\,;+\infty[$.

\item La fonction $f$ est positive sur $[1\, ; 3]$. L'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=3$ est donc égale à l'intégrale :
\begin{align*}
\int_1^3 f(x)\dd x & = \big[F(x)\big]_1^3\\
& = F(3)-F(1)\\
& = (9\ln 3+3)-(5\ln 1+1)\\
& = 9\ln 3+2.
\end{align*}


\begin{methode}
Il est souvent demandé de vérifier qu'une fonction $F$ est une primitive d'une fonction $f$. Dans ce cas, il suffit de dériver $F$ et vérifier que l'on obtient effectivement $f$. Il est totalement inutile d'essayer de trouver par soi-même une primitive de $f$ et cela n'est parfois même pas possible avec les outils disponibles d'après les programmes.
\end{methode}
\end{questions}
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Exponentielle et racine carrée}{Lycée Jacques Prévert, Boulogne}{1}{10} 
Calculer les intégrales:
\[
I_5=\int_{-\ln 2}^{\ln 3}(1-2\nep^t)\dd t 
\quad
\text{ et}
\quad
I_6=\int_{0}^{1} \dfrac{2t}{\sqrt{1+t^2}}\dd t 
\]
\end{exo}

\begin{corrige}
La fonction : $t\mapsto 1-2\nep^t $ est continue sur $[-\ln 2; \ln 3]$ donc elle admet des primitives sur $[-\ln 2; \ln 3]$ et l'intégrale $I_5$ existe.\Par
De même, la fonction : $t\mapsto \dfrac{2t}{\sqrt{1+t^2}}$ est continue sur $[0, 1]$ donc elle admet des primitives sur $[0, 1]$ et l'intégrale $I_6$ existe.\par
On remarque que la fonction $t\mapsto \dfrac{2t}{\sqrt{1+t^2}}$ est de la forme $\dfrac{u'(t)}{\sqrt{u(t)}}$ en posant \linebreak $u(t)=1+t^2$. Elle admet donc une primitive de la forme $2\sqrt{u(t)}$.
\Par
\begin{minipage}[t]{5cm}
Calcul de $I_5$.
\[
\begin{aligned}
I_5&=\int_{-\ln 2}^{\ln 3}(1-2\nep^t) \dd t \\
&=\left[ t-2\nep^t \right]_{-\ln 2}^{\ln 3} \\
&=\ln 3+\ln 2-2\nep^{\ln 3}+2\nep^{-\ln 2} \\
&=\ln6-2\nep^{\ln3}+2\nep^{\ln\frac{1}{2}}\\
&=\ln6-6+2\times\frac{1}{2}\\
&=\ln 6-5.
\end{aligned}
\]
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{5cm}
Calcul de $I_6$.
\[ 
\begin{aligned}
I_6&=\int_0^{1}
\left(\dfrac{2t}{\sqrt{1+t^2}} \right) \dd t \\
&=\left[ 2\sqrt{1+t^2} \right]_0^1\\
&=2\sqrt{2}-2.
\end{aligned}
\]
\end{minipage}
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Bénéfice moyen}{Cité scolaire internationale, Grenoble}{2}{15}
Une entreprise fabrique $x$ milliers d'objets avec $x$ appartenant à  $[0\,;5]$.

Les bénéfices ou les pertes de l'entreprise sont modélisés par la fonction $f$ définie  sur $[0\, ;5]$ par $f(x)=x\nep^x-\nep^x-8$.

Pour une  quantité $x$ donnée, si $f(x)$ est positif, l'entreprise réalise un bénéfice, et si $f(x)$ est négatif, l'entreprise subit une perte.
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Montrer que la fonction $F$ définie  par \mbox{$F(x)=x\nep^x-2\nep^x-8x$} sur $[0\, ;5]$ est une primitive de $f$ sur $[0\, ;5]$.
\item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_3^5 f(x)\dd x$.
\end{questions}

\item L'entreprise pense produire régulièrement entre 3  et 5  milliers d'objets.

Déterminer la valeur moyenne du bénéfice sur $[3\, ;5]$. Donner l'arrondi à l'euro près.
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
F'(x) & = \nep^x+x\nep^x-2\nep^x-8\\
& = x\nep^x-\nep^x-8\\
& = f(x).
\end{aligned}$

\Par

La fonction $F$ est donc une primitive de $f$ sur $[0\, ;5]$.

\item $\begin{aligned}[t]
\int_3^5 f(x)\dd x & = \big[F(x)\big]_3^5\\
& = F(5)-F(3)\\
& = \big(5\nep^5-2\nep^5-40\big)-\big(3\nep^3-2\nep^3-24\big)\\
& = 3\nep^5-\nep^3-16.
\end{aligned}$
\end{questions}

\item La valeur moyenne du bénéfice pour une production entre 3 et 5 milliers d'objets est égale à la moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[3\,;5]$, c'est-à-dire à :

\[
\dfrac{1}{5-3}\int_3^5 f(x)\dd x=\dfrac{1}{2}\big(3\nep^5-\nep^3-16\big)\approx205~\text{euros}.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

%
\newpage

%\begin{exo}{Sinus et valeur absolue}{Lycée Lavoisier, Paris}{2}{15} 
%Soit $n$ un entier naturel non nul. Calculer les intégrales:
%\[
%\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin^3 t\cos^3 t\dd t 
%\quad
%\text{ et}
%\quad
%\int_{-1}^2 \left(1-|x-1| \right)^n\dd x.
%\]
%Pour la 1\iere{} intégrale, on pourra utiliser l'identité : 
%$\sin^3X=\dfrac{3\sin X-\sin 3X}{4}$. 
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%La fonction : $t\mapsto  \sin^3 t\cos^3 t$ est continue sur $\left[0, \dfrac{\pi}{6}\right]$ donc elle admet des primitives sur cet intervalle et l'intégrale existe.\\
%On modifie l'écriture de la fonction à intégrer de manière à exploiter l'indication de l'énoncé :\\
%Nous savons que pour tout réel $t$, 
%$
%\sin 2t=2\sin t \cdot \cos t
%$.
%\par
%Donc:
%\[
%\sin^3t \cdot \cos^3t=\dfrac{1}{8}\sin^3(2t).
%\]
%Utilisons l'indication de l'énoncé, en prenant $X=2t$ : 
%\[
%\sin^3 2t=\dfrac{3\sin 2t -\sin  6t}{4}.
%\]
%Donc:
%\[
%\begin{aligned}
%\int_{0}^\frac{\pi}{6} \sin^{3} t \cdot \cos^{3} t \dd t
%&=\dfrac{3}{32}\int_{0}^\frac{\pi}{6} \sin 2t \dd t 
%-\dfrac{1}{32}\int_{0}^\frac{\pi}{6} 
%\sin  6t  \dd t \\
%&=\dfrac{1}{192}\Bigl[ \cos 6t
%\Bigr]_{0}^\frac{\pi}{6}-\dfrac{3}{64}\Bigl[ \cos 2t  \Bigr]
%_{0}^\frac{\pi}{6}
%\\ &=\dfrac{5}{384}.
%\end{aligned}
%\]
%
%
%La fonction $t \mapsto \big(1-|x-1| \big)^n$ est continue sur l'intervalle $[-1, 2]$ donc l'intégrale existe. Néanmoins, il est indispensable de donner une écriture de la fonction sans valeur absolue pour pouvoir calculer l'intégrale.
%
%Nous savons que:
%\[
%|x-1|=\left\{ \begin{aligned}
%1-x 
%\quad
%\text{si }
%\quad
%x &\leqslant 1\\
%x-1 
%\quad
%\text{si }
%\quad 
%x &\geqslant 1\\
%\end{aligned}
%\right..
%\]
%Donc:
%\[
%(1-|x-1|)^n=\left\{ \begin{aligned}
%x^n
%\quad
%\text{si }
%\quad
%x &\leqslant 1 \\
%(2-x)^n 
%\quad
%\text{si }
%\quad
%x &\geqslant 1\\
%\end{aligned}
%\right..
%\]
%Ainsi,
%\[
%\begin{aligned}
%\int_{-1}^2 \left(1-|x-1| \right)^n \dd x
%&=\int_{-1}^1 x^ndx +\int_1^2
%(2-x)^n \dd x \\[10pt]
%&=\left[\dfrac{x^{n+1}}{
%n+1}\right]_{-1}^1-\left[\dfrac{(2-x)^{n+1}}{n+1}\right]_1^2 \\[10pt]
%&=\dfrac{2+(-1)^n}{n+1}.
%\end{aligned}
%\]
%
%\begin{attention}
%La fonction valeur absolue est continue sur $\R$, ce qui assure l'existence de l'intégrale. Cependant, il n'est pas possible de déterminer directement une primitive d'une fonction comportant des valeurs absolues. On utilise la relation de Chasles pour découper l'intervalle en deux intervalles sur lesquels la fonction garde un signe constant, ce qui permet d'en donner une écriture sans valeur absolue et ainsi d'en déterminer, sur chaque intervalle, une primitive.
%\end{attention}
%\end{corrige}
%

%%% NEW 2023 

\begin{exo}{À l'aide d'une primitive}{Lycée François Mauriac, Bordeaux}{2}{15}
Trouver les réels $a$, $b$ et $c$ tels que:
\[
\dfrac{x^2-5x+7}{x^3-5x^2+8x-4} = \dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{x-2}+\dfrac{c}{(x-2)^2}
\]
puis calculer $\displaystyle\int_3^4 \dfrac{x^2-5x+7}{x^3-5x^2+8x-4}\dd x$.
\end{exo}

\begin{corrige}
Calculons pour tout réel $x$ différent de 1 et de 2:
\begin{align*}
\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{x-2}+\dfrac{c}{(x-2)^2} & = \dfrac{a(x-2)^2 + b(x-1)(x-2) + c(x-1)}{(x-1)(x-2)^2}\\
& = \dfrac{ax^2-4ax+4a + bx^2-3bx + 2b + cx-c}{(x-1)(x-2)^2}\\
& = \dfrac{(a+b)x^2 + (-4a-3b+c)x + 4a+2b-c}{x^3-5x^2+8x-4}.
\end{align*}
On souhaite que pour tout réel $x$ différent de 1 et de 2:
\[
\dfrac{x^2-5x+7}{x^3-5x^2+8x-4} = \dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{x-2}+\dfrac{c}{(x-2)^2}
\]
donc que:
\[
\dfrac{x^2-5x+7}{x^3-5x^2+8x-4} = \dfrac{(a+b)x^2 + (-4a-3b+c)x + 4a+2b-c}{x^3-5x^2+8x-4}.
\]
\Par
On identifie alors les coefficients de chaque puissance de $x$ au numérateur des deux fractions:
\[
\begin{cases}
a+b&=1\\
-4a-3b+c&=-5\\
4a+2b-c&=7
\end{cases}
\]
De la première équation, on déduit que $a=1-b$. De plus, en additionnant les deux autres équations, on obtient:
\[
-b = 2 \iff b = -2 \iff a = 3.
\]
On en déduit alors la valeur de $c$:
\[
-4a-3b+c=-5 \iff c = -5+4a+3b = 1.
\]
Finalement,
\[
\dfrac{x^2-5x+7}{x^3-5x^2+8x-4} = \dfrac{3}{x-1}-\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{1}{(x-2)^2}
\]
et donc:
\begin{align*}
\int_3^4 \dfrac{x^2-5x+7}{x^3-5x^2+8x-4}\dd x & = \int_3^4 \dfrac{3}{x-1}\dd x - \int_3^4 \dfrac{2}{x-2}\dd x + \int_3^4 \dfrac{1}{(x-2)^2}\dd x\\
& = \big[ 3\ln|x-1| \big]_3^4 - 2\big[ \ln|x-2| \big]_3^4 + \left[ -\frac{1}{x-2} \right]_3^4\\
& = 3\ln3-3\ln2 - (2\ln2-2\ln1)-\frac{1}{2}+\frac{1}{1}\\
& = \frac{1}{2} -5\ln2 + 3\ln3.
\end{align*}
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Un classique... dans le supérieur!}{Lycée Victor Hugo, Besançon}{2}{20} 
Soit :
\[
I=\int_0^1 \dfrac{\dd x }{ \sqrt{x^2+2}}.
\]
\begin{questions}
\item Calculer la dérivée de la fonction $x\mapsto
\sqrt{x^2+2}$.
\item En déduire la dérivée de la fonction $f$ définie sur $[0,1]$ par\linebreak $f(x)=\ln \left( x+\sqrt{x^2+2} \right)$.
\item Calculer la valeur de $I$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La fonction:
\[
x\mapsto \sqrt{x^2+2}
\]
est la composée des fonctions 
\[
x\mapsto x^2+2
\quad
\text{et}
\quad
x\mapsto \sqrt{x}.
\]
Or, la fonction $x\mapsto x^2+2$ est dérivable sur $\R$, à valeurs strictement positives et la fonction racine est dérivable sur $\left]0, +\infty\right[$, donc, d'après le théorème de dérivabilité des fonctions composées, la fonction \linebreak$
x\mapsto \sqrt{x^2+2}$ est dérivable sur $\R$.

