\devoirsynthese{Baccalauréat Blanc}{Baccalauréat blanc}

La durée de l'épreuve est de 4 heures. Elle est composée de quatre exercices.

\begin{exobb}{Exercice 1 -- 5 points}{Amérique du Nord, sujet 2, mai 2025}{2}{60}
Au basket-ball, il est possible de marquer des paniers rapportant un point, deux points ou trois points.

\textit{Les parties A et B sont indépendantes.}

\subsectionnn{Partie A}

L'entraineur d'une équipe de basket décide d'étudier les statistiques de réussite des lancers de ses joueurs. Il constate qu'à l'entrainement, lorsque Victor tente un panier à trois points, il le réussit avec une probabilité de $0,32$.

Lors d'un entrainement, Victor effectue une série de $15$ lancers à trois points. On suppose que ces lancers sont indépendants.

\Par

On note $N$ la variable aléatoire qui donne le nombre de paniers marqués.

\Par

\emph{Les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.}

\begin{questions}
\item On admet que la variable aléatoire $N$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

\item Calculer la probabilité que Victor réussisse exactement 4 paniers lors de cette série.

\item Déterminer la probabilité que Victor réussisse au plus 6 paniers lors de cette série.

\item Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $N$.

\item On note $T$ la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués après cette série de lancers.

\begin{questions}
\item Exprimer $T$ en fonction de $N$.
\item En déduire l'espérance de la variable aléatoire $T$. Donner une interprétation de cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\item Calculer $P(12 \leqslant T \leqslant 18)$.
\end{questions}

\end{questions}


\subsectionnn{Partie B}

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de points marqués par Victor lors d'un match.

On admet que l'espérance $E(X) = 22$ et la variance $V(X) = 65$.

Victor joue $n$ matchs, où $n$ est un nombre entier strictement positif.

On note $X_1$, $X_2$, $\ldots$, $X_n$ les variables aléatoires donnant le nombre de points marqués au cours des $1\ier$, $2\ieme$, $\ldots$, $n$-ième matchs. On admet que les variables aléatoires $X_1$, $X_2$, $\ldots$, $X_n$ sont indépendantes et suivent la même loi que celle de $X$.

On pose $M_{n}=\dfrac{X_{1} + X_{2} + \ldots + X_{n}}{n}$.

\begin{questions}
\item Dans cette question, on prend $n = 50$.
\begin{questions}
\item Que représente la variable aléatoire $M_{50}$ ?
\item Déterminer l'espérance et la variance de $M_{50}$.
\item Démontrer que $P\left(\left|M_{50}-22\right| \geqslant 3\right) \leqslant \dfrac{13}{90}$.
\item En déduire que la probabilité de l'évènement \og  $19<M_{50}<25$ \fg{}  est strictement supérieure à 0,85.
\end{questions}
\item Indiquer, en justifiant, si l'affirmation suivante est vraie ou fausse :

\og Il n'existe aucun entier naturel $n$ tel que $P\big(\left|M_{n}-22\right| \geqslant 3\big)< 0,01$\fg.
\end{questions}
\end{exobb}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% CORRIGE EXERCICE PROBABILITES 

\begin{corrigebb}

\subsectionnn{Partie A}

\begin{methode}
Au baccalauréat, il est très fréquent d'avoir un exercice de probabilités en au moins deux parties.

Il est conseillé de prendre connaissance du sujet de chaque partie afin de se faire une idée de ce qui nous est demandé.

\Par

Ici, la partie A traite de la loi binomiale; on peut ainsi écrire au brouillon les formules vues dans le cours (espérance, variance et écart-type) et se remémorer rapidement les propriétés importantes et méthodes (linéarité de l'espérance, traduction mathématique des termes \og au plus \fg{} et \og au moins \fg, etc.). Ceci permet éventuellement de raisonner plus vite et mieux au fil des questions.
\end{methode}

\begin{questions}
\item Chaque lancer constitue une expérience de Bernoulli, dont le succès est \og le panier est marqué \fg, de probabilité $p=0,32$ (d'après l'énoncé).

La série de 15 lancers \textit{indépendants} constitue donc un schéma de\linebreak Bernoulli. 

\Par

Ainsi, le nombre $N$ de succès obtenus à l'issue de ce schéma est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres $n=15$ et \mbox{$p=0,32$}.

\item La probabilité que Victor réussisse \textit{exactement} 4 paniers est $P(N=4)$.

À l'aide de la calculatrice, on trouve:
\[
P(N=4)\approx0,206.
\]

\item La probabilité que Victor réussisse \textit{au plus} 6 paniers lors de cette série est $P(N \leqslant 6)$.
\begin{aretenir}
\og Au plus 6 \fg{} signifie \og moins de 6, ou 6 au maximum \fg.

\og Au moins 6 \fg{} signifie \og 6 ou plus de 6 \fg.
\end{aretenir}

À la calculatrice, on trouve:
\[
P(N \leqslant6) \approx 0,828.
\]

\item L'espérance de la variable $N$ est, d'après le cours:
\[
E(N) = n \times p = 15 \times 0,32 = 4,8.
\]

\item
\begin{questions}
\item Un panier rapporte 3 points. Ainsi, si Victor marque $N$ paniers à 3 points, le nombre total de points est:
\[
T = 3N.
\]
Nous avons bien exprimé $T$ en fonction de $N$.

