\chapter{Somme\\de variables aléatoires,\\loi des grands nombres}

\section{Somme de variables aléatoires}

\begin{exointro}{Lycée \'Edouard Branly, Nogent-sur-Marne}
On note $N$ la variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0,32$.

On note $T$ la variable aléatoire telle que $T=3N$.

\begin{questions}
\item Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $N$.
\item En déduire l'espérance de la variable aléatoire $T$.
\item %On note $X$ la variable aléatoire telle que $E(X)=22$ et $V(X)=65$.
On note $X_1$, $X_2$,..., $X_{50}$ des variables aléatoires indépendantes et suivant la même loi telle que $E(X_k)=22$ et $V(X_k)=65$, $1 \leqslant k \leqslant 50$.

On pose alors $M_{50} = \dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_{50}}{50}$.

\Par

Déterminer l'espérance et la variance de $M_{50}$.
\end{questions}
\end{exointro}

\subsection{Linéarité de l'espérance}

\begin{prop}
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires. L'espérance de la variable aléatoire $X+Y$ est:
\[
E(X+Y) = E(X) + E(Y).
\]
De plus, pour tout réel $a$, l'espérance de la variable aléatoire $aX$ est:
\[
E(aX) = aE(X).
\]
\end{prop}

\begin{Exemple}
Xavier et Yvonne vont au restaurant. Xavier hésite de façon équiprobable entre les menus à 18 \euro, 24 \euro et 36 \euro. Yvonne hésite, quant à elle, de façon équiprobable entre les menus à 24 \euro et 36 \euro.

On note $X$ et $Y$ les variables aléatoires représentant le prix du menu choisi respectivement par Xavier et Yvonne.

Alors, $X = \{18;24;36\}$ et $Y = \{24;36\}$ et:
\begin{align*}
E(X) & = \dfrac{1}{3}\times18 + \dfrac{1}{3}\times24 + \dfrac{1}{3}\times36\\
& = 6+8+12\\
&=26
\end{align*}
et
\begin{align*}
E(Y) & = \dfrac{1}{2}\times24+\dfrac{1}{2}\times36\\
& =12+18\\
&=30.
\end{align*}
Ainsi,
\[
E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 26+30=56.
\]
On peut ainsi dire que le prix moyen de la facture de ce repas est 56 \euro.

\Par

Si Xavier va seul au restaurant 5 fois, et s'il choisit à chaque fois au hasard un menu parmi les 3 cités précédemment, la facture moyenne totale correspondra à $E(5X)$, soit à $5E(X)$, et donc à $5\times26=130$ \euro.
\end{Exemple}

\subsection{Variance de deux variables aléatoires\\indépendantes}


\begin{defin}[variables aléatoires indépendantes]
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires.

$X$ et $Y$ sont indépendantes si:
\[
P\big((X=x) \cap (Y=y)\big)=P(X=x) \times P(Y=y).
\]
\end{defin}



\begin{prop}
Soit $X$ une variable aléatoire. Pour tout réel $a$, la variance de la variable aléatoire $aX$ est:
\[
V(aX)=a^2V(X).
\]
Son écart-type est donc:
\[
\sigma(aX) = |a|\sigma(X).
\]
\end{prop}

\newpage

\begin{Exemple}
reprenons le cas de Xavier de l'exemple précédent.
\begin{align*}
V(X) & = \dfrac{1}{3}\big[ (18-26)^2 + (24-26)^2 + (36-26)^2 \big] = 56.
\end{align*}
Ainsi,
\[
V(5X) = 5^2 V(X) = 25 \times 56 = \numprint{1400}.
\]
De plus, 
\[
\sigma(5X) = 5\sigma(X) = 5 \sqrt{V(X)} = 10\sqrt{14} \approx 37,42.
\]
\end{Exemple}

%\begin{aretenir}
%Ce dernier résultat peut-être interprété comme une marge d'erreur par rapport à l'espérance : on peut alors dire que pour 5 repas, Xavier paiera 130 \euro avec une marge d'erreur de 37,42 \euro.
%
%Cependant, gardons à l'esprit que ce ne sont que des probabilités... et que l'intervalle $[130-37,42~;~130+37,42]$ est très approximatif !
%\end{aretenir}

\begin{prop}
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires \textit{indépendantes}. 

La variance de la variable aléatoire $X+Y$ est:
\[
V(X+Y)=V(X)+V(Y).
\]
\end{prop}


\subsection{Somme et moyenne de variables indépendantes}

\subsubsection{Généralités}

\begin{prop}\label{somme-var-prop}
Soient $X_1$, ..., $X_n$ $n$ variables aléatoires indépendantes. On pose alors :
\[
S_n = \sum_{k=1}^n X_k = X_1+\cdots+X_n\quad\text{et}\quad M_n=\dfrac{S_n}{n}.
\]
Alors,
\begin{itemize}
\item $E(S_n) = \displaystyle\sum_{k=1}^n E(X_k)$ et $V(S_n)=\displaystyle\sum_{k=1}^n V(X_k)$.