\Par

Les dérivées respectives des deux fonctions sont 
\[
x\mapsto 2x
\quad
\text{et}
\quad
x\mapsto \dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
\]
La dérivée cherchée est donc:
\[
x\mapsto \dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}.
\]

\item Ainsi la dérivée de:
\[
x \mapsto x+\sqrt{x^2+2}
\]
est:
\[
x\mapsto 1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}.
\]
On pose alors $u(x)=x+\sqrt{x^2+2}$. 

D'après la question précédente, la fonction $u$ est dérivable sur $[0, 1]$. De plus, la fonction $u$ est strictement positive sur l'intervalle $[0, 1]$. La fonction $f$ étant de la forme $\ln u$, il en résulte qu'elle est dérivable sur $[0,1]$.

Donc pour tout $x\in [0,1]$,
\[
f'(x)=\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}}{x+\sqrt{x^2+2}}
=\dfrac{\dfrac{\sqrt{x^2+2}+x}{\sqrt{x^2+2}} }{\  x+\sqrt{x^2+2}\ } 
\]
soit:
\[
f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+2}}.
\]

\item La fonction $x\mapsto \dfrac{1 }{ \sqrt{x^2+2}}$ est continue sur l'intervalle $[0,1]$ donc elle admet des primitives sur cet intervalle et l'intégrale $I$ existe. 
\[
I=\int_0^1 f'(x) \dd x 
=f(1)-f(0) 
=\ln(1+\sqrt{3})-\ln(\sqrt{2}).
\]
\end{questions}
\end{corrige}


%

\begin{exo}{Fonction rationnelle}{Lycée Balzac, Caen}{2}{25} 
Soit $f$ définie sur $\R \setminus \left\{-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right\}$ par: $f(x)=-\dfrac{8x^2+32x+2 }{(4x^2-1)^2}$.
\begin{questions}
\item Montrer que $f$ peut s'écrire sous la forme:
\[
f(x)=\dfrac{a}{(2x+1)^2} +\dfrac{b}{(2x-1)^2}
\]
où $a$ et $b$ sont des constantes à déterminer.
\item En déduire la valeur de $\ds\int_1^2 f(t)\dd t$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
Pour tout $x \in \R-\left\{-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right\}$, remarquons que $(4x^2-1)^2=(2x-1)^2(2x+1)^2$. Alors,

\begin{align*}
 f(x) & =\dfrac{a}{(2x+1)^2} +\dfrac{b}{(2x-1)^2} \\
\iff  -\dfrac{8x^2+32x+2}{(4x^2-1)^2} & = \dfrac{4(a+b)x^2+4(b-a)x+(a+b)}{(4x^2-1)^2}.
\end{align*}

Donc, $f(x)=\dfrac{a}{(2x+1)^2} +\dfrac{b}{(2x-1)^2}$ si et seulement si $a=3$ et $b=-5$.
\Par
La fonction $f$ est une fonction rationnelle; elle est donc continue sur tout intervalle inclus dans son ensemble de définition. Par conséquent, elle admet des primitives sur l'intervalle $[1, 2]$ et l'intégrale $\int_1^2 f(t) \dd t$ existe.
\Par
\[
\begin{aligned}
\int_1^2 f(t) \dd t
&=\int_1^2 \dfrac{3}{(2t+1)^2} \dd t -\int_1^2 \dfrac{5}{(2t-1)^2} \dd t
\\
 &=-\dfrac{3}{2}\left[ \dfrac{1}{2t+1} \right]_1^2 
+\dfrac{5}{2}\left[ \dfrac{1}{2t-1} \right]_1^2 \\
&=-\dfrac{22}{15}.
\end{aligned}
\]

\begin{methode}
Pour déterminer une primitive d'une fonction rationnelle, on a souvent recours à une décomposition de cette fonction rationnelle en somme de fonctions rationnelles correspondant aux primitives usuelles. Au niveau terminale, cette décomposition est en général guidée par l'énoncé. Il suffit alors de réduire au même dénominateur puis de procéder à l'identification des coefficients.
\end{methode}
\end{corrige}


%

\begin{exo}{Dérivées de fonctions intégrales}{Lycée Janson de Sailly, Paris}{3}{15}
Calculer en fonction de $x$ la dérivée des fonctions définies sur $\R^*_+$ par :
\[
F(x)=\int_x^{2x} \dfrac{\dd t }{t}\quad\text{et}\quad
G(x)=\int_{\sqrt{x}}^{x^2} \ln t\dd t .
\]
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{itemize}
\item Soit $F_1$ la fonction définie sur $\R^*_+$ par :
\[
F_1(x)=\int_1^x \dfrac{\dd t}{t}.
\]
D'après les théorèmes du cours, $F_1$ est la primitive de: $x\mapsto \dfrac{1}{x}$, qui\linebreak s'annule en $1$.

Or, par la relation de Chasles :
\[
F(x)=\int_x^{2x} \dfrac{1}{t} \dd t 
=\int_x^{1} \dfrac{1}{t} \dd t+\int_1^{2x} \dfrac{1}{t} \dd t 
=F_1(2x)-F_1(x).
\]
Donc, pour tout $x \in \R^*_+$,d'après le théorème de dérivabilité des fonctions composées,
\[
F'(x)=2F'_{1} (2x)-F'_{1}(x)
=\dfrac{2}{2x}-\dfrac{1}{x}
=0.
\]

\begin{Remarque}
puisque $\R_+^*$ est un intervalle, on peut en déduire que la fonction $F$ est constante. 
Alors sa valeur se calcule par exemple en $1$ et on a $F(1)=\ln 2$. 
\end{Remarque}


\item De la même façon, définissons :
\begin{align*}
G_1(x)&=\int_1^x \ln(t) \dd t.\\
\intertext{%
$G_1$ est dérivable et a pour dérivée $\ln$ et :}
G(x)&=G_1(x^2)-G_1(\sqrt{x}).\\
\intertext{%
Donc pour tout $x \in \R^*_+$,}
G'(x)&=2xG'_{1}(x^2)-\frac{1}{2\sqrt{x}}G'_1(\sqrt{x})\\
&=2x\ln(x^2)-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\ln(\sqrt{x})\;,\\
\intertext{%
soit :}
G'(x)&=4\left(x-\dfrac{1}{16\sqrt{x}}\right) \ln x.
\end{align*}
\end{itemize}

\begin{methode}
Les fonctions définies par une intégrale sont très délicates à étudier. On se ramènera à chaque fois au théorème : \par
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a\in I$, la fonction 
\[F\,:I\to\R,\quad
x\mapsto\int_{a}^{x}f(t)\dd t
\]
est \emph{la} primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$.\par
puis on utilisera la définition de la primitive d'une fonction.\par
On se souviendra que pour dériver une fonction du type : $x\mapsto G\big(u(x)\big)$ il est indispensable d'utiliser le théorème de dérivabilité des fonctions composées.
\end{methode}
\end{corrige}


%

\begin{exo}{Valeur approchée d'une intégrale}{Lycée du Parc, Lyon}{3}{45}
Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;1[$ par : $f(x)=\nep^{-x} \dfrac{1}{1-x}$.

On pose : $I=\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} f(t) \dd t$.
\begin{questions}
\item \label{chap8ex14_1} En étudiant les variations de $f$, démontrer que pour tout $x \in
\left[0~;\dfrac{1}{2} \right]$
\[
1 \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{2}{\sqrt{\nep}}.
\]
\item
\begin{questions}
\item Vérifier que pour tout $x \in
\left[0~;\dfrac{1}{2} \right]$, $\dfrac{1}{1-x}=1+x+\dfrac{x^2}{1-x}$.
\item En déduire que $I=\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} (1+x) \nep^{-x} \dd x+\int_{0}^{\frac{1}{2}} x^2
f(x) \dd x$.
\item Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=-(x+2)\nep^{-x}$ est une primitive de $x\mapsto (x+1)\nep^{-x}$.

\item Déduire de la question \ref{chap8ex14_1} que : $\dfrac{1}{24} \leqslant \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} x^2 f(x) \dd x \leqslant \dfrac{1}{12\sqrt{\nep}}$.
\item Déduire des questions précédentes une valeur décimale approchée de $I$ à la précision de $0,01$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\label{intcorq8}
La fonction $f$ est dérivable sur $\left[0~;\dfrac{1}{2}\right]$ et,
\[
\begin{aligned}
\forall x \in\left[0~;\dfrac{1}{2}\right],\quad &f'(x)=\dfrac{-\nep^{-x}(1-x)+\nep^{-x}}{(1-x)^2} =\dfrac{x\nep^{-x}}{(1-x)^2} \\
\text{donc } \quad \forall x \in \left[0~;\dfrac{1}{2}\right], \quad &f'(x) \geqslant 0.
\end{aligned}
\]

Ainsi, $f$ est croissante sur $\left[0~;\dfrac{1}{2} \right]$, donc pour tout $x \in \left[0~;\dfrac{1}{2} \right]$,
\[
f(0) \leqslant f(x) \leqslant f\left(\dfrac{1}{2}\right)\;,
\]
soit:
\[
1 \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{2}{\sqrt{\nep}}.
\]
%
\item
\begin{questions}
\item 
Pour tout $x \in \left[0~;\dfrac{1}{2}\right]$, on a :
\[
1+x+\dfrac{x^2}{1-x}=\dfrac{(1+x)(1-x)+x^2}{1-x} 
=\dfrac{1-x^{2}+x^{2}}{1-x} 
=\dfrac{1}{1-x}.
\]
%
\item 
En utilisant l'égalité démontrée à la question précédente, il vient :
\[
\begin{aligned}
I&=\int_{0}^{\frac{1}{2}} f(x) \dd x \\
&=\int_{0}^{\frac{1}{2}} \left( 1+x+\dfrac{x^2}{1-x} \right) \nep^{-x} \dd x \\
&=\int_{0}^{\frac{1}{2}} (1+x) \nep^{-x} \dd x +\int_{0}^{\frac{1}{2}}
\dfrac{x^{2}\nep^{-x}}{1-x} \dd x \\
&=\int_{0}^{\frac{1}{2}} (1+x)\nep^{-x} \dd x +\int_{0}^{\frac{1}{2}}
x^{2}f(x) \dd x.
\end{aligned}
\]

\item On a $g'(x)=-\nep^{-x}+(x+2)\nep^{-x} = (x+1)\nep^{-x}$. La fonction $g$ est donc bien une primitive de $x\mapsto (x+1)\nep^{-x}$.