\item D'après la linéarité de l'espérance,
\[
E(T) = E(3N) = 3\times E(N) = 3 \times 4,8 = 14,4.
\]

Cela signifie que, sur un grand nombre de séries de 15 lancers,\linebreak Victor rapporte en moyenne 14,4 points par série.

\item On cherche à déterminer $P(12 \leqslant T \leqslant 18)$.

Pour cela, nous allons nous ramener à la variable aléatoire $N$, qui suit une loi binomiale (et donc sera plus facile à manipuler).
\begin{align*}
P(12 \leqslant T \leqslant 18) & = P(12 \leqslant 3N \leqslant 18)\\
& = P(4 \leqslant N \leqslant 6)\\
&  \approx 0,586\text{ (à la calculatrice)}.
\end{align*}

\end{questions}
\end{questions}

\subsectionnn{Partie B}

\begin{methode}
Dans cette partie, nous voyons d'un coup d'œil que le thème abordé est \textit{la somme de variables aléatoires indépendantes et loi des grands nombres}.

On peut alors, avant de se pencher sérieusement sur les questions, se\linebreak remémorer les quelques formules du cours sur la moyenne de variables aléatoires indépendantes, ainsi que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et la loi faible des grands nombres (qui vont sans doute nous servir).
\end{methode}

\begin{questions}
\item Ici, on prend $n=50$.
\begin{questions}
\item $M_{50}$ représente la moyenne de toutes les variables aléatoires $X_1$, $X_2$, ..., $X_{50}$, donc le nombre moyen de points marqués par matchs par Victor sur ces 50 matchs.

\item 
\begin{itemize}
\item D'après la linéarité de l'espérance, on a:
\[
E(M_{50}) = \dfrac{E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_{50})}{50} = E(X) = 22
\]
car les $X_k$ suivent toutes la même loi de probabilité que $X$.

\item Les variables aléatoires $X_k$ sont indépendantes donc, d'après le cours,
\[
V(M_{50}) = \dfrac{1}{50^2}\times 50 \times V(X) = \dfrac{65}{50}=1,3.
\]
\end{itemize}

\item L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev stipule que:
\[
\forall \delta > 0,\ \quad 
P(|M_{50}-E(M_{50})| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V(M_{50})}{\delta^2}
\]
Nous souhaitons démontrer que:
\[
P\left(\left|M_{50}-22\right| \geqslant 3\right) \leqslant \dfrac{13}{90}
\]
ce qui nous pousse à prendre $\delta = 3$ dans l'inégalité précédente:
\[
P(|M_{50}-E(M_{50})| \geqslant 3) \leqslant \dfrac{V(M_{50})}{3^2}
\]
soit:
\[
P(|M_{50}-22| \geqslant 3) \leqslant \dfrac{1,3}{9}
\]
ce qui donne bien:
\[
P\left(\left|M_{50}-22\right| \geqslant 3\right) \leqslant \dfrac{13}{90}
\]

\item On souhaite ici se pencher que $P(19 < M_{50} < 25)$.

\Par

Reprenons l'inégalité obtenue à la question précédente, et passons par l'événement contraire:
\begin{align*}
P\left(\left|M_{50}-22\right| \geqslant 3\right) \leqslant \dfrac{13}{90} & \iff 1-P\left(\overline{\left|M_{50}-22\right| \geqslant 3}\right) \leqslant \dfrac{13}{90}\\
& \iff 1-P(|M_{50}-22| < 3) \leqslant \dfrac{13}{90}\\
& \iff 1 - P(|M_{50}-22| \leqslant 2) \leqslant \dfrac{13}{90}\\
& \iff 1 - P(-2 \leqslant M_{50}-22 \leqslant 2) \leqslant \dfrac{13}{90}\\
& \iff 1 - P(20 \leqslant M_{50} \leqslant 24) \leqslant \dfrac{13}{90}\\
& \iff 1 - P(19 < M_{50} < 25) \leqslant \dfrac{13}{90}\\
& \iff 1 - \dfrac{13}{90} \leqslant P(19 < M_{50} < 25)\\
& \iff P(19 < M_{50} < 25) \geqslant \dfrac{77}{90}.
\end{align*}
Or, $\dfrac{77}{90}\approx0,856$ donc:
\[
P(19 < M_{50} < 25) > 0,85.
\]
\end{questions}

\item Dans cette question, $n$ n'est plus égal à 50; il est quelconque.

