\thumb

%

\begin{qcm}{Somme de variables aléatoires}{5}
Pour chaque question, donner la bonne réponse parmi les propositions faites.
\begin{questions}
\item L'espérance mathématique de la variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,2$ est:

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $0,02$ & \choix $0,2$ & \choix $2$ & \choix $20$
\end{tabularx}


\item La variance de la variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,15$ est:\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $3$ & \choix $2,55$ & \choix $17$ & \choix $0,1275$
\end{tabularx}

\item Soient $X\hookrightarrow\mathcal{B}(15;0,1)$ et $Y\hookrightarrow\mathcal{B}(20;0,3)$ deux variables aléatoires. Que vaut $E(X+Y)=$ ?\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $7,5$ & \choix $35$ & \choix $0,4$ & \choix $3,5$
\end{tabularx}

\item Soit $X$ une variable aléatoire de variance 5. Si on multiplie par 2 toutes les valeurs prises par $X$  alors la variance devient:\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $10$ & \choix $15$ & \choix $20$ & \choix $25$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. D'après le cours, si $X \hookrightarrow\mathcal{B}(n;p)$ alors $E(X)=np$. Donc ici, $E(X)=10\times0,2=2$.

\item Réponse \choix[b]. D'après le cours, si $X \hookrightarrow\mathcal{B}(n;p)$ alors $V(X)=np(1-p)$. Donc ici, $V(X)=20\times0,15\times(1-0,15)=2,55$.

\item Réponse \choix[a]. En effet, $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ par linéarité de l'espérance. Or, $E(X)=15\times0,1=1,5$ et $E(Y)=20\times0,3=6$. Donc $E(X+Y)=1,5+6=7,5$.

\item Réponse \choix[c]. En effet, d'après le cours, $V(aX) = a^2V(X)$ donc\linebreak $V(2X) = 2^2V(X) = 4\times5 = 20$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% NEW 2023

\begin{qcm}{Somme de variables aléatoires}{10}
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. 

Pour chacune des questions, quelle est la seule proposition exacte? 

Aucune justification n'est demandée.
\begin{questions}
\item Dans une région, on a recensé la fréquence du nombre de personnes par foyer:
\begin{center}
\begin{tabular}{|Zl|*5{Zc|}}
\hline
\tabulartitle
Nombre de personnes & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
\hline
Fréquence & $0,36$ & $0,22$ & $0,24$ & $0,12$ & $0,06$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\Par
On choisit au hasard un foyer de cette région, et on note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes dans ce foyer.
\begin{questions}
\item Quelle est l'espérance de $X$?

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $3,2$ & \choix $2,3$ & \choix $3$ & \choix $0,2$
\end{tabularx}

\item Que vaut l'écart-type de $X$?\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $1,53$ & \choix $2$ & \choix $1,24$ & \choix $\sqrt{1,53}$
\end{tabularx}
\end{questions}

\item On veut interroger 100 foyers de cette région, que l'on considère comme un échantillon de taille 100 de la loi de probabilité de $X$.

Soit $S_{100}$ la variable aléatoire qui donne la somme d'un tel échantillon et $M_{100}$ la variable aléatoire qui donne la
moyenne de l'échantillon.
\begin{questions}
\item Que vaut l'espérance de $S_{100}$?\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $2,3$ & \choix $124$ & \choix $1534$ & \choix $230$
\end{tabularx}

\newpage

\item Que vaut la variance de $S_{100}$?\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $1,24$ & \choix $153$ & \choix $124$ & \choix $1,53$
\end{tabularx}

\item Que vaut l'espérance de $M_{100}$ ?\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $2,3$ & \choix $124$ & \choix $23$ & \choix $230$
\end{tabularx}

\item Que vaut l'écart-type de $M_{100}$?\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $0,124$ & \choix $\dfrac{\sqrt{1,53}}{10}$ & \choix $0,0124$ & \choix $\dfrac{\sqrt{1,53}}{100}$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. En effet,
\[
E(X) = 1\times0,36 + 2\times0,22+3\times0,24+4\times0,12+5\times0,06=2,3.
\]

\item Réponse \choix[d]. Dans la mesure où aucune justification n'est demandée, on peut utiliser la calculatrice pour répondre. Attention cependant au résultat; la calculatrice affiche:
\[
1,23693168769
\]
dont une valeur \textit{approchée} est certes 1,24, mais cette dernière n'est pas la valeur \textit{exacte}. Par conséquent, la réponse \choix[c] n'est pas la bonne.

Par élimination, on exclut les réponses \choix[a] et \choix[b]. Il nous reste donc que la dernière proposition. On vérifie tout de même qu'une valeur approchée de $\sqrt{1,53}$ est bien la valeur affichée par la calculatrice.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Réponse \choix[d]. En effet, d'après le cours,
\[
E(S_{100}) = 100\times E(X) = 100\times2,3=230.
\]

\item Réponse \choix[b]. En effet, d'après le cours,
\[
V(S_{100}) = 100\times V(X) = 100\times\sigma(X)^2= 100\times1,53=153.
\]

\item Réponse \choix[a]. En effet, d'après le cours,
\[
E(M_{100}) = \dfrac{1}{100}E(S_{100}) = 2,3.
\]

\item Réponse \choix[d]. En effet, d'après le cours,
\[
\sigma(M_{100}) = \sqrt{\dfrac{1}{100}\times V(S_{100})}=\dfrac{\sigma(S_{100})}{100}=\dfrac{\sqrt{1,53}}{10}.
\]
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%

\begin{vf}{Vérification de connaissances}{5}
Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier les\linebreak réponses.
\begin{questions}
\item Si une variable aléatoire $X$ ne prend que des valeurs positives ou nulles, alors $E(X)\geqslant0$.
\item Si $E(X)\geqslant 0$ alors la variable aléatoire $X$ ne prend que des valeurs positives ou nulles.
\item $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires de variances respectives 8 et 10. Alors, $V(X+Y)=18$.
\end{questions}
\end{vf}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \emph{Vrai}. D'après la formule du calcul de l'espérance, si $X$ ne prend que des valeurs positives, l'espérance est obtenue par produit puis somme de quantités positives. Donc $E(X)\geqslant 0$.
\item \emph{Faux}. Contre-exemple : la variable aléatoire $X$ qui prend la valeur $-1$ avec une probabilité de $0,1$ et la valeur 1 avec une probabilité de $0,9$ a pour espérance $E(X)=0,1 \times (-1)+0,9\times 1=0,8$. Donc $E(X)>0$, mais $X$ prend une valeur négative. 
\item \textit{Faux}. Pour ajouter deux variances, il est nécessaire que les deux variables soient indépendantes, ce qui n'est pas précisé ici. 