\item  \label{intcorq9}
D'après \ref{intcorq8}, pour tout $x \in
\left[0~;\dfrac{1}{2}\right]$, $1\leqslant f(x) \leqslant \dfrac{2}{\sqrt{\nep}}.$

Donc, pour tout $x \in \left[0~;\dfrac{1}{2}\right]$, $x^2 \leqslant x^{2}f(x) \leqslant \dfrac{2x^{2}}{\sqrt{\nep}}.$

En intégrant entre 0 et $\dfrac{1}{2}$ on a, par conservation de l'ordre par intégration (les conditions d'application du théorème étant réunies),
\[
\int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2} \dd x \leqslant \int_{0}^{\frac{1}{2}}
x^{2}f(x) \dd x \leqslant \int_{0}^{\frac{1}{2}} \dfrac{2x^{2}}{\sqrt{\nep}}
\dd x\;,
\]
soit :
\[
\dfrac{1}{24} \leqslant \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2}f(x) \dd x \leqslant
\dfrac{1}{12\sqrt{\nep}}.
\]

\item  Nous avons la relation :
\begin{align*}
I&= \int_0^{\frac{1}{2}}(x+1)\nep^{-x} \dd x +\int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2}f(x) \dd x \\
&= \Bigl[g(x)\Bigr]_0^{\frac{1}{2}} + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2}f(x) \dd x \\
&=2-\dfrac{5}{2\sqrt{\nep}}+\int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2}f(x) \dd x.
\end{align*}
D'après \ref{intcorq9}, on a l'encadrement suivant :
\[
\dfrac{1}{24}+2-\dfrac{5}{2\sqrt{\nep}} \leqslant I \leqslant
\dfrac{1}{12\sqrt{\nep}}+2-\dfrac{5}{2\sqrt{\nep}}.
\]
Finalement, on obtient à l'aide de la calculatrice, $I\approx0,53$ à $10^{-2}$ près.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


\sectionnn{Intégration et suites}

%

\begin{exo}{Suites définies par des intégrales}{Lycée du Parc, Lyon}{1}{20}
Pour tout entier naturel $n$, on pose : $
I_n=\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1+2x+4x^2} \dd x$.
\begin{questions}
\item Montrer que l'on définit ainsi une suite $(I_n)_{n\in \N}$ dont
chaque terme est positif ou nul.
\item Étudier le sens de variation de la suite $(I_n)_{n\in \N}$. 
\item Déterminer $a \in \R$ tel que pour tout $x\in [0~;1]$, 
\[
\dfrac{1}{1+2x+4x^2}\leqslant a.
\]
En déduire la limite de la suite $(I_n)_{n\in \N}$.
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
La fonction : $x\mapsto \dfrac{x^n}{1+2x+4x^2}$ est continue sur l'intervalle $[0~;1]$ en tant que fonction rationnelle.\\
Pour tout entier $n$ et tout réel $x \in [0~;1]$, 
\[
\dfrac{x^n}{1+2x+4x^2} \geqslant 0.
\]
Les bornes d'intégration sont dans l'ordre croissant donc, d'après le théorème de positivité de l'intégrale,
\[
I_n=\int_0^1 \dfrac{x^n}{1+2x+4x^2} \dd x \geqslant 0.
\]
En effet sur $[0~;1]$, $x^n\geqslant0$, et pour le trinôme du dénominateur, le discriminant est négatif, donc le trinôme est toujours du signe de 4, donc strictement positif.

\item Pour tout entier $n$, par linéarité de l'intégrale, on a :
\[
\begin{aligned}
I_{n+1}-I_n&=\int_0^1 \dfrac{x^{n+1}}{1+2x+4x^2} \dd x-
\int_0^1 \dfrac{x^n}{1+2x+4x^2} \dd x \\
&=\int_0^1 \dfrac{x^n(x-1)}{1+2x+4x^2} \dd x.
\end{aligned}
\]
La fonction : $x\mapsto \dfrac{x^n(x-1)}{1+2x+4x^2}$ est continue sur l'intervalle $[0~;1]$ en tant que fonction rationnelle.\\
Or, pour tout réel $x\in [0~;1]$, $\dfrac{x^n(x-1)}{1+2x+4x^2}\leqslant 0$.

Donc, par positivité de l'intégrale on a : $I_{n+1}-I_n \leqslant 0$.
 
La suite $(I_n)_{n \in \N}$ est donc décroissante.

\item  Pour encadrer $1 + 2x + 4x^2$, il faut connaître le sens de variation de la fonction : $f:x\mapsto1+2x+4x^2$.

$f'(x)=2+8x$ donc $f'(x)>0\Leftrightarrow x>-\dfrac{1}{4}$.

Par conséquent, sur l'intervalle $[0~;1]$, $f$ est croissante, et :
\[ f(0)\leqslant f(x)\leqslant f(1). \]	

On a donc : $1\leqslant 1 + 2x + 4x^2\leqslant 7$.

Comme la fonction inverse est décroissante sur $\left]0~; +\infty\right[$, on en déduit que  pour tout $x\in [0~;1]$,  $\dfrac{1}{1+2x+4x^2}\leqslant 1$. Donc, en multipliant par $x^n$ qui est positif, on obtient pour tout entier naturel $n$, 
\[
\dfrac{x^n}{1+2x+4x^2}\leqslant x^n.
\]
Les fonctions : $x\mapsto x^n$ et $x\mapsto \dfrac{x^n}{1+2x+4x^2}$ sont continues sur $[0~;1]$, les bornes d'intégrations sont dans l'ordre croissant. Il résulte du théorème sur les intégrales et l'ordre que :
\[
\int_0^1 \dfrac{x^n}{1+2x+4x^2} \dd x\leqslant \int_0^1 x^n \dd x \;,
\]
soit:
\[
I_n \leqslant \dfrac{1}{n+1}.
\]
On a donc obtenu un encadrement de $I_n$ : $
0\leqslant I_n \leqslant \dfrac{1}{n+1}$.

Or, $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n+1} =0$, 
 donc, d'après le théorème de limite par encadrement ( théorème des gendarmes), on en déduit :
\[
\lim\limits_{n \to +\infty} I_n=0.
\]
\end{questions}
%
\begin{methode}
Pour montrer qu'une intégrale est positive, il n'est pas nécessaire de la calculer : le théorème de positivité de l'intégrale permet d'obtenir directement le résultat à partir du signe de la fonction. On pensera à s'assurer que les trois conditions d'application du théorème sont bien réunies : fonction continue sur l'intervalle d'intégration, fonction positive et bornes d'intégration dans l'ordre croissant.
\end{methode}
\end{corrige}


%

\begin{exo}{Intégrale d'une fonction irrationnelle}{Lycée Saint-Jean-de-Passy, Paris}{2}{15}
On pose pour tout entier naturel $n$ non nul : 
$J_n=\displaystyle\int_0^1 x^n\sqrt{1-x^2} \dd x$.
\begin{questions}
\item Par des considérations d'aires, montrer que 
$J_0=\dfrac{\pi}{4}$.
\item Montrer que $(J_n)_{n \in {\N}}$ est décroissante.
\item
\begin{questions}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $
0\leqslant J_n\leqslant \displaystyle\int_0^1 x^n \dd x$.
\item Déterminer la limite de $J_n$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Comme la fonction : $x\mapsto \sqrt{1-x^2}$ est continue est positive sur l'intervalle $[0~;1]$, on sait d'après le cours que :
\[
J_0=\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\dd x
\]
est l'aire de la portion de plan comprise entre la courbe d'équation\linebreak $y=\sqrt{1-x^2}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$.
\par
Or, quelque soit $x\in [0~;1]$,
\[
x^2+\left(\sqrt{1-x^2}\right)^2=x^2+1-x^2=1.
\]
On rappelle que
$x^2+y^2=1$ est l'équation du cercle de centre $O$ et de rayon unité.
\par
Ainsi, $J_0$ est égale à l'aire d'un quart de disque de rayon
unité dans un repère orthonormé. 
\par
Donc :
\[
J_0=\dfrac{\pi}{4}.
\]
%
\item 
Pour tout entier naturel $n$ on a, par linéarité de l'intégrale :
\[
J_{n+1}-J_n=\int_0^1 (x^{n+1}-x^n)\sqrt{1-x^2} \dd x .
=-\int_0^1
x^n(1-x)\sqrt{1-x^2} \dd x.
\]
Or, pour tout $x\in [0~;1]$, $x^n(1-x)\sqrt{1-x^2}\geqslant 0$ donc par positivité de l'intégrale (nous laissons au lecteur le soin de s'assurer que les conditions d'application de ce théorème sont réunies), on a :
\[
J_{n+1}-J_n\leqslant 0.
\]
La suite $(J_n)_{n \in \N}$ est donc décroissante.

\item
\begin{questions}
\item Pour tout $x\in [0~;1]$, pour tout entier $n$, 
\[
0\leqslant x^n  
\quad
\text{et}
\quad 
0\leqslant \sqrt{1-x^2}\leqslant 1.
\]
Donc,
\[
0\leqslant x^n\sqrt{1-x^2} \leqslant x^n\;,
\] 
soit, en appliquant le théorème sur les intégrales et l'ordre sur l'intervalle $[0~;1]$ après s'être assuré que les conditions d'application étaient réunies, 
\[
0\leqslant J_n \leqslant
\int_0^1 x^n \dd x.
\]

\item Comme pour tout entier naturel $n$, 
\[
\int_0^1 x^n \dd x=\dfrac{1}{n+1}\;,
\]
 on obtient un encadrement de $J_n$ :
\[
 0\leqslant J_n \leqslant \dfrac{1}{n+1}.
 \]
 Or,
\[
\lim_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n+1}=0.
\]
D'où, par le théorème de limite par encadrement (théorème des gendarmes), 
\[ 
\lim\limits_{n \to +\infty} J_n=0.
\]
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


%

\begin{exo}{Une autre suite d'intégrales}{Lycée Balzac, Caen}{3}{30}
On considère la suite $(I_n)_{n \in {\N}}$ définie par les intégrales :  $I_n=\ds\int_0^1 \dfrac{\nep^{nx} \dd x}{\nep^x+1}$.
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Calculer $I_1$ et $I_0+I_1$. En déduire $I_0$.
\item Pour tout entier $n \geqslant 0$, calculer
$I_n+I_{n+1}$.
\end{questions}
\item
\begin{questions}
\item Montrer que la suite $(I_n)_{n \in {\N}}$ est croissante.
\item Prouver que pour tout entier $n$ et tout $x \in [0~;1]$ :
\[
\dfrac{\nep^{nx}}{\nep+1} \leqslant \dfrac{\nep^{nx}}{\nep^x+1} \leqslant
\dfrac{1}{2}\nep^{nx}.
\]
En déduire un encadrement de $I_n$.
\end{questions}
\item \`A partir de cet encadrement, déterminer les limites de
$I_n$ et de $\dfrac{I_n}{\nep^n}$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item 
La fonction : $x\mapsto \dfrac{\nep^x}{1+\nep^x}$ est continue sur l'intervalle $[0~;1]$ donc elle admet des primitives sur cet intervalle et l'intégrale $I_1$ existe.
On a :
\[
I_1=\int_0^1
\dfrac{\nep^x}{1+\nep^x} \dd x 
=\bigl[\ln(1+\nep^x)\bigr]_0^1 
=\ln(1+\nep)-\ln(2)
=\ln \left(\dfrac{1+\nep}{2}\right)
\]
et, par linéarité de l'intégrale :
\[
I_0+I_1=\int_0^1 \dfrac{1+\nep^x}{1+\nep^x}\dd x=1.
\]
Donc :
\[
I_0=(I_0+I_1)-I_1=1-\ln \left(\dfrac{1+\nep}{2}\right).
\]

\item Pour tout entier naturel $n$, on a par linéarité de l'intégrale :
\[
\begin{aligned}
I_n+I_{n+1}&=\int_0^1 \dfrac{\nep^{nx}+\nep^{(n+1)x}}{1+\nep^x} \dd x \\
&=\int_0^1 \nep^{nx} \dd x \\
&=\left[\dfrac{1}{n}\nep^{nx} \right]_0^1 \\
&=\dfrac{\nep^n-1}{n}.
\end{aligned}
\]
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Pour tout entier naturel $n$ et tout réel $x\geqslant0$ on a :
\[ nx\leqslant (n+1)x.\]
Or, la fonction exponentielle étant croissante sur $\R$, on a : \\
$\nep^{nx}\leqslant \nep^{(n+1)x}$. D'où : 
\[
\frac{\nep^{nx}}{\nep^x+1}\leqslant\frac{\nep^{(n+1)x}}{\nep^x+1}
\qquad\quad\text{car \ $\nep^x+1>0$}.
\]
Les fonctions : $x\mapsto \dfrac{\nep^{nx}}{\nep^x+1}$ et $x\mapsto \dfrac{\nep^{(n+1)x}}{\nep^x+1}$ sont continues sur l'intervalle $[0~;1]$, les bornes d'intégration sont dans l'ordre croissant ; donc, d'après le théorème sur les intégrales et l'ordre, on a :
\[
I_n\leqslant I_{n+1}.
\]
La suite $(I_n)$ est donc croissante.