\item $E(M_n)=\displaystyle\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n E(X_k)$ et $V(M_n)=\displaystyle\dfrac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n V(X_k)$.
\end{itemize}
\end{prop}


\subsubsection{Application à la loi binomiale}

Si, pour $1\leqslant k\leqslant n$, $X_k$ est une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli alors \mbox{$E(X_k)=p$} et $V(X_k)=p(1-p)$ et la propriété~\ref{somme-var-prop} donne:
\begin{align*}
E(X_1+\cdots+X_n) & =\displaystyle\sum_{k=1}^n p = n \times p = np\\
V(X_1+\cdots+X_n) & = \displaystyle \sum_{k=1}^n p(1-p) = np(1-p).
\end{align*}

D'où la propriété page suivante.
 
\begin{prop}
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. Alors,
\[
E(X)=np\qquad,\qquad V(X)=np(1-p)\qquad\text{et}\qquad \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}.
\]
\end{prop}

\begin{Exemple}
dans une urne, il y a 7 boules bleues et 3 rouges.
On choisit au hasard une boule de cette urne puis on la remet, et on répète cette expérience 10 fois de façon indépendante.

La probabilité de choisir une boule bleue lors d'un tirage est $p = 0,7$.

Si $X$ représente le nombre de boules bleues obtenues à l'issue de ces 10 tirages au sort, alors $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n;p)$ et son espérance est :
\[
E(X) = 10 \times 0,7 = 7.
\]
\end{Exemple}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item $N$ suit la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0,32$ donc:
\[
E(N)=n\times p = 15 \times 0,32 = 4,8
\]
et
\[
V(N)=n\times p \times(1-p)=3,264.
\]


\item $T=3N$ donc:
\[
E(T)=3E(N)=3\times 4,8=14,4
\]
et
\[
V(T)=3^2 V(N) = 9 \times 3,264 = 29,376.
\]

\item L'espérance de $M_{50}$ est:
\begin{align*}
E(M_{50}) & = \dfrac{1}{50}\big[ E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_{50}) \big]\\
 & = \dfrac{1}{50} \times 50 \times E(X_1)\text{ car les $X_k$ suivent la même loi}\\
 & = E(X_1) = 22.
\end{align*}

La variance de $M_{50}$ est, quant à elle:
\begin{align*}
V(M_{50}) & = \left(\dfrac{1}{50}\right)^2 \times V(X_1+X_2+\cdots+X_{50}\big)\\
& = \frac{1}{50^2}\times 50\times V(X_1)\\
& \text{ car les $X_k$ sont indépendantes et suivent la même loi}\\
& = \dfrac{1}{50}\times 65 = 1,3.
\end{align*}
\end{questions}
\end{solintro}

\section{Loi des grands nombres}

\subsection{Inégalités de concentration}

\begin{exointro}{\null}
On suppose que le nombre de pièces sortant d'une usine donnée en l'espace d'une semaine est une variable aléatoire d'espérance 50.
\begin{questions}
\item Peut-on estimer que la probabilité pour que la production de la semaine suivante dépasse 75 pièces soit supérieure à 0,75 ?
\item On sait, de plus, que la variance de la production hebdomadaire est de 25. Peut-on estimer la probabilité que la production de la semaine\linebreak suivante soit strictement comprise entre 40 et 60 ?
\end{questions}
\vspace*{-1.5em}
\end{exointro}

Considérons deux variables aléatoires $X$ et $Y$ telles que $X \leqslant Y$.

Nous pouvons dans un premier temps écrire que si $X \geqslant 0$ alors $E(X) \geqslant 0$. 

De plus, 
\[
E(Y)-E(X)  = E(Y-X)
\]

et comme $Y-X \geqslant 0$, on en déduit:
\[
E(Y-X) \geqslant 0\qquad\text{soit :}\qquad E(X) \leqslant E(Y).
\]
De ces résultats, on peut démontrer le théorème suivant:

\begin{thm}[inégalité de Markov]
Soit $X$ une variable aléatoire discrète d'espérance finie, et à valeurs positives. Alors :
\[
\forall a > 0,\quad P(X \geqslant a) \leqslant \dfrac{E(X)}{a}.
\]
\end{thm}

\Par


À l'aide de l'inégalité de Markov, on déduit le théorème suivant:

\begin{thm}[inégalité de Bienaymé-Tchebychev]
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et de variance $V(X)$. 

Quel que soit le réel $\delta > 0$, 
\[
P\big(|X-\mu| \geqslant \delta\big) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}.
\]
\end{thm}


\newpage

De ce théorème (fondamental), on peut notamment conclure que pour une variable aléatoire quelconque $X$ d'écart-type $\sigma$ et d'espérance $\mu$:
\[
P\big(|X-\mu| \geqslant 2\sigma \big) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{(2\sigma)^2}
\]
soit:
\[
P\big(|X-\mu| \geqslant 2\sigma \big) \leqslant \dfrac{1}{4}.
\]
Cela signifie alors que la probabilité que les valeurs prises par $X$ diffèrent de $2\sigma$ de sa moyenne est inférieure à 0,25.

\begin{Remarque}
par simulation (manuelle ou informatique), on s'aperçoit en fait que cette probabilité est très souvent majorée par 0,05.
\end{Remarque}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item Commençons par poser $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de pièces sortant de l'usine en l'espace d'une semaine. 