%Dire que $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ est donc incorrect sans information complémentaire sur $X$ et $Y$.
\end{questions}
\end{corrige}

%

\begin{vf}{Inégalités de concentration}{10}
Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?

\begin{questions}
\item Soit $X$ une variable aléatoire discrète d'espérance $E(X)=9$ à valeurs positives. Alors, selon l'inégalité de Markov, $P(X \geqslant 10) \leqslant \dfrac{1}{10}$.

\item Soit $X$ une variable aléatoire discrète d'espérance $E(X)=7$ et de variance $\sigma^2 = 9$. Alors, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, $P\big( | X-7| \geqslant 18\big) <  0,028$.

\item On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Si la carte est un roi, on gagne 1 point, sinon on ne gagne rien. On répète cette expérience \numprint{1000} fois.

La probabilité que, à l'issue des \numprint{1000} expériences, la différence (en valeur absolue) entre le gain moyen de points et 125 soit plus grande que 15 est inférieure ou égale à 0,5.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \textit{Faux}. Selon l'inégalité de Markov, $P(X \geqslant a) \leqslant \dfrac{E(X)}{a}$, ce qui donne dans notre cas:
\[
P(X \geqslant 10) \leqslant \dfrac{9}{10}.
\]

\item \textit{Vrai}. En effet, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, 
\[
P\big( | X-E(X)| \geqslant \delta \big) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}
\]
ce qui donne dans notre cas:
\[
P\big( | X - 7| \geqslant 18 \big) \leqslant \dfrac{9}{18^2}
\]
soit:
\[
P\big( | X - 7| \geqslant 18 \big) \leqslant \dfrac{1}{36} < 0,028.
\]

\item \textit{Vrai}. Notons $X_k$ le nombre de points lors du $k$-ième tirage ($X_k = 0$ ou $X_k = 1$). 
\enlargethispage*{5em}

C'est une variable de Bernoulli d'espérance $\mu=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}=\dfrac{125}{\numprint{1000}}$ et de variance $\sigma^2=\dfrac{1}{8}\left(1-\dfrac{1}{8}\right)=\dfrac{7}{64}$. D'après l'inégalité de concentration (les $X_k$ étant implicitement indépendantes),
\begin{align*}
& P\left(\left|X_1+\cdots+X_{\numprint{1000}}-125\right| \geqslant 15\right) \\
=\ & P\left(\left|\dfrac{X_1+\cdots+X_{\numprint{1000}}}{\numprint{1000}}-\dfrac{125}{\numprint{1000}}\right|\geqslant\dfrac{15}{\numprint{1000}}\right)\\
\leqslant\ & \dfrac{\frac{7}{64}}{\numprint{1000}\times \left( \frac{15}{\numprint{1000}}\right)^2}\\
<\ & 0,49\\
<\ & 0,5.
\end{align*}
\end{questions}
\end{corrige}


\newpage

\sectionnn{Somme de variables aléatoires}

%

\begin{exo}{Pile ou Face}{Lycée Voltaire, Paris}{1}{15}
Un joueur lance trois fois de suite une pièce équilibrée. Chaque fois que le joueur obtient Face, il gagne 2 points, sinon il perd 1 point.\\
Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l'issue d'une partie. Déterminer la loi de probabilité de $X$ et son espérance $E(X)$.
\end{exo}


\begin{corrige}
Le lancer d'une pièce équilibrée est une épreuve de Bernoulli de paramètre $0,5$ dont le succès est \og Obtenir Face \fg. Si on répète le lancer trois fois, de façons indépendantes, la variable $Y$ qui donne le nombre de fois $y_i$ où Face est obtenu suit la loi binomiale $\mathcal{B}(3~;0,5)$.\\
En notant $x_i$ les valeurs de la variable aléatoire $X$, on peut dresser le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabular}{|R|*4{Zc|}}
\hline
$y_i$&0&1&2&3\\
\hline
$P(Y=y_i)$&$ \dbinom{3}{0}0,5^3$&$\dbinom{3}{1}0,5^3$&$\dbinom{3}{2}0,5^3$&$\dbinom{3}{3}0,5^3$\\
\hline
$x_i$&$-3$&0&3&6\\
\hline
$P(X=x_i)$&$0,125$&$0,375$&$0,375$&$0,125$\\
\hline 
\end{tabular}
\end{center}
 
L'espérance de $X$ est donc :
\[
E(X)=-3\times 0,125+3\times 0,375+6\times 0,125=1,5.
\]
\end{corrige}

%%% 2023

\begin{exo}{Jeu télévisé}{Lycée \'Edouard Branly, Nogent-sur-Marne}{2}{20}
Un jeu télévisé se déroule en deux manches:
\begin{itemize}
\item \textit{Première manche}: le candidat tire au hasard et simultanément deux boules d'une urne contenant 20 boules numérotées de 1 à 20. Si une boule portant un numéro multiple de 5 est choisie, 20 points sont gagnés; dans le cas contraire, aucun point n'est gagné.

\item \textit{Seconde manche}: le candidat doit ouvrir une porte parmi trois portes fermées. Seule l'une d'elles peut multiplier par 2 les gains gagnés lors de la première manche. L'une des deux autres permet d'ajouter 5 points; quant à l'autre, elle retire 5 points si les gains de la première manche sont supérieurs ou égaux à 5. Sinon, rien n'est retiré.
\end{itemize}

À l'issue de ces deux manches, chaque point vaut 100 \euro.