\Par

L'inégalité de concentration donne, en prenant:
\[
P(|M_{n}-E(M_{n})| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V(M_{n})}{\delta^2n}.
\]
Avec $\delta=3$, $E(M_n)=E(X)=22$ et $V(M_n)=V(X)=65$, on a:
\[
P(|M_n-22| \geqslant 3) \leqslant \dfrac{65}{9n}.
\]
S'il existe un entier $n$ tel que $P\big(\left|M_{n}-22\right| \geqslant 3\big)< 0,01$ alors:
\begin{align*}
\dfrac{65}{9n} < 0,01 & \iff \dfrac{9n}{65} > 100\\
& \iff n > 100 \times \dfrac{65}{9}\\
& \iff n \geqslant 723.
\end{align*} 

L'affirmation:

\og Il n'existe aucun entier naturel $n$ tel que $P\big(\left|M_{n}-22\right| \geqslant 3\big)< 0,01$\fg{} 

est donc \textit{fausse}. 
\end{questions}
\end{corrigebb}

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\begin{exobb}{Exercice 2 -- 4 points}{Centres étrangers, sujet 1, juin 2025}{2}{45}

\subsectionnn{Partie A}

On considère l'équation différentielle:
\[
(E_1) :\quad  y' + 0{,}48y = \dfrac{1}{250},
\]
où $y$ est une fonction de la variable $t$ appartenant à l'intervalle $[0;+\infty[$.
\begin{questions}
\item On considère la fonction constante $h$ définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par $h(t) = \dfrac{1}{120}$.

Montrer que la fonction $h$ est solution de l'équation différentielle $(E_1)$.

\item Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle\linebreak$y' + 0,48y = 0$.

\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E_1)$.
\end{questions}

\subsectionnn{Partie B}

On s'intéresse à présent à l'évolution d'une population de bactéries dans un milieu de culture.

À un instant $t = 0$, on introduit une population initiale de \numprint{30000} bactéries dans le milieu. On note $p(t)$ la quantité de bactéries, exprimée en millier d'individus, présente dans le milieu après un temps $t$, exprimé en heure.

On a donc $p(0) = 30$.

On admet que la fonction $p$ définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ est dérivable, strictement positive sur cet intervalle et qu'elle est solution de l'équation\linebreak différentielle $(E_2)$ :
\[
p' = \dfrac{1}{250}p \times (120 - p).
\]
Soit $y$ la fonction strictement positive sur l'intervalle $[0;+\infty[$ telle que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $[0;+\infty[$ , on a $p(t) = \dfrac{1}{y(t)}$.

\begin{questions}
\item Montrer que si $p$ est solution de l'équation différentielle $(E_2)$, alors $y$ est solution de l'équation différentielle $(E_1)$: $y' + 0,48y = \dfrac{1}{250}$.

\item On admet réciproquement que, si $y$ est une solution strictement positive de l'équation différentielle $(E_1)$, alors $p = \dfrac 1y$ est solution de l'équation différentielle $(E_2)$.

Montrer que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ , on a :
\[
p(t) = \dfrac{120}{1 + K\nep^{-0,48t}}~ \text{avec}\: K\: \text{une constante réelle}.
\] 

\item En utilisant la condition initiale, déterminer la valeur de $K$.

\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} p(t)$. En donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.

\item Déterminer le temps nécessaire pour que la population de bactéries dépasse \numprint{60000}~individus.

\textit{On donnera le résultat sous la forme d'une valeur arrondie exprimée en heures et minutes.}
\end{questions}
\end{exobb}

%%%%%%%%%%

\begin{corrigebb}
\subsectionnn{Partie A}
\begin{methode}
D'un coup d'œil, on peut voir que cette partie concerne la résolution d'une équation différentielle de la forme $y' + ay = b$. Il est donc utile d'écrire dès le départ sur le brouillon, avant même de se pencher sérieusement sur les questions, la formule vue en cours qui donne les solutions à une telle équation.
\end{methode}

\begin{questions}
\item Pour montrer que $h$ est solution de $(E_1)$, il faut montrer que:
\[
h'+0,48h=\dfrac{1}{250}.
\]
Calculons alors:
\[
h' + 0,48h  = 0 + 0,48 \times \dfrac{1}{120}
            = \dfrac{48}{\numprint{12000}}
            = \dfrac{1}{250}.
\]
$h$ est donc bien solution de $(E_1)$.

\item D'après le cours, les solutions de l'équation $y'+ay=0$ sont:
\[
y_0(t)=C\nep^{-at}\quad,\quad C\in\R.
\]
Ainsi, celles de l'équation différentielle $y' + 0,48y = 0$ sont:
\[
y_0(t)=C\nep^{-0,48t}\quad,\quad C\in\R.
\]
\begin{attention}
Il est clairement dit dans l'énoncé: \og où $y$ est une fonction de la variable $t$ appartenant à l'intervalle $[0;+\infty[$ \fg{} donc la variable n'est pas $x$, mais $t$.
\end{attention}

\item D'après le cours, les solutions de l'équation différentielle $y'=ay+b$ sont:
\[
y(t)=C\nep^{at}-\dfrac{b}{a}.
\]
Alors, les solutions de l'équation différentielle $y' + 0,48y = \dfrac{1}{250}$ sont:
\[
y(t)=C\nep^{-0,48t}-\dfrac{\tfrac{1}{250}}{-0,48}\quad,\quad C\in\R
\]
soit:
\[
y(t)=C\nep^{-0,48t}+\dfrac{1}{120}\quad,\quad C\in\R.
\]
\end{questions}