\item 
Pour tout réel $x \in [0~;1]$ on a
l'inégalité :
\[
1\leqslant \nep^x\leqslant \nep
\] 
donc 
\[
2\leqslant 1+\nep^x \leqslant 1+\nep.
\]
Tous ces termes sont strictement positifs donc, en passant à l'inverse et en multipliant par $\nep^{nx}>0$ :

\[
\dfrac{\nep^{nx}}{1+\nep} \leqslant \dfrac{\nep^{nx}}{1+\nep^x} \leqslant \dfrac{\nep^{nx}}{2}.
\]

En appliquant de nouveau le théorème sur les intégrales et l'ordre (les conditions d'application étant réunies), il vient :
\[
\dfrac{1}{1+\nep}\int_0^1 \nep^{nx} \dd x \leqslant I_n \leqslant
\dfrac{1}{2}\int_0^1 \nep^{nx} \dd x\;,
\]
soit :
\[
\dfrac{\nep^n-1}{(1+\nep)n}\leqslant I_n \leqslant \dfrac{\nep^n-1}{2n}.
\]
\end{questions}


\item On démontre que:
\[
\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\nep^n-1}{n(1+\nep)}=+\infty\quad\text{car}\qquad\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\nep^n}{n}=+\infty.
\]
D'après le théorème de limite par comparaison, on conclut que :
\[
\lim\limits_{+\infty} I_n=+\infty.
\]
En repartant de l'encadrement de $I_n$ obtenu à la question précédente et en multipliant par $\dfrac{1}{\nep^n}$ qui est strictement positif, on obtient :
\[
\dfrac{1-\nep^{-n}}{(1+\nep)n}\leqslant \dfrac{I_n}{\nep^n} \leqslant \dfrac{1-\nep^{-n}}{2n}.
\]
Comme :
\[
\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1-\nep^{-n}}{n(1+\nep)}=0
\] 
et
\[
\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1-\nep^{-n}}{2n}=0\;,
\]
par le théorème de limite par encadrement (théorème des gendarmes), on conclut :
\[
\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{I_n}{\nep^n}=0.
\]
\end{questions}

\begin{methode}
Pour comparer deux intégrales $\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\dd t$ et  $\displaystyle\int_{a}^{b}g(t)\dd t$, il n'est pas nécessaire de les calculer.\\
Il suffit de comparer les fonctions $f$ et $g$ sur l'intervalle $[a~;b]$ après s'être assuré que $a\leqslant b$ et que les fonctions $f$ et $g$ étaient continues sur l'intervalle  $[a~;b]$. Le théorème sur les intégrales et l'ordre permettra alors de conclure.\\
On pensera à mettre en évidence dans la rédaction le fait que les conditions d'application du théorème sont réunies. 
\end{methode}
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Suite et algorithme}{Lycée Victor Duruy, Paris}{3}{20}
La suite $(u_n)$ est définie pour tout $n$ par :
\[
u_n=\int_n^{n+1}\nep^{-x}\dd x\;.
\]
\begin{questions}
\item

\begin{questions}
\item Calculer $u_0$ et $u_1$.
\item Calculer $u_n$ en fonction de $n$.
\end{questions}

\item Calculer la somme $S_n=u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n$.
\item Donner une interprétation géométrique de $S_n$.
\item Déterminer la limite de $S_n$ quand $n$ tend vers l'infini. 

On remarquera que $\nep^{-n}=\left(\dfrac{1}{\nep}\right)^n$.

\item  \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\Par

Louen a écrit l'algorithme ci-dessous pour trouver la limite de $S_n$ à  $10^{-A}$ près, avec $A$ entier positif. 	

\Par

\begin{algorithme}{}
Variables
\qquad A et K sont entiers naturels
\qquad S est réel
Entrée
\qquad Donner une valeur à A
Traitement
\qquad K $\leftarrow$ 0
\qquad S $\leftarrow$ 0
\qquad U $\leftarrow$ 1-$\nep^{-1}$
\qquad Tant que U$\geqslant$10$^{-\text{A}}$ Faire :
\qquad\qquad S $\leftarrow$ S+U
\qquad\qquad K $\leftarrow$ K+1
\qquad\qquad U $\leftarrow$ $\nep^{-\text{K}}-\nep^{-\text{(K+1)}}$
\qquad Fin de Tant que
Sortie
\qquad\qquad Afficher S
\end{algorithme}

\Par

Après avoir programmé sa calculatrice, il obtient  \numprint{0,993262053} pour $A=2$ et considère que son algorithme répond à la question posée.

Par contre, si on entre $A=1$, il s'affiche \numprint{0,864664716} et pour $A=4$, il s'affiche \numprint{0,999876590}.
 
Justifier que ce ne sont pas des approximations ni à $10^{-1}$ ni à $10^{-4}$  près de la limite de $S_n$.

Quelle erreur a fait Louen en concevant son algorithme ?
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item $\displaystyle u_0=\int_0^1 \nep^{-x}\dd x=\big[-\nep^{-x}\big]_0^1=-\nep^{-1}-\big(-\nep^0\big)=1-\dfrac{1}{\nep}$.

$u_1=\displaystyle\int_1^2 \nep^{-x}\dd x=\big[-\nep^{-x}\big]_1^2=-\nep^{-2}-\big(-\nep^{-1}\big)=\dfrac{1}{\nep}-\dfrac{1}{\nep^2}$.

\item $\begin{aligned}[t]
u_n & =\int_n^{n+1} \nep^{-x}\dd x\\
 & =\big[-\nep^{-x}\big]_n^{n+1}\\
 & =-\nep^{-(n+1)}-\big(-\nep^{-n}\big)\\
 & =\dfrac{1}{\nep^n}-\dfrac{1}{\nep^{n+1}}.
 \end{aligned}$
\end{questions}

\item $\begin{aligned}[t]
S_n & =u_0+u_1+\cdots+u_n\\[8pt]
 & =\int_0^1 \nep^{-x}\dd x+\int_1^2 \nep^{-x}\dd x+\cdots+\int_n^{n+1} \nep^{-x}\dd x\\[8pt]
 & =\int_0^{n+1}\nep^{-x}\dd x\qquad\text{d'après la relation de Chasles}\\[8pt]
 & =1-\dfrac{1}{\nep^{n+1}}.
\end{aligned}$

\item $S_n$ est l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation $y=\nep^{-x}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=n+1$.

\item $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{\nep^{n+1}}\right)=\lim\limits_{n\to+\infty}\left[\left(\dfrac{1}{\nep}\right)^{n+1}\right]=0$    car $0<\dfrac{1}{\nep}<1$. 

Par conséquent, $\lim\limits_{n\to+\infty} S_n=1$.

\item Comme la limite de $S_n$ est 1, on voit que les écarts avec 1 sont strictement supérieurs à $10^{-1}$ ou $10^{-4}$. On pourrait imaginer que c'est juste un problème d'arrondi des valeurs par la calculatrice, mais c'est en réalité une erreur de la part de Louen. En effet, il arrête la boucle dès que le terme $u_i<10^{-A}$, mais il n'est pas certain qu'en ajoutant plusieurs termes inférieurs à $10^{-A}$, il n'obtient pas une quantité plus grande que $10^{-A}$. Il aurait pu écrire : \og Tant que $S \geqslant 10^{-A}$ \fg.
\end{questions}
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Avec un algorithme}{Lycée La Bruyère, Versailles}{3}{30}
On considère la suite définie par : 
\[
I_n=\displaystyle\int_0^1 x^n\nep^{x^2}\dd x.
\]

\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $I_n\geqslant 0$.
\item Étudier la monotonie de la suite $(I_n)$.
\item En déduire que la suite est convergente. On note L sa limite (dans cette question on ne demande pas de la calculer).
\end{questions}

\newpage

\item
\begin{questions}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=x\nep^{x^2}$.

Démontrer que la fonction $G$ définie sur $\R$ par :
\[
G(x)=\dfrac{1}{2}\nep^{x^2}
\]
est une primitive de $g$.
\item En déduire la valeur de $I_1$.
\item Pour tout entier naturel non nul $n$, on définit sur $\R$ la fonction $H_n$ par : $H_n(x)=x^{n+1}G(x)$.

Montrer que $H_n$ est dérivable sur $\R$ et calculer, pour tout réel $x$, $H_n^\prime(x)$. En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul,
\[ I_{n+2}+\frac{n+1}{2}I_n=\frac{1}{2}\nep. \]
\item Calculer $I_3$ et $I_5$.
\end{questions}

\item Compléter l'algorithme suivant de façon à obtenir en sortie le terme $I_{23}$.

\begin{algorithme}{}
Initialisation
\qquad n $\leftarrow$ 1
\qquad $I$ $\leftarrow$ ...
Traitement 
\qquad Tant que n $<$ ...
\qquad\qquad $I \leftarrow \dfrac{1}{2}\nep-\dfrac{n+1}{2}I$
\qquad\qquad n $\leftarrow$ n + 2
\qquad Fin de Tant que
Sortie 
\qquad Afficher $I$
\end{algorithme}
\Par\Par
\'Ecrire alors un programme Python correspondant à cet algorithme.
\item Déterminer la valeur de L.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item\label{ch8ex16a} Dans l'intervalle $[0~;1]$, $x^n$ est un nombre positif ou nul, ainsi bien sûr que $\nep^{x^2}$. La fonction à intégrer étant positive ou nulle sur $[0~;1]$, on a bien $I_n\geqslant0$.
\item $\begin{aligned}[t]
\ds I_{n+1}-I_n & = \ds\int_0^1\left(x^{n+1}-x^n\right)\nep^{x^2}\dd x\\[10pt]
& = \ds\int_0^1x^n(x-1)\nep^{x^2}\dd x.
\end{aligned}$

Sur l'intervalle $[0~;1]$, $x^n\geqslant0$, $\nep^{x^2}>0$ et $x-1\leqslant0$, donc la fonction à intégrer est négative ou nulle sur l'intervalle considéré.

Par conséquent, $I_{n+1}-I_n\leqslant 0$ pour tout $n$, et la suite est décroissante.

\item La suite $I$ est minorée par 0 (d'après la question \ref{ch8ex16a}) et décroissante. Par conséquent, elle est convergente.

La limite L est positive ou nulle.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item $G'(x)=\dfrac{1}{2}\times2x\nep^{x^2}=x\nep^{x^2}=g(x)$. Donc $G$ est bien une primitive de $g$.

\item $\begin{aligned}[t]
I_1 & =\int_0^1x\nep^{x^2}\dd x\\[8pt]
& =\int_0^1g(x)\dd x\\[8pt]
& =G(1)-G(0)\\[8pt]
&=\dfrac{1}{2}\nep-\dfrac{1}{2}.
\end{aligned}$

\item $H_n$ est dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables.
\begin{align*}
H'_n(x) & = (n+1)x^nG(x)+x^{n+1}G'(x)\\[8pt]
& = (n+1)x^n\times\dfrac{1}{2}\nep^{x^2}+x^{n+1}\times x\nep^{x^2}\\[8pt]
& = \dfrac{n+1}{2}x^n\nep^{x^2}+x^{n+2}\nep^{x^2}.
\end{align*}

En intégrant les deux membres de l'égalité ci-dessus entre 0 et 1, et en utilisant les propriétés de linéarité des intégrales, il vient :
\[
H_n(1)-H_n(0)=\dfrac{n+1}{2}\int_0^1 x^n\nep^{x^2}\dd x+\int_0^1 x^{n+2}\nep^{x^2}\dd x\;,
\]
ou encore :
\[ G(1)=\dfrac{n+1}{2}I_n+I_{n+2}.\]
On a donc bien :
\[ I_{n+2}+\dfrac{n+1}{2}I_n=\dfrac{1}{2}\nep.\]

\item D'après ce qui précède, $I_3 + I_1 =\dfrac{1}{2}\nep$. Donc, $I_3 = \dfrac{1}{2}$.

Puis, $I_5 + 2I_3 = \dfrac{1}{2}\nep$ donc $I_5 = \dfrac{1}{2}\nep-1$.
\end{questions}

\item\label{ch8ex16q3} Voici l'algorithme complété :\enlargethispage*{3em}

\begin{algorithme}{}
Initialisation
\quad n $\leftarrow$ 1
\quad $I \leftarrow \dfrac{1}{2}\nep-\dfrac{1}{2}$
Traitement
\quad Tant que n$<$23
\qquad $I \leftarrow \dfrac{1}{2}\nep-\dfrac{n+1}{2}I$
\qquad n $\leftarrow$ n + 2
\quad Fin de Tant que
Sortie 
\quad Afficher $I$
\end{algorithme}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.7){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/ILTM/integration-suite.py}}}
\vspace*{-3mm}

\begin{listing}{En Python}{integration-suite.py}\end{listing}

\item\label{ch8ex16q4} $I_{n+2}=\dfrac{1}{2}\nep-\dfrac{n+1}{2}I_n$. Donc, 
\[
\lim\limits_{n\to+\infty}I_{n+2}=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{2}\nep-\dfrac{n+1}{2}I_n\right).
\]

Intéressons-nous à la limite de $\dfrac{n+1}{2}I_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

Raisonnons par l'absurde : si $I_n$ tend vers une valeur non nulle, $\dfrac{n+1}{2}I_n$ tend vers $+\infty$ ($I_n\geqslant0$ pour tout $n$).

Ceci donnerait $\lim\limits_{n\to+\infty}I_{n+2}=-\infty$, ce qui est impossible puisque $I_n\geqslant0$ pour tout $n$.

Donc $\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0$, ce qui donnera une forme indéterminée pour la limite de $\dfrac{n+1}{2}I_n$.