\Par

On appelle $G$ le gain du ou de la candidat.e.

\begin{questions}
\item On appelle $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de points à l'issue de la première manche.

Déterminer la loi de probabilité de $X$, puis calculer $E(X)$.

\item On note $Y$ la variable aléatoire représentant le gain algébrique des points à l'issue de la seconde manche.

Déterminer la loi de probabilité de $Y$ ainsi que $E(Y)$.

\item Calculer $E(G)$.

\enlargethispage*{3em}

\item À l'issue de ces deux manches, le ou la candidat.e. doit participer à la manche finale qui consiste à répondre à cinq questions de culture générale. À chaque mauvaise réponse, il ou elle perd 200 \euro sur les gains obtenus précédemment.

On note $Z$ la variable aléatoire représentant le nombre de bonnes réponses d'un.e. candidat.e. lors de cette manche finale.

La société productrice du jeu estime que $Z$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,2$.

Déterminer le gain que peut espérer avoir le ou la candidat.e. à l'issue de cette finale.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $X$ est la variable aléatoire représentant le nombre de points à l'issue de la première manche.

Il y a 4 boules portant un numéro multiple de 5 : 5, 10, 15 et 20.

Notons $A$ l'événement : \og la boule porte le numéro 5, 10, 15 ou 20 \fg.

Pour la première boule, il y a 4 chances sur 20 de choisir une boule dont le numéro est un multiple de 5, donc $P(A)=\dfrac{4}{20}=\dfrac{1}{5}$. 

En revanche, pour la seconde boule, il ne reste plus que 19 boules. Donc si l'événement $A$ est réalisé pour la première boule, il reste 3 boules adéquates pour la seconde, d'où une probabilité de $\dfrac{3}{19}$. Un raisonnement analogue nous donne les autres probabilités.

On peut alors représenter la situation avec l'arbre  page suivante.

On peut alors donner la loi de probabilité de $X$ sous forme d'un tableau:
\begin{center}
\begin{tabular}{|L|Zc|Zc|Zc|}
\hline
$X=k$ & 0 & 20 & 40\\
\hline
$P(X=k)$ & $\dfrac{4}{5}\times\dfrac{15}{19}=\dfrac{12}{19}$ & $1-\dfrac{12}{19}-\dfrac{3}{95}=\dfrac{32}{95}$ & $\dfrac{1}{5}\times\dfrac{3}{19}=\dfrac{3}{95}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Ainsi,
\[
E(X)=20\times\dfrac{32}{95} + 40\times\dfrac{3}{95}=8.
\]

\begin{center}
\includegraphics{368_sommevar-01}
\end{center}

\item On peut illustrer la situation à l'aide d'un arbre:

\begin{center}
\includegraphics{368_sommevar-02}
\end{center}

À l'aide du principe multiplicatif, on obtient alors la loi de probabilité de $Y$ suivante:

\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*{8}{Zc|}}
\hline
$Y=k$ & 0 & 5 & 15 & 25 & 35 & 40 & 45 & 80\\
\hline
$P(Y=k)$ & $\dfrac{8}{19}$ & $\dfrac{4}{19}$ & $\dfrac{32}{285}$ & $\dfrac{32}{285}$ & $\dfrac{1}{95}$ & $\dfrac{32}{285}$ & $\dfrac{1}{95}$ & $\dfrac{1}{95}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
On a ainsi:
\[
E(Y) = 5\times\dfrac{4}{19} + \cdots + 80\times\dfrac{1}{95}=\dfrac{668}{57}.
\]

\item Par définition,
\[
G = 100Y
\]
donc:
\begin{align*}
E(G) & = E(100Y)\\
& = 100E(Y)\\
& = \dfrac{\numprint{66800}}{57}\\
& \approx\numprint{1172}.
\end{align*}

L'organisateur ou l'organisatrice de ce jeu peut donc espérer perdre en moyenne \numprint{1172} \euro... s'il programme un grand nombre de fois le jeu.

\item $Z \hookrightarrow \mathcal{B}(5;0,2)$ donc $E(Z)=5 \times 0,2 = 1$, ce qui signifie qu'en moyenne, le ou la candidat.e. répond correctement à une seule question, et donc qu'il ou elle perd en moyenne 800 \euro.

Ainsi, le gain moyen final est:
\[
E(G)-800\approx\numprint{1172}-800\approx 372\text{ \euro}.
\]
\end{questions}
\end{corrige}


\sectionnn{Inégalité de concentration -- Loi des grands nombres}

\begin{exo}{Lancer de dé}{Lycée François Mauriac, Bordeaux}{1}{10} 
On jette \numprint{3600} fois un dé équilibré. Minorer la probabilité que le nombre d'apparitions du numéro 1 soit strictement compris entre 480 et 720 à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
\end{exo}

\begin{corrige}
\enlargethispage*{5em}
Soit $S$ la variable aléatoire comptant le nombre d'apparitions du chiffre 1 au cours de ces lancers. $S$ suit une loi binomiale de paramètres \numprint{3600} et $\dfrac{1}{6}$. On sait donc que:
\[
E(S)=\dfrac{1}{6}\times\numprint{3600}=600\qquad\text{et}\qquad V(S)=\dfrac{1}{6}\times\dfrac{5}{6}\times\numprint{3600}=500.
\]
De plus,
\[
480<S<720 \iff -120<S-600<120\iff|S-600|<120.
\]
Par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on obtient:
\[
P(|S-600|\geqslant120)\leqslant \dfrac{500}{120^2} \leqslant 0,035.
\]
On en déduit que $P(480<S<720)\geqslant1-0,035$, soit:
\[
P(480<S<720)\geqslant 0,965.
\]
En particulier, la probabilité que le numéro 1 apparaisse strictement entre 480 et 720 fois au cours de ces \numprint{3600} lancers est supérieure à 0,96.
\end{corrige}


%

\begin{exo}{Usine de pièces}{Lycée Henri IV, Paris}{1}{10} 
Le nombre de pièces sortant d'une usine en une journée est une variable aléatoire d'espérance 50. On veut estimer la probabilité que la production de demain dépasse 75 pièces.

\begin{questions}
\item En utilisant l'inégalité de Markov, quelle estimation obtient-on sur cette probabilité ?
\item Que peut-on dire de plus sur cette probabilité si on sait que l'écart-type de la production quotidienne est 5 ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Notons $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de pièces. 