\subsectionnn{Partie B}

\begin{methode}
En lisant en diagonale l'énoncé de cette partie, on s'aperçoit qu'elle traite d'une application aux équations différentielles. Il y a donc du contexte (auquel il faut faire attention); il est important de ne pas lire trop vite un tel énoncé, quitte à mettre plus de temps que prévu initialement à la résolution de l'exercice. 
\Par
Par exemple, bien prendre conscience des unités (ici, $p(t)$ est exprimé en \textit{millier d'individus}, et $t$ est exprimé en \textit{heures}).
\end{methode}

\begin{questions}
\item D'après l'énoncé, $p=\dfrac{1}{y}$ donc $p'=-\dfrac{y'}{y^2}$. Ainsi,
\begin{align*}
p\text{ est solution de }(E_2) & \Longrightarrow p' = \dfrac{1}{250}p(120-p)\\
& \Longrightarrow -\dfrac{y'}{y^2} = \dfrac{1}{250}\times\dfrac{1}{y}\left(120-\dfrac{1}{y} \right)\\
& \Longrightarrow -y' = \dfrac{1}{250}\times\dfrac{1}{y}\left(120-\dfrac{1}{y} \right) \times y^2\\
& \Longrightarrow -y' = \dfrac{y}{250}\left(120-\dfrac{1}{y}\right)\\
& \Longrightarrow -y' = \dfrac{12}{25}y-\dfrac{1}{250}\\
& \Longrightarrow y' = -0,48y + \dfrac{1}{250}\\
& \Longrightarrow y' + 0,48y = \dfrac{1}{250}\\
& \Longrightarrow y\text{ est solution de }(E_1).
\end{align*}

\item On admet dans cette question la réciproque de ce qui a été démontré dans la question précédente, à savoir que:
\[
y\text{ est solution de }(E_1) \Longrightarrow p\text{ est solution de }(E_2).
\]
Dans la partie A, nous avons montré que:
\[
y\text{ est solution de }(E_1) \iff y(t) = C\nep^{-0,48t}+\dfrac{1}{120}\quad,\quad C\in\R.
\]
Ainsi, 
\begin{align*}
     & p(t) = \dfrac{1}{y(t)}\text{ est solution de }(E_1)\\
\iff & p(t) = \dfrac{1}{C\nep^{-0,48t}+\tfrac{1}{120}}\text{ est solution de }(E_1),\ C\in\R\\[8pt]
\iff & p(t) = \dfrac{120}{120C\nep^{-0,48t}+1}\text{ est solution de }(E_1),\ C\in\R\\[8pt]
\iff & p(t) = \dfrac{120}{K\nep^{-0,48t}+1}\text{ est solution de }(E_1),\text{ avec }K=120C\in\R.\\
\end{align*}

\item On sait que $p(0)=30$. Ainsi,
\begin{align*}
\dfrac{120}{K\nep^{-0,48\times0}+1}=30 & \iff 120 = 30K\nep^{0}+30\\
& \iff 30K\nep^{0} = 90\\
& \iff K = 3. 
\end{align*}
Finalement, on a:
\[
p(t) = \dfrac{120}{3\nep^{-0,48t}+1}.
\]

\item $\lim\limits_{t\to+\infty}\nep^{-0,48t}=\lim\limits_{T\to-\infty}\nep^T=0$.

Ainsi,  $\lim\limits_{t\to+\infty} p(t)=\dfrac{120}{3\times0+1}=120$.

\Par

Cela signifie, dans le contexte de l'exercice, qu'à très long terme, la population bactérienne se rapprochera de \numprint{120000} bactéries.

\item Dans cette question, on cherche la plus petite valeur de $t$ pour laquelle:
\begin{align*}
p(t) > 60 & \iff \dfrac{120}{3\nep^{-0,48t}+1} > 60\\
          & \iff \dfrac{3\nep^{-0,48t}+1}{120} < \dfrac{1}{60}\\
          & \iff 3\nep^{-0,48t}+1 < 2\\
          & \iff 3\nep^{-0,48t} < 1\\
          & \iff \nep^{-0,48t} < \dfrac{1}{3}\\
          & \iff \ln\big(\nep^{-0,48t}\big) < \ln\left(\dfrac{1}{3}\right)\\
          & \iff -0,48t < -\ln(3)\\
          & \iff t > \dfrac{\ln(3)}{0,48}\\
          & \iff t > 2,2887756.
\end{align*}
Ainsi, la population dépassera \numprint{60000} bactéries après 2,289 heures, soit $2\text{ h } 0,289\times60\text{ min} = 2\text{ h }17\text{ min.}$
\end{questions}
\end{corrigebb}



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\begin{exobb}{Exercice 3 -- 6 points}{Énoncé original}{3}{75}
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]- 1~;~ + \infty[$ par :

\[f(x) = x-1 + \dfrac{\ln (1 + x)}{1 + x}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

\subsectionnn{Partie A}

\begin{questions}

\item Déterminer la limite de $f(x)$ en $-1$ et en $+\infty$.

\item  On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. 

Montrer que $f '(x)=\dfrac{x^2+2x+2-\ln(x+1)}{(x+1)^2}$.

\item  Pour tout $x$ de l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$, on pose:
\[
N(x) = x^2+2x+2- \ln (1+x).
\]
On admet que $N'(x)=\dfrac{2x^2+4x+1}{x+1}$.
\begin{questions}
\item Donner le sens de variations de $N$ sur  $]- 1~;~+ \infty[$.

\item Calculer la valeur du minimum de $N(x)$ sur  $]- 1~;~+ \infty[$, puis en déduire les variations de $f$ sur $]- 1~;~+ \infty[$.
\end{questions}

\item Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;1[$.