Donc L = 0.

\begin{Remarque}
si vous tentez de modifier le programme Python de la question \ref{ch8ex16q3} en remplaçant \og 23 \fg{} par un grand nombre (par exemple 100), vous serez surpris de voir une contradiction avec la réponse de la question \ref{ch8ex16q4}.

Ceci montre la différence entre un programme, qui peut très bien être correct, et un raisonnement purement mathématique. La raison de cette différence réside la plupart du temps dans les limites du langage de programmation et de la représentation des nombres  réels en informatique.
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{corrige}


\sectionnn{Intégration par parties}

%

\begin{exo}{Logarithme népérien}{Lycée Lavoisier, Paris}{1}{10} 
En intégrant par parties, calculer:
\[
I=\int_1^2 (x+1)\ln x\dd x.
\]
\end{exo}

\begin{corrige}
Posons, pour $x\in[1;2]$:
\[
u(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)^2
\quad
\text{et}
\quad
v(x)=\ln x.
\]
On a alors:
\[
u'(x)=1+x
\quad
\text{et}
\quad
v'(x)=\dfrac{1}{x}.
\]
Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur l'intervalle $[1, 2]$ et les fonctions $u'$ et $v'$ sont continues sur sur l'intervalle $[1, 2]$. 

On peut donc appliquer le théorème d'intégration par parties :
\begin{align*}
I&=\int_1^2 (x+1)\ln x \dd x \\
&=\left[\dfrac{1}{2}(x+1)^2\ln x \right]_1^2-\frac{1}{2} \int_1^2 
\dfrac{(x+1)^2}{x} \dd x 
\end{align*}

\begin{align*}
I&=\dfrac{9\ln 2}{2}-\dfrac{1}{2}\int_1^2 \left(x+2+\dfrac{1}{x}
\right)\dd x \\ 
&=\dfrac{9\ln 2}{2}-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{2}x^2+2x+\ln x
\right]_1^2 \\
&=4\ln 2-\dfrac{7}{4}.
\end{align*}
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Produit du logarithme par un carré}{Lycée Buffon, Paris}{1}{15} 
On définit les intégrales suivantes:
\[
I_0=\int_1^\nep x^2\dd x 
\quad
\text{ et}
\quad
I_1=\int_1^\nep x^2\ln x\dd x. 
\]
Calculer $I_0$ puis $I_1$.
\end{exo}

\begin{corrige}
La fonction carré est continue sur l'intervalle $[1, \nep]$ donc elle admet des primitives sur cet intervalle et l'intégrale $I_0$ existe.
On a :
\[
I_0=\int_1^\nep x^2 \dd x 
=\left[\dfrac{1}{3}x^3 \right]_1^\nep 
=\dfrac{\nep^3-1}{3}.
\]

Pour calculer $I_1$, posons 
\[
u(x)=\dfrac{1}{3}x^3
\quad
\text{et}
\quad
v(x)=\ln x.
\]
On a alors :
\[
u'(x)=x^2
\quad
\text{et}
\quad
v'(x)=\dfrac{1}{x}.
\]
Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur l'intervalle $[1, \nep]$ et les fonctions $u'$ et $v'$ sont continues sur $[1, \nep]$ donc, d'après le théorème d'intégration par parties, 
\[
I_1=\int_1^\nep{x^2\ln x \dd x} 
=\left[\dfrac{1}{3}x^3\ln x \right]^\nep_1
-\frac13\int^\nep_1 \dfrac{x^3}{x} \dd x 
=\dfrac{\nep^3}{3}-\dfrac{1}{3}I_0 
=\dfrac{2\nep^3+1}{9}.
\]
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Logarithme d'un quotient}{Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy}{1}{15} 
\begin{questions}
\item À l'aide d'une intégration par parties, déterminer une primitive de la fonction $x\mapsto\ln(x)$.

\item Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $\displaystyle f:t\mapsto \ln\left({1+t\over 1-t}\right)$.

\item On note ${\cal A}$ une primitive de la fonction $\ln$.
\begin{questions}
\item Exprimer en fonction de $\ {\cal A}\ $ l'intégrale 
$\displaystyle\ \  F(x)=\int_0^x f(t)\,\dd t$. 
\item Achever le calcul. 
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On cherche à calculer $\ds\int_1^x \ln(t)\dd t$.

Posons alors $u'(t)=1$ et $v(t)=\ln t$. Alors, $u(t)=t$ et $v'(t)=\dfrac{1}{t}$.

Ainsi, 
\begin{align*}
\int_1^x 1 \times \ln(t)\dd t &= \big[t\ln(t)\big]_1^x - \int_1^x t\times\dfrac{1}{t}\dd t\\
& = x\ln x - \big[ t \big]_1^x\\
& = x\ln x - x + 1.
\end{align*}

Une primitive étant définie à une constante près, on peut dire que\linebreak $F(x)=x\ln x-x$ est une primitive de $f(x)=\ln x$.

\item 
Le réel $f(t)$ existe si et seulement si  $\dfrac{1+t}{1-t}>0$. Un \emph{tableau de signes} donne alors :
\[{\cal D}_f=]-1,1[.\]

\item  Soit donc $x$ un réel vérifiant : $|x|<1$. Alors les fonctions\linebreak $t\mapsto \ln(1+t)$ et \hbox{$t\mapsto\ln(1-t)$} sont bien définies, continues, sur $[0,x]$ et on peut écrire :
\begin{align*}
F(x) & =\int_0^x\ln(1+t)\,\dd t-\int_0^x\ln(1-t)\,\dd t\\
&=\left[{\cal A}(1+t)-{\cal A}(1-t)\right]_0^x \\
&={\cal A}(1+x)-{\cal A}(1-x).
\end{align*}
Or, on sait que l'intégrale ne dépend pas de la primitive choisie, donc on peut prendre la primitive classique de la fonction logarithme, obtenue par intégration par parties :
\[{\cal A}:u\mapsto u\ln u-u.\] 
Au final, après calculs, une expression de $F(x)$ est :
\[F(x)=\ln(1-x^2)+x\ln\left({1+x\over1-x}\right).\]
\end{questions}
\end{corrige}



%

\begin{exo}{Calculs par combinaisons linéaires}{Lycée  Balzac, Caen}{1}{25} 
\begin{questions}
\item En intégrant deux fois par parties, calculer 
$\displaystyle K=\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2\cos 2x\dd  x$.
\item On note:
\[
I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2\cos^2 x\dd x  
\quad
\text{et}
\quad
J=\int_0^{\frac{\pi}{2}}
x^2\sin^2 x\dd x.
\]
\begin{questions}
\item Calculer $I+J$.
\item Calculer $I-J$.
\item En déduire $I$ et $J$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
 \item 
\label{intcorq6} Posons pour $x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$:
\[
u(x)=x^2
\quad
\text{et}
\quad
v(x)=\dfrac{1}{2}\sin2x.
\]
Alors : 
\[
u'(x)=2x
\quad
\text{et}
\quad 
v'(x)=\cos2x.
\]
Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur l'intervalle $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ et les fonctions $u'$ et $v'$ sont continues sur ce même intervalle. Donc, par le théorème d'intégration par parties, on a 
\[
K=\int_0^\frac{\pi}{2} x^2\cos2x\dd x=\underbrace{\left[x^2\dfrac{1}{2}\sin2x
\right]_0^\frac{\pi}{2}}_{=\;0} -\int_0^\frac{\pi}{2} x\sin2x\dd x.
\]
Pour calculer l'intégrale $\int_0^\frac{\pi}{2} x\sin2x\dd x$, il est nécessaire de procéder à une seconde intégration par parties.
Posons:
\[
s(x)=x
\quad
\text{et}
\quad 
t(x)=\dfrac{1}{2}\cos2x.
\]
Alors : 
\[
s'(x)=1
\quad
\text{et}
\quad 
t'(x)=-\sin2x.
\]
Les fonctions $s$ et $t$ étant dérivables, à dérivée continue sur l'intervalle $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$, on a, par le théorème d'intégration par parties :
\[
\begin{aligned}
K&=-\int_0^\frac{\pi}{2} x\sin2x\dd x \\
&=\left[
x\dfrac{1}{2}\cos2x
\right] _0^\frac{\pi}{2}-\int_0^\frac{\pi}{2} \dfrac{1}{2}\cos2x \dd x
\\
&=-\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{4}\Bigl[ \sin2x \Bigr]_0^\frac{\pi}{2} \\
&=-\dfrac{\pi}{4}.
\end{aligned}
\]

\item
\begin{questions}
\item Par linéarité de l'intégrale, on a :
\[
I+J=\int_0^\frac{\pi}{2}
x^2\left(\cos^2 x+\sin^2 x\right) \dd x 
=\int_0^\frac{\pi}{2}
x^2 \dd x=\left[\dfrac{1}{3}x^3\right]_0^\frac{\pi}{2} 
=\dfrac{\pi^3}{24}.
\]
On sait que pour tout $x$,
\[
\cos2x=\cos^2x-\sin^2x.
\]
Donc, d'après \ref{intcorq6}, par linéarité de l'intégrale, on a : 
\[
I-J=\int_0^\frac{\pi}{2} x^2\left(\cos^2x-\sin^2x\right) \dd x 
=
\int_0^\frac{\pi}{2} x^2\cos2x\dd x 
=-\dfrac{\pi}{4}.
\]

\item On en déduit que: 
\[
I=\dfrac{\pi^3}{48}-\dfrac{\pi}{8}
\quad
\text{et}
\quad 
J=\dfrac{\pi^3}{48}+\dfrac{\pi}{8}.
\]
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


%

\begin{exo}{Exponentielle et trigonométrie}{Lycée Saint-Joseph, Reims}{2}{10} 
On considère $F$ et $G$ les fonctions définies sur $\R$ par :
\[
F(t)=\int_{0}^{t} \nep^{-x}\cos x\dd x 
\quad
\text{et}
\quad
G(t)=\int_{0}^{t} \nep^{-x}\sin x\dd x.
\]
\begin{questions}
\item En utilisant les deux possibilités d'intégration par parties sur la première de ces intégrales, montrer que :
\[
\begin{aligned}
 F(t)&=1-\nep^{-t}\cos t-G(t) \\
\text{et }F(t)&=\nep^{-t}\sin t+G(t)\\
\end{aligned}
\] 
\item Déterminer explicitement $F(t)$ et $G(t)$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
Posons
\[
\begin{aligned}
u'(x)=\nep^{-x}
\quad
\text{alors}
\quad
&u(x)=-\nep^{-x}. \\
v(x)=\cos x
\quad
\text{alors}
\quad
&v'(x)=-\sin x.
\end{aligned}
\]
Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables, à dérivées continues sur $\R$ donc, d'après le théorème d'intégration par parties :
\[
\begin{aligned}
F(t)&=\left[  -\cos x\cdot \nep^{-x}\right]_{0}^{t}-\int_{0}^{t} \sin x
\cdot\nep^{-x} \dd x \\
&=-\cos t \cdot \nep^{-t}+1-G(t) \\
&=1-\cos t \cdot \nep^{-t}-G(t).
\end{aligned}
\]
Procédons de nouveau au calcul de $F(t)$ en utilisant, comme le demande l'énoncé, l'autre possibilité d'intégration par parties.
\[
\begin{aligned}
u'(x)=\cos x
\quad
\text{alors}
\quad
&u(x)=\sin x. \\
v(x)=\nep^{-x}
\quad
\text{alors}
\quad
&v'(x)=-\nep^{-x}.
\end{aligned}
\]
D'où:
\[
\begin{aligned}
F(t)&=\left[  \sin x\cdot \nep^{-x}\right]_{0}^{t}+\int_{0}^{t} \sin x
\cdot\nep^{-x} \dd x \\
&=\sin t\cdot \nep^{-t}+G(t).
\end{aligned}
\]