En utilisant l'inégalité de Markov, on obtient:
\[
P(X \geqslant 75) \leqslant \dfrac{E(X)}{75}
\]
soit:
\[
P(X \geqslant 75) \leqslant \dfrac{2}{3}.
\]

\item L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne:
\[
P( |X-50| \geqslant 25) \leqslant \dfrac{V(X)}{25^2}
\]
soit:
\[
P( |X-50| \geqslant 25) \leqslant \dfrac{5^2}{25^2}
\]
et donc:
\[
P( |X-50| \geqslant 25) \leqslant 0,04.
\]
Ainsi, $P( X \geqslant 75) \leqslant 0,04$.
\end{questions}
\end{corrige}

% 2026

\begin{exo}{Auto-école}{Lycée Michelet, Marseille}{2}{15}
Une auto-école présente pour la première fois à l'examen de conduite 10 candidats qui ont suivi la formation de conduite accompagnée. On modélise le fait de passer les examens de conduite par des épreuves aléatoires indépendantes.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de ces 10 candidats qui auront leur permis dès la première tentative.

On admet que la probabilité qu'un candidat ait son permis dès la première fois est égale à 0,747.

On arrondira les résultats à $10^{-3}$ près, si nécessaire.

\begin{questions}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

\item Calculer $P(X \geqslant 6)$. Interpréter ce résultat.

\item Déterminer $E(X)$ et $V(X)$.

\item Il y a aussi 40 candidats qui n'ont pas suivi la formation de conduite accompagnée et qui se présentent pour la première fois à l'examen de conduite. De la même manière, on note $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de ces candidats qui auront le permis à la première tentative. On admet que $Y$ est indépendante de la variable $X$ et qu'en fait\linebreak $E(Y)=22,53$ et $V(Y)=9,81$.

On note alors $Z$ la variable aléatoire comptant le nombre total de candidats (parmi les 50) qui auront le permis de conduire dès la première tentative dans cette auto-école.

\begin{questions}
\item Exprimer $Z$ en fonction de $X$ et $Y$. En déduire $E(Z)$ et $V(Z)$.

\item En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité qu'il y ait moins de 20 ou plus de 40 candidats qui aient leur permis dès la première tentative est inférieure à 0,12.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item En considérant l'épreuve consistant à regarder si un candidat a son permis dès la première tentative, épreuve de Bernoulli dont la probabilité du succès est $p=0,747$, on répète de \textit{manière indépendante} 10 fois cette épreuve. Donc, d'après le cours, le nombre de succès à l'issue de cette succession d'épreuves suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ (nombre de fois que l'on répète l'épreuve de Bernoulli) et $p=0,747$.

\item À la calculatrice, on trouve:
\[
P(X \geqslant 6) \approx 0,918.
\]
Cela signifie que la probabilité qu'au moins 6 candidats sur 10 ait leur permis dès la première fois est environ égale à 0,918.

\item D'après le cours,
\[
E(X) = n \times p = 7,47 \qquad\text{et}\qquad  V(X)=np(1-p)\approx 1,890.
\]

\item D'après l'énoncé,
\[
Z = X+Y.
\]
Par linéarité de l'espérance,
\[
E(Z)=E(X)+E(Y) = 7,47+22,53=30.
\]
De plus, $X$ et $Y$ étant deux variables aléatoires indépendantes,
\[
V(Z)=V(X)+V(Y) = 1,89+9,81=11,7.
\]

\item La probabilité qu'il y ait moins de 20 ou plus de 40 candidats qui aient leur permis dès la première tentative s'exprime de la manière suivante:
\[
P\big[ (Z<20) \cup (Z>40) \big]  = 1 - P(20 \leqslant Z \leqslant 40).
\]

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev nous dit que:
\[
\forall \delta > 0,\ P(|Z-E(Z)| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V(Z)}{\delta^2}.
\]
Les bornes de l'encadrement \og $20 < Z < 40$ \fg{} dont distantes de 10 de $E(Z)$, ce qui nous encourage à prendre $\delta=10$:
\begin{align*}
     & P(|Z-30| \geqslant 10) \leqslant \dfrac{11,7}{10^2}\\
\iff & P(|Z-30| \geqslant 10) \leqslant 0,117\\
\iff & -P(|Z-30| \geqslant 10) \geqslant -0,117\\
\iff & 1 -P(|Z-30| \geqslant 10) \geqslant 1-0,117\\
\iff & P(|Z-30| \geqslant 10) \leqslant 0,117.
\end{align*}
Ainsi, la probabilité qu'il y ait moins de 20 ou plus de 40 candidats qui aient leur permis dès la première tentative est bien inférieure à 0,12.
\end{questions}
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Nombre de tirages}{Lycée Jean Monod, Clamart}{2}{10} 
Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules noires. On tire successivement avec remise des boules de cette urne. À partir de combien de tirages est-on sûrs à 95\% que la proportion de boules rouges tirées n'est pas dans l'intervalle $]0,35 ; 0,45[$ ?
\end{exo}

\begin{corrige}
Pour $1 \leqslant k \leqslant n$,  considérons l'événement : « une boule rouge est tirée lors du $k$-ième tirage ». 

Notons alors $X_k$ la variable aléatoire représentant le nombre de boules rouges obtenues lors du $k$-ième tirage. $X_k$ suit la loi de Bernoulli de probabilité $\dfrac{2}{5}$, a pour espérance $\mu = \dfrac{2}{5} =  0,4$ et pour variance $\sigma^2 = \dfrac{2}{5}\times
\dfrac{3}{5}= 0,24$.