On notera cette solution $\alpha$.

\item Montrer que $\ln(1+\alpha)=1-\alpha^2$.

\end{questions}
 
 
\subsectionnn{Partie B}

Soit la fonction $\varphi$ définie sur $]-1;+\infty[$ par:
\[
\varphi(x)=1-\dfrac{\ln(1+x)}{1+x}.
\]
On considère alors la suite $(u_n)$ définie par:
\[
\begin{cases}
u_0 & = 1\\
u_{n+1} & = \varphi(\varphi\left(u_{n}\right))~ \text{pour tout}~ n~  \text{de}~ \N.\\
\end{cases}
\]
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item On suppose que $\varphi$ est continue et strictement décroissante sur $[0;1]$.

Montrer que pour tout réel $x\in[0;1]$, $0 \leqslant \varphi(\varphi(x)) \leqslant 1$.

\item Montrer alors par récurrence que pour tout entier naturel $n$,\linebreak $0 \leqslant  u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1$.

\item En déduire que $(u_n)$ converge.
\end{questions}

\item 
\begin{questions}
\item Montrer que $\varphi(\varphi(\alpha)) = \alpha$, où $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $f(x)=0$ introduite dans la partie A.
\Par
\textit{On suppose que $\alpha$ est l'unique solution à l'équation $\varphi(\varphi(x)) = x$ sur $[0;1]$}.
\Par
\item En déduire la limite de $(u_n)$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exobb}

%%%%%%%%%%%% CORRIGE EXERCICE SUITE ET FONCTION

\begin{corrigebb}

\subsectionnn{Partie A}

\begin{methode}
Il s'agit ici d'une partie où l'objectif principal est clairement d'établir le sens de variation d'une fonction. Dans ce genre de partie, les questions se ressemblent souvent d'un sujet à l'autre:
\begin{itemize}
\item calcul d'une ou deux limites,
\item calcul d'une dérivée pour trouver le sens de variation de la fonction,
\item preuve de l'existence d'une solution à une équation (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires).
\end{itemize}
\end{methode}

\begin{questions}
\item 
\begin{itemize}
\item Calcul de $\lim\limits_{x\to-1}f(x)$.
\Par
$\lim\limits_{x\to-1}(x-1)=-1-1=-2$. 

De plus, en posant $X=x+1$, on a $\lim\limits_{x\to-1}(x+1)=0$, d'où:
\[
\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}=\lim\limits_{X\to0}\dfrac{\ln(X)}{X}=-\infty\text{ (croissance comparée)}.
\]
Finalement,
\[
\lim\limits_{x\to-1}f(x)=-\infty.
\]

\item Calcul de $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$.
\Par
$\lim\limits_{x\to+\infty}(x+1)=+\infty$.

De plus, en posant $X=x+1$, on a $\lim\limits_{x\to+\infty}(x+1)=+\infty$, d'où:
\[
\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}=\lim\limits_{X\to+\infty}\dfrac{\ln(X)}{X}=0\text{ (croissance comparée)}.
\]
Finalement,
\[
\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.
\]
\end{itemize}

\item Posons $a(x)=x-1$ et $b(x)=\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}$.
\[
f'(x) =  a'(x)+b'(x)=1+b'(x).
\]
$b(x)=\dfrac{u(x)}{v(v)}$, avec:
\begin{align*}
u(x)=\ln(x+1) & \qquad \text{et}\qquad v(x)=x+1\\
u'(x)=\dfrac{1}{x+1} & \qquad\text{et}\qquad v'(x)=1.
\end{align*}
Ainsi,
\begin{align*}
b'(x)& = \dfrac{u'v - v'u}{v^2}(x)\\
b'(x)& = \dfrac{\tfrac{1}{x+1}\times(x+1) - 1\times\ln(x+1)}{(x+1)^2}\\
b'(x)& = \dfrac{1-\ln(x+1)}{(x+1)^2}.
\end{align*}
Finalement,
\begin{align*}
f'(x) & = 1+\dfrac{1-\ln(x+1)}{(x+1)^2}\\
f'(x)& = \dfrac{(x+1)^2+1-\ln(x+1)}{(x+1)^2}\\
f'(x)& = \dfrac{x^2+2x+2-\ln(x+1)}{(x+1)^2}.
\end{align*}

\item
\begin{questions}
\item $N'(x)=\dfrac{2x^2+4x+1}{x+1}$ et sur $]- 1~;~ + \infty[$, $x+1>0$ donc $N(x)$ est du signe de $2x^2+4x+1$, dont le discriminant est:
\[
\Delta = 4^2-4\times2\times1=16-8=8.
\]
Le polynôme $2x^2+4x+1$ admet donc deux racines:
\[
x_1=\dfrac{-4-\sqrt8}{4}=-1-\dfrac{\sqrt2}{2}<-1\text{ donc n'est pas prise en compte}
\]

\[
\text{et }
x_2=\dfrac{-4+\sqrt8}{4}=-1+\dfrac{\sqrt2}{2}>-1\text{ donc est prise en compte}.
\]
On en déduit le tableau suivant:
\[
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{array}{|C|lcccr|}
\hline\tabulartitle
x     &    -1     &   & x_2 &   & +\infty \\
\hline
N'(x) &  \dvline  & - &  0  & + &         \\
\hline 
N     &	 \dvline  & \searrow &  & \nearrow & \\
\hline
\end{array}
\]

\item Une valeur approchée du minimum de $N(x)$ est (à la calculatrice):
\[
N(x_2) \approx 1,85 >0.
\]
Ainsi, sur $]- 1~;~ + \infty[$, $N(x) >0$ et donc $f'(x) > 0$.