\item Les deux relations établies précédemment permettent d'écrire le système :
\[
\left \{
\begin{aligned}
F(t)+G(t)&=1-\cos t \cdot \nep^{-t}
&&\qquad 
(1) \\
F(t)-G(t)&=\sin t \cdot \nep^{-t}
&&\qquad 
 (2) \\
\end{aligned}
\right. 
\]
\[
\begin{aligned}
(1)+(2) & \Longrightarrow F(t)=\dfrac{1}{2} \left[  1+(\sin t-\cos t)
\nep^{-t}\right] \\
(1)-(2) & \Longrightarrow G(t)=\dfrac{1}{2} \left[  1-(\sin t+\cos t)
\nep^{-t}\right] \\
\end{aligned}
\]
\end{questions}
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Trigonométrie et logarithme}{Lycée  Henri IV, Paris}{2}{20} 
Pour tout réel $x\geqslant 1$, on pose:
\[
F(x)=\int_1^x \cos(\ln t)\dd t 
\quad
\text{et}
\quad
G(x)=\int_1^x \sin(\ln t)\dd t.
\]
En intégrant par parties, calculer $F(x)$ et $G(x)$.
\end{exo}

\begin{corrige}
Posons 
\[
u(t)=\cos(\ln t)
\quad
\text{et}
\quad 
v(t)=t.
\]
Alors : 
\[
u'(t)=-\dfrac{1}{t}\sin(\ln t)
\quad
\text{et} 
\quad
v'(t)=1.
\]
Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur $\left[1, +\infty\right[$ et les fonctions $u'$ et $v'$ sont continues sur $\left[1, +\infty\right[$ donc, d'après le théorème d'intégration par parties, on a, pour tout $x\geqslant 1$:
\[
F(x)=\int_1^x \cos(\ln t)\dd t 
=\bigl[
  t\cos(\ln t)\bigr]_1^x+\int_1^x \sin(\ln t)\dd t.
\]
Ainsi, pour tout $x\geqslant 1$, 
\[
F(x)=x\cos(\ln x)-1+G(x).
\]
De la même façon, en posant:
\[
f(t)=\sin(\ln t)
\quad
\text{et} 
\quad
g(t)=t
\]
on a :
\[
f'(t)=\dfrac{1}{t}\cos(\ln t)
\quad
\text{et}
\quad
g'(t)=1.
\]
Donc pour tout $x\geqslant 1$:
\[
\begin{aligned}
G(x)=\int_1^x \sin(\ln t)\dd t=
\bigl[
  t\sin(\ln t)\bigr]_1^x-\int_1^x \cos(\ln t)\dd t
\end{aligned}
\]
soit pour tout $x\geqslant 1$, 
\[
G(x)=x\sin(\ln x)-F(x).
\]
Donc pour tout $x\geqslant 1$, 
\[
\left\{ 
\begin{aligned}
F(x)-G(x)&=x\cos(\ln x)-1\\
F(x)+G(x)&=x\sin(\ln x)\\
\end{aligned}
\right.
\]
Soit, pour tout $x\geqslant1$, 
\[
\left\{ 
\begin{aligned}
F(x)&=\dfrac{x}{2}\left( \sin(\ln x)+\cos(\ln x)\right)-\dfrac{1}{2}\\
G(x)&=\dfrac{x}{2}\left(\sin(\ln x)-\cos(\ln x)\right)+\dfrac{1}{2}\\
\end{aligned}
\right.
\]
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Exponentielle et trigonométrie}{Lycée Jacques Prévert, Boulogne}{2}{25} 
Pour tout entier $n$, on considère les intégrales suivantes :
\[
I_n=\int_0^\frac{\pi}{2} \nep^{-nx}\sin x \dd x \quad\text{et}\quad
J_n=\int_0^\frac{\pi}{2} \nep^{-nx}\cos x \dd x.
\]
\begin{questions}
\item Calculer $I_0$ et $J_0$.
\item Soit $n$ un entier naturel non nul.
\begin{questions}
\item En intégrant par parties, montrer que $I_n$ et $J_n$
vérifient le système suivant : 
\[
\left\{ 
\begin{aligned}
I_n+nJ_n&=1 \\
-nI_n+J_n&=\nep^{-n\frac{\pi}{2}} 
\end{aligned}
\right.
\]
\item En déduire les expressions de $I_n$ et $J_n$ en fonction
de $n$.
\end{questions}
\item Déterminer les limites des suites $(I_n)$ et $(J_n)$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
Remarquons tout d'abord que toutes les fonctions à intégrer sont continues sur $\R$ donc elles admettent toutes des primitives sur $\R$ et les intégrales $I_n$ et $J_n$ existent pour tout entier naturel $n$.
\begin{questions}
\item 
On a 
\[
I_0=\int_0^\frac{\pi}{2} \sin x \dd x=1
\quad\text{et}\quad
J_0=\int_0^\frac{\pi}{2} \cos x \dd x=1.
\]


\item
\begin{questions}
\item Soit $n$ un entier naturel. Posons:
\[
u(x)=\nep^{-nx}
\quad 
\text{et}
\quad
v(x)=\sin(x).
\] 
Alors : 
\[
u'(x)=-n \nep^{-nx}
\quad 
\text{et}
\quad
v'(x)=\cos(x).
\]
Les fonctions $u$ et $v$ étant dérivables, à dérivées continues sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, on peut appliquer le théorème d'intégration par parties :
\[
J_n=\int_0^\frac{\pi}{2} \nep^{-nx}\cos x \dd x
=\left[ \nep^{-nx}\sin x
\right]^\frac{\pi}{2}_0+n\int_0^\frac{\pi}{2} \nep^{-nx}\sin x \dd x.
\]
Ainsi, 
\[
J_n=\nep^{-n\frac{\pi}{2}}+nI_n.
\]
De la même façon, posons : 
\[
u(x)=\nep^{-nx}
\quad
\text{et}
\quad
v(x)=-\cos(x).
\] 
Alors : 
\[
u'(x)=-n\nep^{-nx}
\quad
\text{et}
\quad
v'(x)=\sin(x).
\]
Une intégration par parties donne donc :
\[
I_n=\int_0^\frac{\pi}{2} \nep^{-nx}\sin x \dd x=\left[ -\nep^{-nx}\cos x
\right]^\frac{\pi}{2}_0-n\int_0^\frac{\pi}{2} \nep^{-nx}\cos x \dd x
\]
soit :
\[
I_n=1-nJ_n.
\] 
D'où le système :
\[
\left\{ 
\begin{aligned}
I_n+nJ_n&=1\\
-nI_n+J_n&=\nep^{-n\frac{\pi}{2}}
\end{aligned}\right.
\]
\item Le système précédent donne :
\[
\left\{ 
\begin{aligned}
J_n&=\dfrac{n+\nep^{-\frac{n\pi}{2}}}{n^2+1}\\
I_n&=\dfrac{1-n\nep^{-\frac{n \pi}{2}}}{n^2+1}
\end{aligned}
\right.
\]
\end{questions}


\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, nous avons:
\[
I_n=\dfrac{\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{\nep^{-\frac{n
\pi}{2}}}{n}}{{1+\dfrac{1}{n^2}}}
\]
\[
J_n=\frac{n\left(1+\frac{%
\nep^{%
-\frac{n\pi}{2}
}%nep^
}%dfrac2num
{n}%dfrac2den
\right)}%dfrac1num
{n^2
 \left(1+\frac{1}{n^2}\right)
}
=\frac{%
1+
\frac{
\nep^{-\frac{n \pi}{2}}
}
{n}
}%
{
n(1+\frac{1}{n^2})
}.
\]
Donc:
\[
\lim\limits_{n \to +\infty} I_n=0
\] 
et 
\[
\lim\limits_{n \to +\infty} J_n=0.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Double intégration par parties}{Lycée Thiers, Marseille}{3}{15} 
Pour tout entier $n\geqslant 0$, on pose : 
\[
I_n=\int_0^\frac{\pi}{2} x^2\sin(nx) \dd x.
\]
\begin{questions}
\item En intégrant deux fois par parties, calculer $I_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer la limite de $(I_n)_{n \in {\N}}$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}  
\item 
Soit $n$ un entier non nul.
\par
Posons:
\[
a(x)=x^2
\quad
\text{et}
\quad 
b(x)=-\dfrac{1}{n}\cos(nx).
\]
Alors : 
\[
a'(x)=2x
\quad
\text{et} 
\quad
b'(x)=\sin(nx).
\]
Les fonctions $a$ et $b$ étant dérivables, à dérivées continues sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, on peut appliquer le théorème d'intégration par parties :

\[
I_n=\left[ -\dfrac{1}{n}x^2\cos(nx) \right]_0^\frac{\pi}{2} +
\dfrac{2}{n}\int_0^\frac{\pi}{2} x\cos(nx) \dd x.
\]
Posons:
\[
c(x)=x
\quad
\text{et} 
\quad
d(x)=\dfrac{1}{n}\sin(nx).
\]
Alors : 
\[
c'(x)=1
\quad
\text{et} 
\quad
d'(x)=\cos(nx).
\]
Par une seconde intégration par parties :
\[
\int_0^\frac{\pi}{2} x\cos(nx) \dd x=\left[ \dfrac{1}{n}x\sin(nx)
\right]_0^\frac{\pi}{2}  -\dfrac{1}{n}\int_0^\frac{\pi}{2}
\sin(nx) \dd x
\]
d'où: 
\[
I_n=-\dfrac{\pi^2}{4n}\cos \left(\dfrac{n\pi}{2}\right)+
\dfrac{\pi}{n^2}\sin\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)+
\dfrac{2}{n^3}\left(\cos\left(n \dfrac{\pi}{2}\right)-1\right).
\]


\item  La formule ci-dessus montre que, pour tout entier $n\geqslant1$:
\[
|I_n|\leqslant \dfrac{\pi^2}{4n}+\dfrac{\pi}{n^2}
+\dfrac{4}{n^3}
\]
et
\[ 
\lim\limits_{n \to +\infty}
\left(\dfrac{\pi^2}{4n}+\dfrac{\pi}{n^2}+\dfrac{2}{n^2}\right)=0
\quad 
\Longrightarrow
\quad 
\lim\limits_{n \to+\infty}I_n=0
\]
\end{questions}

\begin{methode}
Comme l'expression dont on cherche la limite comporte des termes en sinus et cosinus dont la valeur change selon les valeurs de $n$, on utilise le théorème de limite par encadrement.\par
On majore la valeur absolue de $I_n$ en utilisant tout d'abord le fait que la valeur absolue d'une somme est inférieure à la somme des valeurs absolues ; les termes en sinus et cosinus sont ensuite eux-mêmes majorés par~1. Il ne reste plus ensuite qu'à prouver que la limite de $\left(\dfrac{\pi^2}{4n}+\dfrac{\pi}{n^2}+\dfrac{2}{n^2}\right)$ est nulle pour pouvoir conclure.
\end{methode}
\end{corrige}

%

%\begin{exo}{Relations de récurrence}{Lycée Louis-le-Grand, Paris}{3}{20} 
%\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{intégrale et relation de récurrence}{https://media.prepamath.fr/ILTM2026ch08exoRelRec}
%
%\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.4){
%\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTM2026ch08exoRelRec}}}
%\vspace*{-5mm}
%
%Pour tout entier $n\geqslant2$ et tout entier $k\leqslant n$ on pose :
%\[
%I_{k,n}=\int_0^1 \binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k} \dd  x.
%\]
%\begin{questions}
%\item À l'aide d'une intégration par parties, comparer $I_{k,n}$ et $I_{k+1,n}$.
%\item En déduire $I_{k,n}$ en fonction de $n$.
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0){\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTM2026ch08exoRelRec}}}
%\vspace*{-5mm}
%\begin{questions}
%\item Soient $n$ et $k$ deux entiers avec $0\leqslant k \leqslant
%n$ et $0<n$.
%
%
%Posons :
%
%\[
%u(x)=\dfrac{1}{k+1}x^{k+1}\quad\text{et}
%\quad v(x)=(1-x)^{n-k}.
%\]
%
%Alors : 
%
%\[
%u'(x)=x^k \quad\text{et} \quad
%v'(x)=-(n-k)(1-x)^{n-(k+1)}.
%\]
%
%\Par
%
%Les fonctions $u$ et $v$ étant dérivables, à dérivées continues sur $[0, 1]$,\linebreak on peut appliquer le théorème d'intégration par parties (page suivante).
%
%\newpage
%
%\[
%\begin{aligned}
%\int_0^1 x^k(1-x)^{n-k}\dd x
%&=\left[ \dfrac{1}{k+1}x^{k+1}(1-x)^{n-k} \right]_0^1\\
%&\hspace{1,5cm}+\dfrac{n-k}{k+1} 
%\int_0^1 x^{k+1}(1-x)^{n-(k+1)} \dd x \\[12pt]
%&=\dfrac{n-k}{k+1}\int_0^1 x^{k+1}(1-x)^{n-(k+1)} \dd x.
%\end{aligned}
%\]
%Or, en revenant à l'écriture des coefficients binomiaux à l'aide des factorielles, on montre que
%$\displaystyle \dfrac{n-k}{k+1}\binom{n}{k}=\binom{n}{k+1}$, donc il vient :
%
%\begin{align*}
%I_{k,n} & =\binom{n}{k}\,\int_0^1 x^k(1-x)^{n-k}\dd x\\[12pt]
%& = \binom{n}{k+1}\int_0^1 x^{k+1}(1-x)^{n-(k+1)} \dd x\\[12pt]
%& = I_{k+1,n}.
%\end{align*}
%
%\item Pour tout entier $k$ tel que $0\leqslant k \leqslant n$, nous avons :
%\[
%I_{k,n}=I_{0,n}.
%\]
%On en déduit:
%\[
%I_{0,n}=\dfrac{1}{n+1}.
%\]
%On a donc, pour tout entier $n\geqslant2$ et tout entier $k\leqslant n$:
%\[
%I_{k,n}= \dfrac{1}{n+1}.
%\]
%\end{questions}
%\end{corrige}
%
%%%%