La proportion de boules rouges obtenues après $n$ tirages est:
\[
M_n=\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}.
\]

On cherche donc la première valeur de $n$ à partir de laquelle :
\[
P(|M_n-0,4| \geqslant 0,05) \leqslant 0,95.
\]
L'inégalité de concentration nous dit que, pour $\delta=0,05$:
\[
P(|M_n-0,4| \geqslant 0,05) \leqslant \dfrac{0,24}{0,0025n}.
\]
Une valeur de $n$ satisfaisante est donc la plus petite valeur de $n$ telle que:
\begin{align*}
\dfrac{0,24}{0,0025n} \leqslant 0,05 & \iff \dfrac{0,0025n}{0,24} \geqslant \dfrac{1}{0,05}\\
& \iff 0,0025n \geqslant \dfrac{0,24}{0,05}\\
& \iff n \geqslant \dfrac{0,24}{0,05 \times 0,0025}\\
& \iff n \geqslant \numprint{1920}.
\end{align*}

Ce dernier résultat nous assure à 95\% que la proportion de boules rouges tirées se trouve dans l'intervalle $]0,35 ; 0,45[$.

\begin{Remarque}
si l'on effectue des simulations de cette expérience, on peut se rendre compte que l'on obtient une proportion dans l'intervalle pour des valeurs de $n$ plus petites. Il est donc important de se souvenir que l'inégalité de concentration nous assure une valeur de $n$ adéquate mais qu'elle n'est pas toujours minimale.
\end{Remarque}
\end{corrige}

% 2026

\begin{exo}{Don de sang}{Lycée Teilhard de Chardin, Saint-Maur-des-fossés}{2}{15}
Lors de la semaine nationale du don du sang, une collecte de sang est organisée dans $n$ villes françaises choisies au hasard numérotées 1, 2, 3, ... , $n$, où $n$ est un
entier naturel non nul.

On considère la variable aléatoire $X_1$ qui à chaque échantillon de 100 personnes de la ville 1 associe le nombre de donneurs universels dans cet échantillon.

On définit de la même manière les variables aléatoires $X_2$ pour la ville 2, ... , $X_n$
pour la ville $n$.

On suppose que ces variables aléatoires sont indépendantes et qu'elles admettent la même espérance égale à 7,14 et la même variance égale à 6,63.

On considère la variable aléatoire $M_N = \dfrac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$.

\begin{questions}
\item Que représente la variable aléatoire $M_n$ dans le contexte de l'exercice?

\item Calculer l'espérance $E(M_n)$.

\item On désigne par $V(M_n)$ la variance de la variable aléatoire $M_n$.

Montrer que $V(M_n) = \dfrac{6,63}{n}$.

\item Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d'affirmer que $P(7 < M_n < 7,28) \geqslant 0,95$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La variable aléatoire $M_n$ représente ici le nombre \textit{moyen} de donneurs universels sur les $n$ collectes.

\item D'après la linéarité de l'espérance,
\[
E(M_n) = \dfrac{1}{n}\times n \times E(X_1) = E(X_1) = 7,14.
\]

\item Les variables $X_k$ ($1 \leqslant k \leqslant n$) sont indépendantes donc:
\[
V(M_n) = \dfrac{1}{n^2} \times n \times V(X_1) = \dfrac{6,63}{n}.
\]

\item D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, 
\[
\forall \delta > 0,\ P(|M_n - E(M_n)| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V(M_n)}{\delta^2}.
\]
Entre 7 (la borne inférieure de l'encadrement \og $7 < M_n < 7,28$ \fg) et $E(M_n)=7,14$, il y a un écart de 0,14. On prend alors $\delta = 0,14$:
\begin{align*}
     & P(|M_n - 7,14| \geqslant 0,14) \leqslant \dfrac{6,63}{0,14^2n}\\
\iff & 1- P(|M_n - 7,14| < 0,14) \leqslant \dfrac{6,63}{0,0196n}\\
\iff & 1- P(-0,14 < M_n - 7,14 < 0,14) \leqslant \dfrac{6,63}{0,0196n}
\end{align*}

\begin{align*}
\iff & 1- P(-0,14+7,14 < M_n < 0,14+7,14) \leqslant \dfrac{6,63}{0,0196n}\\
\iff & 1- P(7 < M_n < 7,28) \leqslant \dfrac{6,63}{0,0196n}\\
\iff & P(7 < M_n < 7,28) \geqslant 1-\dfrac{6,63}{0,0196n}.
\end{align*}
On souhaite: que $P(7 < M_n < 7,28)\ \geqslant 0,95$ donc en prenant $n$ tel que:
\[
1-\dfrac{6,63}{0,0196n} \geqslant 0,95,
\]
on aura répondu à la question.
\begin{align*}
1-\dfrac{6,63}{0,0196n} \geqslant 0,95 & \iff 0,0196n-6,63 \geqslant 0,95\times0,0196n\\
& \iff 0,0196\times0,05n \geqslant 6,63\\
& \iff n \geqslant \dfrac{6,63}{0,0196\times0,05} \geqslant 6765,3.
\end{align*}
Ainsi, pour $n \geqslant \numprint{6766}$, nous sommes assurés que:
\[
P(7 <M_N < 7,28)>0,95.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Marche aléatoire}{Lycée Notre-Dame du Grandchamp, Versailles}{2}{15} 
On considère une marche aléatoire sur $\Z$ définie de la façon suivante : on part de $0$ et, à chaque étape,
\begin{itemize}
\item  on a une probabilité $p$ de faire un pas vers la droite;
\item on a une probabilité $1-p$ de faire un pas vers la gauche.
\end{itemize}
Autrement dit, on considère une suite de variables aléatoires $(X_n)_{n\geqslant1}$ indépendantes et de même loi donnée par:
\[
\forall n\in\N^*, \quad P(X_n=1)=p\qquad\text{et}\qquad P(X_n=-1)=1-p.
\]
On note $S_n=X_1+\cdots+X_n$.
\begin{questions}
\item Que représente $S_n$ dans le contexte de cet exercice ?
\item Exprimer, en fonction de $p$, $E(X_k)$.
\item Que vaut $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{S_n}{n}$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Regardons les premières valeurs de $S_n$:
\begin{itemize}
\item $S_1 \in \{-1;1\}$ car $X_1$ ne peut prendre pour valeurs que $-1$ ou $1$;
\item $S_2 \in \{-1-1;-1+1;1-1;1+1\}$ soit $S_2 \in \{-2;0;2\}$;
\item $S_3\in\{-3;-1;1;3\}$.
\end{itemize}
On s'aperçoit que $S_n$ est la position à laquelle nous nous trouvons dans $\Z$ à la fin de l'étape $n$.