On en déduit alors que $f$ est strictement croissante sur $]- 1~;~ + \infty[$.
\end{questions}

\item $f$ est continue est strictement croissante sur $]-1;+\infty[$.

De plus, nous avons vu précédemment que $\begin{cases}\lim\limits_{x\to-1}f(x)=-\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\end{cases}$.

0 est donc une valeur de l'ensemble image de $]-1;+\infty[$ par $f$.

\Par

Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique valeur $\alpha$ telle que $f(\alpha)=0$ sur $]-1;+\infty[$.

L'équation $f(x)=0$ admet donc bien une unique solution (qui est $\alpha$) sur $]-1;+\infty[$.

\item Par définition de $\alpha$,
\begin{align*}
f(\alpha)=0 & \iff (\alpha-1)+\dfrac{\ln(1+\alpha)}{1+\alpha}=0\\
& \iff \dfrac{(\alpha-1)(\alpha+1)+\ln(1+\alpha)}{1+\alpha}=0\\
& \iff (\alpha-1)(\alpha+1)+\ln(1+\alpha)=0\\
& \iff \alpha^2-1 + \ln(1+\alpha) = 0\\
& \iff \ln(1+\alpha) = 1-\alpha^2.
\end{align*}
\end{questions}

\enlargethispage*{5em}

\vspace*{-1.5em}
\subsectionnn{Partie B}

\begin{methode}
Dans cette partie, nous allons a priori étudier une suite. Dans de nombreux sujets de bac, les questions traitent des thèmes suivants:
\begin{itemize}
\item démonstration par récurrence d'un encadrement,
\item théorème de convergence des suites monotones,
\item continuité d'une fonction et passage à la limite d'une suite.
\end{itemize}
Il faut donc que nos connaissances soient solides sur ces thèmes.
\end{methode}

\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Soit $x\in[0;1]$. Puisque $\varphi$ est strictement décroissante sur $[0;1]$, on a:
\begin{align*}
0 \leqslant x \leqslant 1 & \iff \varphi(1) \leqslant \varphi(x) \leqslant \varphi(0)\\
& \iff 1-\dfrac{\ln2}{2} \leqslant \varphi(x) \leqslant 1\\
& \iff 0 \leqslant \varphi(x) \leqslant 1.
\end{align*}
En posant $X=\varphi(x)$, on a $X\in[0;1]$ donc $0 \leqslant \varphi(X) \leqslant 1$, soit:
\[
0 \leqslant \varphi\big( \varphi(x) \big) \leqslant 1.
\]

\item Notons:
\[
(\mathcal{P}_n)\;:\; 0\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1.
\]
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation.}
\Par
On a:
\[
u_1 = \varphi(\varphi(1)) = \varphi\left(1-\dfrac{\ln2}{2}\right) \approx 0,696.
\]
Ainsi,
\[
0 \leqslant u_1 \leqslant u_0 \leqslant 1.
\]
$(\mathcal{P}_0)$ est donc vraie.

\Par

\item \textit{Hérédité.}
\Par
Supposons que pour un entier $k$ fixé, $(\mathcal{P}_k)$ est vraie, c'est-à-dire:
\[
0 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_k \leqslant 1.\qquad(HR)
\]
Montrons alors que $(\mathcal{P}_{k+1})$ est vraie, c'est-à-dire que:
\[
0 \leqslant u_{k+2} \leqslant u_{k+1} \leqslant 1.
\]
Partons de l'hypothèse de récurrence $(HR)$:
\begin{align*}
(HR) & \Longrightarrow \varphi(1) \leqslant \varphi(u_k) \leqslant \varphi(u_{k+1}) \leqslant \varphi(0)
\intertext{(car la fonction $\varphi$ est strictement décroissante)}
& \Longrightarrow \underbrace{\varphi(\varphi(0))}_{\approx0,65} \leqslant \varphi(\varphi(u_{k+1})) \leqslant \varphi(\varphi(u_k)) \leqslant \underbrace{\varphi(\varphi(1))}_{\approx0,70}
\intertext{(on retourne encore l'encadrement car $\varphi$ est décroissante)}
& \Longrightarrow 0 \leqslant u_{k+2} \leqslant u_{k+1} \leqslant 1.
\end{align*}
Ainsi, $(\mathcal{P}_{k+1})$ est vraie.
\Par

\item \textit{Conclusion.}
\Par
$(\mathcal{P}_0)$ est vraie et, pour un entier $k$ fixé, $(\mathcal{P}_{k})\Longrightarrow(\mathcal{P}_{k+1})$ donc, d'après le principe de récurrence, $(\mathcal{P}_{n})$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
\end{itemize}

\newpage

\item Nous venons de démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée (par 0).