$X$ est positive et d'espérance finie. D'après l'inégalité de Markov, 
\[
P(X > 75) \leqslant \dfrac{50}{75}\qquad\text{soit:}\qquad P(X > 75) \leqslant 0,67.
\]
On ne peut donc pas estimer que la probabilité pour que la production de la semaine suivante dépasse 75 pièces soit supérieure à 0,75.

\item Commençons par écrire:
\[
P(40 < X < 60) = P(-10 < X - 50 < 10) = P(|X - 50| < 10).
\]
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne:
\[
P\big( | X-50| \geqslant 10\big) \leqslant \dfrac{25}{10^2}
\]
soit:
\[
P\big( | X-50| \geqslant 10\big) \leqslant 0,25.
\]

On en déduit alors que:
\[
1-P\big( | X-50| < 10\big) \leqslant 0,25
\]
et donc:
\[
P\big( | X-50| < 10\big) \geqslant 0,75.
\]
La probabilité pour que la production de la semaine suivante soit comprise entre 40 et 60 est donc au moins de 75\%.
\end{questions}
\end{solintro}

\subsection{Loi faible des grands nombres}

\begin{exointro}{\null}
On dispose d'une urne dans laquelle sont mises 7 boules rouges et 3 noires. On tire au hasard une boule de cette urne et on la remet dans l'urne; si la boule choisie est noire, on gagne 1 point. Sinon, on ne gagne pas de point.

On note $M_n$ le gain moyen de points après $n$ répétitions indépendantes de cette expérience.

Déterminer une valeur de $n$ pour laquelle la probabilité que la différence (en valeur absolue) entre $M_n$ et 0,3 soit supérieure ou égale à $0,1$ et inférieure ou égale à~$0,5$.
\end{exointro}

\begin{prop}
Soient $X_1,\ X_2,\ \ldots,\ X_n$ $n$ variables aléatoires discrètes réelles indépendantes ayant
toutes la même loi d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$. Alors,
\[
\forall \delta >0, \quad P\left( \left| \dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}-\mu \right| \geqslant \delta \right) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{n\delta^2}.
\]
\end{prop}



\begin{thm}[théorème de Khintchine (loi faible des grands nombres)]
Soient $X_1$, ..., $X_n$ $n$ variables aléatoires indépendantes de même loi, d'espérance $\mu$. Alors, pour tout réel $\delta > 0$, 
\[
\lim_{n\to+\infty}P\left( \left| \dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}-\mu \right| \geqslant \delta \right)=0.
\]
\end{thm}

\begin{plusloin}
Au premier abord, ce dernier théorème peut paraître simpliste, puisqu'il résulte de l'inégalité de concentration prise lorsque $n$ tend vers $+\infty$. Il est au contraire très important, et permet notamment de justifier le principe des sondages. En effet, il permet d'interpréter la probabilité (valeur théorique) comme une fréquence (valeur observée) et présente l'espérance comme une moyenne. Ce théorème signifie que la \textit{moyenne empirique} c'est-à-dire la moyenne calculée sur les valeurs observée sur un échantillon de population, converge vers l'espérance quand la taille de cet échantillon devient très grand. 
\end{plusloin}

\newpage

\begin{solintro}
On cherche un entier $n$ tel que:
\[
P\big( |M_n - 0,3| \geqslant 0,1 \big) \leqslant 0,5.
\]
Notons $X_k$ le nombre de points gagnés au $k$-ième tirage, $1\leqslant k\leqslant n$.

$X_k$ suit la loi de Bernoulli de probabilité $p=\dfrac{3}{10}=0,3$ et de variance $\sigma^2 = 0,3\times(1-0,3)=0,21$.

De plus, par définition, les variables $X_k$ sont indépendantes donc on peut utiliser\linebreak l'inégalité de concentration:
\[
P\left( \left| M_n - 0,3 \right| \geqslant 0,1 \right) \leqslant \dfrac{0,21}{0,1^2n}.
\]
On souhaite que $P\left( \left| M_n - 0,3 \right| \geqslant 0,1 \right) \leqslant 0,5$ donc il suffit de choisir $n$ tel que :
\begin{align*}
\dfrac{0,21}{0,1^2n} \leqslant 0,5 & \iff \dfrac{0,1^2n}{0,21} \geqslant \dfrac{1}{0,5}\\
& \iff 0,1^2n \geqslant \dfrac{1}{0,5}\times0,21\\
& \iff n \geqslant \dfrac{1}{0,5}\times\dfrac{0,21}{0,1^2}\\
& \iff n \geqslant 42.
\end{align*}
\end{solintro}