\item $\begin{aligned}[t]
\mu = E(X_k) & = 1\times P(X_k=1) + (-1)\times P(X_k=-1)\\
             & = 1 \times p + (-1)\times(1-p)\\
             & = 2p-1.
     \end{aligned}$

\item $\dfrac{S_n}{n}=\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}$ et d'après le théorème de Khintchine (loi faible des grands nombres),
\[
\forall\delta>0,\ 
\lim_{n\to+\infty} P\left( \left| \dfrac{S_n}{n} - \mu \right| \geqslant \delta\right) = 0
\]


Cela signifie donc que:
\[
\forall\delta>0,\ \lim\limits_{n\to+\infty}P\left(\left|\dfrac{S_n}{n}-(2p-1)\right|>\delta\right)=0.
\]
\end{questions}
\end{corrige}


%

\begin{exo}{Particules émises}{Lycée Teilhard de Chardin, Saint-Maur-des-Fossés}{2}{15} 
Pour étudier les particules émises par une substance radioactive, on dispose d'un détecteur. On note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de particules qui atteignent le détecteur pendant un intervalle de temps $\Delta t$. Le nombre maximal de particules que le détecteur
peut compter pendant un intervalle de temps $\Delta t$ est de $10^3$. On suppose que $X$ suit une loi d'espérance et de variance égales à $10^2$.

Donner une majoration de la probabilité que $X$ dépasse $10^3$.
\end{exo}

\begin{corrige}
On utilise l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev:
\[
P( |X - 10^2| \geqslant 10^3 - 10^2) \leqslant \dfrac{V(X)}{\big(10^3-10^2\big)^2}
\]
pour trouver finalement:
\[
P( |X - 10^2| \geqslant 10^3-10^2) \leqslant \numprint{0,000123456790123}.
\]
Ainsi, $\begin{aligned}[t]
P(X \geqslant 10^3) & = P(X-10^2 \geqslant 10^7-10^2)\\
& P(|X-10^2|\geqslant10^3-10^2) \leqslant \numprint{0,000124}.\end{aligned}$
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Pièces défectueuses}{Lycée Hoche, Versailles}{2}{15} 
Une usine fabrique des pièces dont une proportion inconnue $p$ est défectueuse, et on souhaite trouver une valeur approchée de $p$. On effectue un prélèvement de $n$ pièces. On suppose que le prélèvement se fait sur un échantillon très grand et donc qu'il peut s'apparenter à une suite de $n$ tirages indépendants avec remise. 

On note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses et on souhaite quantifier le fait que $\dfrac{X_n}{n}$ approche $p$.
\enlargethispage*{3em}

\begin{questions}
\item Quelle est la loi de $X_n$ ? Sa moyenne? Sa variance?
\item Démontrer que, pour tout $\varepsilon > 0$, $P\left( 
\left|
\dfrac{X_n}{n} - p 
\right| 
\geqslant 
\varepsilon 
\right) 
\leqslant 
\dfrac{1}{4n\varepsilon^2}$.

\item En déduire une condition sur $n$ pour que $\dfrac{X_n}{n}$ soit une valeur approchée de $p$ à $10^{-2}$ près avec une probabilité supérieure ou égale à 95\%.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $X_n$  est la somme de $n$ variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$. Ainsi, $X_n$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$. On en déduit alors que:
\[
E(X_n)=np\qquad\text{et}\qquad V(X_n)=np(1-p).
\]
\item D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev,
\[
\forall\delta>0,\quad P\big(|X_n-np| \geqslant \delta\big) \leqslant \dfrac{np(1-p)}{\delta^2}.
\]
Or,
\[
|X_n-np| \geqslant \delta  \iff \left|\dfrac{X_n}{n}-p\right| \geqslant \dfrac{\delta}{n}
\]
En posant $\varepsilon = \dfrac{\delta}{n}$, on obtient alors:
\[
\forall\varepsilon>0,\quad P\left( \left|\dfrac{X_n}{n}-p\right| \geqslant \varepsilon \right) \leqslant \dfrac{np(1-p)}{n^2\varepsilon^2}
\]
que l'on peut aussi écrire, en simplifiant par $n$ le dernier membre, sous la forme:
\[
\forall\varepsilon>0,\quad P\left( \left|\dfrac{X_n}{n}-p\right| \geqslant \varepsilon \right) \leqslant \dfrac{1}{n\varepsilon^2}p(1-p).
\]
De plus, la fonction $p \mapsto p(1-p)$ définie sur $[0;1]$ est une fonction de degré 2 admettant un maximum pour $p=\dfrac{1}{2}$ qui vaut $\dfrac{1}{4}$, donc :
\[
p(1-p) \leqslant \dfrac{1}{4}.
\]
L'inégalité devient alors:
\[
\forall\varepsilon>0,\quad P\left( \left|\dfrac{X_n}{n}-p\right| \geqslant \varepsilon \right) \leqslant \dfrac{1}{4n\varepsilon^2}.
\]

\item On cherche ici un entier $n$ tel que :
\[
P\left(\left|\dfrac{X_n}{n}-p\right|<10^{-2}\right)\geqslant0,95
\]
que l'on peut aussi écrire, en considérant l'événement contraire:
\[
P\left(\left|\dfrac{X_n}{n}-p\right|\geqslant10^{-2}\right)\leqslant0,05.
\]
D'après l'inégalité obtenue à la question précédente, il suffit donc de trouver un entier $n$ tel que:
\[
\dfrac{1}{4n\big(10^{-2}\big)^2} \leqslant 0,05.
\]
ce qui revient à prendre $n$ tel que $n\geqslant\dfrac{1}{4\times0,05\times(10^{-2})^2}$,\linebreak soit $n\geqslant500$.
\end{questions}
\end{corrige}



% 2026

\begin{exo}{Dans le magasin}{Lycée Carnot, Paris}{2}{15}
Un magasin comporte trois caisses automatiques identiques qui, lors d'une journée, ont
chacune déclenché 20 contrôles. 