Donc, d'après le théorème de convergence des suites monotones, $(u_n)$ converge.
\end{questions}

\item 
\begin{questions}
\item On a vu dans la partie A que $\ln(1+\alpha)=1-\alpha^2$, d'où:
\begin{align*}
\varphi(\alpha) & = 1 - \dfrac{\ln(1+\alpha)}{1+\alpha}\\
& = 1- \dfrac{1-\alpha^2}{1+\alpha}\\
& = 1- \dfrac{(1+\alpha)(1-\alpha)}{1+\alpha}\\
& = 1- (1-\alpha)\\
& = \alpha.
\end{align*}
Ainsi,
\[
\varphi(\varphi(\alpha)) = \varphi(\alpha) = \alpha.
\]

\item $\varphi$ est une fonction continue et $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$, avec $u_{n+1}=\varphi(\varphi(u_n))$. 

Ainsi, $\lim\limits_{n\to+\infty} u_{n+1} = \varphi( \varphi( \lim\limits_{n\to+\infty} u_n) )$.

Donc $\ell$ est solution de l'équation $x = \varphi(\varphi(x))$.

Or, $\alpha$ est la seule solution à cette équation sur $[0;1]$. Ainsi,
\[
\lim\limits_{n\to+\infty}(u_n)=\alpha.
\]
\end{questions}
\end{questions}

\begin{attention}
Cette seconde partie peut paraître plus difficile que ce que vous avez pu voir dans les annales du baccalauréat, et c'est normal: les directives récentes laissent suggérer que le niveau de l'épreuve tend à être révisé à la hausse. Nous avons donc voulu proposer un sujet qui vous permet de voir votre facilité à vous adapter à un contexte légèrement différent que celui auquel vous avez l'habitude d'être confrontés.
\end{attention}
\end{corrigebb}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exobb}{Exercice 4 -- 5 points}{Sujets divers, session 2025}{2}{60}
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.

\begin{questions}
\item Dans une classe de terminale, il y a 18 filles et 14 garçons.

On constitue une équipe de volley-ball en choisissant au hasard 3 filles et 3 garçons.

\textbf{Affirmation 1:} il y a \numprint{297024} possibilités pour former une telle équipe.

\Par

\item Soit $f$ la fonction définie sur $[1;+\infty[$ par:
\[
f(x)=x\ln(x).
\]

\textbf{Affirmation 2:} $\displaystyle\int_1^\nep f(x) \text{d}x = \dfrac{\nep^2+1}{4}$.

\Par

\item Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\big(O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\big)$, on considère les points $A(1; 1; 2)$, $B(5 ; -1 ; 8)$ et $C(2; 1; 3)$.

\textbf{Affirmation 3:} $\gvec{AB}\cdot\gvec{AC}=10$ et une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ est 30\degres.

\Par

\item Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\big(O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\big)$, on considère les droites $(d)$ et $(d')$ de représentations paramétriques:
\[
(d)\,:\,
\begin{cases}
x = 15+k\\
y = 8-k\\
z = -6+2k
\end{cases},\ k\in\R\quad\text{et}\quad
(d')\,:\,
\begin{cases}
x = 1+4s\\
y = 2+4s\\
z = 1-6s
\end{cases}
,\ s\in\R.
\]

\textbf{Affirmation 4:} les droites $(d)$ et $(d')$ ne sont pas coplanaires.

\Par

\item Soit $x$ donné dans $[0;1[$. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$  par :
\[
u_n =(x-1)\nep^n + \cos(n).
\]

\textbf{Affirmation 5:} la suite $(u_n)$ diverge vers $-\infty$.
\end{questions}
\end{exobb}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{corrigebb}
\begin{questions}
\enlargethispage*{2\baselineskip}
\item Le fait de faire une équipe de 3 filles et 3 garçons consiste à former un ensemble où l'ordre ne compte pas. Parmi les méthodes de dénombrements en notre possession, seules les \textit{combinaisons} permettent de dénombrer de tels ensembles \textit{non ordonnés}.
\Par
On choisit \textit{3 filles parmi les 18} de la classe \underline{et} \textit{3 garçons parmi les 14} de la classe. Il y a donc:
\[
\binom{18}{3} \times \dbinom{14}{3} = \numprint{297024}\text{ possibilités}.
\]

L'affirmation 1 est donc exacte.

\Par

\item Pour calculer $\displaystyle\int_1^\nep x\ln(x)\text{d}x$, nous allons utiliser une \textit{intégration par\linebreak parties} en posant:
\begin{align*}
u(x) = \ln(x) & \qquad u'(x)=\dfrac{1}{x}\\
v'(x)=x & \qquad v(x)=\dfrac{1}{2}x^2
\end{align*}
Alors,
\begin{align*}
\displaystyle\int_1^\nep x\ln(x)\text{d}x & = \displaystyle\int_1^\nep (uv')(x)\text{d}x\\
& = \big[ (uv)(x) \big]_1^\nep - \displaystyle\int_1^\nep (u'v)(x)\text{d}x\\
& = \left[ \dfrac{1}{2}x^2 \ln(x) \right]_1^\nep - \displaystyle\int_1^\nep \dfrac{1}{2}x^2 \times \dfrac{1}{x}\text{d}x\\
& = \dfrac{1}{2}\nep^2\ln(\nep) - \dfrac{1}{2}\times1^2\times\ln(1) - \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_1^\nep x\text{d}x\\
& = \dfrac{1}{2}\nep^2 - 0 - \dfrac{1}{2}\left[ \dfrac{1}{2}x^2\right]_1^\nep\\
& = \dfrac{\nep^2}{2}-\dfrac{1}{4}(\nep^2-1)\\
& = \dfrac{2\nep^2-\nep^2+1}{4}\\
& = \dfrac{\nep^2+1}{4}.
\end{align*}

L'affirmation 2 est donc exacte.