%\begin{exo}{Avec une exponentielle}{Lycée Gustave Eiffel, Bordeaux}{3}{30} 
%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
%\[
%f(x)=\int_0^x \nep^{-t} \dd t.
%\]
%
%\begin{questions}
%\item Montrer que $f(x)=1-\nep^{-x}$.
%\item En utilisant une intégration par parties, montrer que:
%\[
%f(x)=x\nep^{-x}+\int_0^x t \nep^{-t} \dd t.
%\]
%\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul,
%\[
%f(x)=\nep^{-x}\sum_{k=1}^n \dfrac{x^k}{k!} + \dfrac{1}{n!}\int_0^x t^n \nep^{-t} \dd t.
%\]
%\item En déduire que pour tout entier naturel $n$,
%\[
%\nep^x = \sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!} + \nep^x \int_0^x \dfrac{t^n}{n!} \nep^{-t}\dd t.
%\]
%\item On suppose que $\lim\limits_{n\to+\infty} \nep^x \ds\int_0^x \dfrac{t^n}{n!} \nep^{-t}\dd t = 0$. 
%
%\Par
%
%Que pouvez-vous alors conclure ?
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item Une primitive de $t \mapsto \nep^{-t}$ est la fonction $t\mapsto-\nep^{-t}$. Ainsi,
%\begin{align*}
%f(x) & = \int_0^x \nep^{-t} \dd t\\[6pt]
%& = \big[-\nep^{-t}\big]_0^x\\[6pt]
%& = -\nep^{-x} - \big(-\nep^{-0}\big)\\[6pt]
%f(x) & = 1-\nep^{-x}.
%\end{align*}
%
%\newpage
%
%\item Dans l'intégrale $\ds\int_0^x \nep^{-t} \dd t$, posons :
%
%\begin{multicols}{2}
%$u'(t) = 1$
%
%$v(t)=\nep^{-t}$
%
%\columnbreak
%
%$u(t)=t$
%
%$v'(t)=-\nep^{-t}$
%\end{multicols}
%
%Ainsi,
%\begin{align*}
%f(x) & = \big[t\nep^{-t}\big]_0^x - \int_0^x (-t\nep^{-t}) \dd t\\
%f(x) & = x\nep^{-x} + \int_0^x t\nep^{-t} \dd t.
%\end{align*}
%
%\item Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul,
%\[
%f(x)=\nep^{-x}\sum_{k=1}^n\dfrac{x^k}{k!} + \dfrac{1}{n!}\int_0^x t^n \nep^{-t} \dd t.
%\]
%\begin{itemize}
%\item \textit{Initialisation.}
%
%Pour $n=1$,
%\[
%\nep^{-x}\sum_{k=1}^n \dfrac{x^k}{k!} + \dfrac{1}{n!}\int_0^x t^n \nep^{-t} \dd t = x\nep^{-x} + \int_0^x t \nep^{-t} \dd t = f(x)
%\]
%d'après la question précédente. L'initialisation est donc faite.
%
%\item \textit{Hérédité.}
%
%On suppose que pour un entier naturel $p$ non nul, 
%\[
%f(x)=\nep^{-x}\sum_{k=1}^p \dfrac{x^k}{k!} + \dfrac{1}{p!}\int_0^x t^p \nep^{-t} \dd t.
%\]
%Intégrons par parties l'intégrale en posant:
%
%\begin{multicols}{2}
%$u'(t)=t^p$
%\\[17pt]
%$v(t)=\nep^{-t}$
%
%\columnbreak
%
%$u(t)=\dfrac{t^{p+1}}{p+1}$
%\\[8pt]
%$v'(t)=-\nep^{-t}$
%\end{multicols}
%
%On a alors,
%
%\begin{align*}
%\int_0^x t^p \nep^{-t} \dd t & = \left[ \dfrac{t^{p+1}}{p+1}\nep^{-t}\right]_0^x - \int_0^x \dfrac{t^{p+1}}{p+1}\times\big(-\nep^{-t}\big) \dd t\\[8pt]
%& = \dfrac{x^{p+1}}{p+1}\nep^{-x} + \dfrac{1}{p+1}\int_0^x t^{p+1}\nep^{-t}\dd t.
%\end{align*}
%
%\newpage
%
%Par conséquent, 
%
%\begin{align*}
%f(x) & = \nep^{-x}\sum_{k=1}^p \dfrac{x^k}{k!} + \dfrac{1}{p!}\left( \dfrac{x^{p+1}}{p+1}\nep^{-x} + \dfrac{1}{p+1}\int_0^x t^{p+1}\nep^{-t}\dd t \right)\\
%& =  \nep^{-x}\sum_{k=1}^p \dfrac{x^k}{k!} + \dfrac{x^{p+1}}{(p+1)!}\nep^{-x} + \dfrac{1}{(p+1)!}\int_0^x t^{p+1}\nep^{-t}\dd t\\
%& = \nep^{-x}\sum_{k=1}^{p+1} \dfrac{x^k}{k!} + \dfrac{1}{(p+1)!}\int_0^x t^{p+1}\nep^{-t}\dd t.
%\end{align*}
%\end{itemize}
%L'hérédité est alors démontrée.\\
%Ainsi, l'égalité est vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.
%
%\item De l'égalité démontrée à la question précédente et de la question 1, on déduit:
%\begin{align*}
%\forall n\in\N^*,\  & 1-\nep^{-x}=\nep^{-x}\sum_{k=1}^n \dfrac{x^k}{k!} + \dfrac{1}{n!}\int_0^x t^n \nep^{-t} \dd t\\
% \iff\ & \nep^x\big(1-\nep^{-x}\big) = \nep^x\left(\nep^{-x}\sum_{k=1}^n \dfrac{x^k}{k!} + \dfrac{1}{n!}\int_0^x t^n \nep^{-t} \dd t\right)\\
% \iff\ & \nep^x = 1 + \sum_{k=1}^n \dfrac{x^k}{k!} + \dfrac{\nep^x}{n!}\int_0^x t^n \nep^{-t} \dd t\\
% \iff\ & \nep^x = \sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!} + \dfrac{\nep^x}{n!}\int_0^x t^n \nep^{-t} \dd t\quad{\text{car }1=\dfrac{x^0}{0!}}.
%\end{align*}
%
%\item Si on suppose que $\lim\limits_{n\to+\infty} \nep^x \ds\int_0^x \dfrac{t^n}{n!} \nep^{-t}\dd t = 0$, alors l'égalité précédente devient:
%\[
%\nep^x = \lim\limits_{n\to+\infty} \sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!}.
%\]
%Cela signifie que l'on peut voir une exponentielle comme un \og polynôme infini \fg. On appelle cela un \textit{développement en série}.
%\end{questions}
%\end{corrige}
%
%%%% NEW 2023

%\begin{exo}{Avec une suite}{Lycée Notre-Dame de Boulogne, Boulogne-Billancourt}{3}{30}
%On s'intéresse dans cet exercice à une suite de nombres rationnels qui converge vers $\nep^2$.
%
%Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on définit l'intégrale:
%\[
%I_n = \int_0^2 \dfrac{1}{n!}(2-x)^n \nep^x \dd x.
%\]
%
%\begin{questions}
%\item Calculer $I_1$.
%\item \'Etablir que pour tout entier $n\geqslant1$, $0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac{2^n}{n!}(\nep^2 - 1)$.
%\item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout entier \mbox{$n\geqslant1$,} 
%\[ 
%I_{n+1}=I_n-\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}.
%\]
%\item Démontrer par récurrence que $\nep^2 = \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{2^k}{k!}+I_n$.
%\item Pour tout entier $n\geqslant1$, on pose $u_n=\dfrac{2^n}{n!}$.
%\begin{questions}
%\item Calculer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ et prouver que pour tout entier $n\geqslant3$, $u_{n+1} \leqslant \dfrac{1}{2}u_n$.
%\item En déduire que pour tout entier $n\geqslant3$, $0 \leqslant u_n \leqslant u_3\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-3}$.
%\end{questions}
%\item En déduire la limite de la suite $(u_n)$, puis celle de la suite $(I_n)$.
%\item Justifier enfin que:
%\[
%\nep^2 = \lim_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{2}{1!}+\dfrac{2^2}{2!}+\cdots+\dfrac{2^n}{n!}\right).
%\]
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item $I_1 = \displaystyle\int_0^2 (2-x) \nep^x \dd x$.
%
%En posant $u(x)=2-x$ et $v'(x)=\nep^x$, à l'aide d'une intégration par parties, on a:
%\begin{align*}
%I_1 & = \big[(2-x)\nep^x \big]_0^2 - \int_0^2 -\nep^x \dd x\\
%    & = -2 + \big[ \nep^x \big]_0^2\\
%    & = \nep^2 - 3.
%\end{align*}
%
%\item Pour $0 \leqslant x \leqslant 2$, et pour tout entier $n\geqslant1$,
%\begin{align*}
%0 \leqslant 2-x \leqslant 2 & \iff 0^n \leqslant (2-x)^n \leqslant 2^n\\
%& \iff 0 \leqslant \dfrac{1}{n!}(2-x)^n\nep^x \leqslant 2^n\times\dfrac{1}{n!}\nep^x\\[8pt]
%& \iff \int_0^2 0 \dd x \leqslant \int_0^2 \dfrac{1}{n!}(2-x)^n\nep^x  \dd x \leqslant \int_0^2 \dfrac{2^n}{n!}\nep^x \dd x\\[8pt]
%& \iff 0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac{2^n}{n!}\big[ \nep^x \big]_0^2\\[8pt]
%& \iff  0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac{2^n}{n!}(\nep^2-1).
%\end{align*}
%
%\item $I_{n+1} = \displaystyle\int_0^2 \dfrac{1}{(n+1)!}(2-x)^{n+1} \nep^x \dd x =  \dfrac{1}{(n+1)!}\displaystyle\int_0^2(2-x)^{n+1} \nep^x \dd x$.
%
%En posant $u(x)=(2-x)^{n+1}$ et $v'(x)=\nep^x$, par intégration par parties, on a:
%\begin{align*}
%I_{n+1} & = \dfrac{1}{(n+1)!}\left( \left[ (2-x)^{n+1}\nep^x  \right]_0^2 - \int_0^2 (n+1)(-1)(2-x)^{n}\nep^x \dd x \right)\\[8pt]
%& = \dfrac{1}{(n+1)!}\left( -2^{n+1} + (n+1)\int_0^2 (2-x)^{n}\nep^x \dd x \right)\\[8pt]
%& = \dfrac{-2^{n+1}}{(n+1)!} + \dfrac{n+1}{(n+1)!}\int_0^2 (2-x)^n\nep^x \dd x\\[8pt]
%& = -\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}+\dfrac{1}{n!}\int_0^2 (2-x)^n\nep^x \dd x\\[8pt]
%I_{n+1} & = I_n  -\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}.
%\end{align*}
%
%\item Démontrons par récurrence que pour $n\geqslant1$, $\nep^2 = \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{2^k}{k!}+I_n$.
%\begin{itemize}
%\item \textit{Initialisation}: pour $n=1$, $1+\dfrac{2^1}{1!}+I_1=3+\nep^2-3 = \nep^2$.
%
%L'égalité est donc vraie pour $n=1$.
%
%\item \textit{Hérédité}: supposons que pour un entier $p>1$ fixé, l'égalité est vraie:
%\[
%\nep^2 = \displaystyle\sum_{k=0}^p \dfrac{2^k}{k!}+I_p.
%\]
%Alors, $\begin{aligned}[t]
%\displaystyle\sum_{k=0}^{p+1} \dfrac{2^k}{k!}+I_{p+1} 
%& = \displaystyle\sum_{k=0}^p \dfrac{2^k}{k!} + \dfrac{2^{p+1}}{(p+1)!} +  \underbrace{I_p  -\dfrac{2^{p+1}}{(p+1)!}}_{I_{p+1}}\\
%& = \left(\displaystyle\sum_{k=0}^p \dfrac{2^k}{k!} + I_p\right) + \dfrac{2^{p+1}}{(p+1)!}  - \dfrac{2^{p+1}}{(p+1)!}\\
%& = \nep^2\text{ d'après l'hypothèse de récurrence}.
%\end{aligned}$
%
%L'hérédité est alors vérifiée. Ainsi, l'égalité est vraie pour tout entier $n\geqslant1$.
%\end{itemize}
%
%
%\item Pour $n\geqslant1$, $u_n=\dfrac{2^n}{n!}$.
%\begin{questions}
%\item $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^n}{n!}} = \dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}\times\dfrac{n!}{2^n}=\dfrac{n!}{n!(n+1)}\times2=\dfrac{2}{n+1}$.
%
%Pour $n\geqslant3$, $n+1\geqslant4$ et donc $\dfrac{2}{n+1}\leqslant\dfrac{2}{4}\leqslant\dfrac{1}{2}$. 
%
%Par conséquent, pour tout $n\geqslant3$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\leqslant\dfrac{1}{2}$, soit: $u_{n+1} \leqslant \dfrac{1}{2}u_n$.
%
%
%\item De la question précédente, on déduit que pour tout $n\geqslant3$,
%
%$u_n \leqslant \dfrac{1}{2}u_{n-1} \leqslant \dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}u_{n-2} \leqslant \cdots \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^k u_{n-k}  \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-3}u_3$.
%
%De plus, $u_n=\dfrac{2^n}{n!}>0$ donc pour tout $n\geqslant3$,
%\[
%0 \leqslant u_n \leqslant u_3\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-3}.
%\]
%%\begin{Remarque}on peut prendre ce dernier encadrement comme une conjecture et le démontrer par récurrence si on estime que ce raisonnement n'est pas assez rigoureux.
%%\end{Remarque}
%\end{questions}
%
%\item $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-3}=0$ donc, d'après l'encadrement précédent, et d'après le théorème des gendarmes, 
%$\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0$.
%
%Ainsi, d'après l'encadrement démontré à la question 2, \mbox{$\lim_{n\to+\infty} I_n = 0$}.
%
%\item De l'égalité démontrée à la question 4, et du résultat précédent, on peut écrire:
%\[
%\lim_{n\to+\infty} \nep^2 = \lim_{n\to+\infty}\left(\sum_{k=0}^n \dfrac{2^k}{k!}+I_n\right)
%\]
%soit:
%\begin{align*}
%\nep^2 & = \lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^n \dfrac{2^k}{k!} + \underbrace{\lim_{n\to+\infty}(I_n)}_{=0}\\
%\nep^2 & =\lim_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{2}{1!}+\dfrac{2^2}{2!}+\cdots+\dfrac{2^n}{n!}\right).
%\end{align*}
%\end{questions}
%\end{corrige}
%
\sectionnn{Objectif bac}