On note $X_1$, $X_2$ et $X_3$ les variables aléatoires associant à chacune des caisses le nombre d'erreurs détectées lors de cette journée.

On admet que les variables aléatoires $X_1$, $X_2$ et $X_3$ sont indépendantes entre elles et
suivent chacune une loi binomiale $\mathcal{B}(20 ; 0,165)$.
\begin{questions}
\item Déterminer les valeurs exactes de l'espérance et de la variance de la variable aléatoire
$X_1$.

\item On définit la variable aléatoire $S$ par $S = X_1 +X_2 +X_3$.

Justifier que $E(S)= 9,9$ et que $V(S)= 8,2665$.

\item Pour cette question, on utilisera 10 comme valeur de $E(S)$.

À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité que
le nombre total d'erreurs sur la journée soit strictement compris entre 6 et 14 est
supérieure à 0,48.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $X_1$ soit la loi binomiale $\mathcal{B}(20;0,165)$ donc, d'après le cours,
\[
E(X_1)=20 \times 0,165 = 3,3\quad\text{et}\quad V(X_1)=E(X_1)\times(1-0,165)=2,7555.
\]

\item Par linéarité de l'espérance, 
\[
E(S) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) = 3 \times E(X_1) = 3 \times 3,3 = 9,9.
\]
Les variables $X_1$, $X_2$ et $X_3$ étant indépendantes, d'après le cours, on a:
\[
V(S) = V(X_1) + V(X_2) + V(X_3) = 3 \times V(X_1) = 3 \times 2,7555 = 8,2665.
\]

\item La probabilité que le nombre total d'erreurs sur la journée soit strictement compris entre 6 et 14 est:
\begin{align*}
P(6 < S < 14) & = P(6-10 < S-10 < 14-10)\\
              & = P(-4 < S - E(S) < 4)\\
              & = P(|S-E(S)|<4)\\
              & = 1-P(|S-E(S)| \geqslant 4).
\end{align*}
D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, 
\[
P(|S-E(S)| \geqslant 4) \leqslant \dfrac{V(S)}{4^2} \leqslant \dfrac{8,2665}{16} \leqslant 0,51665625.
\]
D'où:
\[
1-P(|S-E(S)| \geqslant 4) \geqslant 1-0,51665625 \geqslant 0,48334375.
\]
Ainsi, $P(6 < S < 14) > 0,48$.
\end{questions}
\end{corrige}


%

\begin{exo}{Combien de lancers de dé ?}{Lycée François Rabelais, Saint-Brieuc}{3}{15}
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{combien de lancers de dés ?}{https://media.prepamath.fr/ILTM2026chLoiGdsNbexoCombienLancers}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.4){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTM2026chLoiGdsNbexoCombienLancers}}}
\vspace*{-5mm}
%\enlargethispage*{2\baselineskip}

On lance de manière indépendante $n$ fois un dé équilibré à six faces. 


À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer une valeur minimale de $n$ pour laquelle la probabilité d'obtenir entre 0 et $\dfrac{n}{3}$ fois le nombre \og 1 \fg{} est supérieure ou égale à $\dfrac{1}{2}$.

Calculer cette probabilité pour $n=3$. Que peut-on conclure ?
\end{exo}

\begin{corrige}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.5){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTM2026chLoiGdsNbexoCombienLancers}}}
\vspace*{-5mm}

Commençons par poser $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de \og 1 \fg{} obtenus.

$X$ suit alors la loi $\mathcal{B}\left(n;\frac{1}{6}\right)$ et a donc une espérance égale à $\dfrac{n}{6}$ et une variance égale à $np(1-p)=\dfrac{5n}{36}$. On nous demande ici de trouver un entier $n$ tel que:
\[
P\left(0 \leqslant X \leqslant \dfrac{n}{3}\right) \geqslant \dfrac{1}{2}.
\]
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev nous dit que:
\begin{align*}
\forall\delta>0,\ & P\left(\left|X-\dfrac{n}{6}\right| \geqslant \delta\right) \leqslant \dfrac{5n}{36\delta^2}
\\
& \iff P\left[ \left( X-\dfrac{n}{6} \leqslant -\delta\right) \cup  \left( X-\dfrac{n}{6} \geqslant \delta\right) \right] \leqslant \dfrac{5n}{36\delta^2}\\
& \iff 1 - P\left(-\delta \leqslant X-\dfrac{n}{6} \leqslant \delta\right) \leqslant \dfrac{5n}{36\delta^2}\\
& \iff P\left(-\delta \leqslant X-\dfrac{n}{6} \leqslant \delta\right) \geqslant 1-\dfrac{5n}{36\delta^2}.
\end{align*}
On aimerait arriver à une inégalité avec $P\left(0 \leqslant X \leqslant \dfrac{n}{3}\right)$; cela nous pousse à prendre $\delta=\dfrac{n}{6}$ pour obtenir:
\[
P\left(0\leqslant X \leqslant \dfrac{n}{3}\right) \geqslant 1-\dfrac{5}{n}.
\]
Ainsi, il suffit de choisir un $n$ tel que:
\[
1-\dfrac{5}{n} \geqslant \dfrac{1}{2} \iff n \geqslant 10.
\]
Nous sommes donc assurés que pour $n\geqslant10$, notre probabilité  est supérieure à $\dfrac{1}{2}$.