\Par

\item 
\begin{itemize}
\item $\gvec{AB}\begin{pmatrix}5-1\\-1-1\\8-2\end{pmatrix}$, soit $\gvec{AB}\begin{pmatrix}4\\-2\\6\end{pmatrix}$ et $\gvec{AC}\begin{pmatrix}2-1\\1-1\\3-2\end{pmatrix}$, soit $\gvec{AC}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$.
\Par
Ainsi, $\gvec{AB}\cdot\gvec{AC}=4\times1 + (-2)\times0 + 6\times1 = 10$.

\Par

\item On sait de plus, que:
\begin{align*}
\gvec{AB}\cdot\gvec{AC} & = AB \times AC \times \cos\widehat{BAC}\\
10 & = \sqrt{4^2+(-2)^2+6^2} \times \sqrt{1^2+0^2+1^2} \times \cos\widehat{BAC}\\
10 & = \sqrt{56} \times \sqrt{2} \times \cos\widehat{BAC}\\
\iff \cos\widehat{BAC} &= \dfrac{10}{\sqrt{56\times2}}=\dfrac{10}{\sqrt{112}} \neq \dfrac{\sqrt3}{2}.
\end{align*}
Donc $\widehat{ABC}\neq30\degres$.
\Par
L'affirmation 3 est donc fausse.
\end{itemize}

\item 
\begin{itemize}
\item Regardons si $(d)$ et $(d')$ sont parallèles.
\Par
Un vecteur directeur de $(d)$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de $(d')$ est $\vec{v'}\begin{pmatrix}4\\4\\-6\end{pmatrix}$.

$\dfrac{4}{1} \neq \dfrac{4}{-1}$ donc les vecteurs ne sont pas colinéaires. Ainsi, les droites ne sont pas parallèles.

\Par

\item Regardons si les droites sont sécantes.
\Par
Pour cela, on résout le système:
\begin{align*}
\begin{cases}
15+k & =  1+4s\\
8-k & = 2+4s\\
-6+2k & = 1-6s
\end{cases} & \iff
\begin{cases}
k-4s & = -14\quad(L_1)\\
k+4s & = 6\quad(L_2)\\
2k+6s & = 7\quad(L_3)
\end{cases}\\
& \iff 
\begin{cases}
2k & = -8 \quad (L_1)+(L_2)\\
k+4s&=6\\
2k+6s&=7
\end{cases}\\
& \iff
\begin{cases}
k&= -4\\
4s&=6+4=10\\
6s&=7-2\times(-4)=15
\end{cases}\\
& \iff
\begin{cases}
k&= -4\\
s&=\dfrac{5}{2}\\[6pt]
s&=\dfrac{15}{6}=\dfrac{5}{2}
\end{cases}
\end{align*}
Le système admet donc un unique couple solution $\left(k=-4;s=\dfrac{5}{2}\right)$ donc les droites sont sécantes, et donc coplanaires

\Par

L'affirmation 4 est alors fausse.

\item $x\in[0;1[$ donc $(x-1)<0$. De plus,
\begin{align*}
\forall n\in\N,\quad u_n=\nep^n\left((x-1)+\dfrac{\cos(n)}{\nep^n}\right)
\end{align*}
et
\begin{align*}
\forall n\in\N,\quad & -1 \leqslant \cos(n) \leqslant 1 \\
 \iff & \dfrac{-1}{\nep^n} \leqslant \dfrac{\cos(n)}{\nep^n} \leqslant \dfrac{1}{\nep^n}\\
\iff & \nep^n\left((x-1)-\dfrac{1}{\nep^n}\right) \leqslant u_n \leqslant \nep^n\left((x-1)+\dfrac{1}{\nep^n}\right)
\end{align*}
Or,
\[
\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{\nep^n}\right)=0
\]
d'où:
\[
\lim_{n\to+\infty}\left( (x-1) + \dfrac{1}{\nep^n} \right) = x-1.
\]
De plus,
\[
\lim_{n\to+\infty} \nep^n = +\infty.
\]
Ainsi,  par produit des limites,
\[
\lim_{n\to+\infty} \left[ \nep^n\left((x-1)+\dfrac{1}{\nep^n}\right) \right] = -\infty.
\]
Nous avons montré précédemment que:
\[
u_n \leqslant \nep^n\left((x-1)+\dfrac{1}{\nep^n}\right).
\]
D'après le théorème de comparaison, on en déduit que:
\[
\lim_{n\to+\infty} u_n = -\infty.
\]
\Par

L'affirmation 5 est donc exacte.
\end{itemize}
\end{questions}
\end{corrigebb}

\onglet 
\AfficheCorrigeBB