\begin{exo}{Suites de fonctions}{Polynésie, sujet 1, 2025}{3}{60}
On munit le plan d'un repère orthonormé.

Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par :
\[
f_0(x) = \nep^{- x}\quad \text{et, pour }\: n \geqslant 1, \: \: f_n(x) = x^n\nep^{-x}.
\]
Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$.

On étudie les fonctions $f_n$ sur [0~;1] et on considère la suite $(I_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:
\[
I_n = \int_0^1 f_n(x)\,\text{d} x = \int_0^1 x^n \nep^{-x}\,\text{d}x.\]
\begin{questions}
\item Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les courbes $\mathcal{C}_0, \mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2, \mathcal{C}_{10}$\: et \: $\mathcal{C}_{100}$.
\begin{center}
%\begin{tikzpicture}[scale=7]
%\draw[DGray,dashed] (-0.1,-0.1) grid[step=0.1] (1.1,1.1);
%\draw[->,>=latex,thick] (-0.1,0) -- (1.1,0);
%\draw[->,>=latex,thick] (0,-0.1) -- (0,1.1);
%\draw[thick,DR] plot[domain=0:1,samples=100] (\x,{exp(-\x)});
%\draw[thick,DG] plot[domain=0:1,samples=100] (\x,{\x*exp(-\x)});
%\draw[thick,DB] plot[domain=0:1,samples=100] (\x,{\x*\x*exp(-\x)});
%\draw[thick,DO] plot[domain=0:1,samples=100] (\x,{(\x^10)*exp(-\x)});
%\draw[thick,purple] plot[domain=0:1,samples=1000] (\x,{(\x^100)*exp(-\x)});
%\end{tikzpicture}
\includegraphics{211_int-objbac}
\end{center}
\begin{questions}
\item Donner une interprétation graphique de $I_n$.
\item Par lecture de ce graphique, quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite $(I_n)$ ?
\end{questions}
\item Calculer $I_0$.
\item 
\begin{questions}
\item Soit $n$ un entier naturel. Démontrer que pour tout $x \in [0~;~1]$:
\[
0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n.
\]
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a :
\[
0 \leqslant I_{n+1} \leqslant I_n.
\]
\end{questions}
\item Démontrer que la suite $(I_n)$ est convergente, vers une limite positive ou nulle que l'on notera $\ell$.
\item En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ on~a :
\[
I_{n+1} = (n + 1)I_n - \dfrac{1}{\nep}.
\]
\item
\begin{questions}
\item Démontrer que si $\ell > 0$, l'égalité de la question 5 conduit à une contradiction.
\item Démontrer que $\ell = 0$. On pourra utiliser la question 6. a.
\end{questions}

\item On donne ci-dessous le script de la fonction \texttt{mystere}, écrite en langage Python.

On a importé la constante e.

\begin{listing}[numbers=left,numberstyle=\small]{}{integrale-objbac.py}\end{listing}

\Par

Que renvoie \texttt{mystere(100)} dans le contexte de l'exercice ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item La fonction $f_0$ est à valeurs positives sur $[0 ; 1]$, donc $I_0$ correspond à l'aire (exprimée en unités d'aire) du domaine délimité par $\mathcal{C}_0$, l'axe des abscisses, et les deux droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$.
\Par
De la même façon, chaque intégrale $I_n$ est l'aire du domaine délimité par $\mathcal{C}_n$, l'axe des abscisses, et les deux droites verticales d'équation $x = 0$ et $x = 1$.

\item On conjecture que la suite $(I_n)$ converge vers 0. En effet, plus $n$ grandit, plus $\mathcal{C}_n$ semble se rapprocher de l'axe des abscisses, réduisant ainsi de plus en plus l'aire du domaine entre la courbe et l'axe des abscisses sur $[0;1]$.
\end{questions}

\item $\begin{aligned}[t]
I_0 & = \int_{0}^{1} \nep^{-x} ~\text{d}x\\
	& = \Big[-\nep^{-x}\Big]_0^1\\
	& = \big(-\nep^{-1}\big) - \big(-\nep^{-0}\big)\\
	& = -\nep^{-1} + \nep^{0}\\
	& = 1 - \nep^{-1}.
\end{aligned}$

\item
\begin{questions}
\item Soit $n$ un entier naturel.
\begin{align*}
0 \leqslant x \leqslant 1 
& \iff 0\times x^n \leqslant x \times x^n \leqslant 1 \times x^n,\quad \text{ car } x^n \geqslant 0\\
& \iff 0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n.
\end{align*}

On arrive bien à l'inégalité demandée.

\item $\begin{aligned}[t]
\forall n\in\N,\ x\in [0;1] & \iff 0 \leqslant x^{n+1} \nep^{-x} \leqslant x^n \nep^{-x} \text{ car }\nep^{-x}>0\\
& \iff 0 \leqslant f_{n+1}(x) \leqslant f_n(x)\\
& \iff \int_{0}^{1} 0 ~\text{d}x \leqslant \int_{0}^{1} f_{n+1}(x)~\text{d}x \leqslant \int_{0}^{1}f_n(x)~\text{d}x\\
& \iff 0 \leqslant I_{n+1} \leqslant I_n.
\end{aligned}$
\end{questions}

\item\label{question4intobjbac} D'après la question précédente, pour tout entier naturel $n$:
\begin{itemize}
\item $0 \leqslant I_n$, \quad donc la suite $(I_n)$ est minorée par 0;
\item $I_{n+1} \leqslant I_n$, \quad donc la suite $(I_n)$ est décroissante.
\end{itemize}
La suite étant décroissante et minorée par 0, elle est donc convergente, vers une limite $\ell$ supérieure ou égale à 0.

\item Soit $n$ un entier naturel $n$.

On pose : \quad $\begin{cases}
u(x) = x^{n+1} \\
v(x) = -\nep^{-x}
\end{cases}$\quad et \quad $\begin{cases}
u'(x) = (n+1) x^{n} \\
v'(x) = \nep^{-x}
\end{cases}$
\enlargethispage*{\baselineskip}

Toutes ces fonctions étant continues car dérivables sur $[0;1]$, on a :
\begin{align*}
I_{n+1} & = \int_{0}^{1} f_{n+1}(x) ~\text{d}x = \int_{0}^{1} x^{n+1}\nep^{-x} ~\text{d}x\\
		& = \int_{0}^{1} u(x)\times v'(x) ~\text{d}x\\
		& = \Big[u(x) \times v(x) \Big]_0^1 - \int_{0}^{1} u'(x)\times v(x) ~\text{d}x\quad \text{(intégration par parties)}\\
		&= \Big[x^{n+1} \times \big(-\nep^{-x}\big)\Big]_0^1 - \int_{0}^{1} (n+1)x^{n} \times \big(-\nep^{-x}\big)~\text{d}x	\\
		&=\big(1^{n+1}\times (-\nep^{-1})\big) - \big(0^{n+1}\times (-\nep^{-0})\big) +(n+1)\int_{0}^{1} x^{n} \nep^{-x}~\text{d}x\\
		&=(n+1)I_n - \dfrac{1}{\nep}.
\end{align*}

\item 
\begin{questions}
\item Supposons que la limite $\ell$ est supérieure à zéro.

Alors, par limite du produit, 
\[
\lim\limits_{n \to +\infty} (n+1)I_n = +\infty\,,
\]
et, par limite de la somme :
\[
\lim\limits_{n \to +\infty} (n+1)I_n - \dfrac{1}{\nep}= +\infty\,,
\]
soit:
\[
\lim\limits_{n \to +\infty} I_{n + 1} =+\infty.
\]
Cela signifie que la suite de terme général $I_{n+1}$ diverge vers $+\infty$.
\Par
Or la suite de terme général $I_{n+1}$ a la même limite que la suite de terme général $I_n$, qui \textit{converge} vers un réel positif $\ell$ (dont on peut dire qu'il est inférieur à $I_0 = 1 - \nep^{-1}$).
\Par
L'unicité de la limite est donc en contradiction avec ces résultats.

\item D'après la question précédente, $\ell \leqslant 0$ (raisonnement par l'absurde).

D'après la question \ref{question4intobjbac}, $\ell$ est un réel positif, donc $\ell = 0$.

La suite $(I_n)$ converge donc vers 0.
\end{questions}

\item Ici, l'appel \texttt{mystère(100)} renvoie une liste (stockée dans la variable \texttt{L}) contenant les valeurs (approchées) des 101 premiers termes de la suite, de $I_0$ à $I_{100}$.

En effet, \text{I} est initialisée (ligne 2) à la valeur $I_0$, puis \text{L} est initialisée (ligne 3) en tant que liste contenant la valeur $I_0$.

Ensuite, on rentre dans un boucle à $\texttt{n} = 100$ répétitions (pour \texttt{i} allant de 0 à 99), et dans chaque exécution, la variable \texttt{I} est mise à jour (ligne 5) en utilisant la relation de récurrence de la suite $(I_n)$, donc passe de la valeur d'un terme à la valeur du terme suivant dans la suite $(I_n)$. Cette nouvelle valeur est ensuite ajoutée à la fin de la liste \texttt{L} (ligne 7).

En sortie de boucle, on a donc appliqué 100 fois la relation de récurrence, donc la variable \texttt{I} contient bien la valeur (approchée de) $I_{0 + 100} = I_{100}$, qui a été la dernière ajoutée à la liste \texttt{L}.

\begin{attention}
Si on exécute le script Python donné dans l'énoncé, les résultats sont faux à partir de $n=18$ puisque les valeurs trouvées deviennent négatives!

Ceci est dû au fait que les calculs se font avec une valeur approchée de $\nep$ et que les erreurs se cumulent assez rapidement.
\end{attention}

\end{questions}
\end{corrige}

\thumb
\AfficheCorrige