Pour $n=3$, on trouve que $P(X \leqslant 1) = \displaystyle\sum_{i=0}^1 \dbinom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i}\approx0.926$, et on constate que la probabilité est supérieure à $\dfrac{1}{2}$. Cela pourrait nous faire croire que le résultat précédent est faux, mais il n'en est rien. En effet, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev nous permet uniquement d'affirmer que la probabilité est bien supérieure à $\dfrac{1}{2}$ pour $n\geqslant10$ sans nous assurer que $n=10$ est la valeur minimale...
\end{corrige}

\sectionnn{Objectif bac}

%%% 2026

\begin{exo}{Fabrique de jouets}{Baccalauréat Asie 2025, sujet 1}{2}{20}
Une entreprise qui fabrique des jouets doit effectuer des contrôles de conformité avant leur commercialisation.

On prélève au hasard dans la production de l'entreprise un lot de $n$ jouets, où $n$ est un entier strictement positif. On suppose que ce prélèvement se fait sur une quantité suffisamment grande de jouets pour être assimilé à une succession de $n$ tirages indépendants avec remise.

La probabilité qu'un jouet réussisse le test de fabrication est égale à $0,95$.

Soit $S_n$ la variable aléatoire qui compte le nombre de jouets ayant réussi le test de fabrication. On admet que $S_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,95$.

\begin{questions}
\item Exprimer l'espérance et la variance de la variable aléatoire $S_n$ en fonction de $n$.

\item Dans cette question, on pose $n = 150$.
\begin{questions}
\item Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $P\left(S_{150} = 145\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Déterminer la probabilité qu'au moins 94\,\% des jouets de ce lot réussissent le test de
fabrication. Donner une valeur approchée du résultat à $10^{-3}$ près.
\end{questions}

\item Dans cette question, l'entier naturel non nul $n$ n'est plus fixé.

Soit $F_n$ la variable aléatoire définie par : $F_n = \dfrac{S_n}{n}$. La variable aléatoire $F_n$ représente la proportion des jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de $n$ jouets prélevés.

On note $E(F_n)$ l'espérance et $V(F_n)$ la variance de la variable aléatoire $F_n$.
\begin{questions}
\item Montrer que $E(F_n) = 0,95$ et que $V(F_n) = \dfrac{0,0475}{n}$.
\item On s'intéresse à l'évènement $I$ suivant: \og la proportion de jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de $n$ jouets est strictement comprise entre 93\,\% et 97\,\% \fg.

En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer une valeur $n$ de la taille du lot
de jouets à prélever, à partir de laquelle la probabilité de l'évènement $I$ est supérieure ou égale à $0,96$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $S_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,95$ donc son espérance est:
\[
E(S_n)=n \times p = 0,95n.
\]
Sa variance est:
\[
V(S_n) = 0,95 \times (1-0,95) \times n = 0,0475n.
\]

\item On prend $n=150$ dans cette question.
\begin{questions}
\item À la calculatrice, on trouve:
\[
P(S_{150}=145) \approx 0,109.
\]
Cela signifie que la probabilité qu'il y ait 145 jouets ayant réussi le test de fabrication est  d'environ 10,9\%.

\item 94\% de 150 vaut 141. On cherche donc (à la calculatrice):
\[
P(S_{150} \geqslant 141)\approx 0,781.
\]
\end{questions}

\item 
\begin{itemize}
\item Par linéarité de l'espérance, on a:
\[
E(F_n) = E\left(\frac{S_n}{n}\right)=\dfrac{1}{n} \times E(S_n) = \dfrac{1}{n} \times n \times p = p = 0,95.
\]

\item Par propriété de la variance, on a:
\[
V(F_n) = \dfrac{1}{n^2} \times V(S_n) = \dfrac{1}{n^2} \times n \times p \times (1-p) = \dfrac{0,95 \times 0,05}{n} = \dfrac{0,0475}{n}.
\]
\end{itemize}

\item Le théorème de Bienaymé-Tchebychev nous dit que:
\[
\forall \delta > 0,\ P( |F_n - E(F_n)| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V(F_n)}{\delta^2}
\] 
soit ici, en prenant $\delta=0,02$:
\begin{align*}
     & P(|F_n-0,95| \geqslant 0,02) \leqslant \dfrac{0,0475}{0,0004n}\\
\iff & 1-P(|F_n-0,95| < 0,02) \leqslant \dfrac{0,0475}{0,0004n}\\
\iff & 1-P(-0,02 < F_n-0,95 < 0,02) \leqslant \dfrac{0,0475}{0,0004n}\\
\iff & 1-P(0,93 < F_n < 0,97) \leqslant \dfrac{0,0475}{0,0004n}\\
\iff & P(0,93 < F_n < 0,97) \geqslant 1- \dfrac{0,0475}{0,0004n}.
\end{align*}
%On cherche $n$ tel que:
Une condition suffisante pour que $P(0,93 < F_n < 0,97) \geqslant 0,96$ est que la borne donnée par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev vérifie elle-même cette inégalité, c'est-à-dire :
\begin{align*}
1- \dfrac{0,0475}{0,0004n} \geqslant 0,96 & \iff \dfrac{0,0004n-0,0475}{0,0004n} \geqslant 0,96\\
& \iff 0,0004n-0,0475 \geqslant 0,96 \times 0,0004n\\
& \iff 0,0004n - 0,96\times0,0004n \geqslant 0,0475\\
& \iff 0,00016n \geqslant 0,0475\\
& \iff n \geqslant \numprint{2968,75}.
\end{align*}
\enlargethispage*{5em}
Ainsi, dès que $n \geqslant \numprint{2969}$, on a $P(0,93 < F_n < 0,97) \geqslant 0,96$.
\end{questions}
\end{corrige}




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\AfficheCorrige
